---
title: "Vektor"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor
---

# Bab 6 — Vektor

Sebuah [vektor](#def-g10-vectors-vector) menyandikan perpindahan: sebuah arah dan sebuah panjang, tanpa memedulikan titik awalnya. [Vektor](#def-g10-vectors-vector) memberi bukti yang bersih bagi fakta geometris dan, begitu [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) masuk ke dalam gambar, menyusutkannya menjadi perhitungan kecil. [Vektor](#def-g10-vectors-vector) akan menjadi perkakas penting pada [Bab 7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/7-persamaan-garis-dan-sistem-persamaan-linear#ch-g10-lines) dan, kelak, bagi hasil kali skalar pada [Bab 16](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/16-hasil-kali-skalar-pada-bidang#ch-g11-scal).

## 6.1 Translasi dan vektor

**Definisi 6.1 (Vektor).**

Diberikan dua titik $A$ dan $B$, *vektor* $\vect{AB}$ menyatakan perpindahan dari $A$ ke $B$: vektor itu mempunyai sebuah *arah* (arah garis $(AB)$, beserta arah perjalanan sepanjang garis itu, dari $A$ menuju $B$) dan sebuah *panjang* (jarak $AB$, ditulis juga $\norm{\vect{AB}}$). Dua vektor disebut *sama* apabila keduanya menyandikan perpindahan yang sama: $\vect{AB} = \vect{CD}$ berarti bahwa menerapkan kedua perpindahan itu pada titik mana pun memberi hasil yang sama.

**Proposisi 6.2 (Vektor yang sama dan jajargenjang).**

$\vect{AB} = \vect{CD}$ tepat ketika $ABDC$ (menurut urutan itu!) adalah jajargenjang, mungkin jajargenjang yang gepeng — setara dengan itu, ketika $[AD]$ dan $[BC]$ mempunyai [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) yang sama.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Vektor yang sama AB = CD: arah sama, jurusan sama, panjang sama. Segi empat ABDC adalah jajargenjang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*[Vektor](#def-g10-vectors-vector) yang sama $\vect{AB} = \vect{CD}$: arah sama, jurusan sama, panjang sama. Segi empat $ABDC$ adalah jajargenjang.*

**Notasi 6.3.**

Sebuah [vektor](#def-g10-vectors-vector) sering dinamai dengan satu huruf, $\vec u$ atau $\vec v$, bila titik ujungnya tidak penting. *[Vektor](#def-g10-vectors-vector) nol* $\vec 0 = \vect{AA}$ adalah perpindahan yang tidak menggerakkan apa pun. *Lawan* dari $\vect{AB}$ adalah $\vect{BA}$: panjangnya sama, jurusannya berlawanan. Kita tulis $\vect{BA} = -\vect{AB}$.

## 6.2 Menjumlahkan vektor

**Definisi 6.4 (Jumlah dua vektor).**

Yang disebut *jumlah* $\vec u + \vec v$ adalah perpindahan yang diperoleh dengan melakukan $\vec u$ lalu $\vec v$.

**Teorema 6.5 (Relasi Chasles).**

Untuk sebarang tiga titik $A$, $B$, $C$:

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**Bukti.** Pergi dari $A$ ke $B$, lalu dari $B$ ke $C$, adalah perpindahan yang membawa $A$ ke $C$: itulah perpindahan yang disandikan oleh $\vect{AC}$. ∎

**Catatan 6.6 (Aturan jajargenjang).**

Untuk menjumlahkan dua [vektor](#def-g10-vectors-vector) yang digambar dari titik yang sama, $\vect{AB} + \vect{AC}$, lengkapkan jajargenjang $ABDC$: [jumlahnya](#def-g10-vectors-sum) adalah diagonal $\vect{AD}$. Memang $\vect{AC} = \vect{BD}$, sehingga $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ menurut relasi Chasles.

