---
title: "Persamaan Garis dan Sistem Persamaan Linear"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 7
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/7-persamaan-garis-dan-sistem-persamaan-linear
---

# Bab 7 — Persamaan Garis dan Sistem Persamaan Linear

Sebuah garis lurus pada bidang [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) diperikan oleh sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation), dan dua garis bersama-sama membentuk sistem [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) yang penyelesaiannya adalah titik potongnya. Bab ini menghubungkan tiga bahasa — geometris (garis), aljabar ([persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation)) dan fungsional ([fungsi afin](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) dari [Bab 4](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#ch-g10-reffunc)) — serta mengajarkan dua cara baku menyelesaikan [sistem persamaan linear](#def-g10-lines-system).

## 7.1 Persamaan sebuah garis

**Teorema 7.1 (Persamaan tereduksi).**

Pada sebuah [sistem koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system):

1. setiap garis yang tidak tegak mempunyai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berbentuk $$y = mx + p ,$$ dengan $m$ (*gradien* garisnya) dan $p$ (*titik potong sumbu-$y$*) tertentu secara tunggal — inilah *persamaan tereduksi* garis itu;
2. setiap garis tegak mempunyai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x = c$ ;
3. sebuah titik terletak pada garis itu tepat ketika [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) memenuhi [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) .

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Proposisi 7.2 (Gradien lewat dua titik).**

[Gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) garis (yang tidak tegak) melalui $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$, dengan $x_A \neq x_B$, adalah

$$
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\qquad
\text{(``perubahan $y$ dibagi perubahan $x$'').}
$$

**Bukti.** Kedua titik memenuhi $y = mx + p$, jadi $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p)
= m(x_B - x_A)$; bagilah dengan $x_B - x_A \neq 0$. ∎

![Tiga jenis garis: miring (m ≠ 0), mendatar (m = 0), dan tegak (tanpa persamaan tereduksi — persamaannya x = c).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-9dbde51774b7.svg)

*Tiga jenis garis: miring ($m \neq 0$), mendatar ($m = 0$), dan tegak (tanpa [persamaan tereduksi](#thm-g10-lines-reduced) — [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x = c$).*

**Metode 7.3 (Mencari persamaan garis lewat dua titik).**

Diberikan $A$ dan $B$ dengan $x_A \neq x_B$:

1. hitunglah [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
2. tulislah $y = mx + p$ lalu substitusikan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $A$ (atau $B$ ) untuk mencari $p$ ;
3. periksalah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) akhirnya dengan titik yang *satunya* .

Jika $x_A = x_B$, garisnya tegak: [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x = x_A$.

**Contoh 7.4.**

Garis melalui $A(1, 5)$ dan $B(3, 1)$. [Gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine): $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$. Lalu $y = -2x + p$; dari titik $A$ diperoleh $5 = -2 \times 1 + p$, jadi $p = 7$. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): $y = -2x + 7$. Periksa dengan $B$: $-2 \times 3 + 7 = 1$.

**Proposisi 7.5 (Garis sejajar).**

Dua garis yang tidak tegak sejajar jika dan hanya jika [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) sama. Dua garis sejajar yang berbeda tidak punya titik persekutuan; dua garis dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) berbeda punya tepat satu.

**Bukti.** Misalkan $y = mx + p$ dan $y = m'x + p'$ kedua garis itu. Titik persekutuan memenuhi $mx + p = m'x + p'$, yaitu $(m - m')x = p' - p$. Jika $m \neq m'$, [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) ini punya tepat satu penyelesaian $x = \frac{p' - p}{m - m'}$: satu titik potong. Jika $m = m'$, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berbunyi $0 = p' - p$: tidak ada penyelesaian bila $p \neq p'$ (dua sejajar yang berbeda), dan setiap $x$ bila $p = p'$ (garis yang sama). Jadi kesejajaran (tidak berpotongan, atau berimpit) setara dengan $m = m'$. ∎

**Catatan 7.6 (Vektor arah).**

Garis $y = mx + p$ naik $m$ satuan untuk setiap satu satuan ke kanan, sehingga [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(1, m)$ adalah sebuah *vektor arah* garis itu: garisnya sejajar dengan $\vec u$. Dua garis sejajar tepat ketika [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-vector) arahnya [kolinear](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-collinear) ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#thm-g10-vectors-det)).

