---
title: "Fungsi Acuan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 4
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan
---

# Bab 4 — Fungsi Acuan

Segelintir [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) sederhana — afin, pangkat dua, kebalikan, akar kuadrat, pangkat tiga — muncul di mana-mana, sendirian atau berpadu. Hafal di luar kepala [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) dan variasinya mengubah banyak soal menjadi sebuah sketsa singkat. Bab ini menelaah masing-masing secara berurutan dan membuktikan variasinya dengan teknik pembandingan dari [Bab 3](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#ch-g10-functions).

## 4.1 Fungsi afin

**Definisi 4.1 (Fungsi afin).**

Sebuah *fungsi afin* adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) berbentuk

$$
f(x) = mx + p,
$$

dengan $m$ dan $p$ [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) tetap. [Grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) berupa garis lurus: $m$ adalah *gradien* dan $p$ adalah *titik potong sumbu-$y$* (garis itu memotong sumbu tegak di $(0, p)$). Bila $p = 0$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) itu disebut *linear*: $f(x) = mx$ menyatakan kesebandingan.

**Proposisi 4.2 (Gradien dan variasi).**

Misalkan $f(x) = mx + p$.

1. Untuk sebarang dua masukan berbeda $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ( [gradien](#def-g10-reffunc-affine) adalah perubahan keluaran per satu satuan perubahan masukan).
2. Jika $m > 0$ , maka $f$ tegas naik pada $\R$ ; jika $m < 0$ , tegas turun; jika $m = 0$ , tetap.

**Bukti.** 1. Hitunglah $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$, lalu bagilah dengan $v - u \neq 0$.

2. Jika $u < v$, maka $f(v) - f(u) = m(v-u)$ bertanda sama dengan $m$, sebab $v - u > 0$: untuk $m$ positif diperoleh $f(u) < f(v)$ (naik), untuk $m$ negatif diperoleh $f(u) > f(v)$ (turun). ∎

![Dua fungsi afin: naik untuk m = 1/2 > 0, turun untuk m = -1 < 0. Bergerak satu satuan ke kanan mengubah y sebesar m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-9e20879f061b.svg)

*Dua [fungsi afin](#def-g10-reffunc-affine): naik untuk $m = \frac12 > 0$, turun untuk $m = -1 < 0$. Bergerak satu satuan ke kanan mengubah $y$ sebesar $m$.*

**Contoh 4.3.**

Carilah [fungsi afin](#def-g10-reffunc-affine) yang [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) melalui $A(1, 3)$ dan $B(4, 9)$. [Gradiennya](#def-g10-reffunc-affine) adalah

$$
m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .
$$

Jadi $f(x) = 2x + p$, dan $f(1) = 3$ memberi $2 + p = 3$, sehingga $p = 1$: $f(x) = 2x + 1$. Periksa dengan $B$: $f(4) = 9$.

## 4.2 Fungsi pangkat dua

**Proposisi 4.4 (Fungsi pangkat dua).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2$, terdefinisi pada $\R$:

1. tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$ , dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $0$ di $x = 0$ ;
2. memenuhi $f(-x) = f(x)$ untuk semua $x$ : [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) , sebuah *parabola* , simetris terhadap sumbu tegak.

**Bukti.** 1. Misalkan $0 \leq u < v$. Maka

$$
f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,
$$

sebab $v - u > 0$ dan $v + u > 0$: jadi $f$ tegas naik pada $\intco{0}{+\infty}$. Jika $u < v \leq 0$, maka $v - u > 0$ tetapi $v + u < 0$, sehingga $f(v) - f(u) < 0$: tegas turun. Akhirnya $x^2 \geq 0 = f(0)$ untuk semua $x$.

2. $(-x)^2 = x^2$; jadi titik $(x, x^2)$ dan $(-x, x^2)$, yang saling bercermin terhadap sumbu tegak, sama-sama terletak pada [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph). ∎

**Catatan 4.5 (Kuadrat dan urutan).**

Karena [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua turun di sisi negatif, mengambil kuadrat *membalik* urutan bilangan negatif: $-3 < -2$ tetapi $9 > 4$. Jangan pernah mengkuadratkan kedua ruas suatu pertidaksamaan tanpa memeriksa tandanya.

