---
title: "Peubah Acak dan Distribusi Binomial"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial
---

# Bab 33 — Peubah Acak dan Distribusi Binomial

[Peubah acak](#def-g12-randvar-rv) melekatkan sebuah bilangan pada tiap hasil percobaan: sebuah keuntungan, sebuah cacah, sebuah lama waktu. Harapannya adalah rata-rata jangka panjang nilai yang dihasilkannya, dan [ragamnya](#def-g12-randvar-exp) mengukur penyebarannya. Bintang bab ini adalah [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial), yang mencacah keberhasilan pada ulangan percobaan yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep). [Peubah acak](#def-g12-randvar-rv) dan [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial) pertama kali dijumpai di Bab [18](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#ch-g11-prob) dan [19](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#ch-g11-binom); bab ini meninjau kembali dan memperdalamnya, dengan perkakas kombinatorika [Bab 27](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/27-kombinatorika-dan-pencacahan#ch-g12-comb) yang kini tersedia.

## 33.1 Peubah acak diskret

**Definisi 33.1 (Peubah acak, distribusi).**

Suatu *peubah acak* pada [ruang sampel](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) berhingga $\Omega$ adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. Yang disebut *distribusinya* (atau hukumnya) adalah data nilai yang mungkin $x_1, \dots, x_k$ beserta peluangnya

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**Definisi 33.2 (Nilai harapan, ragam, simpangan baku).**

*Nilai harapan* dari $X$ adalah

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

sedangkan *ragamnya* dan *[simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance)* adalah

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposisi 33.3 (Rumus König–Huygens).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**Bukti.** Tulislah $m = \E(X)$ lalu jabarkan:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**Proposisi 33.4 (Transformasi afin).**

Untuk $a, b \in \R$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**Bukti.** Yang pertama hanyalah penyusunan ulang jumlah pendefinisinya. Untuk yang kedua, $aX + b$ menyimpang dari rata-ratanya sebesar $a(X - \E(X))$, dan pengkuadratannya mengalikan dengan $a^2$. ∎

**Contoh 33.5 (Permainan yang adil).**

Sebuah permainan berbiaya $2$ euro; sebuah dadu dilempar, dan pemainnya menerima nilai yang muncul jika nilainya sekurang-kurangnya $5$, dan tidak menerima apa-apa jika tidak. Keuntungannya $G$ bernilai $-2$ (peluangnya $\frac46$), $3$ ($\frac16$), $4$ ($\frac16$):

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

[Rata-rata](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-mean) pemainnya rugi $17$ sen tiap permainan: jadi permainannya merugikan (seperti kebanyakan permainan yang nyata).

## 33.2 Percobaan Bernoulli dan distribusi binomial

**Definisi 33.6 (Distribusi Bernoulli).**

Suatu *percobaan Bernoulli* adalah percobaan dengan dua hasil, *berhasil* (peluangnya $p$) dan *gagal* ($q = 1 - p$). Penunjuk $X$ bagi keberhasilan ($X = 1$ jika berhasil, $0$ jika gagal) mengikuti *[distribusi](#def-g12-randvar-rv) Bernoulli* $\mathcal B(p)$:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(Memang $\E(X) = p$, $\E(X^2) = p$, dan König–Huygens memberi $\V(X) = p - p^2$.)

**Definisi 33.7 (Distribusi binomial).**

Ulangilah [percobaan Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) $n$ kali secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep), lalu misalkan $X$ cacah total keberhasilannya. [Distribusi](#def-g12-randvar-rv) $X$ itulah yang disebut *distribusi binomial* $\mathcal B(n, p)$.