![Dua gambar penjumlahan: ujung ke pangkal (relasi Chasles, kiri) dan aturan jajargenjang (kanan).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![Dua gambar penjumlahan: ujung ke pangkal (relasi Chasles, kiri) dan aturan jajargenjang (kanan).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*Dua gambar penjumlahan: ujung ke pangkal (relasi Chasles, kiri) dan aturan jajargenjang (kanan).*

**Contoh 6.7 (Menyederhanakan dengan Chasles).**

Sederhanakan $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$: merangkai perpindahannya memberi $\vect{MQ}$. Sederhanakan $\vect{AB} - \vect{AC}$: tulis ulang selisihnya sebagai [jumlah](#def-g10-vectors-sum) dengan [vektor](#def-g10-vectors-vector) lawannya,

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 Mengalikan vektor dengan bilangan

**Definisi 6.8 (Kelipatan skalar).**

Misalkan $\vec u$ [vektor](#def-g10-vectors-vector) taknol dan $k$ [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). [Vektor](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ mempunyai arah yang sama dengan $\vec u$, panjang $\abs{k} \times \norm{\vec u}$, dan berjurusan sama dengan $\vec u$ jika $k > 0$, berlawanan jika $k < 0$. Untuk $k = 0$, $0\vec u = \vec 0$.

**Definisi 6.9 (Kekolinearan).**

Dua [vektor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ dan $\vec v$ disebut *kolinear* apabila keduanya mempunyai arah yang sama, yaitu apabila $\vec v = k \vec u$ untuk suatu [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $k$ (atau salah satunya $\vec 0$).

**Catatan 6.10.**

Kekolinearan adalah bahasa [vektor](#def-g10-vectors-vector) untuk kesejajaran dan kesegarisan:

- garis $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar tepat ketika $\vect{AB}$ dan $\vect{CD}$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) ;
- titik $A$ , $B$ , $C$ segaris tepat ketika $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) .

## 6.4 Koordinat vektor

**Definisi 6.11 (Koordinat sebuah vektor).**

Pada sebuah [sistem koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), *[koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system)* [vektor](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ adalah bilangan yang memerikan perpindahannya:

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

Sebuah [vektor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ menggeser setiap titik sejauh $a$ satuan mendatar dan $b$ satuan tegak.

**Proposisi 6.12 (Berhitung dengan koordinat).**

Misalkan $\vec u\,(a, b)$ dan $\vec v\,(c, d)$, serta $k \in \R$.

1. $\vec u = \vec v$ tepat ketika $a = c$ dan $b = d$ ;
2. $\vec u + \vec v$ berkoordinat $(a + c,\ b + d)$ ;
3. $k\vec u$ berkoordinat $(ka,\ kb)$ ;
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (pada [sistem ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) ).

**Bukti.** 1–3 menyatakan ulang, [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) demi [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), apa yang dilakukan perpindahannya: misalnya melakukan $\vec u$ lalu $\vec v$ menggeser sebuah titik secara mendatar sejauh $a$ lalu $c$, jadi $a + c$ seluruhnya. Butir 4 adalah rumus jarak [Teorema 5.4](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#thm-g10-coordgeom-distance) yang diterapkan pada ruas garis yang mewakili $\vec u$. ∎

**Teorema 6.13 (Kriteria kekolinearan).**

Dua [vektor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ dan $\vec v\,(c, d)$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) jika dan hanya jika

$$
ad - bc = 0 .
$$

**Bukti.** Jika $\vec v = k\vec u$, maka $c = ka$ dan $d = kb$, sehingga $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$. Hal yang sama berlaku jika $\vec u = k \vec v$ atau jika salah satu [vektornya](#def-g10-vectors-vector) nol.

Sebaliknya, andaikan $ad - bc = 0$ dengan $\vec u \neq \vec 0$, katakan $a \neq 0$ (kasus $b \neq 0$ serupa). Ambil $k = \frac{c}{a}$; maka $c = ka$, dan $ad = bc = b(ka)$ memberi, setelah dibagi $a \neq 0$, $d = kb$. Jadi $\vec v = k\vec u$. ∎

**Contoh 6.14.**

Apakah $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec v\,(-6, 4)$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear)? Hitunglah $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$: ya, dan memang $\vec v = -2\vec u$. Untuk $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec w\,(1, 5)$: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$: tidak [kolinear](#def-g10-vectors-collinear).

**Metode 6.15 (Kesegarisan dan kesejajaran).**

Untuk membuktikan bahwa tiga titik $A$, $B$, $C$ segaris:

1. hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ ;
2. periksalah kriteria $ad - bc = 0$ pada [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ;
3. simpulkan: kedua [vektornya](#def-g10-vectors-vector) [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) dan berbagi titik $A$ , jadi ketiga titiknya segaris.