## 4.3 Fungsi kebalikan

**Proposisi 4.6 (Fungsi kebalikan).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $f(x) = \dfrac1x$, terdefinisi untuk $x \neq 0$:

1. tegas turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan tegas turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ ;
2. memenuhi $f(-x) = -f(x)$ : [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) , sebuah *hiperbola* , simetris terhadap titik asal.

**Bukti.** 1. Misalkan $0 < u < v$. Maka

$$
f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,
$$

sebab $u - v < 0$ dan $uv > 0$: tegas turun pada $\intoo{0}{+\infty}$. Pada $\intoo{-\infty}{0}$ pecahan yang sama mempunyai $u - v < 0$ dan lagi-lagi $uv > 0$ (hasil kali dua bilangan negatif), jadi $f$ turun di sana juga.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$. ∎

**Catatan 4.7.**

Hati-hati: $\frac1x$ *tidak* turun pada seluruh [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function). Dari $u = -1$ ke $v = 1$ nilainya melompat dari $-1$ naik ke $1$. Kedua cabangnya harus ditelaah terpisah.

![Parabola y = x2 (simetris terhadap sumbu tegak) dan hiperbola y = 1x (dua cabang, simetris terhadap titik asal).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-c9fe377b98a0.svg)

![Parabola y = x2 (simetris terhadap sumbu tegak) dan hiperbola y = 1x (dua cabang, simetris terhadap titik asal).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-7be6853a2a0e.svg)

*Parabola $y = x^2$ (simetris terhadap sumbu tegak) dan hiperbola $y = \frac1x$ (dua cabang, simetris terhadap titik asal).*

## 4.4 Akar kuadrat dan pangkat tiga

**Proposisi 4.8 (Fungsi akar kuadrat).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $f(x) = \sqrt{x}$, terdefinisi pada $\intco{0}{+\infty}$, bersifat tegas naik.

**Bukti.** Misalkan $0 \leq u < v$. Kalikan dan bagilah dengan bentuk *sekawan*:

$$
\sqrt v - \sqrt u
= \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u}
= \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,
$$

sebab $v - u > 0$ dan $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (perhatikan $v > 0$, jadi $\sqrt v > 0$). ∎

**Proposisi 4.9 (Fungsi pangkat tiga).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $f(x) = x^3$, terdefinisi pada $\R$, bersifat tegas naik, dan [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) simetris terhadap titik asal.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Akar kuadrat (terdefinisi hanya untuk x ≥ 0) dan pangkat tiga, keduanya naik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-ec6a3c7fb7bc.svg)

![Akar kuadrat (terdefinisi hanya untuk x ≥ 0) dan pangkat tiga, keduanya naik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-5d553e336fa1.svg)

*Akar kuadrat (terdefinisi hanya untuk $x \geq 0$) dan pangkat tiga, keduanya naik.*

**Proposisi 4.10 (Membandingkan xxx, x2x^2x2 dan x\sqrt xx​).**

Untuk $0 < x < 1$: $x^2 < x < \sqrt x$. Untuk $x > 1$: $\sqrt x < x < x^2$. Di $x = 0$ dan $x = 1$ ketiga nilainya sama.

**Bukti.** Andaikan $0 < x < 1$. Mengalikan $x < 1$ dengan $x > 0$ memberi $x^2 < x$. Selanjutnya, $x < \sqrt x$: karena kedua ruas positif dan pengkuadratan bersifat naik pada bilangan positif, ketaksamaan ini setara dengan $x^2 < x$, yang baru saja dibuktikan. Untuk $x > 1$, mengalikan $x > 1$ dengan $x$ memberi $x^2 > x$, dan $\sqrt x < x$ menyusul dengan alasan pengkuadratan yang sama. ∎

![Ketiga kurva berpotongan di (0,0) dan (1,1) lalu bertukar urutan di sana: antara 0 dan 1, x2 yang terkecil dan √ x yang terbesar; setelah 1 urutannya terbalik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-2f2ec319808a.svg)

*Ketiga kurva berpotongan di $(0,0)$ dan $(1,1)$ lalu bertukar urutan di sana: antara $0$ dan $1$, $x^2$ yang terkecil dan $\sqrt x$ yang terbesar; setelah $1$ urutannya terbalik.*

**Metode 4.11 (Membandingkan peta).**

Untuk membandingkan $f(a)$ dan $f(b)$ pada sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan $f$:

1. tempatkan $a$ dan $b$ pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang variasi $f$ -nya sudah diketahui;
2. jika $f$ naik di sana, [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) berurutan sama dengan masukannya; jika $f$ turun, urutannya terbalik;
3. jika $a$ dan $b$ tidak berada pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) kemonotonan yang sama, uruslah tandanya lebih dahulu (misalnya untuk pangkat dua: satu masukan negatif dan satu masukan positif).

