---
title: "Statistika Deskriptif"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 8
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif
---

# Bab 8 — Statistika Deskriptif

Statistika merangkum kumpulan bilangan yang besar — nilai, gaji, suhu — dengan segelintir penunjuk yang dipilih baik-baik. Bab ini memperkenalkan dua keluarga penunjuk: yang menentukan *pusat* datanya ([rata-rata](#def-g10-stats-mean), [median](#def-g10-stats-median)) dan yang mengukur *sebarannya* ([jangkauan](#def-g10-stats-quartiles), [kuartil](#def-g10-stats-quartiles)). Pembahasan yang lebih dalam, termasuk simpangan baku, menyusul pada [Bab 17](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#ch-g11-stat).

## 8.1 Data dan frekuensi relatif

**Definisi 8.1 (Data statistik).**

Sebuah *data statistik* adalah daftar nilai $x_1, x_2, \dots, x_N$ yang teramati pada populasi berukuran $N$. Bila sebuah nilai $x$ muncul $n$ kali, $n$ disebut *frekuensinya* dan hasil bagi

$$
f = \frac{n}{N}
$$

disebut *frekuensi relatifnya* (sering dinyatakan dalam persen). Frekuensi relatif semua nilainya berjumlah $1$.

**Contoh 8.2.**

Nilai $20$ siswa pada kuis berskala $5$ butir:

| nilai $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| frekuensi $n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $5$ | $2$ |
| [frekuensi relatif](#def-g10-stats-series) $f$ | $0.05$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.30$ | $0.25$ | $0.10$ |

Periksa: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ dan [frekuensi relatifnya](#def-g10-stats-series) berjumlah $1$.

![Diagram batang nilai kuisnya: satu batang untuk setiap nilai, dengan tinggi sama dengan frekuensinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-c9eefa0b4837.svg)

*Diagram batang nilai kuisnya: satu batang untuk setiap nilai, dengan tinggi sama dengan frekuensinya.*

## 8.2 Ukuran pemusatan

**Definisi 8.3 (Rata-rata).**

*Rata-rata* sebuah data adalah

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.
$$

Jika nilai $v_1, \dots, v_k$ muncul dengan frekuensi $n_1, \dots, n_k$, bilangan yang sama dihitung sebagai *rata-rata berbobot*

$$
\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.
$$

**Contoh 8.4.**

Untuk kuis pada [Contoh 8.2](#ex-g10-stats-frequencies):

$$
\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3
+ 5 \times 4 + 2 \times 5}{20}
= \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20}
= \frac{58}{20} = 2.9 .
$$

**Definisi 8.5 (Median).**

*Median* adalah nilai yang membelah data yang sudah *terurut* menjadi dua paruh: paling sedikit separuh nilainya $\leq$ median, dan paling sedikit separuh nilainya $\geq$ median. Dalam praktiknya, urutkan $N$ nilai itu;

- jika $N$ ganjil, mediannya adalah nilai di tengah, pada urutan $\frac{N+1}{2}$ ;
- jika $N$ genap, ambil [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) dua nilai di tengah, yaitu pada urutan $\frac N2$ dan $\frac N2 + 1$ .

**Contoh 8.6.**

Data terurut $7$ harga rumah (dalam ribuan): $120$, $150$, $160$, $180$, $210$, $240$, $900$. [Mediannya](#def-g10-stats-median) adalah nilai ke-$4$, yaitu $180$. [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{1960}{7} = 280$ — lebih besar daripada $6$ di antara $7$ harga itu! Satu nilai ekstrem ($900$) menarik [rata-rata](#def-g10-stats-mean) jauh lebih kuat daripada [median](#def-g10-stats-median): [median](#def-g10-stats-median) bersifat *kekar*, [rata-rata](#def-g10-stats-mean) tidak.

