---
title: "Peubah Acak Sinambung"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 35
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/35-peubah-acak-sinambung
---

# Bab 35 — Peubah Acak Sinambung

Waktu tunggu, pengukuran fisika, proporsi: banyak besaran acak bernilai pada suatu kontinum, dan tak ada satu nilai pun yang berpeluang positif. Peluangnya lalu dihitung dengan mengintegralkan sebuah *[kerapatan](#def-g12-contdist-density)*. Bab ini mengkaji [distribusi seragam](#def-g12-contdist-uniform), eksponen dan normal, lalu memakai [distribusi normalnya](#def-g12-contdist-normal) untuk mengukur ayunan jajak pendapat dan contoh.

## 35.1 Kerapatan peluang

**Definisi 35.1 (Kerapatan, peubah acak sinambung).**

Suatu *kerapatan peluang* pada selang $I$ adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) dan tak negatif pada $I$ dengan $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (dan [integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) atas $I$ yang tak terbatas dipahami sebagai limit [integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) atas selang terbatas yang membesar). [Peubah acak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) $X$ berkerapatan $f$ jika untuk semua $a \leq b$ di $I$:

$$
\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .
$$

Peluangnya adalah *luas di bawah kurva [kerapatannya](#def-g12-contdist-density)*. Khususnya $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ untuk setiap nilai tunggal $a$: jadi hanya selang yang memikul peluang, dan $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$.

**Definisi 35.2 (Nilai harapan dan ragam).**

Untuk $X$ yang berkerapatan $f$ pada $I$:

$$
\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad
\V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t
= \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

Kaidah pada Bab 14–15 (kelinearan harapan, keaditifan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) bagi peubah yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep), Bienaymé–Chebyshev) tetap berlaku; buktinya, dengan [integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) menggantikan jumlah, diterima saja pada tingkat ini.

## 35.2 Distribusi seragam

**Definisi 35.3 (Distribusi seragam).**

Peubah $X$ mengikuti *distribusi seragam* $\mathcal U\intcc ab$ jika [kerapatannya](#def-g12-contdist-density) tetap, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ pada $\intcc{a}{b}$. Maka untuk $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$, $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$: yaitu peluang yang sebanding dengan panjangnya.

**Proposisi 35.4.**

Jika $X \sim \mathcal U\intcc ab$, maka $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ dan $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$.

**Bukti.** $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t
= \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$. Untuk [ragamnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp), $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$, dan

$$
\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}
= \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12}
= \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere
$$

∎

## 35.3 Distribusi eksponen

**Definisi 35.5 (Distribusi eksponen).**

Untuk $\lambda > 0$, peubah $X$ mengikuti *distribusi eksponen* $\mathcal E(\lambda)$ jika [kerapatannya](#def-g12-contdist-density) pada $\intco{0}{+\infty}$ adalah

$$
f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.
$$

Maka $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ dan $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ untuk $x \geq 0$.

**Proposisi 35.6.**

Jika $X \sim \mathcal E(\lambda)$: $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ dan $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

**Bukti.** Dengan [pengintegralan parsial](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#thm-g12-integ-ibp) pada $\intcc{0}{A}$:

$$
\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t
= \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t
= -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda}
\xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,
$$

dengan memakai $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ ([Teorema 23.4](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#thm-g12-exp-growth)). [Pengintegralan parsial](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#thm-g12-integ-ibp) yang kedua memberi $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$, sehingga $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$. ∎

**Teorema 35.7 (Ketiadaan ingatan).**

Jika $X \sim \mathcal E(\lambda)$, maka untuk semua $s, t \geq 0$:

$$
\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .
$$

[Distribusi eksponen](#def-g12-contdist-expo) adalah hukum masa hidup *tanpa penuaan* (inti radioaktif, bukan bola lampu).