**Contoh 4.12.**

Bandingkan $\dfrac{1}{2.3}$ dan $\dfrac{1}{2.4}$: kedua masukannya berada di $\intoo{0}{+\infty}$, tempat [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan turun, dan $2.3 < 2.4$, jadi $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$. Bandingkan $(-1.2)^2$ dan $(-1.5)^2$: pada $\intoc{-\infty}{0}$ pangkat dua turun, dan $-1.5 < -1.2$, jadi $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — memang $2.25 > 1.44$.

## 4.5 Latihan

**Latihan 4.1 ★.**

Untuk setiap [fungsi afin](#def-g10-reffunc-affine) berikut, berikan [gradiennya](#def-g10-reffunc-affine), titik potong sumbu-$y$-nya, dan sebutkan apakah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) itu naik atau turun:

$$
f(x) = 3x - 2, \qquad
g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad
h(x) = 7, \qquad
k(x) = -x .
$$

**Solusi Latihan 4.1.**

$f$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $3$, titik potong $-2$, naik. $g$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $-\frac12$, titik potong $4$, turun. $h$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $0$, titik potong $7$, tetap. $k$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $-1$, titik potong $0$, turun (dan linear).

**Latihan 4.2 ★.**

Carilah [fungsi afin](#def-g10-reffunc-affine) yang [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) melalui $(2, 1)$ dan $(5, 10)$; lalu yang melalui $(-1, 4)$ dan $(3, -4)$.

**Solusi Latihan 4.2.**

Melalui $(2,1)$ dan $(5,10)$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$; lalu $1 = 3 \times 2 + p$ memberi $p = -5$: $f(x) = 3x - 5$.

Melalui $(-1,4)$ dan $(3,-4)$: [gradien](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} =
\frac{-8}{4} = -2$; lalu $4 = -2 \times (-1) + p$ memberi $p = 2$: $f(x) = -2x + 2$.

**Latihan 4.3 ★.**

Tanpa kalkulator, bandingkan:

$$
(3.1)^2 \text{ dan } (3.2)^2; \qquad
(-2.7)^2 \text{ dan } (-2.8)^2; \qquad
\frac{1}{5.1} \text{ dan } \frac{1}{5.2}; \qquad
\sqrt{17} \text{ dan } \sqrt{15}.
$$

**Solusi Latihan 4.3.**

$(3.1)^2 < (3.2)^2$: pangkat dua naik pada bilangan positif.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$: pangkat dua turun pada bilangan negatif dan $-2.8 < -2.7$.

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$: kebalikan turun pada bilangan positif.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$: akar kuadrat naik.

**Latihan 4.4 ★.**

Dengan memakai [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua, selesaikan $x^2 = 16$, lalu $x^2 \leq 16$, lalu $x^2 > 9$.

**Solusi Latihan 4.4.**

$x^2 = 16$: dua penyelesaian, $x = 4$ dan $x = -4$ (garis mendatar $y = 16$ memotong parabolanya dua kali).

$x^2 \leq 16$: parabolanya berada di bawah garis itu di antara kedua titik potongnya: $x \in \intcc{-4}{4}$.

$x^2 > 9$: parabolanya tegas berada di atas $y = 9$ di luar $\intcc{-3}{3}$: $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$.

**Latihan 4.5 ★.**

Misalkan $x \in \intoo{0}{1}$. Urutkan bilangan $x$, $x^2$, $x^3$ dan $\sqrt x$ dari yang terkecil sampai yang terbesar, lalu periksa jawabanmu dengan $x = 0.25$.

**Solusi Latihan 4.5.**

Untuk $0 < x < 1$: mengalikan $x < 1$ berulang kali dengan $x$ memberi $x^3 < x^2 < x$, dan [Proposisi 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) memberi $x < \sqrt x$, sehingga

$$
x^3 < x^2 < x < \sqrt x .
$$

Periksa dengan $x = 0.25$: $x^3 = 0.015625$, $x^2 = 0.0625$, $x = 0.25$, $\sqrt x = 0.5$.