## 7.2 Sistem persamaan linear

**Definisi 7.7 (Sistem persamaan linear).**

Sebuah *sistem dua persamaan linear* dalam variabel $x$ dan $y$ adalah sepasang [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation)

$$
\begin{cases}
a x + b y = c \\
a' x + b' y = c'
\end{cases}
$$

yang harus dipenuhi *serentak*. Sebuah *penyelesaian* adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi keduanya. Setiap [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) memerikan sebuah garis, sehingga menyelesaikan sistem itu berarti mencari perpotongan dua garis.

**Metode 7.8 (Substitusi).**

1. Selesaikan salah satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) untuk salah satu variabel — pilih yang paling mudah, misalnya nyatakan $y$ dalam $x$ ;
2. substitusikan bentuk ini ke [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) yang *satunya* , yang kini hanya memuat $x$ ;
3. selesaikan untuk $x$ , lalu hitunglah $y$ dari langkah 1;
4. periksalah pasangan itu pada kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) semula.

**Contoh 7.9.**

Selesaikan $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ dengan substitusi. [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kedua memberi $y = 3x - 3$. Substitusikan ke yang pertama:

$$
x + 2(3x - 3) = 8
\ \Longleftrightarrow\
x + 6x - 6 = 8
\ \Longleftrightarrow\
7x = 14
\ \Longleftrightarrow\
x = 2 ,
$$

lalu $y = 3 \times 2 - 3 = 3$. Penyelesaiannya adalah pasangan $(2, 3)$. Periksa: $2 + 2 \times 3 = 8$ dan $3 \times 2 - 3 = 3$.

**Metode 7.10 (Eliminasi).**

1. Kalikan setiap [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan bilangan yang dipilih baik-baik agar salah satu variabelnya berkoefisien saling berlawanan pada kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) ;
2. jumlahkan kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) : variabel itu lenyap;
3. selesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) satu variabel yang tersisa, lalu substitusikan kembali untuk mencari variabel yang lain;
4. periksalah pasangan itu pada kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) semula.

**Contoh 7.11.**

Selesaikan $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ dengan eliminasi. Untuk melenyapkan $y$, kalikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pertama dengan $2$ dan yang kedua dengan $3$:

$$
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
15x - 6y = 24
\end{cases}
$$

Menjumlahkan keduanya: $19x = 38$, jadi $x = 2$. Substitusi ke $2x + 3y = 7$: $4 + 3y = 7$, jadi $y = 1$. Penyelesaiannya: $(2, 1)$. Periksa pada [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kedua: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$.

![Sistem persamaan linear yang dilihat secara geometris: setiap persamaan adalah sebuah garis, dan penyelesaian (2,1) pada adalah titik potongnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-f7a419123493.svg)

*[Sistem persamaan linear](#def-g10-lines-system) yang dilihat secara geometris: setiap [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) adalah sebuah garis, dan penyelesaian $(2,1)$ pada [Contoh 7.11](#ex-g10-lines-elimination) adalah titik potongnya.*

**Catatan 7.12 (Berapa banyak penyelesaiannya?).**

Seperti dua garis, [sistem persamaan linear](#def-g10-lines-system) pada umumnya punya tepat satu penyelesaian (garis tidak sejajar), dan pada keadaan khusus tidak punya penyelesaian (dua sejajar yang berbeda) atau punya tak hingga banyak (dua kali garis yang sama). Kriteria [Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#thm-g10-vectors-det) memutuskannya: sistem itu punya penyelesaian tunggal tepat ketika $ab' - a'b \neq 0$.

**Contoh 7.13 (Memodelkan dengan sistem).**

Tiga buku tulis dan dua pena berharga $8$; satu buku tulis dan empat pena berharga $6$. Misalkan $x$ harga sebuah buku tulis dan $y$ harga sebuah pena:

$$
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
x + 4y = 6 .
\end{cases}
$$

Dari [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kedua, $x = 6 - 4y$; setelah disubstitusikan, $3(6 - 4y) + 2y = 8$, jadi $18 - 10y = 8$, yang memberi $y = 1$ lalu $x = 2$. Sebuah buku tulis berharga $2$ dan sebuah pena berharga $1$.