Perhitungan yang sama dengan $\vect{AB}$ dan $\vect{CD}$ membuktikan bahwa garis $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar.

**Contoh 6.16.**

Misalkan $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ dan $C(7, 11)$. Maka $\vect{AB}\,(2, 3)$ dan $\vect{AC}\,(6, 9)$, serta $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$: jadi ketiga titiknya segaris (bahkan $\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

![Titik yang segaris: AC adalah kelipatan skalar AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*Titik yang segaris: $\vect{AC}$ adalah kelipatan skalar $\vect{AB}$.*

## 6.5 Latihan

**Latihan 6.1 ★.**

Sederhanakan dengan relasi Chasles:

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**Solusi Latihan 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$.

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$.

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$.

**Latihan 6.2 ★.**

Misalkan $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, 4)$. Hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$, $\vect{BC}$, $\vect{AC}$, lalu periksa pada [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) bahwa $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

**Solusi Latihan 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$. Periksa: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$, [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) demi [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system).

**Latihan 6.3 ★.**

Misalkan $\vec u\,(2, -3)$ dan $\vec v\,(-1, 4)$. Berikan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $\vec u + \vec v$, $3\vec u$, $2\vec u - \vec v$, lalu hitunglah $\norm{\vec u}$.

**Solusi Latihan 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$.

$3\vec u = (6, -9)$.

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$.

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

**Latihan 6.4 ★.**

Pada setiap hal berikut, sebutkan apakah $\vec u$ dan $\vec v$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear):

$$
\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**Solusi Latihan 6.4.**

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$: [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = \frac32 \vec u$).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$: [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$).

(c) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$: tidak [kolinear](#def-g10-vectors-collinear).

**Latihan 6.5 ★.**

Misalkan $A(0, 2)$, $B(4, 0)$, $C(6, 3)$. Carilah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) titik $D$ sehingga $ABCD$ menjadi jajargenjang, yaitu sehingga $\vect{AB} = \vect{DC}$.

**Solusi Latihan 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$, dan $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$. Syarat $\vect{AB} = \vect{DC}$ memberi $6 - x_D = 4$ dan $3 - y_D = -2$, jadi $D(2, 5)$.

**Latihan 6.6 ★★.**

Misalkan $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, -1)$.

1. Hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) titik $M$ sehingga $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
2. Segi empat apakah $ABMC$ itu? Berikan alasannya.

**Solusi Latihan 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ dan $\vect{AC}\,(6, -2)$, sehingga $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ dan $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$.

*2.* Menurut aturan jajargenjang, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ berarti $ABMC$ adalah jajargenjang ($M$ titik sudut keempat yang berhadapan dengan $A$). Dapat diperiksa: $\vect{AB}\,(3,2)$ dan $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ memang sama.

**Latihan 6.7 ★★.**

Misalkan $A(1, -1)$, $B(4, 1)$, $C(10, 5)$. Apakah titik $A$, $B$, $C$ segaris? Pertanyaan yang sama untuk $A(0, 3)$, $B(2, 2)$, $C(8, -1)$.

**Solusi Latihan 6.7.**

Tripel pertama: $\vect{AB}\,(3, 2)$, $\vect{AC}\,(9, 6)$; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$: segaris ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

Tripel kedua: $\vect{AB}\,(2, -1)$, $\vect{AC}\,(8, -4)$; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$: segaris juga ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$).

**Latihan 6.8 ★★.**

Misalkan $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(6, 1)$, $D(2, -1)$. Tunjukkan bahwa $(AB)$ dan $(CD)$ sejajar, lalu bahwa $ABCD$ adalah jajargenjang. Pemeriksaan yang mana mengakibatkan yang lain?

**Solusi Latihan 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ dan $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$: kedua [vektornya](#def-g10-vectors-vector) *sama*, jadi $ABCD$ adalah jajargenjang, dan khususnya $(AB) \parallel (CD)$. Sifat jajargenjang itulah yang lebih kuat: sifat itu mengakibatkan kesejajarannya (kekolinearan [vektornya](#def-g10-vectors-vector)), tidak sebaliknya.