**Latihan 4.6 ★★.**

Selesaikan secara grafis, lalu secara aljabar: $\dfrac1x = 2$, dan $\dfrac1x < 2$ untuk $x > 0$. Apa yang berubah bila $x < 0$ juga diizinkan?

**Solusi Latihan 4.6.**

$\frac1x = 2$ mempunyai penyelesaian tunggal $x = \frac12$ (hiperbolanya memotong garis mendatar $y = 2$ sekali, pada cabang positifnya).

Untuk $x > 0$: $\frac1x < 2$. Mengalikan dengan $x > 0$: $1 < 2x$, jadi $x > \frac12$: himpunan penyelesaiannya $\intoo{\frac12}{+\infty}$.

Bila $x < 0$ juga diizinkan: setiap $x$ negatif memenuhi $\frac1x < 0 < 2$, sehingga himpunan penyelesaian lengkapnya adalah $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$.

**Latihan 4.7 ★★.**

Dengan mengetahui bahwa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan naik pada $\intco{0}{+\infty}$, apitlah $x^2$ bila:

$$
\text{(a) } x \in \intcc{2}{5};
\qquad
\text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1};
\qquad
\text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.
$$

(Pada kasus (c), berhati-hatilah: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $x^2$ tidak berada di titik ujung.)

**Solusi Latihan 4.7.**

(a) Pada $\intcc{2}{5}$, semua masukannya positif dan pengkuadratan naik: $4 \leq x^2 \leq 25$.

(b) Pada $\intcc{-3}{-1}$, pengkuadratan turun: kuadrat terbesarnya berasal dari $-3$: $1 \leq x^2 \leq 9$.

(c) Pada $\intcc{-2}{3}$, [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) memuat $0$, tempat kuadratnya mencapai [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $0$; [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) adalah yang lebih besar di antara $(-2)^2 = 4$ dan $3^2 = 9$. Jadi $0 \leq x^2 \leq 9$.

**Latihan 4.8 ★★.**

Sebuah perusahaan taksi menarik biaya tetap $4$ ditambah $1.5$ per kilometer; perusahaan lain tanpa biaya tetap dan $2$ per kilometer. Modelkan masing-masing harga dengan [fungsi afin](#def-g10-reffunc-affine) dari jarak $x$, gambarlah kedua garisnya, lalu carilah mulai jarak berapa perusahaan pertama lebih murah.

**Solusi Latihan 4.8.**

Perusahaan pertama: $f(x) = 1.5x + 4$; yang kedua: $g(x) = 2x$. Yang pertama lebih murah apabila

$$
1.5x + 4 < 2x
\ \Longleftrightarrow\
4 < 0.5x
\ \Longleftrightarrow\
x > 8 .
$$

Setelah $8$ km, perusahaan pertama lebih murah; tepat pada $8$ km keduanya menarik biaya $16$.

**Latihan 4.9 ★★.**

Tunjukkan bahwa untuk semua $a, b \geq 0$: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. (Petunjuk: kedua ruas taknegatif, jadi bandingkan kuadratnya.) Kapan kesamaannya berlaku?

**Solusi Latihan 4.9.**

Kedua ruas taknegatif, sehingga ketaksamaannya setara dengan ketaksamaan antara kuadratnya:

$$
\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b
\qquad\text{dan}\qquad
\left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .
$$

Karena $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$, kuadrat kedua paling sedikit sama dengan yang pertama, dan itu membuktikan $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. Kesamaan berlaku tepat ketika $\sqrt a \sqrt b = 0$, yaitu ketika $a = 0$ atau $b = 0$.

**Latihan 4.10 ★★★.**

Misalkan $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, terdefinisi untuk $x \neq 1$.

1. Tunjukkan bahwa $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ untuk semua $x \neq 1$ .
2. Simpulkan variasi $f$ pada $\intoo{1}{+\infty}$ dari variasi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan.

**Solusi Latihan 4.10.**

*1.* Samakan penyebut ruas kanannya:

$$
2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}
= f(x).
$$

*2.* Pada $\intoo{1}{+\infty}$, ketika $x$ membesar, $x - 1$ membesar dan tetap positif, sehingga $\frac{3}{x-1}$ mengecil ([fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan, dikalikan konstanta positif $3$), jadi $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ mengecil: $f$ tegas turun pada $\intoo{1}{+\infty}$.