## 7.3 Latihan

**Latihan 7.1 ★.**

Untuk setiap garis, bacalah [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) dan titik potong sumbu-$y$-nya, lalu sketsalah:

$$
y = 2x - 3, \qquad
y = -\tfrac13 x + 1, \qquad
y = 4, \qquad
x = -2 .
$$

**Solusi Latihan 7.1.**

$y = 2x - 3$: [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $2$, titik potong $-3$. $y = -\frac13 x + 1$: [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $-\frac13$, titik potong $1$. $y = 4$: [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $0$, titik potong $4$ (garis mendatar). $x = -2$: garis tegak, tanpa [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) dan tanpa [persamaan tereduksi](#thm-g10-lines-reduced).

**Latihan 7.2 ★.**

Apakah titik $A(2, 7)$ terletak pada garis $y = 3x + 1$? Lalu $B(-1, -1)$? Lalu titik $C(4, 13)$?

**Solusi Latihan 7.2.**

$3 \times 2 + 1 = 7$: ya, $A$ terletak pada garis itu. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$: $B$ tidak. $3 \times 4 + 1 = 13$: ya, $C$ terletak pada garis itu.

**Latihan 7.3 ★.**

Carilah [persamaan tereduksi](#thm-g10-lines-reduced) garis yang melalui:

$$
\text{(a) } A(0, 2) \text{ dan } B(3, 8);
\qquad
\text{(b) } A(-1, 5) \text{ dan } B(2, -4);
\qquad
\text{(c) } A(4, 1) \text{ dan } B(4, 6).
$$

**Solusi Latihan 7.3.**

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ dan $p = y_A = 2$ (titik $A$ terletak pada sumbu $y$): $y = 2x + 2$.

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$; lalu $5 = -3 \times (-1) + p$ memberi $p = 2$: $y = -3x + 2$.

(c) $x_A = x_B = 4$: garis tegak $x = 4$.

**Latihan 7.4 ★.**

Di antara garis $y = 3x - 1$, $y = -3x + 2$, $y = 3x + 5$, $y = \frac{6x + 2}{2}$, manakah yang saling sejajar? Manakah yang sebenarnya berimpit?

**Solusi Latihan 7.4.**

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$. Garis yang bergradien $3$ adalah $y = 3x - 1$, $y = 3x + 5$ dan $y = 3x + 1$: ketiganya saling sejajar; tidak ada dua di antaranya yang berimpit (titik potongnya berbeda), dan tidak satu pun sejajar dengan $y = -3x + 2$.

**Latihan 7.5 ★.**

Selesaikan dengan substitusi:

$$
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
3x + y = 9
\end{cases}
\qquad\text{lalu}\qquad
\begin{cases}
x - y = 4 \\
2x + 3y = 3 .
\end{cases}
$$

**Solusi Latihan 7.5.**

Sistem pertama: substitusikan $y = 2x - 1$ ke $3x + y = 9$: $3x + 2x - 1 = 9$, jadi $5x = 10$, $x = 2$, lalu $y = 3$. Penyelesaiannya: $(2, 3)$.

Sistem kedua: dari $x - y = 4$, diperoleh $x = y + 4$. Lalu $2(y + 4) + 3y = 3$, jadi $5y = -5$, $y = -1$, lalu $x = 3$. Penyelesaiannya: $(3, -1)$.

**Latihan 7.6 ★.**

Selesaikan dengan eliminasi:

$$
\begin{cases}
x + y = 10 \\
x - y = 4
\end{cases}
\qquad\text{lalu}\qquad
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
2x + 5y = 8 .
\end{cases}
$$

**Solusi Latihan 7.6.**

Sistem pertama: menjumlahkan kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) melenyapkan $y$: $2x = 14$, $x = 7$; lalu $7 + y = 10$ memberi $y = 3$. Penyelesaiannya: $(7, 3)$.