## 8.3 Ukuran penyebaran

**Definisi 8.7 (Jangkauan, kuartil).**

Untuk data yang sudah terurut:

- *jangkauan* adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil;
- *kuartil pertama* $Q_1$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit seperempat ( $25\%$ ) nilainya $\leq Q_1$ ; *kuartil ketiga* $Q_3$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit tiga perempat ( $75\%$ ) nilainya $\leq Q_3$ ;
- *jangkauan antarkuartil* $Q_3 - Q_1$ mengukur sebaran paruh tengah datanya.

**Metode 8.8 (Mencari kuartil).**

Untuk data dengan $N$ nilai terurut:

1. hitunglah $\frac N4$ ; bila hasilnya bukan [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) , bulatkan *ke atas* ; $Q_1$ adalah nilai pada urutan itu;
2. hitunglah $\frac{3N}{4}$ ; bulatkan ke atas bila perlu; $Q_3$ adalah nilai pada urutan itu.

**Contoh 8.9.**

Ambil $11$ nilai terurut berikut

$$
2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .
$$

[Median](#def-g10-stats-median): urutan $\frac{11+1}{2} = 6$, jadi [mediannya](#def-g10-stats-median) $7$. $Q_1$: $\frac{11}{4} = 2.75$, dibulatkan ke atas menjadi $3$; nilai ke-$3$ adalah $5$. $Q_3$: $\frac{33}{4} = 8.25$, dibulatkan ke atas menjadi $9$; nilai ke-$9$ adalah $9$. [Jangkauannya](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 2 = 10$; [jangkauan antarkuartilnya](#def-g10-stats-quartiles): $9 - 5 = 4$.

![Diagram kotak : kotaknya membentang sepanjang interval antarkuartil (Q_1, Q_3) dan memuat paruh tengah datanya; kedua sungutnya mencapai nilai ekstremnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-f9d523c190c3.svg)

*Diagram kotak [Contoh 8.9](#ex-g10-stats-quartiles): kotaknya membentang sepanjang [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) antarkuartil $\intcc{Q_1}{Q_3}$ dan memuat paruh tengah datanya; kedua sungutnya mencapai nilai ekstremnya.*

**Contoh 8.10 (Membandingkan dua kelompok).**

Dua kelas mengerjakan ujian yang sama (nilai dari $20$):

|  | [median](#def-g10-stats-median) | $Q_1$ | $Q_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| kelas A | $12$ | $10$ | $14$ |
| kelas B | $12$ | $6$ | $17$ |

[Mediannya](#def-g10-stats-median) sama, sebarannya sangat berbeda: kelas A homogen (separuh nilainya di $\intcc{10}{14}$), kelas B heterogen (paruh tengahnya membentang sepanjang $\intcc{6}{17}$). Ukuran pemusatan saja tidak pernah menceritakan seluruh kisahnya.

**Catatan 8.11.**

Baik [rata-rata](#def-g10-stats-mean) maupun [median](#def-g10-stats-median) tidak ada yang “lebih baik”: [rata-rata](#def-g10-stats-mean) memakai setiap nilai (dan diperlukan untuk menghitung jumlah keseluruhan), [median](#def-g10-stats-median) bertahan terhadap nilai ekstrem. Ringkasan data yang sungguh-sungguh memberi paling sedikit satu ukuran pemusatan *dan* satu ukuran penyebaran.

## 8.4 Latihan

**Latihan 8.1 ★.**

Berikut banyaknya buku yang dibaca dalam setahun oleh $15$ siswa:

$$
0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .
$$

Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean), [median](#def-g10-stats-median) dan [jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) data ini.

**Solusi Latihan 8.1.**

Jumlahnya: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$, jadi [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{60}{15} = 4$. Datanya sudah terurut dan $N = 15$ ganjil: [mediannya](#def-g10-stats-median) adalah nilai ke-$8$, yaitu $3$. [Jangkauannya](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 0 = 12$.

**Latihan 8.2 ★.**

Sebuah dadu dilempar $50$ kali:

| hasil | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| frekuensi | $7$ | $9$ | $8$ | $10$ | $6$ | $10$ |

Hitunglah [frekuensi relatif](#def-g10-stats-series) setiap hasil dan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) hasilnya.

