---
title: "Kwadratische functies en vergelijkingen"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 10
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen
---

# Hoofdstuk 10 — Kwadratische functies en vergelijkingen

[Kwadratische functies](#def-g11-quad-quadratic) zijn de eenvoudigste [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) na de lineaire, en de eerste waarvan de [grafieken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) werkelijk gebogen zijn. Dit hoofdstuk bouwt de volledige gereedschapskist voor hen op: de [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical), de [discriminant](#def-g11-quad-discriminant), het teken van een kwadratische uitdrukking en de meetkunde van de [parabool](#def-g11-quad-parabola).

## 10.1 De toppuntsvorm

**Definitie 10.1 (Kwadratische functie).**

Een *kwadratische functie* is een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) van de vorm

$$
f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,
$$

waarbij $a$, $b$, $c$ [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) zijn. De uitdrukking $ax^2 + bx + c$ heet ook een *kwadratische drieterm*.

**Stelling 10.2 (Toppuntsvorm).**

Elke [kwadratische functie](#def-g11-quad-quadratic) laat zich op precies één manier schrijven als

$$
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,
\qquad\text{waarbij } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ en } \beta = f(\alpha).
$$

Dit is de *toppuntsvorm* van $f$.

**Bewijs.** We *vullen het kwadraat aan*. Omdat $a \neq 0$, halen we die factor uit de eerste twee termen:

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .
$$

Nu is $x^2 + \frac{b}{a}x$ het begin van het kwadraat $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$, zodat $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a^2}$. Invullen geeft

$$
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
= a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,
$$

met $\alpha = -\frac{b}{2a}$ en $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$. Invullen van $x = \alpha$ maakt de kwadratische term nul, dus is $\beta = f(\alpha)$. Uniciteit: $a(x-\alpha)^2 + \beta$ [uitwerken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) en de coëfficiënten van $x$ gelijkstellen dwingt $\alpha = -\frac{b}{2a}$ af, en daarna ligt $\beta$ vast. ∎

**Voorbeeld 10.3.**

Zij $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Dan is $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ en $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$, dus

$$
f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .
$$

Controle door uit te werken: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 =
2x^2 - 8x + 3$.

**Propositie 10.4 (Extremum en verloop).**

Zij $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

1. Is $a > 0$ , dan is $f$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{\alpha}$ en [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ heeft een *[minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ , bereikt in $x = \alpha$ .
2. Is $a < 0$ , dan is het verloop omgekeerd: $f$ heeft een *[maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ in $x = \alpha$ .

**Bewijs.** Stel $a > 0$ en zij $\alpha \leq u < v$. Dan is

$$
f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr)
= a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).
$$

Elke factor is positief: $a > 0$, $v - u > 0$, en $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ omdat $v > \alpha$ en $u \geq \alpha$. Dus is $f(v) > f(u)$: $f$ is [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intco{\alpha}{+\infty}$. Voor $u < v \leq \alpha$ is de laatste factor negatief, dus $f(v) < f(u)$: daar is $f$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations). Ten slotte is $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ voor alle $x$, zodat $\beta = f(\alpha)$ het [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) is. Het geval $a < 0$ volgt door het bovenstaande op $-f$ toe te passen. ∎

**Voorbeeld 10.5.**

Een boer heeft $100$ meter omheining om een rechthoekig veld tegen een rechte muur af te bakenen (langs de muur is geen omheining nodig). Is $x$ de breedte, dan is de omsloten oppervlakte $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. Hier is $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ en $A(25) = 25 \times 50 = 1250$: de oppervlakte is het grootst bij een breedte van $25$ m, en bedraagt dan $1250$ m$^2$.

## 10.2 Wortels en ontbinding

**Definitie 10.6 (Wortel, discriminant).**

Een *wortel* van de drieterm $ax^2+bx+c$ is een oplossing van de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $ax^2 + bx + c = 0$. De *discriminant* van de drieterm is het getal

$$
\Delta = b^2 - 4ac .
$$

**Stelling 10.7 (ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 oplossen).**

1. Is $\Delta > 0$, dan heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) twee verschillende [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},  \qquad  x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$ en is $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Is $\Delta = 0$ , dan heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) de enkele [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , en is $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
3. Is $\Delta < 0$ , dan heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) geen reële oplossing, en laat de drieterm zich niet met reële coëfficiënten [ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) .