Sistem kedua: kalikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pertama dengan $5$ dan yang kedua dengan $-2$:

$$
\begin{cases}
15x + 10y = 60 \\
-4x - 10y = -16
\end{cases}
$$

Setelah dijumlahkan: $11x = 44$, jadi $x = 4$; lalu $3 \times 4 + 2y = 12$ memberi $y = 0$. Penyelesaiannya: $(4, 0)$.

**Latihan 7.7 ★★.**

Tentukan, tanpa menyelesaikannya, berapa penyelesaian yang dipunyai tiap sistem:

$$
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = -6
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = 1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
x + y = 0 .
\end{cases}
$$

**Solusi Latihan 7.7.**

Hitunglah $ab' - a'b$ pada setiap kasus.

Pertama: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$, dan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) keduanya sama dengan $-2$ kali yang pertama: dua kali garis yang sama, jadi tak hingga banyak penyelesaian.

Kedua: $ab' - a'b = 0$ lagi, tetapi ruas kanannya tidak berbanding $-2$ ($1 \neq -6$): dua garis sejajar yang berbeda, jadi tanpa penyelesaian.

Ketiga: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$: tepat satu penyelesaian.

**Latihan 7.8 ★★.**

Dua ratus lembar karcis terjual untuk sebuah pementasan sekolah, sebagian seharga $5$ (anak-anak) dan sebagian seharga $9$ (dewasa), dengan jumlah $1352$. Berapa lembar karcis dari masing-masing jenis yang terjual?

**Solusi Latihan 7.8.**

Misalkan $x$ banyaknya karcis anak-anak dan $y$ banyaknya karcis dewasa:

$$
\begin{cases}
x + y = 200 \\
5x + 9y = 1352 .
\end{cases}
$$

Dari [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pertama $x = 200 - y$; setelah disubstitusikan, $5(200 - y) + 9y = 1352$, jadi $1000 + 4y = 1352$, $y = 88$, lalu $x = 112$. Jadi $112$ karcis anak-anak dan $88$ karcis dewasa. Periksa: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$.

**Latihan 7.9 ★★.**

Misalkan $d$ garis $y = 2x - 3$ dan $A(1, 4)$.

1. Berikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis $d'$ yang sejajar $d$ dan melalui $A$ .
2. Hitunglah titik potong $d'$ dengan sumbu $x$ .

**Solusi Latihan 7.9.**

*1.* Sejajar berarti [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) sama, yaitu $2$: $y = 2x + p$ dengan $4 = 2 \times 1 + p$, jadi $p = 2$: $d'\colon y = 2x + 2$.

*2.* Pada sumbu $x$ berlaku $y = 0$: $2x + 2 = 0$ memberi $x = -1$. Titik potongnya adalah $(-1, 0)$.

**Latihan 7.10 ★★★.**

Misalkan $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ dan $C(2, 4)$.

1. Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis berat segitiga $ABC$ yang ditarik dari $A$ dan dari $B$ (sebuah garis berat menghubungkan titik sudut dengan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) sisi di hadapannya).
2. Hitunglah titik potongnya $G$ , lalu periksa bahwa $G$ juga terletak pada garis berat ketiga. (Semestinya diperoleh bahwa [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $G$ adalah rata-rata [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $A$ , $B$ , $C$ .)

**Solusi Latihan 7.10.**

*1.* [Titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$: $A' = \left(\frac{6+2}{2},
\frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$. Garis berat dari $A(0,0)$ bergradien $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$: [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y = \frac34 x$.

[Titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AC]$: $B' = (1, 2)$. Garis berat dari $B(6, 2)$ bergradien $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$: garis itu mendatar, $y = 2$.

*2.* Titik potongnya: $\frac34 x = 2$ memberi $x = \frac83$, jadi $G\left(\frac83, 2\right)$. Garis berat ketiga menghubungkan $C(2,4)$ dengan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$, yaitu $C' = (3, 1)$; [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y = -3x + 10$. Di $x = \frac83$: $y = -8 + 10 = 2$: jadi $G$ terletak padanya. Dan memang $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$: titik beratnya merata-ratakan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) ketiga titik sudutnya.