## 4.6 Soal: Hukum alam berbicara dengan fungsi acuan

**Soal 4.1.**

Soal akhir pekan — jarak pengereman tumbuh seperti $v^2$, tuas menuruti $1/d$, planet mengikuti $a^{3/2}$: membaca fisika dengan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan

Bukalah sebuah buku fisika dan [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) yang itu-itu juga muncul di setiap halaman: parabola, hiperbola, kurva akar. Alam menuliskan hukumnya dengan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan bab ini — dan mengenali bentuknya ([Proposisi 4.4](#prop-g10-reffunc-square), [Proposisi 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse), [Proposisi 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt), [Proposisi 4.9](#prop-g10-reffunc-cube)) sudah cukup untuk mengerem mobil, menyeimbangkan tuas, dan mengukur waktu edar planet. Puncaknya adalah hukum ketiga Kepler, yang dibaca langsung dari data tata surya.

**Bagian I — Hukum kuadrat pengereman.** Sebuah aturan praktis untuk jarak pengereman mobil di jalan kering: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ meter, pada laju $v$ km/jam.

1. Hitunglah jarak pengereman pada $30$ , $50$ , $90$ dan $130$ km/jam.
2. Melipatduakan lajunya mengalikan jarak pengereman dengan berapa? Jelaskan dari sifat penskalaan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua, lalu periksa pada $50 \to 100$ km/jam.
3. Forensik: bekas rem terukur $50$ m. Laju berapa yang dituduhkan rumus itu kepada pengemudinya (sampai satuan km/jam)? [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan mana yang menjawab — dan pada [daerah asal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) mana pembacaannya tidak bermakna ganda ( [Proposisi 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) )?
4. Bandingkan tambahan jarak yang disebabkan oleh *satu* km/jam lebih cepat, pada laju rendah dan pada laju tinggi: hitunglah $d(31) - d(30)$ dan $d(91) - d(90)$ . Sifat parabola yang mana ( [Proposisi 4.4](#prop-g10-reffunc-square) ) yang digambarkan oleh kedua jawaban itu?
5. Pengereman yang sesungguhnya menambahkan waktu reaksi — sekitar satu detik, yang selama itu mobil menempuh $0.28v$ meter: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Hitunglah $D(50)$ dan $D(130)$ . Manakah dari kedua suku itu — yang afin atau yang pangkat dua — yang menguasai laju dalam kota, dan mana yang menguasai laju di jalan tol?

**Bagian II — Hiperbola dalam kehidupan sehari-hari.**

6. Sebuah tuas seimbang apabila gaya $\times$ jarak bernilai sama pada kedua sisinya. Seorang anak $60$ kg duduk $2$ m dari poros; gaya penyeimbang pada jarak $d$ di sisi lain adalah $F(d) = \frac{120}{d}$ (dalam satuan setara kilogram). Hitunglah $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
7. Apa yang dikatakan variasi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan ( [Proposisi 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) ) tentang tuas — dan mengapa kesesumbaran Archimedes (“beri aku tempat berpijak dan akan kugerakkan Bumi”) bersembunyi di ekor hiperbola? Apa yang melarang $d = 0$ ?
8. Bunyi dan cahaya meredup mengikuti *kuadrat* jaraknya: pada $1$ m dari sebuah lampu intensitasnya $100$ satuan; berikan nilainya pada $2$ , $3$ dan $10$ m. Jelaskan pangkat $2$ itu dengan sebuah bola: pada luas berapa cahaya itu tersebar pada jarak $d$ (soal batu nisan Archimedes di jilid sebelumnya)?
9. Sebuah bus untuk karyawisata berbiaya $600$ euro, dibagi rata di antara $n$ peserta. Buatlah tabel biaya per kepala untuk $n = 10, 20, 30$ , carilah berapa peserta yang menurunkannya menjadi $25$ euro atau kurang, lalu nyatakan apa yang dijanjikan — dan ditolak — oleh bentuk hiperbola ketika $n$ membesar.
10. Mencetak $x$ poster berbiaya $2x + 3$ euro ( $3$ euro untuk penyiapan). Tunjukkan bahwa biaya *rata-rata* per poster adalah $a(x) = 2 + \frac3x$ , uraikan variasinya, lalu tafsirkan asimtot mendatarnya secara ekonomi. (Bandingkan dengan aljabar [Latihan 4.10](#exo-g10-reffunc-10) .)