**Solusi Latihan 8.2.**

[Frekuensi relatifnya](#def-g10-stats-series): $\frac{7}{50} = 0.14$, $\frac{9}{50} = 0.18$, $\frac{8}{50} = 0.16$, $\frac{10}{50} = 0.20$, $\frac{6}{50} = 0.12$, $\frac{10}{50} = 0.20$ (berjumlah $1$). [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) hasilnya:

$$
\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4
+ 6 \times 5 + 10 \times 6}{50}
= \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50}
= \frac{179}{50} = 3.58 .
$$

**Latihan 8.3 ★.**

Carilah [median](#def-g10-stats-median), $Q_1$ dan $Q_3$ dari data terurut

$$
1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),
$$

lalu gambarlah diagram kotaknya.

**Solusi Latihan 8.3.**

$N = 12$ (genap): [mediannya](#def-g10-stats-median) adalah [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) nilai ke-$6$ dan ke-$7$, keduanya sama dengan $6$: jadi [mediannya](#def-g10-stats-median) $6$.

$Q_1$: $\frac{12}{4} = 3$, jadi $Q_1$ adalah nilai ke-$3$: yaitu $4$.

$Q_3$: $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, jadi $Q_3$ adalah nilai ke-$9$: yaitu $8$.

Diagram kotaknya: kotak dari $4$ sampai $8$ dengan garis [median](#def-g10-stats-median) di $6$, dan sungut dari $1$ sampai $11$.

**Latihan 8.4 ★.**

[Rata-rata](#def-g10-stats-mean) $24$ nilai ujian adalah $11.5$. Siswa ke-$25$ mengikuti ujian itu dan memperoleh $19$. Berapa [rata-rata](#def-g10-stats-mean) kelas yang baru?

**Solusi Latihan 8.4.**

Ke-$24$ nilai itu berjumlah $24 \times 11.5 = 276$. Dengan nilai yang baru, jumlahnya menjadi $276 + 19 = 295$ untuk $25$ siswa: [rata-rata](#def-g10-stats-mean) barunya $\frac{295}{25} = 11.8$.

**Latihan 8.5 ★★.**

Seorang siswa mempunyai [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $12$ setelah $5$ ujian yang berbobot sama. Nilai berapa pada ujian ke-$6$ yang akan menaikkan [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) menjadi $13$? Apakah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $14$ terjangkau (nilainya dari $20$)?

**Solusi Latihan 8.5.**

Jumlah sekarang: $5 \times 12 = 60$. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) $13$ atas $6$ ujian menuntut jumlah $78$, sehingga nilai ke-$6$ haruslah $78 - 60 = 18$. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) $14$ menuntut $84 - 60 = 24 > 20$: jadi tidak terjangkau.

**Latihan 8.6 ★★.**

Ciptakan sebuah data berisi $7$ nilai taknegatif yang [mediannya](#def-g10-stats-median) $10$ dan [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) lebih besar daripada $20$; lalu satu lagi yang [mediannya](#def-g10-stats-median) $10$ dan [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) lebih kecil daripada $6$. Mengapa [rata-rata](#def-g10-stats-mean) data semacam itu tidak pernah lebih kecil daripada $\frac{40}{7}$? Apa yang diperlihatkan contoh ini?

**Solusi Latihan 8.6.**

[Rata-rata](#def-g10-stats-mean) lebih besar daripada $20$: misalnya $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — [mediannya](#def-g10-stats-median) $10$ (nilai terurut ke-$4$), [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{166}{7} \approx 23.7$.

[Rata-rata](#def-g10-stats-mean) lebih kecil daripada $6$: misalnya $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — [mediannya](#def-g10-stats-median) $10$, [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{40}{7} \approx 5.7$.

[Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) tidak dapat turun di bawah $\frac{40}{7}$: agar [mediannya](#def-g10-stats-median) (nilai terurut ke-$4$) sama dengan $10$, nilai pada urutan $4$ sampai $7$ semuanya harus $\geq 10$, sehingga jumlahnya paling sedikit $40$ dan [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) paling sedikit $\frac{40}{7}$ — contoh kedua itulah yang ekstrem.