**Bukti.**

$$
\pcond{X > s}{X > s+t}
= \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)}
= \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t}
= \P(X > t). \qedhere
$$

∎

![Kerapatan eksponennya - x (di sini = 1): luas ekornya di seberang t (merah) adalah - t, dan ketiadaan ingatannya menyatakan bahwa tiap ekornya tampak seperti seluruh distribusinya yang diskala ulang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-60c0c3684efd.svg)

*[Kerapatan](#def-g12-contdist-density) eksponennya $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (di sini $\lambda = 1$): luas ekornya di seberang $t$ (merah) adalah $\eu^{-\lambda t}$, dan ketiadaan ingatannya menyatakan bahwa tiap ekornya tampak seperti seluruh [distribusinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) yang diskala ulang.*

## 35.4 Distribusi normal

**Definisi 35.8 (Distribusi normal).**

Peubah $X$ mengikuti *distribusi normal baku* $\mathcal N(0, 1)$ jika [kerapatannya](#def-g12-contdist-density) pada $\R$ adalah

$$
\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}
$$

(itulah kurva loncengnya). Secara lebih umum, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ jika $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim
\mathcal N(0,1)$; lalu $\E(X) = \mu$ dan $\V(X) = \sigma^2$.

![Kerapatan normalnya: kira-kira 68.3\% massanya terletak dalam jarak dari rata-ratanya, 95.4\% dalam 2, dan 99.7\% dalam 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-4494c7446eb1.svg)

*[Kerapatan](#def-g12-contdist-density) normalnya: kira-kira $68.3\%$ massanya terletak dalam jarak $\sigma$ dari rata-ratanya, $95.4\%$ dalam $2\sigma$, dan $99.7\%$ dalam $3\sigma$.*

**Catatan 35.9.**

Faktor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ membuat luas totalnya $1$ — sebuah perhitungan yang masyhur (*[integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) Gauss*) yang dikerjakan di universitas. Tak ada rumus dasar bagi $\int \varphi$: peluang normalnya dibaca dari tabel atau kalkulator.

**Teorema 35.10 (De Moivre–Laplace, diterima saja).**

Misalkan $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ dan $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (yaitu binomial yang dibakukan). Maka untuk semua $a \leq b$,

$$
\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{}
\int_a^b \varphi(t)\,\dd t .
$$

*Hasil ini diterima saja pada tingkat ini.* Hasil itu menjelaskan kemunculan kurva lonceng di mana-mana: binomial dengan $n$ yang besar [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) normal — dan (menurut teorema limit pusat, di universitas) begitu pula setiap jumlah banyak pengaruh kecil yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep).

**Metode 35.11 (Selang ayunan pada 95%95\%95%).**

Karena peubah normal jatuh dalam jarak $1.96$ [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) dari rata-ratanya dengan peluang $0.95$, maka untuk $n$ yang besar frekuensi $F_n = \frac{X_n}{n}$ dari contoh $\mathcal B(n,p)$ memenuhi

$$
\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq
p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .
$$

- *Selang ayunan* (untuk menguji): jika suatu $p$ yang diklaim menempatkan frekuensi yang teramati di luar selang ini, tolaklah klaimnya pada taraf $5\%$ .
- *[Selang kepercayaan](#met-g12-contdist-fluctuation)* (untuk menaksir): selang yang disederhanakan, $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ , memuat $p$ dengan peluang sekurang-kurangnya $0.95$ (dengan memakai $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , lihat [Latihan 34.8](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#exo-g12-sums-8) ).

**Contoh 35.12.**

Sebuah jajak pendapat atas $n = 1000$ pemilih memberi seorang calon $52\%$. [Selang kepercayaannya](#met-g12-contdist-fluctuation) $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ masih memuat $50\%$: jadi jajak pendapatnya sendirian tidak membuktikan bahwa calonnya unggul.

## 35.5 Latihan

**Latihan 35.1 ★.**

Sebuah bus lewat tiap $15$ menit; seorang pelancong tiba pada saat yang acak seragam. Misalkan $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ waktu tunggunya. Hitunglah $\P(X \leq 5)$, $\P(4 \leq X \leq 10)$, $\E(X)$ dan $\sigma(X)$.

**Solusi Latihan 35.1.**

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ menit; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ menit.

**Latihan 35.2 ★.**

Periksalah bahwa $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ adalah [kerapatan](#def-g12-contdist-density) pada $\intcc{0}{2}$, lalu hitunglah $\E(X)$ dan $\P(X \geq 1)$ bagi peubah $X$ yang berkerapatan ini.

**Solusi Latihan 35.2.**

Jelas $f \geq 0$ dan $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2
= \frac38 \times \frac83 = 1$: jadi sebuah [kerapatan](#def-g12-contdist-density).

$$
\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32,
\qquad
\P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .
$$

**Latihan 35.3 ★.**

Masa hidup (dalam tahun) sebuah komponen elektronik mengikuti $\mathcal E(0.2)$.