**Latihan 6.9 ★★.**

Misalkan $ABC$ sebuah segitiga, dan misalkan $I$ titik yang ditentukan oleh $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$. Dengan $A(0,0)$, $B(6, 3)$, $C(2, 5)$ (agar perhitungannya tetap sederhana):

1. hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $I$ ;
2. misalkan $J$ titik dengan $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $J$ ;
3. tunjukkan bahwa $(IJ)$ sejajar dengan $(AC)$ .

**Solusi Latihan 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$, sehingga $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ dan $I(4, 2)$.

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$, sehingga $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ dan $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$.

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ dan $\vect{AC}\,(2, 5)$. Kriteria kekolinearannya:

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

kedua [vektornya](#def-g10-vectors-vector) [kolinear](#def-g10-vectors-collinear), jadi $(IJ)$ sejajar dengan $(AC)$. (Baik $I$ maupun $J$ terletak sepertiga jalan dari sisinya menuju $B$: segitiga kecil $IBJ$ adalah perkecilan $ABC$.)

**Latihan 6.10 ★★★.**

Misalkan $ABCD$ sebarang segi empat, dan misalkan $I$, $J$, $K$, $L$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Dengan memakai [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$, dan seterusnya, tunjukkan bahwa $\vect{IJ} = \vect{LK}$, lalu simpulkan bahwa [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) sisi pada *sebarang* segi empat selalu membentuk jajargenjang.

**Solusi Latihan 6.10.**

[Titik tengahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) adalah

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

[Koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) pertama kedua [vektornya](#def-g10-vectors-vector):

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

dan perhitungan yang sama berlaku untuk [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) keduanya. Jadi $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (keduanya sama dengan $\frac12\vect{AC}$), dan $IJKL$ adalah jajargenjang, bagaimanapun bentuk segi empat $ABCD$.

## 6.6 Soal: Aljabar anak panah

**Soal 6.1.**

Soal akhir pekan — senam Chasles, titik berat yang dibuktikan ulang dalam dua baris, dan gaya dalam keseimbangan: untuk apa sebenarnya vektor itu

Di jilid sebelumnya sudah dibuktikan bahwa ketiga garis berat sebuah segitiga bertemu pada dua pertiga panjangnya — dengan sebuah jajargenjang cerdik yang tersembunyi di dalam segitiganya (soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya). [Vektor](#def-g10-vectors-vector) membuktikannya ulang dalam dua baris, dan menghadiahkan perpotongan di satu titik itu secara cuma-cuma. Untuk itulah aljabar baru ini ada: teorema menjadi perhitungan dengan anak panah. Soal ini melatih perhitungannya (terutama Chasles), menyajikan bukti dua barisnya, memperluas Varignon ([Latihan 6.10](#exo-g10-vectors-10)), dan berakhir di tempat [vektor](#def-g10-vectors-vector) dilahirkan: gaya dan kecepatan.

**Bagian I — Senam Chasles.**

1. Sederhanakan dengan relasi Chasles ( [Teorema 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
2. Kiat titik asal: tunjukkan bahwa untuk *sebarang* titik $O$ , berlaku $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
3. Buktikan kedua ciri [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ dari $[AB]$: $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{dan}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{untuk sebarang } O .$$
4. Dengan memakai $\vect{AB} = \vect{DC}$ , temukan kembali titik sudut keempat $D$ jajargenjang $ABCD$ dengan $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — lalu bandingkan dengan jawaban lewat kiat [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) pada [Soal 5.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#pb-g10-coordgeom-1) .
5. Menambahkan sebuah [vektor](#def-g10-vectors-vector) tetap $\vec u$ pada setiap titik pada bidang menjalankan transformasi yang mana — transformasi yang ditemukan dengan dua cermin pada soal akhir pekan tentang dua cermin di jilid sebelumnya dan dengan dua setengah putaran pada soal akhir pekan tentang setengah putaran di jilid sebelumnya? Hitunglah [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $(1, 2)$ oleh $\vec u = (3, -1)$ .