![Tiga percobaan Bernoulli: tepat 32 = 3 dari 23 lintasannya memberi dua keberhasilan (merah), masing-masing berpeluang p2(1-p), sehingga (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-9a75f125989a.svg)

*Tiga [percobaan Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli): tepat $\binom{3}{2} = 3$ dari $2^3$ lintasannya memberi dua keberhasilan (merah), masing-masing berpeluang $p^2(1-p)$, sehingga $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**Teorema 33.8.**

Jika $X \sim \mathcal B(n, p)$, maka untuk $0 \leq k \leq n$:

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

dan

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**Bukti.** Suatu [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) hasil tertentu dengan $k$ keberhasilan dan $n-k$ kegagalan berpeluang $p^k(1-p)^{n-k}$ menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep); sedangkan banyaknya [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) semacam itu adalah banyaknya cara menempatkan $k$ keberhasilan di antara $n$ percobaannya, yaitu $\binom nk$ ([Bab 27](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/27-kombinatorika-dan-pencacahan#ch-g12-comb)). Menjumlahkan atas [barisannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) memberi rumusnya — dan teorema binomial menegaskan $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

Untuk harapannya, dengan memakai $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([Latihan 27.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/27-kombinatorika-dan-pencacahan#exo-g12-comb-7)):

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

Rumus [ragamnya](#def-g12-randvar-exp) dibuktikan serupa dengan identitas $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, yang memberi $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$, sehingga $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (Bukti yang lebih berstruktur — yaitu [ragam](#def-g12-randvar-exp) jumlah peubah yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) — datang bersama [Teorema 34.4](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#thm-g12-sums-variance).) ∎

![Distribusi B(20, 0.3): rata-ratanya np = 6, simpangan bakunya √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*[Distribusi](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$: rata-ratanya $np = 6$, [simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**Metode 33.9 (Mengenali keadaan binomial).**

Periksalah ketiga bahannya sebelum menulis $X \sim \mathcal B(n,p)$: yaitu *cacah yang tetap* $n$ bagi percobaannya; *dua hasil* tiap percobaannya dengan peluang berhasil $p$ yang *sama*; serta *[kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep)* percobaannya (pengambilan contoh *dengan* pengembalian, atau dari populasi yang besar). Lalu pakailah

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

untuk “sekurang-kurangnya satu keberhasilan”, dan kalkulator atau tabel kumulatif untuk $\P(X \leq k)$ yang umum.

**Contoh 33.10.**

Berapa kali orang harus melempar dadu agar berpeluang sekurang-kurangnya $99\%$ memperoleh angka enam? Dengan $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ berarti $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, *yaitu* $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: jadi mulai dari $n = 26$ lemparan.

## 33.3 Latihan

**Latihan 33.1 ★.**

Suatu [peubah acak](#def-g12-randvar-rv) $X$ bernilai $-1, 0, 2, 5$ dengan peluang $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. Hitunglah $\E(X)$, $\V(X)$ dan $\sigma(X)$.

**Solusi Latihan 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, sehingga menurut König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ dan $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**Latihan 33.2 ★.**

Sebuah uji pilihan ganda berisi $10$ pertanyaan, masing-masing dengan $4$ pilihan, dan satu di antaranya benar. Seorang murid menjawab secara acak seragam dan [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep). Misalkan $X$ cacah jawaban yang benar.

1. Berikan [distribusi](#def-g12-randvar-rv) $X$ , lalu $\E(X)$ dan $\sigma(X)$ .
2. Hitunglah $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ dan $\P(X \geq 1)$ .

**Solusi Latihan 33.2.**

*1.* Ada $10$ pertanyaan yang merupakan [percobaan Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) dengan $p = \frac14$: jadi $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$, dan $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**Latihan 33.3 ★.**

Sebuah perusahaan asuransi menanggung $n = 400$ nasabah; masing-masing mengajukan klaim selama setahun dengan peluang $p = 0.05$, secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep). Misalkan $X$ cacah klaimnya. Kenalilah [distribusi](#def-g12-randvar-rv) $X$ lalu hitung harapannya dan [simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance).

**Solusi Latihan 33.3.**

Percobaan yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) dan sejenis: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, sehingga $\E(X) = 20$ klaim dan

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**Latihan 33.4 ★★.**

Pada permainan [Contoh 33.5](#ex-g12-randvar-game), penyelenggaranya menginginkan permainan yang adil ($\E(G) = 0$) dengan mengubah harga masuknya $c$. Carilah $c$. Hitunglah [ragam](#def-g12-randvar-exp) keuntungannya bagi versi yang adil ini; apakah “adil” sama dengan “tanpa risiko”?

