---
title: "Jumlah Peubah Acak dan Hukum Bilangan Besar"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar
---

# Bab 34 — Jumlah Peubah Acak dan Hukum Bilangan Besar

Mengapa kasino selalu menang pada akhirnya, dan mengapa jajak pendapat berhasil? Sebab rata-rata banyak besaran acak yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) semakin sedikit berayun. Bab ini membuktikannya: kelinearan harapan, keaditifan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) bagi peubah yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep), ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev, dan hukum bilangan besar.

## 34.1 Jumlah peubah acak

Diberikan dua [peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ pada [ruang sampel](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) berhingga yang sama, $\Omega$, jumlah $X + Y$ adalah [peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$.

**Teorema 34.1 (Kelinearan harapan).**

Untuk semua [peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ pada $\Omega$ dan $a, b \in \R$:

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*Tak ada anggapan [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) yang diperlukan.*

**Bukti.** Tulislah harapannya sebagai jumlah atas hasilnya: karena $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, mengelompokkan sukunya memberi $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$. Maka

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**Definisi 34.2 (Peubah acak yang saling bebas).**

Peubah $X$ dan $Y$ disebut *saling bebas* jika untuk semua nilai $x, y$:

$$
\P(X = x \text{ dan } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

Beberapa peubah $X_1, \dots, X_n$ disebut saling bebas jika kaidah hasil kali ini berlaku bagi setiap pilihan nilai dari setiap subkeluarganya.

**Proposisi 34.3.**

Jika $X$ dan $Y$ [saling bebas](#def-g12-sums-indep), maka $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$.

**Bukti.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ dan } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**Teorema 34.4 (Ragam sebuah jumlah).**

Jika $X$ dan $Y$ *[saling bebas](#def-g12-sums-indep)*, maka

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

Secara lebih umum, untuk $X_1, \dots, X_n$ yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep): $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$.

**Bukti.** Dengan memakai König–Huygens ([Proposisi 33.3](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#prop-g12-randvar-konig)) dan kelinearannya:

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

dan kurung terakhirnya lenyap bagi peubah yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) ([Proposisi 34.3](#prop-g12-sums-prodexp)). Kasus umumnya menyusul lewat induksi. ∎

**Contoh 34.5 (Binomial ditinjau ulang).**

Peubah binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ adalah jumlah $X = X_1 + \dots + X_n$ berisi $n$ peubah Bernoulli yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep). Karena itu, secara berstruktur:

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

sehingga [Teorema 33.8](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#thm-g12-randvar-binomial) diperoleh kembali tanpa perhitungan apa pun.

**Proposisi 34.6 (Rata-rata contoh).**

Misalkan $X_1, \dots, X_n$ [saling bebas](#def-g12-sums-indep) dan berdistribusi sama dengan $X$ (harapannya $\mu$, [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), lalu misalkan $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ adalah *rata-rata contohnya*. Maka

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**Bukti.** Kelinearannya memberi $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$; [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) memberi $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, dan pembagian dengan $n$ menskalakan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) dengan $\frac{1}{n^2}$ ([Proposisi 33.4](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#prop-g12-randvar-affine)). ∎

Bilangan $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ itulah *hukum akar kuadrat* yang mendasar: untuk menyeparuhkan ayunan sebuah rata-rata, lipatempatkanlah ukuran contohnya.

![Hukum akar kuadrat: tiap kali ukuran contohnya dilipatempatkan, simpangan baku rata-ratanya hanya terpotong separuh.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*Hukum akar kuadrat: tiap kali ukuran contohnya dilipatempatkan, [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) rata-ratanya hanya terpotong separuh.*

## 34.2 Ketaksamaan pemusatan

**Teorema 34.7 (Ketaksamaan Markov).**

Jika $X \geq 0$ dan $a > 0$:

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**Bukti.** Pada $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (semua sukunya tak negatif), pertahankan hanya suku dengan $x_i \geq a$: masing-masing sekurang-kurangnya $a\,p_i$, sehingga $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$. ∎

**Teorema 34.8 (Ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev).**

Untuk sebarang [peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $X$ dan sebarang $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**Bukti.** Terapkanlah ketaksamaan Markov pada peubah tak negatif $Y = (X - \E(X))^2$ dengan $a = \varepsilon^2$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![Pemusatannya: Bienaymé–Chebyshev membatasi peluang bahwa X jatuh pada ekornya (merah), pada jarak sekurang-kurangnya dari harapannya, oleh (X)/ 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*Pemusatannya: Bienaymé–Chebyshev membatasi peluang bahwa $X$ jatuh pada ekornya (merah), pada jarak sekurang-kurangnya $\varepsilon$ dari harapannya, oleh $\V(X)/\varepsilon^2$.*

**Teorema 34.9 (Hukum bilangan besar).**

Misalkan $X_1, \dots, X_n$ [saling bebas](#def-g12-sums-indep) dan berdistribusi sama (harapannya $\mu$, [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), dan $M_n$ [rata-rata contohnya](#prop-g12-sums-mean). Untuk setiap $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

[Rata-rata contohnya](#prop-g12-sums-mean) memusat di sekeliling harapannya.

