---
title: "Peluang dan Penyampelan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 9
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan
---

# Bab 9 — Peluang dan Penyampelan

[Peluang](#def-g10-proba-distribution) memberikan bilangan kepada kebetulan. Berangkat dari percobaan dengan hasil yang sama-sama mungkin — dadu, koin, kartu — bab ini membangun aturan dasar untuk menghitung [peluang](#def-g10-proba-distribution) sebuah [kejadian](#def-g10-proba-events), memperkenalkan [diagram pohon](#met-g10-proba-tree) untuk percobaan dua langkah, lalu berakhir pada kaitan antara [peluang](#def-g10-proba-distribution) dan [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) yang teramati. Teorinya berlanjut pada [Bab 18](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#ch-g11-prob).

## 9.1 Percobaan acak dan kejadian

**Definisi 9.1 (Hasil dan kejadian).**

Sebuah *percobaan acak* adalah percobaan yang hasilnya tidak dapat diramalkan (melempar dadu). Himpunan semua hasil yang mungkin disebut *ruang sampel* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$; anggotanya disebut *hasil*. Sebuah *kejadian* adalah himpunan hasil; sebuah kejadian *terjadi* apabila hasil percobaannya termasuk di dalamnya.

**Definisi 9.2 (Distribusi peluang).**

Memberikan kepada setiap hasil $\omega_i$ sebuah bilangan $p_i \geq 0$, dengan $p_1 + \dots + p_n = 1$, mendefinisikan sebuah *peluang*: peluang $\P(A)$ sebuah [kejadian](#def-g10-proba-events) $A$ adalah jumlah $p_i$ dari hasil-hasil di dalam $A$. Khususnya $\P(\Omega) = 1$ dan [kejadian](#def-g10-proba-events) mustahil $\varnothing$ berpeluang $0$.

**Proposisi 9.3 (Hasil yang sama-sama mungkin).**

Jika $n$ hasilnya sama-sama mungkin (masing-masing $p_i = \frac1n$), maka untuk setiap [kejadian](#def-g10-proba-events) $A$:

$$
\P(A) = \frac{\text{banyaknya hasil dalam } A}{n}
= \frac{\text{kasus yang menguntungkan}}{\text{kasus yang mungkin}} .
$$

**Bukti.** $A$ memuat sejumlah $k$ hasil, masing-masing berpeluang $\frac1n$, sehingga $\P(A) = \frac kn$. ∎

**Contoh 9.4.**

Lemparlah sebuah dadu setimbang: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, setiap hasilnya berpeluang $\frac16$. [Kejadian](#def-g10-proba-events) $A$: “hasilnya genap” adalah $A = \{2, 4, 6\}$, jadi $\P(A) = \frac36 = \frac12$. [Kejadian](#def-g10-proba-events) $B$: “hasilnya paling sedikit $5$” adalah $B = \{5, 6\}$, jadi $\P(B) = \frac26 =
\frac13$.

## 9.2 Memadukan kejadian

**Definisi 9.5 (Irisan, gabungan, komplemen).**

Misalkan $A$ dan $B$ dua [kejadian](#def-g10-proba-events).

- $A \cap B$ (“ $A$ dan $B$ ”) terjadi apabila keduanya terjadi;
- $A \cup B$ (“ $A$ atau $B$ ”) terjadi apabila paling sedikit satu terjadi;
- *komplemen* $\bar A$ (“bukan $A$ ”) terjadi tepat ketika $A$ tidak terjadi;
- $A$ dan $B$ disebut *saling lepas* apabila keduanya tidak dapat terjadi bersamaan: $A \cap B = \varnothing$ .

**Teorema 9.6 (Aturan penjumlahan).**

Untuk semua [kejadian](#def-g10-proba-events) $A$ dan $B$:

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
\qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A) .
$$

Untuk [kejadian](#def-g10-proba-events) yang [saling lepas](#def-g10-proba-operations), aturan pertamanya menyederhana menjadi $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$.