1. Hitunglah harapan masa hidupnya dan $\P(X > 5)$ .
2. Komponen itu sudah bekerja $3$ tahun. Berapa peluang komponen itu bekerja sekurang-kurangnya $5$ tahun lagi?

**Solusi Latihan 35.3.**

*1.* $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ tahun; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$.

*2.* Menurut ketiadaan ingatannya ([Teorema 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless)), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$: jadi ketiga tahun pemakaiannya tidak mengubah apa pun.

**Latihan 35.4 ★★.**

Waktu paruh sebuah atom radioaktif yang masa hidupnya mengikuti $\mathcal E(\lambda)$ adalah [mediannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-median) $m$: $\P(X > m) = \frac12$. Nyatakan $m$ sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $\lambda$ lalu bandingkan dengan harapannya. Mana yang lebih besar, dan mengapa itu masuk akal bagi [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-rv) yang miring?

**Solusi Latihan 35.4.**

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ memberi $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$, yang lebih kecil daripada $\E(X) = \frac1\lambda$. [Kerapatan](#def-g12-contdist-density) eksponennya berekor kanan yang panjang: beberapa masa hidup yang luar biasa panjang menarik *rata-ratanya* ke atas *[mediannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-median)*, yaitu nilai yang dilampaui separuh populasinya. (Inilah waktu paruh pada [Contoh 23.9](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#ex-g12-exp-halflife): separuh atomnya melewatinya, walaupun rata-rata masa hidupnya lebih panjang.)

**Latihan 35.5 ★★.**

Tinggi badan pada suatu populasi mengikuti $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (dalam cm). Dengan kaidah $68$–$95$–$99.7$, taksirlah bagian populasi yang bertinggi antara $168$ dan $182$ cm, di atas $189$ cm, dan di bawah $154$ cm.

**Solusi Latihan 35.5.**

Di sini $168 = \mu - \sigma$ dan $182 = \mu + \sigma$: jadi kira-kira $68\%$. Lalu $189 = \mu + 2\sigma$: di atasnya terletak separuh dari sisanya, $100 - 95.4 = 4.6\%$, jadi kira-kira $2.3\%$. Lalu $154 = \mu - 3\sigma$: kira-kira $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$.

**Latihan 35.6 ★★.**

Sebuah mesin mengisi kantong berlabel $500$ g; massa yang terisi mengikuti $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$. Peraturannya menuntut agar paling banyak $2.5\%$ kantongnya berbobot kurang dari $500$ g. Dengan kaidah $95\%$, setelan $\mu$ terkecil apa yang memenuhinya?

**Solusi Latihan 35.6.**

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ berarti $500$ harus duduk sekurang-kurangnya dua [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) di bawah rata-ratanya ([distribusi normalnya](#def-g12-contdist-normal) meninggalkan $2.3\% \approx 2.5\%$ di bawah $\mu - 2\sigma$; dengan $1.96$ yang lazim, penalarannya identik):

$$
\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.
$$

Jadi mesinnya harus disetel ke $508$ g rata-rata — dan harga jaminannya adalah $8$ g produk “gratis” tiap kantongnya.

**Latihan 35.7 ★★.**

Sebuah dadu yang diklaim setimbang dilempar $1200$ kali dan menunjukkan angka enam $260$ kali (seperti pada [Latihan 34.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#exo-g12-sums-7)).

1. Hitunglah selang ayunan $95\%$ bagi frekuensi angka enam pada dadu setimbang sepanjang $1200$ lemparan.
2. Apakah frekuensi yang teramati berada di dalamnya? Bandingkan kekuatan kesimpulan ini dengan telaah Bienaymé–Chebyshev.

**Solusi Latihan 35.7.**

*1.* Dengan $p = \frac16$, $n = 1200$: $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$, sehingga selang ayunan $95\%$-nya adalah

$$
\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.
$$

*2.* Frekuensi yang teramati $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ terletak jauh di luarnya: jadi hipotesis kesetimbangannya ditolak pada taraf $5\%$. Simpangannya kira-kira $4.6$ [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) — yang bagi [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) normal berpeluang berorde $10^{-6}$, jauh lebih meyakinkan daripada batas $\leq 4.6\%$ dari Bienaymé–Chebyshev ([Latihan 34.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#exo-g12-sums-7)).

**Latihan 35.8 ★★★.**

Menjelang sebuah pemilu, jajak pendapat atas $n$ orang akan menaksir perolehan $p$ seorang calon lewat frekuensi yang teramati $F_n$.