**Bukti.** Bienaymé–Chebyshev yang diterapkan pada $M_n$, yang harapannya $\mu$ dan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{\sigma^2}{n}$ ([Proposisi 34.6](#prop-g12-sums-mean)). ∎

**Catatan 34.10.**

Teorema ini adalah jembatan antara teori peluang dan statistika: *frekuensi* sebuah [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) pada banyak ulangan yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) mendekati *peluangnya* (ambillah $X_i$ sebagai penunjuk [kejadiannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model), sehingga $\mu = p$). Teorema itu membenarkan penaksiran peluang lewat simulasi (*metode Monte Carlo*) dan penaksiran proporsi populasi lewat jajak pendapat — secara kuantitatif: lihat [Bab 35](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/35-peubah-acak-sinambung#ch-g12-contdist).

**Metode 34.11 (Memakai Bienaymé–Chebyshev).**

Untuk menjamin $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$, cukuplah $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$. Batasnya kasar (ayunan yang sesungguhnya biasanya jauh lebih kecil) tetapi berlaku umum sepenuhnya: batas itu tak menuntut apa pun tentang [distribusinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) selain [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) yang berhingga.

## 34.3 Latihan

**Latihan 34.1 ★.**

Dua dadu setimbang dilempar; misalkan $S$ jumlahnya. Dengan memakai kelinearannya (bukan [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $S$!), hitunglah $\E(S)$; lalu hitung $\V(S)$ dengan memakai [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep), jika diketahui bahwa satu dadu setimbang beragam $\frac{35}{12}$.

**Solusi Latihan 34.1.**

Tiap dadu berharapan $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$, sehingga menurut kelinearannya $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$. Dadunya [saling bebas](#def-g12-sums-indep), sehingga $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$.

**Latihan 34.2 ★.**

Misalkan $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$. Batasilah $\P(X \geq 75)$ dengan ketaksamaan Markov, lalu $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ dengan Bienaymé–Chebyshev. Bandingkan.

**Solusi Latihan 34.2.**

$\E(X) = 50$ dan $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$.

Markov (karena $X \geq 0$): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$.

Bienaymé–Chebyshev memberi $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — dan itu bahkan membatasi [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) *dua sisinya*, yang $X \geq 75$ hanya separuhnya. Chebyshev jauh lebih tajam di sini sebab ia memanfaatkan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp), bukan hanya rata-ratanya. (Nilai sebenarnya $\P(X \geq 75)$ lebih kecil daripada $10^{-6}$: jadi kedua batasnya kasar.)

**Latihan 34.3 ★.**

Sekeping uang logam yang setimbang dilempar $n$ kali dan $F_n$ menyatakan frekuensi gambarnya. Seberapa besar $n$ harus dibuat agar, menurut batas Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$?

**Solusi Latihan 34.3.**

$F_n$ adalah [rata-rata contoh](#prop-g12-sums-mean) $n$ peubah Bernoulli$\left(\frac12\right)$, yang beragam $\sigma^2 = \frac14$. Batasnya

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

bernilai $\leq 0.05$ segera setelah $n \geq 2000$.

**Latihan 34.4 ★★.**

Seorang pemodal membelah modalnya sama rata di antara $n$ aset yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep), masing-masing berharapan imbal hasil $\mu = 5\%$ dan bersimpangan baku $\sigma = 20\%$. Hitunglah harapan dan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) imbal hasil portofolionya $M_n$, lalu banyaknya aset yang diperlukan untuk membawa [simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) di bawah $4\%$. Asas keuangan apa yang digambarkan hal ini?

**Solusi Latihan 34.4.**

Menurut [Proposisi 34.6](#prop-g12-sums-mean), $\E(M_n) = 5\%$ (penganekaragaman tidak mengubah harapan imbal hasilnya) dan $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$. Menuntut $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ memberi $\sqrt n > 5$, *yaitu* $n \geq 26$. Inilah asas *penganekaragaman*: menyebarkan modal atas risiko yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) [membagi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/29-aritmetika#def-g12-arith-divides) risikonya ([simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance)) dengan $\sqrt n$ tanpa mengurangi harapan imbal hasilnya.