Contoh ini memperlihatkan bahwa [rata-rata](#def-g10-stats-mean) dan [median](#def-g10-stats-median) sebagian besar saling bebas: mengetahui yang satu hanya sedikit menceritakan yang lain, dan itulah sebabnya ringkasan yang baik melaporkan keduanya.

**Latihan 8.7 ★★.**

Di sebuah perusahaan, $9$ karyawannya masing-masing bergaji $1800$ per bulan dan direkturnya bergaji $12000$.

1. Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) dan [median](#def-g10-stats-median) gajinya.
2. Ukuran mana yang paling baik memerikan gaji “khas” di sini? Mengapa?

**Solusi Latihan 8.7.**

*1.* [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean): $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$. [Median](#def-g10-stats-median): setelah diurutkan, $10$ gaji itu adalah sembilan nilai $1800$ lalu $12000$; [mediannya](#def-g10-stats-median) adalah [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) nilai ke-$5$ dan ke-$6$, keduanya $1800$: jadi [mediannya](#def-g10-stats-median) $1800$.

*2.* [Median](#def-g10-stats-median) ($1800$) memerikan gaji yang khas: itulah yang sungguh-sungguh diterima $9$ dari $10$ karyawan. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) ($2820$) tertarik naik oleh satu gaji tinggi dan tidak cocok dengan slip gaji siapa pun.

**Latihan 8.8 ★★.**

Sebuah kelas dengan $12$ murid laki-laki mempunyai [rata-rata](#def-g10-stats-mean) tinggi $168$ cm; $18$ murid perempuan di kelas yang sama mempunyai [rata-rata](#def-g10-stats-mean) tinggi $163$ cm. Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) tinggi seluruh kelas. (Hati-hati: nilainya *bukan* [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $168$ dan $163$ — bobotilah [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) dengan ukuran kelompoknya.)

**Solusi Latihan 8.8.**

Jumlah tingginya: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm untuk $30$ siswa, jadi [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Nilainya lebih dekat ke [rata-rata](#def-g10-stats-mean) murid perempuan karena jumlah mereka lebih banyak ([rata-rata](#def-g10-stats-mean) berbobot, dengan bobot $12$ dan $18$).

**Latihan 8.9 ★★★.**

Sebuah data berisi $N$ nilai $x_1, \dots, x_N$ mempunyai [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $\bar x$. Setiap nilainya diubah menjadi $y_i = a x_i + b$ untuk bilangan tetap $a$ dan $b$.

1. Tunjukkan bahwa [rata-rata](#def-g10-stats-mean) data yang baru adalah $a \bar x + b$ .
2. Suhu selama sepekan, dalam derajat Celsius, mempunyai [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $20$ . Berapa [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) dalam derajat Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

**Solusi Latihan 8.9.**

*1.* [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) barunya adalah

$$
\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N}
= \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N}
= \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N}
= a \bar x + b .
$$

*2.* Dengan $a = 1.8$ dan $b = 32$: [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ derajat Fahrenheit.

## 8.5 Soal: Orang rata-rata itu tidak ada

**Soal 8.1.**

Soal akhir pekan — rata-rata melawan median: pencilan, penyesuaian nilai, gudang di tepi jalan, dan kokpit yang dirancang untuk siapa-siapa

Pada tahun 1950 Angkatan Udara Amerika Serikat mengukur $4\,000$ penerbang pada sepuluh ukuran tubuh lalu membangun kokpit bagi *lelaki [rata-rata](#def-g10-stats-mean)*. Kokpit itu ternyata pas — seperti ditemukan seorang letnan lewat penghitungan — untuk hampir tidak seorang pun. Statistika merangkum kerumunan dengan bilangan tunggal, dan setiap ringkasan mengatakan kebenaran tentang sesuatu sekaligus berbohong tentang hal lain. Soal ini menyeret [rata-rata](#def-g10-stats-mean) dan [median](#def-g10-stats-median) ([Definisi 8.3](#def-g10-stats-mean), [Definisi 8.5](#def-g10-stats-median)) ke persidangan, membiarkan masing-masing memperlihatkan keunggulannya, lalu menutup perkara kokpit itu.