**Bukti.** Menjumlahkan $\P(A) + \P(B)$ menambahkan [peluang](#def-g10-proba-distribution) setiap hasil dalam $A \cup B$ satu kali, *kecuali* hasil dalam $A \cap B$, yang terhitung dua kali — sekali di $A$ dan sekali di $B$. Mengurangkan $\P(A \cap B)$ memperbaiki penghitungan ganda itu. Untuk [komplemennya](#def-g10-proba-operations): $A$ dan $\bar A$ [saling lepas](#def-g10-proba-operations) dan $A \cup \bar A = \Omega$, jadi $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$. ∎

![Dua kejadian yang bertumpang tindih: pada (A) + (B), irisan A ∩ B yang terarsir terhitung dua kali, dan itulah yang menjelaskan pengurangan pada aturan penjumlahannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-25bc6ba9d1f1.svg)

*Dua [kejadian](#def-g10-proba-events) yang bertumpang tindih: pada $\P(A) + \P(B)$, [irisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interunion) $A \cap B$ yang terarsir terhitung dua kali, dan itulah yang menjelaskan pengurangan pada aturan penjumlahannya.*

**Contoh 9.7.**

Ambil satu kartu dari satu set $52$ kartu baku. Misalkan $A$: “kartunya bergambar hati” ($13$ kartu) dan $B$: “kartunya raja” ($4$ kartu). Maka $A \cap B$ adalah “raja hati” ($1$ kartu), dan

$$
\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}
= \frac{4}{13}.
$$

Aturan [komplemen](#def-g10-proba-operations) sering menjadi jalan tercepat: [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa kartunya *bukan* hati adalah $1 - \frac{13}{52} = \frac34$.

## 9.3 Diagram pohon

**Metode 9.8 (Percobaan dua langkah).**

Untuk percobaan yang dikerjakan dalam dua langkah:

1. gambarlah sebuah *pohon* : satu cabang untuk setiap hasil yang mungkin pada langkah pertama, lalu dari masing-masingnya, satu cabang untuk setiap hasil langkah kedua, sambil menuliskan [peluang](#def-g10-proba-distribution) pada setiap cabang (cabang yang meninggalkan sebuah simpul harus berjumlah $1$ );
2. [peluang](#def-g10-proba-distribution) sebuah *jalur* (sehelai daun [pohon](#met-g10-proba-tree) itu) adalah hasil kali [peluang](#def-g10-proba-distribution) sepanjang cabangnya;
3. [peluang](#def-g10-proba-distribution) sebuah [kejadian](#def-g10-proba-events) adalah jumlah [peluang](#def-g10-proba-distribution) jalur yang mewujudkannya.

**Contoh 9.9.**

Sebuah guci berisi $3$ bola merah dan $2$ bola biru. Ambil satu bola, kembalikan, lalu ambil lagi. Setiap pengambilan memberi merah (M) berpeluang $\frac35$ dan biru (B) berpeluang $\frac25$.

![Pohon dua pengambilan dengan pengembalian. Keempat peluang jalurnya berjumlah 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-9b7b12d5b3b9.svg)

*[Pohon](#met-g10-proba-tree) dua pengambilan dengan pengembalian. Keempat [peluang](#def-g10-proba-distribution) jalurnya berjumlah $1$.*

[Peluang](#def-g10-proba-distribution) memperoleh dua bola berwarna sama adalah $\P(\text{MM}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} =
\frac{13}{25}$; [peluang](#def-g10-proba-distribution) memperoleh paling sedikit satu biru adalah $1 - \P(\text{MM}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (aturan [komplemen](#def-g10-proba-operations)).

**Catatan 9.10.**

Tanpa pengembalian, [peluang](#def-g10-proba-distribution) pengambilan kedua bergantung pada yang pertama: dengan guci di atas, setelah mengambil sebuah bola merah, hanya tersisa $2$ merah dan $2$ biru, sehingga cabang keduanya membawa $\frac24$ dan $\frac24$. Metode [pohonnya](#met-g10-proba-tree) bekerja tanpa perubahan; hanya bilangan pada cabang tingkat keduanya yang berubah.

## 9.4 Frekuensi relatif dan penyampelan

Ketika sebuah [percobaan acak](#def-g10-proba-events) diulang berkali-kali, [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) yang teramati untuk sebuah [kejadian](#def-g10-proba-events) mendekati [peluangnya](#def-g10-proba-distribution) — itulah sebabnya [peluang](#def-g10-proba-distribution) berguna untuk memerikan dunia nyata.

**Definisi 9.11 (Sampel).**

Sebuah *sampel* berukuran $n$ adalah hasil mengulang percobaan yang sama sebanyak $n$ kali secara saling bebas. *[Frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) teramati* sebuah [kejadian](#def-g10-proba-events) pada sampel itu adalah banyaknya kemunculan dibagi $n$.