**Latihan 34.5 ★★.**

Misalkan $X$ dan $Y$ [saling bebas](#def-g12-sums-indep), dan keduanya seragam pada $\{1, 2, 3\}$.

1. Berikan [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $S = X + Y$ lalu hitunglah $\E(S)$ , $\V(S)$ langsung darinya.
2. Perolehlah kembali kedua nilainya lewat kelinearan dan keaditifan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) .

**Solusi Latihan 34.5.**

*1.* Dengan mencacah $9$ pasangan yang sama mungkin: $S$ bernilai $2, 3, 4, 5, 6$ dengan peluang $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$. Karena itu $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ dan $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, sehingga $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$.

*2.* Untuk satu peubah: $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$, $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$. Maka $\E(S) = 2 + 2 = 4$ dan, menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep), $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$. Nilainya sama.

**Latihan 34.6 ★★.**

Tunjukkan bahwa keaditifan [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) dapat gagal tanpa [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep): hitunglah $\V(X + Y)$ untuk $Y = X$, lalu bandingkan dengan $\V(X) + \V(Y)$. Untuk peubah $X$ yang mana berlaku $\V(2X) = 2\V(X)$?

**Solusi Latihan 34.6.**

Dengan $Y = X$: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, sedangkan $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$. Keduanya sepakat hanya ketika $\V(X) = 0$, *yaitu* ketika $X$ bernilai tetap — jadi keaditifannya sungguh menuntut [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) (di sini $X$ bergantung secara maksimal pada dirinya sendiri).

**Latihan 34.7 ★★.**

Sebuah dadu dicurigai berat sebelah. Dadu itu dilempar $1200$ kali dan menunjukkan angka enam $260$ kali ($f = 0.2167$ alih-alih $\frac16 \approx 0.1667$). Di bawah hipotesis bahwa dadunya setimbang, batasilah $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ dengan Bienaymé–Chebyshev, lalu bahaslah apakah hipotesis kesetimbangannya masuk akal.

**Solusi Latihan 34.7.**

Di bawah kesetimbangannya, $F_n$ adalah rata-rata $n = 1200$ peubah Bernoulli dengan $p = \frac16$, $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$:

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

Simpangan yang teramati tepat $0.05$: yaitu [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) yang dihasilkan dadu setimbang dengan peluang paling banyak $4.6\%$ — dan karena Chebyshev sangat berhati-hati, peluang sebenarnya jauh lebih kecil. Jadi hipotesis kesetimbangannya tidak masuk akal; dadunya besar kemungkinan berat sebelah.

**Latihan 34.8 ★★★.**

*(Ketaksamaan yang lebih baik bagi uang logamnya.)* Misalkan $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ dan $F_n = \frac Xn$.

1. Tunjukkan bahwa $p(1-p) \leq \frac14$ untuk $p \in \intcc{0}{1}$ .
2. Simpulkan batas yang bebas [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) , $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
3. Berapa banyak orang yang harus dijajaki agar frekuensi yang teramati berada dalam jarak $3$ angka dari proporsi yang sebenarnya dengan peluang sekurang-kurangnya $95\%$ , menurut batas ini? (Jajak pendapat yang sungguhan memakai taksiran yang lebih tajam, tetapi orde besarnya sudah tepat.)

**Solusi Latihan 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$.

*2.* Peubah $F_n$ berharapan $p$ dan beragam $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$; lalu Bienaymé–Chebyshev memberi

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

yang berlaku berapa pun $p$ yang tak diketahui itu.

*3.* Dengan $\varepsilon = 0.03$ dan taraf $0.05$:

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

Jadi kira-kira $5600$ orang sudah cukup menurut batas yang kasar ini (sedangkan jawaban klasik lewat [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) normal lebih dekat ke $1100$, lihat [Bab 35](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/35-peubah-acak-sinambung#ch-g12-contdist)).