**Bagian I — Dua ringkasan diadili.**

1. Sebuah jalan menjual tujuh rumah, dalam ribuan euro: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — dan satu rumah besar seharga $1\,200$ . Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) dan [median](#def-g10-stats-median) harganya. Bilangan mana yang memerikan “sebuah rumah di jalan ini”?
2. Buang rumah besar itu lalu hitung ulang keduanya. Sejauh mana masing-masing ringkasan bergeser? Nyatakan moralnya tentang pencilan.
3. Sebuah tabel sensus: dari $100$ keluarga, $20$ tidak punya anak, $25$ punya satu, $30$ punya dua, $15$ punya tiga, dan $10$ punya empat. Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) banyaknya anak. Tidak ada keluarga yang “punya $1.7$ anak” — lalu besaran nyata apa yang disandikan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) itu? (Kalikan dengan $100$ .)
4. Untuk kelima belas nilai $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : carilah [median](#def-g10-stats-median) dan [kuartil](#def-g10-stats-quartiles) $Q_1$ , $Q_3$ ( [Metode 8.8](#met-g10-stats-quartiles) ).
5. Untuk data yang sama, berikan [jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) dan [jangkauan antarkuartilnya](#def-g10-stats-quartiles) . Apa yang diukur masing-masing?

**Bagian II — Penyesuaian nilai dan kelas gabungan.**

6. Dari [Latihan 8.9](#exo-g10-stats-9) : menggeser setiap nilai sebesar $+b$ menggeser [rata-rata](#def-g10-stats-mean) , [median](#def-g10-stats-median) dan [kuartil](#def-g10-stats-quartiles) sebesar $+b$ ; penskalaan dengan $a$ menskalakan semuanya dengan $a$ . Apa yang terjadi pada [jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) dan [jangkauan antarkuartil](#def-g10-stats-quartiles) di bawah pergeseran? Di bawah penskalaan? Berikan alasannya.
7. Sebuah ujian berrata-rata $9$ (dari $20$ ) dan gurunya menginginkan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $12$ . Dua penyesuaian diusulkan: menambah $3$ angka kepada semua orang, atau mengalikan setiap nilai dengan $\frac43$ . Hitunglah nasib siswa bernilai $6$ dan siswa bernilai $18$ di bawah masing-masing penyesuaian. Penyesuaian mana yang menguntungkan siapa — dan yang mana bermasalah dengan batas atasnya?
8. Kelas A ( $20$ siswa) berrata-rata $12$ ; kelas B ( $30$ siswa) berrata-rata $10$ . Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $50$ siswa itu bersama-sama, lalu jelaskan mengapa nilainya bukan $11$ (pelajaran [rata-rata](#def-g10-stats-mean) berbobot pada soal akhir pekan tentang [rata-rata](#def-g10-stats-mean) harmonik di jilid sebelumnya, kini di ruang kelas).
9. Tunjukkan bahwa [median](#def-g10-stats-median) menolak permainan ini: hitunglah [median](#def-g10-stats-median) $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{0, 10\}$ , lalu [median](#def-g10-stats-median) daftar gabungannya, lalu bandingkan dengan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) kedua [median](#def-g10-stats-median) itu yang dibobot ukurannya.
10. Seluncur indah: lima juri memberi nilai $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Hitunglah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) , [median](#def-g10-stats-median) , dan *[rata-rata](#def-g10-stats-mean) terpangkas* (buang yang terendah dan tertinggi, lalu rata-ratakan sisanya). Mengapa kebanyakan olahraga berjuri memangkas?