**Bagian III — Keselarasan Kepler.** Untuk setiap planet, misalkan $a$ jarak rata-ratanya ke Matahari (dalam satuan astronomi, Bumi $= 1$) dan $T$ kala edarnya (dalam tahun). Data: Mars $a = 1.52$, $T = 1.88$; Jupiter $a = 5.20$, $T = 11.86$; Saturnus $a = 9.54$, $T = 29.4$.

11. Hitunglah $a^3$ dan $T^2$ untuk Bumi, Mars dan Jupiter. Apa yang diperhatikan Kepler pada tahun 1618?
12. Nyatakan hukum itu sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) : $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Ujilah pada Saturnus.
13. Dua ramalan: sebuah asteroid mengorbit pada $a = 4$ satuan astronomi — carilah kala edarnya (bilangannya keluar bulat); sebuah komet kembali setiap $27$ tahun — carilah jarak rata-ratanya (carilah sebuah pangkat tiga sempurna).
14. Tiga [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan yang mana yang dijalin bersama oleh hukum itu? Lalu aturan penskalaannya: ketika $a$ dikalikan $4$ , apa yang terjadi pada $T$ ? (Periksa dengan asteroid tadi terhadap Bumi.)
15. Kepler membaca hukum ini dalam data Tycho Brahe tujuh puluh tahun sebelum gravitasi Newton menjelaskannya. Dalam satu kalimat: apa yang dikatakan peristiwa ini tentang daya mengenali sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan di dalam tabel bilangan?

**Bagian IV — Kura-kura dan kelinci.**

16. Urutkan $\sqrt x$ , $x$ dan $x^2$ pada $\intoo{0}{1}$ dan pada $\intoo{1}{+\infty}$ ( [Proposisi 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) ), lalu periksa kedua urutannya di $x = 0.25$ dan $x = 4$ .
17. Selesaikan $\sqrt x > x$ selengkapnya (untuk $x \geq 0$ , kuadratkan dengan hati-hati lalu tuntaskan dengan [tabel tanda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-signtable) ).
18. Masukkan pangkat tiga: urutkan $x$ , $x^2$ , $x^3$ di $x = 0.5$ dan di $x = 2$ , lalu carilah semua titik tempat [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua dan pangkat tiga berpotongan.
19. Dua skema tabungan membayar, setelah $t$ tahun, $100\sqrt t$ euro (skema A) atau $10 t^2$ euro (skema B). Tunjukkan bahwa B menyalip A ketika $t^3 = 100$ , lalu berikan waktu penyalipannya sampai satuan bulan. Apa moralnya tentang akar melawan pangkat dalam jangka panjang?
20. Penutup: untuk setiap hukum dalam soal ini — pengereman ( $v^2$ ), tuas ( $1/d$ ), lampu ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), skema A ( $\sqrt t$ ) — sebutkan dalam satu anak kalimat ciri [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) acuannya yang mengusung makna fisisnya (kenaikan yang makin curam, asimtot tegak, bola yang menyebar, pangkat penskalaan, pertumbuhan yang mendatar). Kesimpulannya: [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan adalah abjadnya; alam menulis dengan abjad itu.

**Solusi Soal 4.1.**

**1.** $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) =
81$ m; $d(130) = 169$ m.

**2.** Melipatduakan $v$ melipatduakan $\frac v{10}$ dan mengalikan kuadratnya dengan $4$: $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$. Laju dua kali lipat, jarak empat kali lipat — itulah penskalaan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua.

**3.** $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ memberi $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$, jadi $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/jam. Akar kuadratlah yang menjawab; pembacaannya tidak bermakna ganda karena laju selalu positif, dan pada $\intco{0}{+\infty}$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) pangkat dua mendaki secara tegas ([Proposisi 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt): satu [prapeta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) positif).

**4.** $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, sedangkan $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: tambahan $+1$ km/jam yang sama menuntut jarak tiga kali lebih banyak pada laju tinggi. Parabolanya tidak hanya naik, tetapi juga *makin curam* — laju pendakiannya membesar seiring $x$.

**5.** $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 =
205.4$ m. Di dalam kota suku afin (reaksi) yang berbagian lebih besar; di jalan tol suku pangkat dua menghancurkannya — yang afin tumbuh mantap, yang kuadrat melesat pergi.