## 34.4 Soal: Bandar selalu menang

**Soal 34.1.**

Soal akhir pekan — hukum bilangan besar menjelaskan kasino, jajak pendapat dan asuransi, lalu meruntuhkan sesat pikir penjudi di sepanjang jalannya

Seorang pemain rolet sesudah $100$ putaran, hampir sesering tidak, sedang *unggul*. Kasino yang menjalankan sejuta putaran unggul dengan kepastian yang takkan dipersoalkan pengadilan mana pun. Permainan yang sama, keunggulan mungil yang sama — [bedanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) adalah $\sqrt n$, dan itulah pokok bab ini ([Proposisi 34.6](#prop-g12-sums-mean), [Teorema 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln)). Soal ini menjalankan pembukuan kasinonya, mengukur jajak pendapat pemilu, menetapkan harga penganekaragaman — lalu membongkar sesat pikir termahal dalam sejarah perjudian.

**Bagian I — Kelancaran.**

1. Dua dadu yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) : hitunglah $V(X + Y)$ ( [Teorema 34.4](#thm-g12-sums-variance) ).
2. Lemparlah $100$ dadu yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) lalu rata-ratakan hasilnya: berikan harapan dan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) [rata-rata contohnya](#prop-g12-sums-mean) ( [Proposisi 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; untuk satu dadu, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
3. Sebuah [peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) tak negatif berharapan $2$ . Apa yang dikatakan ketaksamaan Markov ( [Teorema 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) tentang $\P(X \geq 10)$ ?
4. Batasilah $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq  0.5\right)$ bagi rata-rata dadu pada pertanyaan 2 dengan Bienaymé–Chebyshev.
5. Harapan selalu menjumlah, sedangkan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) hanya menjumlah di bawah [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) : tunjukkanlah $X, Y$ yang bergantungan (petunjuk: $Y = -X$ ) yang membuat $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

**Bagian II — Pembukuan sang bandar.** Rolet Eropa, bertaruh $1$ euro pada merah: menang $+1$ dengan peluang $\frac{18}{37}$, kalah $-1$ dengan peluang $\frac{19}{37}$.

6. Hitunglah harapan dan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) keuntungan satu taruhan.
7. Seorang penjudi memasang $100$ taruhan yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) ; misalkan $G$ keuntungan totalnya. Hitunglah $\E(G)$ dan $\sigma(G)$ , lalu nisbah $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . Apa arti hanyutan seperempat [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) bagi peluang penjudinya untuk unggul malam itu?
8. Kasinonya melihat $1\,000\,000$ taruhan. Hitunglah harapan dan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) pendapatan totalnya, lalu nisbah yang sama. Tafsirkan bilangan $27$ itu.
9. Sahkanlah dengan Chebyshev: batasilah peluang bahwa kasinonya *rugi* uang sepanjang sejuta taruhan itu.
10. Sistem bertaruh: melipatduakan sesudah kalah, berhenti ketika unggul … Dengan memakai kelinearan harapan ( [Teorema 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) atas [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) taruhannya (yang mungkin acak), jelaskan mengapa *setiap* siasat pada permainan berkeunggulan negatif berharapan keuntungan negatif — apa yang akan dilanggar oleh sistem yang menang?
11. Nyatakan apa yang dijanjikan hukum bilangan besar ( [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) tentang frekuensi merahnya — dan apa yang *tidak* dijanjikannya tentang putaran berikutnya sesudah sepuluh merah berturut-turut. Sebutkan sesat pikirnya.
12. Butir yang paling halus: hukumnya bekerja lewat *pengenceran* , bukan lewat penggantian. Jika merahnya berjalan $100$ di atas harapannya sesudah suatu malam, kelebihan itu tak pernah “dibayar kembali” — hitunglah apa yang justru terjadi pada *pecahan* $\frac{100}{n}$ ketika $n = 10^6$ , lalu tulislah ulang kekeliruan sesat pikir penjudi itu dalam satu kalimat.

**Bagian III — Jajak pendapat.**

13. Dari [Latihan 34.8](#exo-g12-sums-8) : berapa banyak orang yang harus dijajaki agar frekuensi yang teramati jatuh dalam jarak $3$ angka dari kebenarannya dengan peluang sekurang-kurangnya $95\,\%$ , menurut batas Chebyshev yang bebas [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) itu?
14. Lembaga jajak pendapat yang sungguhan memakai kira-kira $1\,100$ orang untuk marjin $\pm 3$ angka pada $95\,\%$ : rumusnya adalah $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}  {\varepsilon^2}$ dengan $p(1-p) \leq \frac14$ . Hitunglah nilainya, lalu jelaskan jurangnya dengan pertanyaan 13 (apa yang tidak diketahui Chebyshev tentang bentuk ayunannya?).
15. Untuk menyeparuhkan marjin galatnya, bagaimana contohnya harus bertambah? Dari $\pm 3$ angka pada $1\,100$ , contoh berapa yang memberi $\pm 1.5$ angka?
16. Klasik yang berlawanan dengan naluri: ukuran contoh yang diperlukan tak pernah memakai ukuran populasinya — $1\,100$ orang cukup bagi sebuah kota maupun sebuah benua. Tunjuklah tempat di dalam modelnya yang di sana ukuran populasinya tak hadir, lalu berikan perumpamaan dapur yang dipakai para penjajak pendapat.