**Bagian II — Titik berat, bukti ketiga.** Definisikan titik $G$ sebuah segitiga $ABC$ oleh syarat yang anggun berikut

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. Dengan kiat titik asal, tunjukkan bahwa syarat itu menentukan $G$ secara tunggal: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ untuk sebarang $O$ — sehingga [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $G$ adalah *rata-rata* [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) ketiga titik sudutnya (soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya sudah melihatnya secara numeris).
7. Buktikan $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ , dan, dengan menulis $K$ untuk [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ , buktikan $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ . Simpulkan: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — yaitu teorema dua pertiga, terbukti ulang.
8. Mengapa garis berat dari $B$ dan dari $C$ melalui $G$ yang *sama* tanpa perhitungan tambahan? Bandingkan ketiga bukti teorema ini yang tersedia — jajargenjang tersembunyi di jilid sebelumnya, [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) , dan [vektor](#def-g10-vectors-vector) — masing-masing dalam satu kalimat.
9. Pemeriksaan numeris: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Hitunglah $G$ , lalu $K$ , lalu periksalah $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ dengan kriteria kekolinearan ( [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ).
10. Fisika membaca $G$ sebagai titik seimbang tiga massa yang sama di ketiga titik sudutnya. Lipatduakan massa di $A$ (massanya menjadi $2, 1, 1$ ): titik seimbangnya menjadi $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}}{4}$ . Hitunglah $G'$ untuk segitiga pada pertanyaan 9 lalu bandingkan letaknya dengan $G$ .

**Bagian III — Kekolinearan sedang bekerja.**

11. Apakah $\vec u(3, -2)$ dan $\vec v(-6, 4)$ [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) ? Lalu $\vec w(2, 5)$ dan $\vec z(4, 9)$ ? Putuskan dengan kriteria determinannya.
12. Apakah titik $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ segaris?
13. Melampaui Varignon ( [Latihan 6.10](#exo-g10-vectors-10) ): pada sebarang segi empat $ABCD$ , *bimedian* menghubungkan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) sisi yang berhadapan ( $[IK]$ dan $[JL]$ ). Dengan memakai [vektor](#def-g10-vectors-vector) posisi ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} +  \vect{OB})$ , dan seterusnya), tunjukkan bahwa kedua bimedian itu mempunyai [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) yang sama, dengan [vektor](#def-g10-vectors-vector) posisi $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ : yaitu titik berat segi empat itu.
14. Thales dalam satu baris: $M$ dan $N$ adalah titik yang ditentukan oleh $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ dan $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Hitunglah $\vect{MN}$ dalam $\vect{BC}$ lalu simpulkan kesejajaran serta perbandingannya.
15. Perumumlah pertanyaan 14 ke perbandingan sebarang $k$ , lalu nyatakan dalam satu kalimat bagaimana kalkulus [vektor](#def-g10-vectors-vector) itu menyerap teorema [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) dan teorema Thales sekaligus.

**Bagian IV — Gaya dan kecepatan.**

16. Sebuah perahu didorong arus $3$ km/jam ke timur sementara didayung $4$ km/jam ke utara. Berikan [vektor](#def-g10-vectors-vector) kecepatan resultannya, besarnya, lalu uraikan haluan yang sesungguhnya. (Sebuah tripel yang sangat tua muncul di sini.)
17. Tiga gaya bekerja pada sebuah cincin: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Hitunglah resultannya. Apa yang dilakukan cincin itu? Dan mengapa [jumlah](#def-g10-vectors-sum) anak panah sepanjang segi banyak *tertutup* mana pun selalu $\vec 0$ (Chasles)?
18. Dua gaya $\vec u(4, -1)$ dan $\vec v(-1, 3)$ bekerja pada sebuah kait. Gaya ketiga apa yang menahan kait itu tetap seimbang?
19. Seorang perenang menyeberangi sungai dengan menuju lurus ke seberang pada $2$ m/s; arusnya mengalir $1.5$ m/s. Berikan kecepatan resultan dan besarnya. Sungai itu selebar $50$ m: berapa lama penyeberangannya, dan seberapa jauh ke hilir perenang itu mendarat?
20. Penutup: satu objek, tiga busana — anak panah perpindahan, pasangan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) , gaya atau kecepatan. Daftarkan ketiga teorema klasik yang dibuktikan ulang soal ini dengan aljabar [vektor](#def-g10-vectors-vector) , lalu sebutkan satu besaran geometris yang belum dapat diukur oleh [vektor](#def-g10-vectors-vector) bab ini — perkakas yang membereskannya tiba bersama hasil kali skalar, pada tahun berikutnya.

**Solusi Soal 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} =
\vect{BA}$; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} +
\vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (setelah [jumlah](#def-g10-vectors-sum) ketiga diurutkan ulang).