**Contoh 9.12.**

Sebuah koin setimbang memberi gambar dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) $0.5$. Melemparnya $100$ kali jarang memberi tepat $50$ gambar: [sampel](#def-g10-proba-sample) itu *berfluktuasi*. Rangkaian khas $100$ lemparan memberi [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) seperti $0.46$, $0.53$, $0.49$ — dekat dengan $0.5$, tetapi tidak sama. [Sampel](#def-g10-proba-sample) yang lebih besar berfluktuasi lebih kecil: dengan $10\,000$ lemparan, [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) yang teramati biasanya berada dalam sekitar $0.01$ dari $0.5$.

**Catatan 9.13 (Interval fluktuasi).**

Sebuah aturan praktis yang berguna, yang dibenarkan pada [Bab 19](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#ch-g11-binom): untuk [sampel](#def-g10-proba-sample) berukuran $n$ dari [kejadian](#def-g10-proba-events) berpeluang $p$ (dengan $n$ cukup besar), [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) yang teramati terletak dalam [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval)

$$
\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}
$$

pada kira-kira $95\%$ [sampelnya](#def-g10-proba-sample). Jika sebuah [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) teramati jatuh jauh di luar [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) ini, ragukanlah nilai $p$ itu: inilah titik tolak pengujian statistik.

**Contoh 9.14.**

Sebuah pabrik mengaku bahwa hanya $10\%$ suku cadangnya yang cacat ($p = 0.1$). Pada [sampel](#def-g10-proba-sample) berisi $n = 400$ suku cadang, $64$ di antaranya cacat: [frekuensi relatifnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) $\frac{64}{400} = 0.16$. [Interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasinya adalah $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$, dan $0.16$ jatuh di luarnya: [sampel](#def-g10-proba-sample) itu meragukan pengakuannya secara serius.

## 9.5 Latihan

**Latihan 9.1 ★.**

Sebuah dadu setimbang dilempar. Hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) setiap [kejadian](#def-g10-proba-events) berikut: “memperoleh $6$”; “memperoleh bilangan ganjil”; “memperoleh paling banyak $4$”; “memperoleh $7$”.

**Solusi Latihan 9.1.**

Masing-masing dari $6$ hasilnya berpeluang $\frac16$. “Memperoleh $6$”: $\frac16$. “Bilangan ganjil” $= \{1, 3, 5\}$: $\frac36 = \frac12$. “Paling banyak $4$” $= \{1,2,3,4\}$: $\frac46 = \frac23$. “Memperoleh $7$”: [kejadian](#def-g10-proba-events) mustahil, [peluangnya](#def-g10-proba-distribution) $0$.

**Latihan 9.2 ★.**

Sebuah kantong berisi $5$ kelereng hijau, $3$ kuning dan $2$ hitam; satu kelereng diambil secara acak. Hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa kelereng itu hijau; bahwa kelereng itu bukan hitam; bahwa kelereng itu hijau atau kuning.

**Solusi Latihan 9.2.**

Ada $10$ kelereng yang sama-sama mungkin. $\P(\text{hijau}) = \frac{5}{10} = \frac12$. $\P(\text{bukan hitam}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$. Hijau dan kuning [saling lepas](#def-g10-proba-operations): $\P(\text{hijau atau kuning}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10}
= \frac45$.

**Latihan 9.3 ★.**

Di sebuah kelas berisi $30$ siswa, $18$ belajar bahasa Spanyol, $10$ belajar bahasa Jerman, dan $4$ belajar keduanya. Seorang siswa dipilih secara acak. Dengan aturan penjumlahan, hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa siswa itu belajar paling sedikit satu di antara kedua bahasa itu, lalu [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa ia tidak belajar keduanya.

**Solusi Latihan 9.3.**

Misalkan $S$: “belajar bahasa Spanyol”, $G$: “belajar bahasa Jerman”. Maka $\P(S) = \frac{18}{30}$, $\P(G) = \frac{10}{30}$, $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$. Aturan penjumlahan:

$$
\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30}
= \frac{24}{30} = \frac45 .
$$

[Komplemennya](#def-g10-proba-operations): $\P(\text{tidak keduanya}) = 1 - \frac45 = \frac15$.

**Latihan 9.4 ★.**

Sebuah koin setimbang dilempar dua kali. Gambarlah [pohon](#met-g10-proba-tree) percobaannya lalu hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) memperoleh dua gambar; tepat satu gambar; paling sedikit satu gambar.