**Bagian III — Membaca sebaran.**

11. Dua pabrik sama-sama menghasilkan baut dengan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) panjang $50$ mm. Pabrik A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; pabrik B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Kamu memerlukan baut yang dapat saling dipertukarkan: pabrik mana, dan statistik mana yang memutuskan?
12. Di sebuah klinik, [median](#def-g10-stats-median) waktu tunggunya $10$ menit tetapi [rata-rata](#def-g10-stats-mean) waktu tunggunya $25$ . Bentuk data seperti apa yang dibocorkan pasangan ini? Susunlah kumpulan lima nilai dengan [median](#def-g10-stats-median) dan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) persis seperti itu.
13. “Bayimu berada pada persentil ke-75 untuk tinggi badan” — apa arti kalimat itu? Dan mungkinkah setiap anak di sebuah kota berada “di atas [rata-rata](#def-g10-stats-mean) ”? Di atas [median](#def-g10-stats-median) ? Jelaskan bedanya.
14. Kelas A: min $4$ , $Q_1\,8$ , [median](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,13$ , maks $17$ . Kelas B: min $2$ , $Q_1\,9$ , [median](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,12$ , maks $19$ . Bandingkan: nilai yang khas, kehomogenan paruh tengahnya, dan keliaran nilai ekstremnya.
15. Daftar periksa sang wartawan: sebuah tajuk berbunyi “ [rata-rata](#def-g10-stats-mean) gaji di TechCorp: $5\,000$ euro”. Daftarkan ketiga pertanyaan yang diajarkan soal ini untuk ditanyakan sebelum mempercayai bahwa tajuk itu mengatakan sesuatu tentang karyawan yang khas.

**Bagian IV — Perkara kokpit.**

16. Bangunlah buktimu sendiri: susunlah lima harga rumah dengan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $300$ dan [median](#def-g10-stats-median) $200$ (dalam ribuan euro).
17. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) adalah titik seimbangnya: buktikan dari definisinya bahwa simpangan terhadap [rata-rata](#def-g10-stats-mean) selalu saling menghapus, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , lalu periksalah pada kumpulan datamu di pertanyaan 16.
18. [Median](#def-g10-stats-median) adalah peminimum jarak tempuh: toko-toko berada pada kilometer $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ sebuah jalan, dan sebuah gudang harus meminimumkan *jarak total* ke kelima toko itu. Hitunglah jarak total itu untuk gudang di [median](#def-g10-stats-median) ( $4$ ), di [rata-rata](#def-g10-stats-mean) ( $6$ ), dan di $5$ . Siapa yang menang? (Hal ini berlaku umum: [median](#def-g10-stats-median) meminimumkan jarak mutlak total — ujilah tempat mana pun yang lain.)
19. Perkara kokpit, terpecahkan: andaikan seorang penerbang mempunyai peluang $30\,\%$ untuk “dekat dengan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) ” pada satu ukuran tubuh, saling bebas untuk $10$ ukuran. Taksirlah peluang untuk dekat dengan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) pada *kesepuluh ukuran* — lalu cocokkan hasilnya dengan apa yang ditemukan sang letnan pada $4\,000$ penerbang. Apa yang dibangun Angkatan Udara sebagai ganti kokpit [rata-rata](#def-g10-stats-mean) itu?
20. Penutup — panduan pemakainya, satu baris untuk masing-masing: bila yang penting adalah jumlah keseluruhan (anggaran, hasil panen), pakailah …; bila yang penting adalah individu yang khas (gaji, waktu tunggu), pakailah …; bila yang penting adalah keadilan sebarannya, laporkanlah …; bila pencemaran data mengancam, pakailah …. Tutuplah perkaranya dengan judul soal ini.

**Solusi Soal 8.1.**

**1.** [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean): $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ ribu euro; [mediannya](#def-g10-stats-median): harga keempat dari tujuh harga terurut, yaitu $230$. Medianlah yang memerikan jalan itu — enam dari tujuh rumahnya berharga jauh dari $364$.