## 7.4 Soal: Satu penyelesaian, tidak ada, atau tak hingga banyak

**Soal 7.1.**

Soal akhir pekan — dua garis mempunyai tiga nasib yang mungkin, sebuah determinan memutuskan di antaranya, dan buku pelajaran tertua di dunia sudah mengetahuinya

Dua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) linear, dua variabel: sepasang garis yang digambarnya dapat berpotongan sekali, tidak pernah, atau justru berimpit — dan *setiap* [sistem persamaan linear](#def-g10-lines-system) mewarisi salah satu dari ketiga nasib itu. Soal ini menggolongkannya, menjumpai bilangan yang memutuskannya (seorang kenalan lama dari bab [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-vector)), menyelesaikan soal burung pegar dan kelinci berumur dua ribu tahun dari kitab Tiongkok *Sembilan Bab*, lalu berakhir pada titik sudut sebuah daerah — yaitu langkah pertama pengoptimuman yang dipakai setiap maskapai dan pabrik dewasa ini.

**Bagian I — Garis, dengan fasih.**

1. Carilah [persamaan tereduksi](#thm-g10-lines-reduced) garis yang melalui $(1, 2)$ dan $(3, 8)$ ( [Metode 7.3](#met-g10-lines-through) ).
2. Di antara $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ dan $y = -x + 7$ : dua garis yang mana yang sejajar ( [Proposisi 7.5](#prop-g10-lines-parallel) ), dan di mana pasangan yang tidak sejajar bertemu? (Hitunglah satu titik potong.)
3. Garis melalui $(2, 1)$ dan $(2, 5)$ : mengapa garis itu tidak mempunyai [persamaan tereduksi](#thm-g10-lines-reduced) $y = mx + p$ , dan apa [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) ?
4. Apakah titik $(4, 11)$ terletak pada garis $y = 3x - 1$ ? Lalu $(-1, -5)$ ?
5. Garis melalui $(0, 3)$ dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $-2$ : berikan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) , kedua titik potong sumbunya, dan luas segitiga yang dipotongnya dari kuadran pertama.

**Bagian II — Tiga nasib.**

6. Selesaikan dengan substitusi ( [Metode 7.8](#met-g10-lines-substitution) ): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
7. Selesaikan dengan eliminasi ( [Metode 7.10](#met-g10-lines-elimination) ): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
8. Golongkan — lalu tafsirkan dengan garis — kedua sistem berikut $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}  \qquad\text{dan}\qquad  \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$$ Nyatakan trikotomi lengkapnya: berpotongan, sejajar, berimpit — satu penyelesaian, tidak ada, tak hingga banyak.
9. Untuk sistem umum $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , bilangan yang memutuskannya adalah $ad - bc$ — determinan yang sama dengan uji kekolinearan pada [Soal 6.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#pb-g10-vectors-1) . Jelaskan kebetulan itu (dua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-vector) yang mana yang [kolinear](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-collinear) tepat ketika garisnya sejajar atau berimpit?), lalu hitunglah $ad - bc$ untuk ketiga sistem pada pertanyaan 7 dan 8.
10. Untuk nilai $m$ yang mana $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ tidak mempunyai penyelesaian? Selesaikan sistem itu untuk semua nilai $m$ yang lain … atau setidaknya jelaskan bagaimana caranya.

**Bagian III — Kitab Sembilan Bab.**

11. Dari *Sembilan Bab tentang Seni Matematika* (Tiongkok, sekitar 2000 tahun silam): sebuah kandang berisi burung pegar dan kelinci — seluruhnya $35$ kepala dan $94$ kaki. Berapa ekor masing-masing?
12. Sebuah kedai jus mencampur sirop berkadar buah $60\,\%$ dengan minuman berkadar buah $20\,\%$ untuk memperoleh $30$ L berkadar buah $35\,\%$ . Berapa liter masing-masing?
13. Sebuah bilangan dua angka mempunyai jumlah angka $12$ ; menukar kedua angkanya mengurangi bilangan itu sebesar $18$ . Carilah bilangan itu, dengan memakai aljabar angka pada soal akhir pekan tentang aljabar angka di jilid sebelumnya untuk menyusun sistemnya.
14. Di toko roti, $3$ kopi dan $2$ croissant berharga $9.10$ euro; $2$ kopi dan $3$ croissant berharga $8.90$ euro. Selesaikan dengan anggun: apa yang langsung diberitahukan oleh *menjumlahkan* kedua [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dan oleh *mengurangkannya* ?
15. Sebuah lapak pasar mengaku: $2$ apel $+ 1$ pir seharga $5$ euro, dan $4$ apel $+ 2$ pir seharga $9$ euro. Selesaikan — atau lebih tepat, jelaskan apa yang disingkapkan nasib sistem itu tentang aritmetika si pedagang.