1. Dengan [selang kepercayaan](#met-g12-contdist-fluctuation) pada [Metode 35.11](#met-g12-contdist-fluctuation) , ukuran contoh berapa yang menjamin marjin $\pm 2$ angka?
2. Kedua calonnya terpisah $1$ angka pada kenyataannya. Jelaskan mengapa tak ada jajak pendapat yang realistis dapat menetapkan pemenangnya dengan andal, sebaik apa pun jajak itu dijalankan.

**Solusi Latihan 35.8.**

*1.* Marjinnya $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ menuntut $n \geq 2500$ orang.

*2.* Untuk membedakan perolehan yang berjarak $1$ angka, marjinnya harus jauh di bawah $0.5$ angka, sehingga menuntut $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 =
40\,000$ menurut rumus yang disederhanakan — dan itu sudah tak praktis bagi kebanyakan jajak pendapat. Lebih buruk lagi, marjin statistiknya hanya memperhitungkan galat *pencuplikan*; sedangkan bias sistematisnya (contoh yang tak mewakili, penolakan menjawab, perubahan menit terakhir) tidak menyusut ketika $n$ bertambah dan biasanya melampaui satu angka. Jadi perlombaan berjarak $1$ angka memang terlalu ketat untuk ditetapkan.

**Latihan 35.9 ★★★.**

Misalkan $X$ berkerapatan $f$ pada $\intcc ab$ dan misalkan $Y = \alpha X + \beta$ dengan $\alpha > 0$.

1. Tunjukkan bahwa $\P(c \leq Y \leq d)  = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq  \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , lalu simpulkan bahwa $Y$ berkerapatan $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
2. Simpulkan bahwa jika $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , maka $\mu + \sigma Z$ berkerapatan $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,  \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — yaitu [kerapatan](#def-g12-contdist-density) normal yang umum.

**Solusi Latihan 35.9.**

*1.* Karena $\alpha > 0$, berlaku $c \leq \alpha X + \beta \leq d
\iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$, sehingga

$$
\P(c \leq Y \leq d)
= \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .
$$

Substitusi $y = \alpha t + \beta$ (yaitu membaca luasnya dalam peubah $y$, dengan $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$, $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$) mengubahnya menjadi $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$: jadi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ adalah [kerapatan](#def-g12-contdist-density) bagi $Y$.

*2.* Dengan $f = \varphi$, $\alpha = \sigma$, $\beta = \mu$:

$$
g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right)
= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,
\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
$$

yang karena itu merupakan [kerapatan](#def-g12-contdist-density) $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$.

## 35.6 Soal: Menunggu bus, mengukur kerumunan

**Soal 35.1.**

Soal akhir pekan — tiga kerapatan menjalankan dunia: ketidaktahuan total, penungguan tanpa ingatan, dan lonceng dari banyak sebab kecil; ditambah paradoks yang membuat busmu selalu terlambat

Mengapa busmu selalu terasa lebih lama daripada yang dijanjikan jadwalnya? Mengapa kelas yang ditempati murid rata-rata lebih besar daripada kelas rata-rata? Mengapa temanmu punya lebih banyak teman daripada kamu? Satu keping matematika yang licik — pengambilan contoh yang berbias panjang — menjawab ketiganya, dan keping itu hidup di bab ini, di antara [distribusi seragam](#def-g12-contdist-uniform), eksponen dan normal ([Definisi 35.3](#def-g12-contdist-uniform), [Definisi 35.5](#def-g12-contdist-expo), [Definisi 35.8](#def-g12-contdist-normal)). Soal penutup jilid ini mempekerjakan ketiga [kerapatannya](#def-g12-contdist-density) lalu berakhir di tempat yang ditunjuk seluruh serinya: kurva lonceng.