**Solusi Latihan 33.4.**

Pembayaran $P$ yang diterima memenuhi $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$, sehingga harga yang adil adalah $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euro. Keuntungan yang adil $G = P - \frac{11}6$ bernilai $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ dengan peluang $\frac46, \frac16, \frac16$:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Permainan yang adil berkeuntungan *rata-rata* nol tetapi hasilnya tetap berayun: jadi adil bukanlah tanpa risiko.

**Latihan 33.5 ★★.**

Seorang pemain bola basket mencetak lemparan bebas dengan peluang $0.7$. Ia menembak $8$ kali (tembakan yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep)). Hitunglah peluang bahwa ia mencetak: tepat $6$; sekurang-kurangnya $6$; sekurang-kurangnya satu. Berapakah cacah cetakan yang paling mungkin?

**Solusi Latihan 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. Modusnya: $(n+1)p = 6.3$, sehingga nilai yang paling mungkin adalah $k^* = 6$ ([Latihan 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**Latihan 33.6 ★★.**

Sebuah maskapai penerbangan tahu bahwa tiap penumpang yang memesan datang dengan peluang $0.9$, secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep). Sebuah penerbangan berisi $100$ kursi dan maskapainya menjual $104$ tiket. Nyatakan, dengan memakai [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial), peluang bahwa penumpang yang datang lebih banyak daripada kursinya, lalu batasi secara numeris dengan kalkulator (berikan ungkapan eksaknya).

**Solusi Latihan 33.6.**

Cacah penumpang yang datang adalah $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$; dan penerbangannya kelebihan pesanan ketika $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

Menjual $4\%$ tiket lebih banyak daripada kursinya menimbulkan insiden hanya pada kira-kira $0.6\%$ penerbangannya — itulah ekonomi di balik kelebihan pesanan itu.

**Latihan 33.7 ★★.**

Misalkan $X \sim \mathcal B(n, p)$. Tunjukkan bahwa

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

lalu simpulkan bahwa [distribusinya](#def-g12-randvar-rv) naik sampai $k^* = \floor{(n+1)p}$ dan turun sesudahnya (itulah *modus* [distribusi binomialnya](#def-g12-randvar-binomial)). binomial).

**Solusi Latihan 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

dengan memakai $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. Nisbah ini $\geq 1$ jika dan hanya jika $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$, yaitu $np - k p \geq k - kp + 1 - p$, yaitu $k \leq (n+1)p - 1$. Jadi peluangnya naik secara tegas selama $k + 1 \leq (n+1)p$ lalu turun sesudahnya: [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) tercapai di $k^* = \floor{(n+1)p}$ (dan dibagi dengan $k^* - 1$ ketika $(n+1)p$ [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets)).

**Latihan 33.8 ★★★.**

*(Saint Petersburg yang dijinakkan.)* Sekeping uang logam yang setimbang dilempar sampai gambar muncul, tetapi paling banyak $10$ kali. Misalkan $N$ cacah lemparan yang terpakai, dan pemainnya menerima $2^N$ euro jika gambar muncul, dan $0$ jika tidak.

1. Berikan [distribusi](#def-g12-randvar-rv) $N$ yang dibatasi pada hasil yang menang: $\P(\text{gambar pertama pada lemparan } k) = 2^{-k}$ untuk $1 \leq k \leq 10$ , lalu periksalah peluang total kemenangannya.
2. Hitunglah harapan bayarannya. Akan menjadi berapa tanpa batas $10$ lemparan itu?

**Solusi Latihan 33.8.**

*1.* Gambar pertama pada lemparan $k$ berarti $k-1$ angka lalu gambar, jadi peluangnya $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, untuk $1 \leq k \leq 10$. Peluang menang seluruhnya adalah $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (permainannya kalah hanya pada sepuluh angka berturut-turut).