**Bagian IV — Titik sudut yang menentukan.**

16. Garis $y = 3x - 1$ membelah bidang menjadi dua. Di sisi mana titik asalnya berada? Perikan himpunan $y > 3x - 1$ dan bagaimana cara menguji sebuah titik terhadapnya.
17. Gambarlah daerah yang ditentukan oleh keempat kendala $$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4,  \qquad y \leq 2x + 1,$$ lalu hitunglah keempat titik sudutnya.
18. Laba sebuah bengkel adalah $P = 3x + 2y$ pada daerah di pertanyaan 17. Hitunglah $P$ di keempat titik sudutnya. Dengan menerima bahwa [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) besaran linear semacam itu pada daerah semacam itu selalu dicapai di sebuah titik sudut (bayangkan keluarga garis $3x + 2y$ tetap yang menyapu daerahnya), berikan rencana produksi yang optimum.
19. Kedua taksi pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya sebagai sebuah sistem: tulislah lalu selesaikan $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ lalu tafsirkan penyelesaiannya.
20. Penutup, kamusnya: satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\leftrightarrow$ satu garis; satu sistem $\leftrightarrow$ dua garis dengan tiga nasib, yang diputuskan oleh $ad - bc$ ; banyak pertidaksamaan $\leftrightarrow$ sebuah daerah yang titik sudutnya mengusung nilai optimum. Nyatakan itu dalam tiga kalimat — kamu baru saja berkeliling serambi depan *aljabar linear* dan *pemrograman linear* , yang keduanya dibangun utuh pada jilid universitas.

**Solusi Soal 7.1.**

**1.** [Gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$; melalui $(1, 2)$: $y = 3x - 1$.

**2.** $y = 3x - 1$ dan $y = 3x + 4$: [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) sama, jadi sejajar (dan berbeda). Memotongkan $y = 3x - 1$ dengan $y = -x + 7$: $3x - 1 = -x + 7$ memberi $x = 2$, $y = 5$: titik $(2, 5)$.

**3.** Kedua titiknya berbagi $x = 2$: garisnya tegak, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x = 2$. Bentuk tereduksi $y = mx + p$ menjawab “satu $y$ untuk setiap $x$”, dan itu ditolak oleh garis tegak: [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) akan menjadi takhingga.

**4.** $3 \times 4 - 1 = 11$: ya, $(4, 11)$ terletak pada garis itu. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$: tidak.

**5.** $y = -2x + 3$; memotong kedua sumbu di $(0, 3)$ dan $\left(\frac32, 0\right)$. Luas segitiganya: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$.

**6.** Setelah disubstitusikan: $3x + 2x - 3 = 7$, $x = 2$, $y = 1$: penyelesaiannya $(2, 1)$.

**7.** Setelah dijumlahkan: $7x = 7$, $x = 1$; lalu $3y = 6$, $y = 2$: penyelesaiannya $(1, 2)$.

**8.** Sistem pertama: [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) keduanya dua kali yang pertama: satu garis yang terhitung dua kali — tak hingga banyak penyelesaian (semua titik pada $2x - y = 3$). Sistem kedua: ruas kirinya sebanding, ruas kanannya tidak ($2 \times 3 = 6 \neq 1$): dua garis sejajar — tanpa penyelesaian. Trikotominya: [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) berbeda $\to$ satu titik potong; [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) sama, titik potong sumbu berbeda $\to$ sejajar, tanpa penyelesaian; semuanya sama $\to$ garis yang sama, tak hingga banyak penyelesaian.