**Bagian IV — Penganekaragaman.**

17. Penanggung asuransi pada [Soal 33.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#pb-g12-randvar-1) memperoleh $30n$ euro sebagai harapan atas $n$ polis dengan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) klaim kira-kira $315\sqrt n$ . Untuk $n$ yang mana harapan labanya akhirnya melampaui satu [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) klaimnya? Apa yang sedang dikerjakan $\sqrt n$ bagi penanggung asuransinya?
18. Imbal hasil tahunan satu saham berayun dengan $\sigma = 20\,\%$ . Belahlah uangnya sama rata atas $25$ saham semacam itu yang *[saling bebas](#def-g12-sums-indep)* : hitunglah $\sigma$ portofolionya. Keuangan menyebut penganekaragaman satu-satunya makan siang gratis — apa tepatnya makan siang itu?
19. Sekarang biarkan $25$ sahamnya berkorelasi sempurna (semuanya bergerak bersama): berapa $\sigma$ portofolionya? Bandingkan kedua ujungnya lalu nyatakan anggapan mana yang diam-diam disewa setiap alasan penganekaragaman — dan apa yang terjadi ketika anggapan itu gagal di seluruh sistem pada tahun 2008.
20. Penutup — simfoni $\sqrt n$ : jumlahnya berayun seperti $\sqrt n$ sementara rata-ratanya mengendap seperti $\frac{1}{\sqrt n}$ ; mainkanlah temanya lewat keempat industri pada soal ini (kasino, jajak pendapat, asuransi, portofolio), sebutkan kedua penyalahguna yang tetap ada (sesat pikir penjudi dan [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) yang palsu), lalu berikan penunjuk ke depan: *bentuk* ayunannya — yaitu loncengnya — adalah bintang sinambung bab berikutnya, dan teorema lengkapnya memahkotai jilid universitas.

**Solusi Soal 34.1.**

**1.** $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} +
\frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (menurut [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep)).

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$: jadi rata-rata dari seratus dadu itu memeluk $3.5$ dalam jarak seperlima angka.

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$.

**4.** $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} =
\frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$: jadi paling banyak kira-kira $12\,\%$.

**5.** Dengan $Y = -X$: $V(X + Y) = V(0) = 0$, sedangkan $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$: jadi peubah yang berkorelasi lawan secara sempurna saling meniadakan — penjumlahan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) adalah hak istimewa [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep).

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} =
-\frac{1}{37} \approx -0.027$; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx
1.00$.

**7.** $\E(G) = -2.70$, $\sigma(G) = 10 \times 1.00 =
10$: jadi hanyutannya hanya $0.27\sigma$. Derau semalam menenggelamkan keunggulannya — sebagian besar minoritas penjudinya (kira-kira $40\,\%$, kata loncengnya) pulang dengan unggul, dan justru itulah yang membuat mereka datang kembali.

**8.** Pendapatan kasinonya: harapannya $+27\,027$ euro, [simpangan bakunya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) $\approx 1\,000$: jadi labanya duduk $27$ [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) di atas nol. Pada $27\sigma$, “kasinonya mungkin rugi tahun ini” bukanlah risiko, melainkan galat pembulatan yang kecil.

**9.** $\P(\text{rugi}) = \P(G \geq 27\,027$ bagi penjudinya$)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx
0.0014$: jadi bahkan ketaksamaan paling tumpul di buku ini menjamin bandarnya pada $99.86\,\%$ — dan kenyataannya jauh lebih kuat lagi.

**10.** Tiap euro yang dipertaruhkan, kapan pun dan bagaimanapun dipilih, berharapan imbal hasil $-\frac{1}{37}$ dari dirinya sendiri; jadi menurut kelinearannya harapan keuntungan totalnya adalah $-\frac{1}{37} \times
(\text{total yang dipertaruhkan})$, yang negatif bagi setiap siasat yang mempertaruhkan apa pun. Sistem yang menang akan melanggar kelinearan harapan — tak ada penyusunan cerdik atas taruhan buruk yang menjadikannya taruhan baik. (Sistem pelipatduaan hanya menukar banyak kemenangan kecil dengan kekalahan bencana yang jarang.)