*2.* Harapan bayarannya:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euro}.
$$

Tanpa batasnya, jumlah $\sum_{k\geq1} 1$ divergen: jadi harapan bayarannya tak berhingga, walaupun permainannya hampir selalu membayar dengan jumlah kecil — itulah *paradoks Saint Petersburg* yang masyhur, yang menunjukkan bahwa harapan saja tidak mengukur nilai sebuah permainan.

## 33.4 Soal: Penerbangan yang kelebihan pesanan

**Soal 33.1.**

Soal akhir pekan — maskapai menjual kursi lebih banyak daripada yang dimilikinya, pabrik menerima lot yang nyaris tak diperiksanya, dan distribusi binomial mewasiti keduanya

Sebuah maskapai berkursi $100$ dengan riang menjual $105$ tiket: kira-kira $10\,\%$ penumpangnya tak pernah datang, dan kursi kosong tak menghasilkan apa-apa. Seberapa jauh maskapainya dapat mendorong sebelum penumpang yang tergusur memakan labanya? [Distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial) ([Teorema 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) menjawabnya sampai ke angka desimalnya — dan mesin yang sama memeriksa lot pabrik, menetapkan harga undian, dan menjaga penanggung asuransi tetap mampu bayar. Keputusan di bawah pengulangan: inilah pekerjaan sehari-hari [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial).

**Bagian I — Kelancaran.**

1. Berikan tabel [distribusi](#def-g12-randvar-rv) lengkap bagi cacah $X$ berisi angka enam pada tiga lemparan dadu.
2. Hitunglah $\E(X)$ dan $V(X)$ ( [Definisi 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. Sebuah kios memungut $1$ euro untuk tiga lemparan dan membayar $2$ euro tiap angka enam yang diperoleh. Hitunglah harapan keuntungannya: adilkah permainannya?
4. Latihan daftar periksa ( [Metode 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): apakah cacah kartu hati pada $5$ kartu yang diambil *tanpa* pengembalian itu binomial? Dan dengan pengembalian? Berilah alasan.
5. Untuk $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : berikan $\E(X)$ dan $\sigma(X)$ , lalu $\E(S)$ dan $\sigma(S)$ bagi skor $S = 5X - 10$ ( [Proposisi 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**Bagian II — Penerbangan yang kelebihan pesanan.** Kursinya: $100$. Tiket yang terjual: $105$. Tiap pemegang tiket datang dengan peluang $0.9$, secara [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep); misalkan $X$ cacah orang yang datang.

6. Modelnya: berilah alasan bagi $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ dengan daftar periksanya — lalu akuilah titik terlemah modelnya (benarkah ketidakhadirannya [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) ? pikirkanlah rombongan dan badai).
7. Hitunglah $\E(X)$ dan $\sigma(X)$ .
8. Penggusuran terjadi ketika $X \geq 101$ : tulislah $\P(X \geq 101)$ sebagai jumlah lima suku binomial yang gamblang.
9. Hitunglah jumlahnya (dengan kalkulator): berapa bagian penerbangannya yang mengalami sekurang-kurangnya satu penumpang tergusur?
10. Uangnya: kelima tiket tambahannya membawa $5 \times 200 = 1\,000$ euro; sedangkan tiap penumpang yang tergusur berbiaya $800$ euro sebagai ganti rugi. Hitunglah harapan cacah penumpang yang tergusur, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , lalu harapan ganti ruginya, dan vonis atas kebijakannya.
11. Perancangannya: pengaturnya menoleransi $\P(\text{penggusuran}) < 5\,\%$ . Dengan menguji $n = 105, 106, 107, \dots$ tiket, carilah $n$ terbesar yang diperbolehkan.
12. Jalan pintas loncengnya: untuk $n = 105$ , hitunglah [skor-z](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#pb-g11-stat-1) bagi ambang penggusurannya, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , lalu bandingkan taksiran kasar “kira-kira $2\sigma$ , jadi kurang lebih $2$ – $3\,\%$ pada ekor atasnya” dengan jawaban eksakmu. (Kurva di balik jalan pintas ini adalah bintang bab berikutnya.)