**Solusi Latihan 9.4.**

[Pohonnya](#met-g10-proba-tree) mempunyai empat jalur, yaitu GG, GA, AG, AA, masing-masing berpeluang $\frac12 \times \frac12 = \frac14$. Dua gambar: $\frac14$. Tepat satu gambar (GA atau AG): $\frac24 = \frac12$. Paling sedikit satu gambar: $1 - \P(\text{AA}) = 1 - \frac14 = \frac34$.

**Latihan 9.5 ★★.**

Sebuah guci berisi $4$ bola merah dan $6$ bola putih. Dua bola diambil satu demi satu *tanpa* pengembalian. Gambarlah [pohonnya](#met-g10-proba-tree) dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) yang benar pada tingkat kedua, lalu hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) mengambil dua bola merah, lalu [peluang](#def-g10-proba-distribution) mengambil dua bola berbeda warna.

**Solusi Latihan 9.5.**

Pengambilan pertama: merah berpeluang $\frac{4}{10}$, putih $\frac{6}{10}$. Pengambilan kedua *tanpa* pengembalian: setelah merah, tersisa $3$ merah dan $6$ putih di antara $9$; setelah putih, $4$ merah dan $5$ putih di antara $9$.

Dua merah: $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

Warna berbeda: jalur MP dan PM:

$$
\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49
= \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.
$$

**Latihan 9.6 ★★.**

Dua dadu setimbang dilempar dan jumlah matanya dicatat.

1. Jelaskan mengapa [ruang sampelnya](#def-g10-proba-events) dapat diambil sebagai $36$ pasangan yang sama-sama mungkin $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ .
2. Hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa jumlahnya $7$ ; bahwa jumlahnya $12$ ; bahwa jumlahnya paling banyak $4$ .
3. Jumlah manakah yang paling mungkin?

**Solusi Latihan 9.6.**

*1.* Setiap dadu secara saling bebas menampilkan setiap sisi dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$, sehingga $36$ pasangan terurutnya sama-sama mungkin; jumlah matanya ditentukan oleh pasangan itu.

*2.* Jumlah $7$: pasangan $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, jadi $\P = \frac{6}{36} = \frac16$. Jumlah $12$: hanya $(6,6)$, $\P = \frac{1}{36}$. Jumlah paling banyak $4$: pasangan yang berjumlah $2$, $3$ atau $4$: $(1,1)$; $(1,2), (2,1)$; $(1,3), (2,2), (3,1)$ — enam pasangan, jadi $\P = \frac{6}{36} = \frac16$.

*3.* Banyaknya pasangan yang mencapai setiap jumlah naik dari $1$ (jumlah $2$) sampai $6$ (jumlah $7$) lalu menurun: jumlah yang paling mungkin adalah $7$.

**Latihan 9.7 ★★.**

Sebuah soal pilihan ganda menawarkan $4$ jawaban, satu di antaranya benar. Seorang siswa menjawab $2$ soal semacam itu yang saling bebas, sepenuhnya secara acak. Hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) menjawab benar keduanya, benar tepat satu, dan benar tidak satu pun. Periksa bahwa ketiga [peluang](#def-g10-proba-distribution) itu berjumlah $1$.

**Solusi Latihan 9.7.**

Setiap soal dijawab benar dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) $\frac14$, secara saling bebas. [Pohonnya](#met-g10-proba-tree) bertingkat dua:

Keduanya benar: $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$.

Tepat satu benar: jalur benar–salah dan salah–benar: $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16}
= \frac38$.

Tidak satu pun benar: $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$.

Periksa: $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$.

**Latihan 9.8 ★★.**

Seorang politikus mengaku memperoleh dukungan $50\%$. Dalam jajak pendapat terhadap $n = 900$ pemilih yang dipilih acak, $396$ mendukungnya.

1. Hitunglah [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) teramati dan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasinya di sekitar $p = 0.5$ untuk $n = 900$ .
2. Apakah jajak pendapat itu meragukan pengakuannya?

**Solusi Latihan 9.8.**

*1.* [Frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) teramati: $\frac{396}{900} = 0.44$. Dengan $n = 900$: $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$, sehingga [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasinya sekitar $\intcc{0.467}{0.533}$.

*2.* Nilai teramati $0.44$ terletak di luar [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) itu: [sampel](#def-g10-proba-sample) berisi $900$ pemilih dari populasi dengan dukungan $50\%$ jarang menyimpang sejauh itu. Jajak pendapat itu sangat meragukan pengakuan $50\%$ tadi.