**11.** Teoremanya: *frekuensi* merah atas $n$ putaran [konvergen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-limit) (dalam peluang) ke $\frac{18}{37}$. Teorema itu tidak mengatakan apa-apa tentang putaran $n + 1$: rodanya tak punya ingatan, dan sesudah sepuluh merah peluang merahnya tetap $\frac{18}{37}$. Memercayai sebaliknya adalah *sesat pikir penjudi*, dan pertanyaan 12 menunjukkan apa yang sebenarnya terjadi pada deretannya.

**12.** Kelebihan $100$ merah itu tidak dibayar kembali — putaran berikutnya adalah salinan yang adil, dan harapan kelebihannya tetap $100$. Tetapi $\frac{100}{10^6} = 0.0001$: yaitu seperseratus angka. Kekeliruan sesat pikirnya dalam satu kalimat: *hukum bilangan besar mengencerkan kecelakaan masa lalu di dalam samudra percobaan baru; hukum itu tak pernah mengirim rodanya untuk menagih utang.*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2}
\approx 5\,556$ orang.

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx
1\,067$: jadi lima kali lebih sedikit. Chebyshev berlaku bagi *setiap* [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) dan membayar keumumannya dengan kelonggaran; sedangkan tetapan $1.96$ milik penjajak pendapat berasal dari bentuk lonceng yang sebenarnya pada ayunannya, yang memusat jauh lebih keras.

**15.** Marjinnya $\propto \frac{1}{\sqrt n}$, jadi menyeparuhkannya melipatempatkan contohnya — kira-kira $4\,400$ orang untuk $\pm 1.5$ angka. Ketelitian dibeli dengan harga kuadrat.

**16.** Modelnya adalah $n$ pengambilan yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep) dengan peluang berhasil $p$ — dan ukuran populasinya $N$ tak pernah muncul (sebab mengambil contoh sebagian mungil dari populasi besar yang teraduk rata justru itulah yang disandikan [kebebasannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep)). Perumpamaan para penjajaknya: untuk mencicipi supnya, satu sendok yang teraduk rata sudah cukup — entah pancinya melayani sepuluh atau sepuluh ribu orang. Kuncinya ada pada pengadukannya — kerangka pengambilan contoh yang bias, seperti pada jajak pendapat di jilid sekolah menengah pertama yang menipu satu negara — bukan pada pancinya.

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff
n > 110$: jadi di atas seratus polis hanyutannya mengalahkan deraunya, dan tiap polis tambahan melebarkan jurangnya menurut hukum $\sqrt n$ — pengumpulan risiko *adalah* model bisnisnya.

**18.** Bagian yang sama dan [saling bebas](#def-g12-sums-indep): $\sigma_{\text{pf}} =
\frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$: jadi harapan imbal hasilnya sama, tetapi ayunannya seperlima. Makan siangnya: pengurangan risiko tanpa biaya apa pun pada harapannya — yaitu perata-rataan keacakan yang [saling bebas](#def-g12-sums-indep).

**19.** Jika berkorelasi sempurna: portofolionya menjadi satu saham dalam $25$ kostum, jadi $\sigma = 20\,\%$, tanpa pengurangan sama sekali. Penganekaragaman menyewa *[kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep)*; dan ketika sebuah krisis mengorelasikan segalanya (tahun 2008: semua taruhan perumahan menjadi satu taruhan), perlindungan $\sqrt n$ menguap justru ketika ia diperlukan.

**20.** Jumlahnya menghanyut seperti $n$ dan berayun seperti $\sqrt n$, sehingga rata-ratanya mengendap seperti $\frac{1}{\sqrt n}$: maka kasinonya menabung hanyutannya atas sejuta putaran; penjajak pendapatnya membeli $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ derau dengan anggaran telepon; penanggung asuransinya melampaui klaimnya sendiri pada $n > 110$; dan sang pemodal [membagi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/29-aritmetika#def-g12-arith-divides) risikonya dengan $\sqrt{25}$. Penyalahgunanya: penjudi yang percaya pada utang (padahal hanya ada pengenceran), dan pemodal yang percaya pada [kebebasan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#def-g12-condprob-indep) (padahal kadang hanya ada satu taruhan). Bentuk semesta ayunannya — yaitu loncengnya — adalah bintang bab sinambungnya, dan teoremanya, yaitu teorema limit pusat, adalah puncak peluang di jilid universitas.