**Bagian I — Tiga tokoh.**

1. Sebuah bus tiba pada saat yang acak seragam dalam $30$ menit berikutnya. Hitunglah $\P(\text{tunggu} \leq 10)$ , yaitu harapan waktu tunggunya, dan $\sigma$ ( [Proposisi 35.4](#prop-g12-contdist-uniformmoments) ).
2. Periksalah bahwa $f(x) = 2x$ pada $\intcc{0}{1}$ adalah [kerapatan](#def-g12-contdist-density) , lalu hitunglah $\E(X)$ dan $\P\left(X > \frac12\right)$ .
3. Panggilan telepon tiba di sebuah saluran bantuan sebagai arus tanpa ingatan: waktu tunggu panggilan berikutnya eksponen dengan rata-rata $10$ menit. Hitunglah $\P(T > 15)$ dan [median](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-median) waktu tunggunya — mengapa [mediannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-median) *lebih kecil* daripada rata-ratanya?
4. Kamu sudah menunggu $20$ menit. Berapa $\P(T > 35 \mid T > 20)$ ( [Teorema 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless) )? Tafsirkan dalam satu kalimat.
5. Cocokkanlah tiap penungguan dengan model yang tepat — seragam, eksponen, atau bukan keduanya: (a) bunyi klik pencacah Geiger; (b) kereta bawah tanah tiap $8$ menit dan kedatanganmu tak selaras dengannya; (c) panggilan berikutnya di saluran bantuan; (d) putusnya bola lampu yang *aus* . Berilah alasan bagi (d) dengan teorema ketiadaan ingatannya.

**Bagian II — Loncengnya beraksi.** (Pakailah tetenger normalnya: $68\,\%$ dalam $\sigma$, $95\,\%$ dalam $2\sigma$, $99.7\,\%$ dalam $3\sigma$.)

6. Tinggi badan orang dewasa kira-kira mengikuti $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). Berapa bagian yang terletak di $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
7. Taksirlah bagian yang lebih tinggi daripada $190$ cm ( [skor-z](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#pb-g11-stat-1) dahulu; lalu tabel atau kalkulator).
8. Skor IQ ditera pada $\mathcal N(100, 15)$ . Berapa bagian yang bernilai di atas $130$ — dan kira-kira satu orang dari berapa?
9. Sebuah mesin memotong baut sepanjang $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm sedangkan syaratnya $\intcc{49.8}{50.2}$ . Berapa bagian yang ditolak? Industri merayakan proses “enam sigma”, yang syaratnya duduk pada $\pm 6\sigma$ : apa yang dibeli hal itu, dan mengapa pabrik mengejarnya?
10. De Moivre–Laplace ( [Teorema 35.10](#thm-g12-contdist-tcl) ): untuk $100$ lemparan uang logam yang setimbang, hampirilah $\P(45 \leq \text{gambar} \leq 55)$ (dengan kesinambungan: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Mesin kayu yang mana pada [Soal 19.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#pb-g11-binom-1) yang dihaluskan teorema ini menjadi sebuah kurva?
11. Dari [Latihan 35.8](#exo-g12-contdist-8) : marjin $\pm 2$ angka memerlukan kira-kira $n = 2\,400$ . Hitunglah contoh yang diperlukan untuk $\pm 0.5$ angka — lalu simpulkan, dalam satu kalimat, mengapa perlombaan yang terpisah satu angka tak dapat ditetapkan secara jujur oleh jajak pendapat mana pun.

**Bagian III — Paradoks busnya.**

12. Bus tiba sebagai arus tanpa ingatan dengan jarak rata-rata $10$ menit. Kamu sampai di haltenya pada saat yang sembarang. Naluri mengatakan harapan waktu tunggunya $5$ menit (yaitu separuh jaraknya). Apa yang justru dikatakan teorema ketiadaan ingatannya?
13. Bedahlah naluri itu dengan jadwal mainan: jaraknya berselang-seling $5$ dan $15$ menit (jarak rata-ratanya $10$ ). Hitunglah peluang bahwa kedatangan yang acak seragam mendarat pada jarak yang panjang, lalu harapan waktu tunggu yang sebenarnya — lalu sebutkan biang keladinya: kedatangannya mencuplik jaraknya dengan peluang yang sebanding dengan *panjangnya* .
14. Pada arus tanpa ingatan itu, jarak tempatmu mendarat berharapan panjang $20$ menit — dua kali jarak yang lazim (sebab waktu mundur ke bus sebelumnya dan waktu maju ke bus berikutnya *keduanya* eksponen dengan rata-rata $10$ ). Damaikanlah ini dengan pertanyaan 12 lalu nyatakan *paradoks pemeriksaan* itu dalam satu kalimat.
15. Sengatan yang sama di darat: sebuah universitas menjalankan sembilan kelas berisi $10$ murid dan satu kelas berisi $110$ . Hitunglah ukuran kelas rata-ratanya, lalu ukuran kelas yang dialami *murid rata-rata* . Bilangan mana yang akan dikutip brosurnya, dan mana yang menjadi kebenaran yang dijalani muridnya?
16. Paradoks pertemanan — “temanmu, secara rata-rata, punya lebih banyak teman daripada kamu” — adalah matematika yang sama. Katakan dalam satu kalimat apa yang berperan sebagai jarak yang panjang itu.