**6.** $F(0.5) = 240$, $F(1) = 120$, $F(3) = 40$.

**7.** [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan turun: makin jauh dari porosnya, makin kecil gaya yang diperlukan — dengan lengan tuas yang cukup panjang ($d$ sangat besar), gaya apa pun, sekecil apa pun juga, menyeimbangkan beban apa pun: kesesumbaran Archimedes hidup di ekor hiperbolanya, yang mendekati $0$ tanpa pernah mencapainya. Dan $d = 0$ adalah nilai terlarangnya: tanpa lengan, tanpa tuas — itulah asimtot tegaknya.

**8.** $\frac{100}{4} = 25$ pada $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ pada $3$ m, $1$ pada $10$ m. Pada jarak $d$ cahaya itu telah tersebar pada bola berluas $4\pi d^2$ (soal batu nisan Archimedes di jilid sebelumnya): energi yang sama dibagi luas yang tumbuh seperti $d^2$ — karena itulah kebalikan *kuadrat*.

**9.** $60$, $30$, $20$ euro per kepala untuk $n = 10, 20,
30$. Agar $\frac{600}{n} \leq 25$: $n \geq 24$ peserta. Hiperbolanya menjanjikan bagian yang makin murah ketika $n$ membesar — dan menolak untuk pernah mencapai $0$: busnya tidak pernah gratis.

**10.** $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$: turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ ([fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) kebalikan yang tergeser), mendekati asimtot $y = 2$. Secara ekonomi: menyebarkan biaya tetap $3$ euro ke lebih banyak poster menekan biaya satuannya turun menuju $2$ euro bahan yang tak tertekan lagi — skala ekonomi, dengan lantai yang keras.

**11.** Bumi: $a^3 = 1$, $T^2 = 1$. Mars: $1.52^3 \approx 3.51$ dan $1.88^2 \approx 3.53$. Jupiter: $5.20^3 \approx 140.6$ dan $11.86^2 \approx 140.7$. Yang diperhatikan Kepler: $T^2 = a^3$ untuk setiap planet — satu hukum untuk seluruh langit.

**12.** $T = \sqrt{a^3}$: untuk Saturnus $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ tahun, terhadap $29.4$ hasil pengamatan: hukumnya berlaku sampai satu persepuluhan.

**13.** Asteroid: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ tahun. Komet: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$, jadi $a = 9$ satuan astronomi.

**14.** Pangkat dua ($T^2$), pangkat tiga ($a^3$) dan akar kuadrat (untuk menarik $T$). Penskalaannya: mengalikan $a$ dengan $4$ mengalikan $T$ dengan $4\sqrt4 = 8$ — seperti yang dibenarkan asteroid tadi ($a$ empat kali punya Bumi, $T$ delapan kali).

**15.** Sebuah tabel bilangan, yang dicocokkan dengan bentuk segelintir [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) acuan, menghasilkan sebuah hukum alam semesta tujuh puluh tahun sebelum seorang pun tahu *mengapa* hukum itu berlaku — mengenali [fungsinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) adalah separuh dari ilmu.

**16.** Pada $\intoo{0}{1}$: $x^2 < x < \sqrt x$; pada $\intoo{1}{+\infty}$: $\sqrt x < x < x^2$. Pemeriksaannya: di $x = 0.25$: $0.0625 < 0.25 < 0.5$; di $x = 4$: $2 < 4 < 16$.

**17.** Untuk $x \geq 0$, kedua ruas bernilai $\geq 0$, jadi $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff
x \in \intoo{0}{1}$.

**18.** Di $x = 0.5$: $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x =
0.5$. Di $x = 2$: $2 < 4 < 8$: urutannya terbalik. Perpotongan $x^2$ dan $x^3$: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$: di $x = 0$ dan $x = 1$.

**19.** $10t^2 = 100\sqrt t$ memberi $t^2 = 10\sqrt t$; setelah dikuadratkan, $t^4 = 100t$, jadi $t^3 = 100$ dan $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ tahun — sekitar $4$ tahun dan $8$ bulan. (Kedua skema lalu membayar sekitar $215$ euro.) Moralnya: akar berlari kencang di awal, pangkat memenangi setiap maraton.

**20.** Pengereman: parabola yang *makin curam* adalah bahaya laju tinggi. Tuas: *asimtot tegak* di $0$ dan ekor yang panjang adalah keuntungan sang montir. Lampu: $d^2$ dari *bola yang menyebar* menentukan peredupannya. Kepler: *pangkat* $\frac32$ adalah tempo tata surya. Tabungan A: akar yang *mendatar* adalah nasib penabung yang sabar. Lima [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph), lima hukum: sungguh, itulah abjad alam.