**Latihan 9.9 ★★★.**

Sebuah permainan berbiaya $2$ untuk dimainkan: kamu melempar dadu setimbang lalu menang $6$ bila muncul $6$, menang $3$ bila muncul $5$, dan tidak memperoleh apa-apa selain itu.

1. Hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) setiap jumlah kemenangan ( $6$ , $3$ , $0$ ).
2. Selama $600$ permainan, kira-kira berapa kali tiap hasil kamu harapkan? Hitunglah total harapan untung dan ruginya: apakah permainan ini layak dimainkan?

**Solusi Latihan 9.9.**

*1.* $\P(\text{menang } 6) = \frac16$ (muncul $6$), $\P(\text{menang } 3) = \frac16$ (muncul $5$), $\P(\text{menang } 0) = \frac46 = \frac23$.

*2.* Selama $600$ permainan, harapkan sekitar $100$ kali enam, $100$ kali lima, dan $400$ lemparan lainnya. Kemenangannya: sekitar $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$. Biayanya: $600 \times 2 = 1200$. Hasil bersih yang diharapkan: $900 - 1200 = -300$, yaitu rugi sekitar $0.5$ per permainan secara rata-rata — permainan itu tidak layak dimainkan.

## 9.6 Soal: Tiga pintu yang memperdaya seribu matematikawan

**Soal 9.1.**

Soal akhir pekan — paradoks Monty Hall dan kerabatnya: bagaimana keterangan mengubah peluang, dan bagaimana sampel memisahkan pengakuan dari angan-angan

Pada tahun 1990 pengasuh rubrik Marilyn vos Savant menerbitkan sebuah teka-teki tentang pemandu acara kuis, tiga pintu, sebuah mobil dan dua ekor kambing — lalu menjawabnya dengan benar. Sepuluh ribu pembaca, di antaranya ratusan doktor matematika, menyurati redaksi untuk bersikeras bahwa ia keliru. Soal ini mempersenjatai kamu dengan [pohon](#met-g10-proba-tree) ([Metode 9.8](#met-g10-proba-tree)), [komplemen](#def-g10-proba-operations) dan aturan penjumlahan ([Teorema 9.6](#thm-g10-proba-addition)), membiarkanmu menuntaskan perdebatan itu sendiri, lalu ditutup dengan alat yang menengahi setiap sengketa semacam itu dalam praktik: [sampel](#def-g10-proba-sample) yang berfluktuasi.

**Bagian I — Aturannya, sebagai pemanasan.**

1. Satu kartu dari satu set $52$ kartu baku: hitunglah $P(\text{raja atau hati})$ dengan aturan penjumlahan — lalu katakan mengapa $\frac{4}{52} + \frac{13}{52}$ saja keliru.
2. Tiga lemparan koin setimbang: hitunglah $P(\text{paling sedikit satu  gambar})$ lewat [komplemennya](#def-g10-proba-operations) .
3. Sebuah kantong berisi $3$ kelereng merah dan $2$ biru; dua diambil tanpa pengembalian. Dengan sebuah [pohon](#met-g10-proba-tree) , hitunglah $P(\text{dua merah})$ dan $P(\text{satu dari tiap warna})$ .
4. Lengkapkan distribusi pada pertanyaan 3 dengan $P(\text{dua biru})$ lalu periksa bahwa ketiga [peluang](#def-g10-proba-distribution) itu berjumlah $1$ .
5. Seseorang melaporkan, untuk dua [kejadian](#def-g10-proba-events) yang *[saling lepas](#def-g10-proba-operations)* , $P(A) = 0.6$ dan $P(B) = 0.5$ . Buktikan kesalahannya dengan satu baris perhitungan.

**Bagian II — Ketiga pintu itu.** Permainannya: sebuah mobil bersembunyi di balik salah satu dari tiga pintu, kambing di balik dua pintu lainnya. Kamu memilih satu pintu (misalnya pintu 1). Pemandu acara — yang *tahu* di mana mobilnya — membuka salah satu dari dua pintu yang lain, selalu memperlihatkan kambing, lalu menawarimu kesempatan untuk berpindah ke pintu tertutup yang tersisa.