**Bagian III — Gerbang pabriknya.** Sebuah lot suku cadang diterima jika contoh berisi $20$ buah memuat paling banyak satu suku cadang yang cacat.

13. Jika laju cacat yang sebenarnya adalah $2\,\%$ (lot yang jujur), hitunglah peluang penerimaannya.
14. Jika lajunya $10\,\%$ (lot yang buruk), hitunglah lagi.
15. Sebutkan kedua risiko prosedurnya (lot jujur yang ditolak; lot buruk yang diterima), bacalah nilainya dari pertanyaan 13–14, lalu katakan satu perubahan apa yang memperbaiki keduanya sekaligus — dan dengan biaya apa.
16. Di balik perbaikannya: tunjukkan bahwa *frekuensi* cacat yang teramati, $\frac Xn$ , pada contoh berukuran $n$ mempunyai [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ , lalu simpulkan bagaimana ketelitiannya berskala dengan ukuran contohnya (seorang kawan lama: $\frac{1}{\sqrt n}$ dari kelas 10).

**Bagian IV — Permainan, undian, cadangan.**

17. Permainan Saint Petersburg yang dibatasi pada [Latihan 33.8](#exo-g12-randvar-8) berharapan bayaran $10$ euro. Bandingkanlah dalam satu paragraf dengan paradoks tanpa batas yang dijumpai di [Soal 18.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#pb-g11-prob-1) : apa tepatnya yang dijinakkan batas itu, dan harga berapa yang kini adil?
18. Sebuah undian amal menjual $200$ tiket seharga $2$ euro; hadiahnya: satu keranjang $100$ euro dan dua keranjang $50$ euro. Hitunglah harapan keuntungan satu tiket dan marjin undiannya; lalu bandingkan dengan marjin bandar pada rolet Eropa sebesar $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . Mengapa undian itu lolos begitu saja?
19. Seorang penanggung asuransi memegang $1\,000$ polis yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) : peluang klaimnya $0.01$ masing-masing, besar klaimnya $10\,000$ euro, dan preminya $130$ euro. Hitunglah harapan laba tahunannya *beserta* [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) total klaimnya. Bandingkan kedua bilangan itu: apa yang dipaksakan pembandingan itu untuk dipegang penanggung asuransi yang sungguhan?
20. Penutup — [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial) sebagai wasit keputusan: yaitu daftar periksa pengenalannya; pedoman $\E \pm \sigma$ ; peluang ekor sebagai harga risikonya; serta kedua peringatan yang tetap berlaku ( [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) itu klaim permodelan, dan ekor yang langka, bukan rata-ratanya, yang menyebabkan kebangkrutan). Masing-masing satu kalimat, dengan penunjuk: hukum bilangan besar dan kurva lonceng, pada bab berikutnya, melengkapi buku aturan sang wasit.

**Solusi Soal 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** Harapan bayarannya $2\,\E(X) = 1$ euro terhadap taruhan $1$ euro: jadi keuntungannya $0$ — tepat adil (dan itu langka).

**4.** Tanpa pengembalian pengambilannya bergantungan (sebab peluang kartu kedua bergantung pada kartu pertama): jadi bukan binomial — kotak [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) pada daftar periksanya gagal. Dengan pengembalian: $n = 5$ yang tetap, $p = \frac14$ yang tetap, pengambilan yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep), jadi binomial.

**5.** $\E(X) = 6$, $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx
2.05$. Lalu $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$ dan $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** Ada $n = 105$ percobaan yang tetap (yaitu tiketnya), masing-masing berupa datang atau tidak dengan $p = 0.9$ yang sama, dan dianggap [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep): jadi binomial. Pengakuannya: keluarga ketinggalan pesawat *bersama-sama* dan badai mengosongkan seluruh pesawat — jadi [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) adalah lompatan iman modelnya, dan ketidakhadiran yang berkorelasi membuat ekornya lebih gemuk daripada yang dijanjikan [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial).

**7.** $\E(X) = 94.5$; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} =
\sqrt{9.45} \approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** Nilainya $\approx 0.0167$: jadi kira-kira satu penerbangan dari enam puluh menggusur seseorang.