**Bagian IV — Menutup jilidnya.**

17. Simulasi, jembatan para praktisi: jika $U$ seragam pada $\intoo{0}{1}$ , tunjukkan bahwa $T = -10\ln U$ eksponen dengan rata-rata $10$ (hitunglah $\P(T > t)$ ). Setiap simulasi penungguan acak di industri berjalan di atas muslihat satu baris ini.
18. Resep lama para pemrogram permainan membangun lonceng: jumlahkan dua belas peubah seragam yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep) pada $\intcc{0}{1}$ lalu kurangkan $6$ . Berikan rata-rata dan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) jumlahnya, lalu jelaskan — dengan papan Galton di tangan — mengapa hasilnya nyaris normal.
19. Pasar jatuh lebih keras daripada yang diizinkan loncengnya: keruntuhan tahun 1987 pernah disebut “ [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) $25\sigma$ ”, yang di bawah kenormalan berpeluang sekitar $10^{-137}$ . Apakah kesimpulan yang benar — tentang dunianya, atau tentang modelnya? (Satu kalimat, katekismus sang ahli statistika.)
20. Penutup, dan salam perpisahan bagi jilidnya: ketiga tokohnya masing-masing dalam satu baris — seragam (ketidaktahuan dalam batas), eksponen (bahaya tanpa ingatan), normal (jumlah banyak sebab kecil); lalu paradoks pemeriksaan sebagai sengatan babnya; serta busur seluruh serinya — dari mencacah kardus di kelas 6 sampai ke kurva lonceng yang mengukur setiap kerumunan — dengan jilid universitas yang menunggu di tempat limit, [integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) dan teorema limit pusat mengambil alih.

**Solusi Soal 35.1.**

**1.** $\P(\text{tunggu} \leq 10) = \frac{10}{30} =
\frac13$; $\E = 15$ menit; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ menit.

**2.** $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$: jadi sebuah [kerapatan](#def-g12-contdist-density). $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x =
1 - \frac14 = \frac34$.

**3.** $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$. [Mediannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-median): $\eu^{-m/10} = \frac12$, jadi $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ menit — lebih kecil daripada rata-ratanya $10$ sebab ekor kanan eksponennya yang panjang (yaitu penungguan raksasa yang jarang) menyeret rata-ratanya ke atas sambil membiarkan [mediannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-median) pada penungguan yang “lazim”.

**4.** Menurut ketiadaan ingatannya, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$: jadi kedua puluh menit yang sudah dijalani itu tak membeli apa-apa — arusnya tidak menua.

**5.** (a) eksponen (sebab peluruhan radioaktif adalah model yang untuknya ketiadaan ingatan diciptakan); (b) seragam pada $\intcc{0}{8}$ (yaitu jadwal dengan pergeseran acak); (c) eksponen; (d) bukan keduanya: bola lampu yang aus *lebih* mungkin putus pada jam berikutnya daripada yang baru, sehingga $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$: jadi penuaannya bertentangan dengan teorema ketiadaan ingatannya.

**6.** Berturut-turut $68\,\%$, $95\,\%$, $99.7\,\%$: yaitu ketiga selang tetengernya.

**7.** $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$, jadi ekor atasnya $\approx 1.2\,\%$.

**8.** Di sini $z = 2$: jadi kira-kira $2.3\,\%$ — kurang lebih satu orang dari $44$.

**9.** Syaratnya duduk pada $\pm 2\sigma$: jadi kira-kira $95.4\,\%$ lolos dan $4.6\,\%$ ditolak — dan itu membangkrutkan pada skala besar. Pada $\pm 6\sigma$ laju kegagalannya jatuh menjadi kira-kira dua bagian dari tiap *miliar*: jadi enam sigma membeli hak untuk memproduksi massal tanpa memeriksa secara massal.

**10.** Di sini $\sigma = 5$; dan dengan koreksi kesinambungannya, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) =
\P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$. Teoremanya menghaluskan papan Galton pada [Soal 19.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#pb-g11-binom-1): tangga lubangnya menjadi lonceng yang sinambung.