6. Sebelum menghitung apa pun: apakah berpindah itu menolong, merugikan, atau tidak berpengaruh? Tuliskan jawaban nalurimu — dengan jujur.
7. Sekarang [pohonnya](#met-g10-proba-tree) , menurut kasus letak mobil yang sebenarnya (masing-masing $\frac13$ ): jika mobilnya di balik pintumu, berpindah membuatmu kalah; jika mobilnya di balik salah satu pintu lain, apa yang harus dilakukan pemandu acara, dan apa yang lalu dimenangkan dengan berpindah? Hitunglah $P(\text{menang dengan berpindah})$ .
8. Versi satu barisnya: berpindah menang tepat ketika pilihan pertamamu keliru. Simpulkan sekali lagi.
9. Kini ragam yang penting — “Monty Fall”: pemandu acaranya *tidak* tahu di mana mobilnya, membuka salah satu pintu lain secara acak, dan karena beruntung memperlihatkan kambing. Daftarkan keenam skenario yang sama-sama mungkin (letak mobil $\times$ pintu yang dibuka), buanglah skenario yang memperlihatkan mobilnya, lalu hitunglah [peluang](#def-g10-proba-distribution) bahwa berpindah itu menang *di antara skenario yang tersisa* . Apa yang berubah, dan mengapa pengetahuan pemandu acara itu penting?
10. Pemompa gerak hati: seratus pintu, kamu memilih satu, lalu pemandu acara yang tahu membuka $98$ pintu berkambing. Berpindah? Dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) menang berapa?
11. Kamu berhadapan dengan seorang peragu yang, seperti seribu penulis surat itu, bersikeras “50–50”. Perikan sebuah simulasi dengan kartu (tiga kartu, banyak ronde, seorang teman sebagai pemandu acara) lalu katakan berapa bagian kemenangan berpindah yang kamu harapkan setelah $300$ ronde — dengan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasi bab ini sebagai batas kesalahanmu.

**Bagian III — Kerabat paradoks itu.**

12. Sebuah keluarga mempunyai dua anak; kamu mengetahui bahwa *paling sedikit satu di antaranya laki-laki* . Daftarkan susunan dua anak yang sama-sama mungkin dan sesuai dengan keterangan itu, lalu hitunglah $P(\text{dua anak laki-laki})$ .
13. Keluarga yang sama, tetapi keterangannya kini: *anak yang lebih tua laki-laki* . Hitunglah ulang. Mengapa kedua jawabannya berbeda, dan apa kesamaannya dengan kedua Monty tadi?
14. Tiga koin setimbang: hitunglah $P(\text{ketiganya sama})$ . Matematikawan d’Alembert berargumen pada tahun 1754 untuk jawaban yang lain: “entah ketiganya sama entah tidak — satu kasus dari dua.” Sebutkan kekeliruannya secara tepat, dengan [Proposisi 9.3](#prop-g10-proba-uniform) di tangan.
15. Sebuah permainan berbiaya $2$ euro: lemparlah dadu, menang $6$ euro bila muncul enam, $3$ euro bila muncul lima, dan tidak memperoleh apa-apa selain itu ( [Latihan 9.9](#exo-g10-proba-9) ). Selama $600$ permainan, rata-rata untung per permainan berapa yang diramalkan penghitungan itu? Seorang penjamin asuransi memainkan matematika yang sama: [peluang](#def-g10-proba-distribution) $1\,\%$ per tahun untuk klaim sebesar $10\,000$ euro — berapa premi yang *adil* , dan mengapa premi yang sesungguhnya melampauinya?