**10.** $\E(\text{tergusur}) \approx 0.023$ penumpang tiap penerbangan, sehingga harapan ganti ruginya $\approx 19$ euro — terhadap pemasukan tambahan $1\,000$ euro. Kelebihan pesanan sebanyak lima itu menguntungkan luar biasa; karena itulah setiap maskapai melakukannya.

**11.** Dari tabel peluang ekornya: $n = 105$: $1.7\,\%$; $n = 106$: $4.0\,\%$; $n = 107$: $8.1\,\%$. Jadi penjualan terbesar yang taat aturan adalah $n = 106$ tiket.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: jadi ambangnya duduk dua [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) di atas rata-ratanya, dan kaidah kasar kurva lonceng (“ekor atas $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$”) mendarat dekat dengan nilai eksaknya, $1.7\,\%$ — kurva mulus yang membayangi [distribusi binomial](#def-g12-randvar-binomial) itu adalah tokoh utama bab berikutnya.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19}
\approx 0.94$: jadi lot yang jujur lolos $94\,\%$ waktunya.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19}
\approx 0.39$: jadi lot yang buruk masih menyelinap lolos $39\,\%$ waktunya.

**15.** Risiko produsennya: lot yang baik ditolak ($\approx 6\,\%$); risiko konsumennya: lot yang buruk diterima ($\approx 39\,\%$). Contoh yang lebih besar (dengan ambang penerimaan yang sebanding) menyusutkan keduanya — dengan harga pemeriksaan yang lebih banyak: jadi mutu punya garis anggarannya.

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$, jadi [simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Lipatempatkan contohnya, separuhkan deraunya: itulah hukum $\frac{1}{\sqrt n}$ pada selang ayunan kelas 10, yang kini terturunkan.

**17.** Batasnya mengekang bayarannya pada $2^{10} = 1024$ euro, sehingga masing-masing dari sepuluh putarannya menyumbang tepat $1$ euro harapan: $\E = 10$. Harapan tak berhingga pada permainan tanpa batas itu seluruhnya berasal dari bayaran yang luar biasa jarang dan luar biasa besar; membatasinya berarti mengakui bahwa tak ada bank yang membayar $2^{50}$ euro. Harga tiket yang adil bagi permainan berbatas ini: $10$ euro — dan tiba-tiba tak ada lagi yang terparadoks.

**18.** Harapan uang hadiah tiap tiketnya: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro terhadap tiket $2$ euro: jadi marjinnya $50\,\%$ — delapan belas kali marjin rolet yang $2.7\,\%$. Undiannya bertahan sebab pemainnya sadar sedang menyumbang: “kerugiannya” justru itulah maksudnya.

**19.** Harapan klaimnya: $1\,000 \times 0.01 \times
10\,000 = 100\,000$; preminya $130\,000$, jadi harapan labanya $30\,000$ euro. [Simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) total klaimnya: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99}
\approx 31\,500$ euro — jadi satu tahun buruk yang biasa saja melahap seluruh harapan labanya. Karena itulah ada cadangan modal, penanggungan ulang, dan portofolio yang jauh lebih besar daripada seribu polis: penanggung asuransi hidup dari hukum bilangan besar dan memegang cadangan terhadap kelambatannya.

**20.** Daftar periksa dahulu — $n$ yang tetap, $p$ yang sama, [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) yang *diklaim* — atau tidak ada binomial sama sekali. Lalu berlayarlah dengan $\E \pm \sigma$: rata-ratanya menempatkan, simpangannya memperingatkan. Lalu hargailah ekornya: penggusuran, lot yang buruk, dan tahun yang membangkrutkan semuanya hidup di luar $2\sigma$. Peringatannya: [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) itu janji sang pemodel, bukan janji dunia; dan harapan justru mengabaikan hal yang menghancurkanmu. Halaman yang hilang dari buku aturannya — seberapa cepat frekuensinya mengendap, dan bentuk apa yang diambil ayunannya — adalah kedua bab berikutnya.