**11.** $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2}
\approx 38\,400$ orang — dan pada ukuran itu galat *di luar* pencuplikannya (kerangkanya, penolakannya, kebohongannya) menenggelamkan marjinnya: jadi perlombaan satu angka berada di luar jangkauan jajak pendapat yang jujur, dan itulah sebabnya lembaga yang serius lalu berkata “terlalu ketat untuk ditetapkan”.

**12.** Ketiadaan ingatannya: sejak saat kamu tiba, sisa penungguannya eksponen dengan rata-rata $10$ — yaitu $10$ menit penuh, bukan $5$. Kata “jarak rata-rata $10$” pada jadwalnya menyesatkan: penungguanmu berdistribusi sama dengan satu jarak yang utuh.

**13.** Kedatangan yang acak mendarat sebanding dengan panjang jaraknya: $\P(\text{jarak panjang}) = \frac{15}{20} = \frac34$. Harapan penungguannya: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times
\frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ menit — lebih daripada nilai naif $5$, walaupun jarak rata-ratanya $10$. Biang keladinya: *pencuplikan yang berbias panjang* — sebab jarak yang panjang menangkap lebih banyak penumpang.

**14.** Penungguan mundur dan majunya masing-masing eksponen dengan rata-rata $10$ (sebab ketiadaan ingatannya berjalan ke dua arah dari kedatanganmu): jadi jarak yang memuatmu berpanjang rata-rata $20$ menit — dua kali jarak yang lazim. Paradoks pemeriksaan dalam satu kalimat: *selang yang kebetulan kamu periksa bukanlah selang yang lazim, sebab kamu lebih mungkin jatuh ke dalam selang yang besar.*

**15.** Kelas rata-ratanya: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} =
20$ murid. [Rata-rata](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-mean) yang dialami muridnya: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}
{200} = 65$ murid. Brosurnya mencetak $20$; padahal tiga dari lima muridnya duduk di kelas berisi $110$ dan menjalani angka $65$ itu.

**16.** Orang yang populer muncul pada banyak daftar teman, sehingga mencuplik “seorang teman” berbias panjang ke arah yang pandai bergaul — jadi temanmu diambil dari jarak yang panjang pada jadwal pergaulannya.

**17.** Untuk $t \geq 0$: $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U <
\eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$: jadi tepat [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) kesintasan eksponennya — satu [logaritma](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#def-g12-exp-ln) mengubah derau seragam milik komputer itu menjadi waktu tunggu apa pun.

**18.** Tiap peubah seragamnya berata-rata $\frac12$ dan beragam $\frac{1}{12}$: jadi jumlah dua belasnya berata-rata $6$ dan beragam $1$ — sehingga resepnya menghasilkan rata-rata $0$ dan [ragam](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#def-g12-randvar-exp) $1$. Dua belas dorongan kecil yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep) dijumlahkan: itulah mekanisme Galton, dan menurut berkah De Moivre–Laplace histogramnya sudah berbentuk lonceng di mata.

**19.** Tentang modelnya: pasar bukanlah jumlah banyak sebab kecil yang *[saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep)* — kepanikan mengorelasikan segalanya (yaitu pelajaran tahun 2008 pada soal sebelumnya) dan menghasilkan ekor gemuk yang tak dimiliki [kerapatan](#def-g12-contdist-density) normal mana pun. Ketika datanya membisikkan $10^{-137}$, katekismus sang ahli statistika menjawab: *modelnyalah yang ditolak, bukan harinya*.

**20.** Seragam: semua kedudukan setara, yaitu kejujuran “aku hanya tahu batasnya”. Eksponen: bahaya yang tak pernah menua — peluruhan, kedatangan, bunyi klik. Normal: lonceng demokratis dari banyak sebab kecil yang [saling bebas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#def-g12-sums-indep) — tinggi badan, galat, rata-rata. Sengatannya: apa yang kamu cuplik terbias oleh cara kamu tersandung padanya — bus, kelas, teman. Dan busurnya: anak yang mencacah kardus jus di kelas 6, sesudah sepuluh jilid soal, kini mengukur kerumunan dengan sebuah kurva; sedangkan epsilon, [integral](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#def-g12-integ-area) dan teorema limit pusat menunggu di jilid universitas untuk menjelaskan *mengapa* loncengnya berdentang bagi segalanya.