**Bagian IV — [Sampel](#def-g10-proba-sample) sebagai penengah.**

16. Sebuah koin dilempar $100$ kali. Dengan memakai [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasi $p \pm \frac{1}{\sqrt n}$ , putuskan hasil mana di antara berikut yang patut mengangkat alis: $55$ gambar; $70$ gambar.
17. Sebuah jajak pendapat terhadap $1\,000$ pemilih memberi seorang calon $52\,\%$ . Hitunglah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) fluktuasi di sekitar $50\,\%$ lalu katakan apakah jajak pendapat itu *membuktikan* bahwa sang calon unggul.
18. Sebuah pabrik mengaku bahwa $4\,\%$ suku cadangnya cacat. [Sampel](#def-g10-proba-sample) berisi $400$ menunjukkan $28$ yang cacat ( $7\,\%$ ); [sampel](#def-g10-proba-sample) berikutnya berisi $2\,500$ menunjukkan $175$ (lagi-lagi $7\,\%$ ). Ujilah pengakuannya terhadap masing-masing [sampel](#def-g10-proba-sample) . Mengapa putusannya berbeda?
19. Dua sumber galat menghantui setiap survei: *bias* penyampelan (soal akhir pekan tentang cara data berdusta di jilid sebelumnya) dan *fluktuasi* penyampelan (bab ini). Mana yang mengecil ketika $n$ membesar, dan mana yang bertahan pada ukuran [sampel](#def-g10-proba-sample) berapa pun? Masing-masing satu kalimat.
20. Penutup — daftar periksa sang ahli [peluang](#def-g10-proba-distribution) , satu baris untuk setiap butir: hasil yang sama-sama mungkin sebelum dihitung (pertanyaan 15); [pohon](#met-g10-proba-tree) dan [komplemen](#def-g10-proba-operations) untuk percobaan bertahap dan untuk “paling sedikit” (pertanyaan 2–3); *keterangan mengubah [peluang](#def-g10-proba-distribution), dan cara keterangan itu diperoleh pun penting* (pertanyaan 7–14); [sampel](#def-g10-proba-sample) berfluktuasi sekitar $\frac{1}{\sqrt n}$ , dan simulasi yang menengahi (pertanyaan 11, 16–18).

**Solusi Soal 9.1.**

**1.** $P(\text{raja atau hati}) = \frac{4}{52} +
\frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$: raja hati duduk di dalam kedua [kejadian](#def-g10-proba-events) itu dan tidak boleh terhitung dua kali — karena itulah pengurangannya ([Teorema 9.6](#thm-g10-proba-addition)).

**2.** $P(\text{tanpa gambar}) = \left(\frac12\right)^3 =
\frac18$, sehingga $P(\text{paling sedikit satu}) = \frac78$.

**3.** $P(MM) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$; $P(\text{satu dari tiap warna}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25
\times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$.

**4.** $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$; lalu $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$: daun sebuah [pohon](#met-g10-proba-tree) selalu berjumlah $1$.

**5.** [Kejadian](#def-g10-proba-events) yang [saling lepas](#def-g10-proba-operations) menuruti $P(A \cup B) = P(A) +
P(B) = 1.1 > 1$: mustahil — ada [peluang](#def-g10-proba-distribution) yang dikarang.

**6.** (Kebanyakan orang, termasuk seribu penulis surat itu, menjawab “tidak berpengaruh, 50–50”. Simpanlah jawabanmu untuk pertanyaan 8.)

**7.** Mobil di balik pintu 1 ([peluangnya](#def-g10-proba-distribution) $\frac13$): pemandu acara membuka salah satu pintu berkambing; berpindah meninggalkan mobilnya: *kalah*. Mobil di balik pintu 2 ($\frac13$): pemandu acara *harus* membuka pintu 3; berpindah mendarat pada pintu 2: *menang*. Mobil di balik pintu 3: setangkup, jadi *menang*. Seluruhnya: $P(\text{berpindah menang}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$.

**8.** Pilihan pertamamu keliru dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) $\frac23$ — dan tepat pada saat itu, pembukaan yang terpaksa oleh pemandu acara meninggalkan mobilnya di balik pintu yang tersisa: berpindah mengubah setiap kekeliruan awal menjadi kemenangan. Jadi $\frac23$, apa pun kata naluri tadi.

**9.** Enam skenario yang sama-sama mungkin: mobil di balik $1$, $2$ atau $3$, dan pemandu acara membuka pintu $2$ atau $3$ (tidak pernah pintumu). Pembukaan itu memperlihatkan mobilnya pada dua di antaranya (mobil di 2/buka 2, mobil di 3/buka 3): keduanya dibuang. Di antara empat yang tersisa — mobil di 1/buka 2, mobil di 1/buka 3, mobil di 2/buka 3, mobil di 3/buka 2 — berpindah menang pada dua yang terakhir: $\frac24 = \frac12$. Dengan pemandu acara yang tidak tahu, 50–50 *memang* benar: paradoksnya hidup sepenuhnya pada pengetahuan pemandu acara, yang menyaring skenarionya secara tidak merata.

**10.** Pilihanmu memuat mobilnya dengan [peluang](#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{100}$; $98$ pembukaan oleh pemandu acara yang tahu mengalirkan sisa $\frac{99}{100}$ itu ke satu pintu tertutup. Berpindahlah, dan menanglah $99$ kali dari $100$.