**2.** $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} =
\vect{AB}$ menurut Chasles.

**3.** $I$ adalah [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ tepat ketika $\vect{IA} = -\vect{IB}$, yaitu $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$. Lalu, untuk sebarang $O$: $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$, sehingga $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — dan sebaliknya.

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$, dan $D$ memenuhi $\vect{DC} = \vect{AB}$: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — yaitu $D$ yang sama dengan [Soal 5.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#pb-g10-coordgeom-1), satu baris lebih cepat.

**5.** Translasi oleh [vektor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ — persis transformasi yang dihasilkan oleh dua cermin sejajar atau dua setengah putaran. [Peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $(1, 2)$: $(4, 1)$.

**6.** Dengan [menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) setiap $\vect{GX}$ sebagai $\vect{GO} + \vect{OX}$: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$, sehingga $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$: hanya ada satu titik semacam itu, dan [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) adalah rata-rata [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) ketiga titik sudutnya.

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$, sehingga $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$. Rumus [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) (pertanyaan 3, dilihat dari $A$) memberi $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$. Setelah dibandingkan: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — jadi $G$ terletak pada garis berat $[AK]$, pada dua pertiga jalan dari $A$.

**8.** Syarat pendefinisinya memperlakukan $A$, $B$, $C$ secara sama, sehingga perhitungan yang sama dari $B$ atau dari $C$ menempatkan $G$ yang *sama* pada dua pertiga garis berat itu: perpotongan di satu titik tidak menuntut ongkos tambahan. Bukti jajargenjangnya cerdik tetapi khusus; [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) menghitung tetapi mengaburkan; [vektor](#def-g10-vectors-vector) membuat kesetangkupannya terlihat dan buktinya dua baris.

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) =
(3, 3)$; $K(4, 4)$; $\vect{AG} = (2, 2)$ dan $\vect{AK} = (3, 3)$: determinannya $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$, jadi [kolinear](#def-g10-vectors-collinear), dan memang $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$.

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 +
6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$: tertarik dari $G(3,3)$ menuju titik sudut $A(1,1)$ yang massanya digandakan, sebagaimana seharusnya sebuah titik seimbang.

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$: [kolinear](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$: tidak [kolinear](#def-g10-vectors-collinear).

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$, $\vect{AC} = (6, 9)$: determinannya $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$: segaris.

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ dan $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$, sehingga [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[IK]$ mempunyai [vektor](#def-g10-vectors-vector) posisi $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} +
\vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — dan perhitungan untuk $[JL]$ memberi [vektor](#def-g10-vectors-vector) yang persis sama. Kedua bimedian itu (dan, menurut Varignon, kedua diagonal jajargenjang $IJKL$) berbagi pusat ini: yaitu titik berat segi empatnya.

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$: jadi $(MN) \parallel (BC)$ dan $MN = \frac13 BC$.

**15.** Dengan $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ dan $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — satu baris yang memuat teorema [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) ($k = \frac12$) dan Thales (untuk sebarang $k$): perbandingannya lolos utuh melalui pengurangan itu.

**16.** Resultannya $(3, 4)$, besarnya $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/jam: perahu itu sesungguhnya bergerak ke timur laut condong ke utara, sepanjang sisi miring segitiga $3$–$4$–$5$.

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$: cincin itu diam — seimbang. Sepanjang segi banyak tertutup $A_1 A_2 \dots A_n A_1$, Chasles melipat [jumlahnya](#def-g10-vectors-sum) menjadi $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$: berkeliling membawamu kembali ke tempat semula.

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) =
(-3, -2)$.

**19.** Resultannya $(1.5,\ 2)$, besarnya $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Penyeberangannya: $50$ m pada $2$ m/s melintang: $25$ s; hanyutnya: $1.5 \times 25 = 37.5$ m ke hilir.

**20.** Yang dibuktikan ulang akhir pekan ini: teorema dua pertiga titik berat (pertanyaan 7), pusat bimedian dan Varignon (pertanyaan 13), serta Thales dan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) (pertanyaan 14–15). Yang masih belum dapat dilakukan anak panah: mengukur *sudut* (dan karenanya panjang pada arah sebarang) — hasil kali skalar tahun berikutnya justru merupakan alat yang hilang itu.