**9.** [Vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-vector) arah kedua garisnya adalah $(-b, a)$ dan $(-d, c)$ (atau: [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $-\frac ab$ dan $-\frac cd$), yang [kolinear](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#def-g10-vectors-collinear) tepat ketika $ad - bc = 0$ — determinan [Soal 6.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/6-vektor#pb-g10-vectors-1) dalam pekerjaan baru. Nilainya: pertanyaan 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$: penyelesaiannya tunggal. Pertanyaan 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ untuk keduanya: sejajar atau berimpit, dan konstantanyalah yang memisahkan kedua kasus itu.

**10.** $ad - bc = 6 - 2m$: bernilai nol untuk $m = 3$. Di sana $x + 3y = 3$ berhadapan dengan $2x + 6y = 7$: melipatduakan yang pertama memberi $2x + 6y = 6 \neq 7$: sejajar, jadi *tanpa penyelesaian*. Untuk $m \neq 3$, eliminasi memberi penyelesaian tunggal $y = \frac{1}{6 - 2m}$, lalu $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$.

**11.** $p + r = 35$, $2p + 4r = 94$: setelah dibagi dua, $p + 2r = 47$, jadi $r = 12$ dan $p = 23$: dua puluh tiga burung pegar, dua belas kelinci — jawaban kitab *Sembilan Bab* sendiri.

**12.** $x + y = 30$ dan $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 =
10.5$: dengan mengurangkan $0.2 \times$ yang pertama, $0.4x = 4.5$: $x = 11.25$ L sirop, $y = 18.75$ L minuman.

**13.** Angkanya $a$, $b$: $a + b = 12$ dan $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$, jadi $a - b = 2$: $a = 7$, $b = 5$: bilangannya $75$.

**14.** Setelah dijumlahkan: $5c + 5r = 18$, jadi $c + r = 3.60$ — yaitu satu kopi ditambah satu croissant. Setelah dikurangkan: $c - r = 0.20$. Jadi $c = 1.90$ dan $r = 1.70$ euro: jalan pintas yang setangkup itu menyelesaikannya tanpa substitusi apa pun.

**15.** Melipatduakan pengakuan pertama memberi $4$ apel $+ 2$ pir $= 10$ euro, padahal lapak itu menarik $9$: sistemnya taktaat-asas — garis sejajar, himpunan penyelesaiannya kosong. Putusannya: kedua pengakuan harga itu tidak mungkin benar bersamaan; entah ada potongan harga yang disembunyikan, entah aritmetikanya.

**16.** Di titik asal: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$: benar, jadi $(0,0)$ terletak di daerah $y > 3x - 1$ (di atas garisnya). Ujilah sebarang titik dengan memasukkannya: di atas atau di bawah menurut benar tidaknya pertidaksamaan itu.

**17.** Titik sudutnya: $(0, 0)$; $(4, 0)$ (sumbu dan $x + y = 4$); $(0, 1)$ (sumbu dan $y = 2x + 1$); serta perpotongan $x + y = 4$ dengan $y = 2x + 1$: $x = 1$, $y = 3$: yaitu $(1, 3)$.

**18.** $P(0,0) = 0$; $P(4, 0) = 12$; $P(0, 1) = 2$; $P(1, 3) = 9$. [Maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) di titik sudut $(4, 0)$: rencana $x = 4$, $y = 0$ memberi $12$ — titik sudutlah yang menentukan, seperti diperlihatkan garis sejajar $3x + 2y = c$ yang menyapu daerahnya.

**19.** $1.5x + 3 = 2x$ memberi $x = 6$, $y = 12$: pada enam kilometer kedua taksi menarik dua belas euro — titik impas pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya, kini menjadi penyelesaian tunggal sebuah sistem.

**20.** Penyelesaian sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) linear menggambar sebuah garis; sebuah sistem menumpukkan dua garis, dan $ad - bc$ memberitahukan sekilas apakah keduanya berpotongan sekali (bila taknol) atau jatuh ke kasus sejajar atau berimpit (bila nol). Tumpuklah pertidaksamaan sebagai gantinya dan penyelesaiannya membentuk daerah segi banyak yang titik sudutnya mengusung nilai optimum linear mana pun. Aljabar linear memperumum determinan itu ke sebarang banyak variabel; pemrograman linear memperindustrikan titik sudutnya.