**11.** Tiga kartu (satu bertanda mobil dan dua bertanda kambing), seorang teman yang mengintip lalu selalu membuang kartu kambing dari dua kartu yang tidak kamu pilih; mainkan $300$ ronde, selalu berpindah, lalu catat kemenangannya. [Frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) yang diharapkan $\frac23 \approx 0.667$, dengan fluktuasi $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$: harapkan antara sekitar $61\,\%$ dan $72\,\%$ kemenangan berpindah — jauh dari “50–50” mana pun.

**12.** Susunan yang sama-sama mungkin (lebih tua–lebih muda): LL, LP, PL, PP. “Paling sedikit satu laki-laki” menyisakan LL, LP dan PL: $P(\text{LL}) = \frac13$.

**13.** “Yang lebih tua laki-laki” menyisakan LL, LP: $P(\text{LL}) = \frac12$. Keterangan yang berbeda menyaring himpunan skenario yang berbeda — persis seperti kedua Monty tadi: apa yang kamu ketahui itu penting, dan *bagaimana* kamu mengetahuinya sama pentingnya.

**14.** Ketiganya sama: GGG, AAA: $\frac28 = \frac14$. Kekeliruan d’Alembert: kedua “kasusnya” tidak sama-sama mungkin — “tidak ketiganya sama” membungkus enam dari delapan hasilnya. [Proposisi 9.3](#prop-g10-proba-uniform) hanya membilang atas hasil yang sama-sama mungkin.

**15.** [Rata-rata](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-mean) kemenangan per permainan: $6 \times \frac16 + 3
\times \frac16 = 1.50$ euro, berhadapan dengan taruhan $2$ euro: yaitu rata-rata rugi $0.50$ per permainan, sekitar $300$ euro selama $600$ permainan. Premi yang adil menyamakan rata-rata pembayarannya: $1\,\% \times 10\,000 = 100$ euro; premi yang sesungguhnya menambahkan biaya dan margin keamanan — penjamin asuransi harus bertahan pada tahun yang buruk, bukan hanya pada tahun yang rata-rata.

**16.** [Intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval): $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} =
\intcc{0.4}{0.6}$. Sebanyak $55$ gambar ($0.55$): di dalam, biasa saja. Sebanyak $70$ gambar ($0.70$): jauh di luar — ragukanlah koinnya.

**17.** $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$: seorang calon yang sebenarnya $50\,\%$ biasanya akan terjaring pada $\intcc{0.468}{0.532}$ — dan $0.52$ duduk nyaman di dalamnya. Jajak pendapat itu *mengisyaratkan* keunggulan tetapi tidak membuktikan apa pun: batas kesalahannya menelannya.

**18.** [Sampel](#def-g10-proba-sample) pertama: [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $0.04 \pm \frac{1}{20} =
\intcc{0}{0.09}$; nilai teramati $0.07$ ada di dalamnya: tanpa putusan. [Sampel](#def-g10-proba-sample) kedua: $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$; nilai teramati $0.07$ jatuh di luarnya: pengakuannya kini sangat diragukan. [Frekuensi relatifnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) sama, alatnya lebih tajam: ketelitiannya tumbuh seperti $\sqrt n$.

**19.** Fluktuasinya mengecil seperti $\frac{1}{\sqrt n}$: lipatempatkan [sampelnya](#def-g10-proba-sample), deraunya menjadi separuh. Bias — bertanya kepada kerumunan yang keliru — bertahan pada $n$ berapa pun: dua juta surat suara yang salah pilih tetap saja salah (soal akhir pekan tentang cara data berdusta di jilid sebelumnya).

**20.** (i) Periksalah bahwa hasilnya sama-sama mungkin sebelum dihitung — d’Alembert lupa. (ii) [Pohon](#met-g10-proba-tree) mengalikan sepanjang cabangnya; “paling sedikit satu” menyerah kepada [komplemennya](#def-g10-proba-operations). (iii) Keterangan menyaring skenario, dan *sumbernya* mengubah saringan itu — Monty yang tahu lawan Monty yang jatuh, anak sulung laki-laki lawan ada anak laki-laki. (iv) [Frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) mendekati [peluang](#def-g10-proba-distribution) dengan laju $\frac{1}{\sqrt n}$, sehingga simulasi yang sabar menuntaskan perdebatan apa pun — termasuk perdebatan dengan sepuluh ribu penulis surat yang marah.