**2.** Tanpa rumah besar itu: [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,350}{6} = 225$, [mediannya](#def-g10-stats-median) $\frac{220 + 230}{2} = 225$. [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) turun sekitar $139$; [mediannya](#def-g10-stats-median) turun $5$. Satu nilai ekstrem dapat menyeret [rata-rata](#def-g10-stats-mean) ke mana saja; [median](#def-g10-stats-median) nyaris tidak menyadarinya — [median](#def-g10-stats-median) bersifat *kekar*.

**3.** [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times
30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$. Tidak ada keluarga yang punya $1.7$ anak, tetapi $1.7 \times 100 = 170$ *memang* jumlah anak yang tepat: [rata-rata](#def-g10-stats-mean) menyandikan jumlah keseluruhan, yang dibagi rata — itulah bakat sejatinya.

**4.** $N = 15$: [mediannya](#def-g10-stats-median) $=$ nilai ke-8 $= 11$; $Q_1 =$ nilai ke-4 $= 8$; $Q_3 =$ nilai ke-12 $= 14$.

**5.** [Jangkauannya](#def-g10-stats-quartiles) $19 - 4 = 15$: sebaran penuh, termasuk nilai ekstremnya. [Jangkauan antarkuartilnya](#def-g10-stats-quartiles) $14 - 8 = 6$: lebar paruh tengahnya — sebaran tanpa derau nilai ekstremnya.

**6.** Pergeseran $+b$ menggerakkan *setiap* nilai, sehingga selisih antarnilai — [jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) dan [jangkauan antarkuartil](#def-g10-stats-quartiles) — tidak berubah: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$. Penskalaan dengan $a$ mengalikan semua selisihnya dengan $a$: [jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) dan [jangkauan antarkuartil](#def-g10-stats-quartiles) terskalakan dengan $\abs a$.

**7.** Penyesuaian penjumlahan: $6 \to 9$ dan $18 \to 21$ — siswa lemah beruntung $50\,\%$, yang kuat $17\,\%$, dan $21$ hanya sedikit melampaui skala $20$ angka. Penyesuaian perkalian: $6 \to 8$ dan $18 \to 24$ — perbandingannya terpelihara, tetapi $24$ mustahil pada skala $20$: itulah masalah batas atasnya. Penyesuaian penjumlahan menyanjung yang di bawah; penyesuaian perkalian meledakkan yang di atas.

**8.** Jumlah nilainya: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$, sehingga [rata-rata](#def-g10-stats-mean) gabungannya $\frac{540}{50} = 10.8$: tiga puluh siswa kelas B mengalahkan dua puluh siswa kelas A — [rata-rata](#def-g10-stats-mean) itu bergabung lewat [rata-rata](#def-g10-stats-mean) *berbobot*, tidak pernah lewat [rata-rata](#def-g10-stats-mean) biasa.

**9.** [Median](#def-g10-stats-median) $A$: $2$; [median](#def-g10-stats-median) $B$: $5$. Daftar gabungannya $\{0, 1, 2, 3, 10\}$: [mediannya](#def-g10-stats-median) $2$. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) kedua [median](#def-g10-stats-median) yang dibobot ukurannya adalah $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2
\neq 2$: [median](#def-g10-stats-median) tidak mengusung jumlah keseluruhan, sehingga tidak ada rumus penggabungan — seluruh daftarnya harus diurutkan ulang.

**10.** [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean): $\frac{31.3}{5} = 6.26$. [Mediannya](#def-g10-stats-median): $5.4$. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) terpangkasnya: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$. Satu juri yang bersemangat (atau korup) menggeser [rata-rata](#def-g10-stats-mean) hampir satu angka; [median](#def-g10-stats-median) dan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) terpangkas tidak bergeming — dari sanalah aturan pemangkasan pada olahraga berjuri.

**11.** Pabrik A: paruh tengahnya berada dalam $0.2$ mm; pabrik B: dalam $4$ mm. [Rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) sama, keterandalannya berlawanan: belilah dari A. [Jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) antarkuartillah yang memutuskan — [rata-rata](#def-g10-stats-mean) saja hanya membandingkan pusat, tidak pernah keajekan.

**12.** [Median](#def-g10-stats-median) jauh di bawah [rata-rata](#def-g10-stats-mean) membocorkan adanya *ekor kanan yang panjang*: kebanyakan waktu tunggunya singkat, beberapa membencanakan. Contohnya: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — [mediannya](#def-g10-stats-median) $10$, [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{125}{5} = 25$.

**13.** Artinya $75\,\%$ bayi seusia itu lebih pendek (dan $25\,\%$ lebih tinggi): itu peringkat, bukan ukuran. “Setiap anak di atas [rata-rata](#def-g10-stats-mean)” mustahil — kalau semua nilainya melampaui [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean), [rata-rata](#def-g10-stats-mean) nilai itu akan melampaui dirinya sendiri: kontradiksi. Tetapi *hampir* semuanya bisa: satu anak yang sangat pendek dapat menahan [rata-rata](#def-g10-stats-mean) di bawah semua yang lain. Di atas *[median](#def-g10-stats-median)*: tidak pernah lebih dari separuh, menurut definisinya. Peringkat tidak dapat disanjung; [rata-rata](#def-g10-stats-mean) bisa.

**14.** Nilai yang khas: sama, [mediannya](#def-g10-stats-median) $11$ untuk keduanya. Kehomogenan bagian tengahnya: B lebih rapat ([jangkauan antarkuartil](#def-g10-stats-quartiles) $3$ lawan $5$). Nilai ekstremnya: B lebih liar ([jangkauan](#def-g10-stats-quartiles) $17$ lawan $13$). B adalah kelas berisi siswa yang serupa ditambah beberapa pencilan; A tersebar merata.

**15.** (1) Apakah $5\,000$ itu [rata-rata](#def-g10-stats-mean) atau [median](#def-g10-stats-median) — dan bolehkah saya memperoleh [mediannya](#def-g10-stats-median)? (2) Berapa sebarannya ([kuartilnya](#def-g10-stats-quartiles)), agar saya tahu seberapa khas “yang khas” itu? (3) Siapa saja yang terhitung — ukuran sampel dan cara pemilihannya (pelajaran jajak pendapat pada soal akhir pekan tentang cara data berdusta di jilid sebelumnya)?

**16.** Misalnya $100, 150, 200, 250, 800$: [mediannya](#def-g10-stats-median) $200$, [rata-ratanya](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,500}{5} = 300$.

**17.** $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x =
N\bar x - N\bar x = 0$. Periksa: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 =
0$. [Rata-rata](#def-g10-stats-mean) adalah titik tempat simpangannya seimbang — yaitu titik berat datanya (titik $G$ pada soal akhir pekan tentang titik berat di jilid sebelumnya, dalam satu dimensi).

**18.** Di [median](#def-g10-stats-median) $4$: $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Di [rata-rata](#def-g10-stats-mean) $6$: $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Di $5$: $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. Medianlah yang menang — bergerak menjauh darinya selalu melewati lebih banyak toko daripada yang didekatinya, sehingga jarak totalnya hanya dapat membesar.

**19.** $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$: sekitar enam penerbang *per sejuta*. Pada $4\,000$ penerbang, cacah harapannya $0.02$ — yaitu nol, seperti yang ditemukan letnan Daniels. Angkatan Udara berhenti merancang untuk lelaki [rata-rata](#def-g10-stats-mean) dan membuat segalanya dapat disetel: kursi, pedal, sabuk — merancang untuk *sebarannya*, bukan untuk pusatnya.

**20.** Untuk jumlah keseluruhan: *[rata-rata](#def-g10-stats-mean)*. Untuk individu yang khas: *[median](#def-g10-stats-median)*. Untuk keadilan sebarannya: *[kuartil](#def-g10-stats-quartiles)* (dan [jangkauan antarkuartil](#def-g10-stats-quartiles)). Untuk pencemaran data: *[rata-rata](#def-g10-stats-mean) terpangkas*. Lalu baris penutupnya: orang [rata-rata](#def-g10-stats-mean) itu tidak ada — tetapi orang [median](#def-g10-stats-median) hampir ada.