**Bewijs.** Vertrek van de [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical) uit [Stelling 10.2](#thm-g11-quad-canonical):

$$
ax^2+bx+c
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],
$$

want $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} =
a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

*1.* Is $\Delta > 0$, dan is $\frac{\Delta}{4a^2} =
\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ en is de haak een verschil van twee kwadraten:

$$
ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
= a(x - x_2)(x - x_1).
$$

Een product is nul precies wanneer een van zijn factoren nul is, wat de twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant) geeft; ze zijn verschillend omdat $\sqrt\Delta \neq 0$.

*2.* Is $\Delta = 0$, dan is de haak $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, en die verdwijnt alleen in $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

*3.* Is $\Delta < 0$, dan is $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, zodat de haak een kwadraat plus een positief getal is: ze verdwijnt nooit, en de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) heeft geen reële oplossing. Een ontbinding $a(x-x_1)(x-x_2)$ zou [wortels](#def-g11-quad-discriminant) opleveren, dus bestaat er geen. ∎

**Voorbeeld 10.8.**

Los $2x^2 - 8x + 3 = 0$ op. Hier is $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$, dus zijn er twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant):

$$
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
= 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
$$

Voor $x^2 + x + 1 = 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, geen reële oplossing.

**Propositie 10.9 (Som en product van de wortels).**

Is $\Delta \geq 0$ en zijn $x_1, x_2$ de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) (gelijk wanneer $\Delta = 0$), dan geldt

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\qquad
x_1 x_2 = \frac{c}{a} .
$$

Omgekeerd zijn twee getallen met som $s$ en product $p$ de oplossingen van $x^2 - sx + p = 0$.

**Bewijs.** Werk de ontbinding van [Stelling 10.7](#thm-g11-quad-roots) uit:

$$
a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .
$$

De coëfficiënten gelijkstellen aan die van $ax^2 + bx + c$ geeft $-a(x_1+x_2) = b$ en $a\,x_1x_2 = c$. Voor het omgekeerde: is $u + v = s$ en $uv = p$, dan is $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$, dus zijn $u$ en $v$ de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) ervan. ∎

**Voorbeeld 10.10.**

Zoek twee getallen met som $10$ en product $21$. Ze lossen $x^2 - 10x + 21 = 0$ op; $\Delta = 100 - 84 = 16$, met [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ en $3$. *Snel een [wortel](#def-g11-quad-discriminant) spotten:* omdat de coëfficiënten van $x^2 - 5x + 4$ voldoen aan $1 - 5 + 4 = 0$, is $1$ een [wortel](#def-g11-quad-discriminant), en is de andere $\frac{c}{a} = 4$ (hun product moet immers $\frac ca$ zijn).

## 10.3 Het teken van een drieterm

**Stelling 10.11 (Teken van een drieterm).**

Zij $f(x) = ax^2+bx+c$ met $a \neq 0$.

1. Is $\Delta > 0$ , met [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $x_1 < x_2$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ buiten $\intcc{x_1}{x_2}$ en het teken van $-a$ op $\intoo{x_1}{x_2}$ .
2. Is $\Delta = 0$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ voor alle $x \neq x_0$ , en verdwijnt $f$ in $x_0$ .
3. Is $\Delta < 0$ : dan heeft $f(x)$ het teken van $a$ voor alle $x$ .

Kortom: *een drieterm heeft het teken van $a$, behalve tussen zijn [wortels](#def-g11-quad-discriminant)*.

**Bewijs.** *1.* Schrijf $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ en volg de tekens van de factoren. Is $x < x_1$: dan zijn $x - x_1$ en $x - x_2$ allebei negatief, is hun product positief, en heeft $f(x)$ het teken van $a$. Is $x_1 < x < x_2$: dan hebben de factoren tegengestelde tekens, is het product negatief, en heeft $f(x)$ het teken van $-a$. Is $x > x_2$: dan zijn beide factoren positief en heeft $f(x)$ opnieuw het teken van $a$.

*2.* $f(x) = a(x - x_0)^2$, en $(x-x_0)^2 > 0$ voor $x \neq x_0$.

*3.* Uit het bewijs van [Stelling 10.7](#thm-g11-quad-roots) volgt $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 +
\left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$, en de haak is altijd positief. ∎

**Methode 10.12 (Kwadratische ongelijkheden oplossen).**

Om $ax^2 + bx + c \leq 0$ (of $\geq$, $<$, $>$) op te lossen:

1. bereken $\Delta$ en de eventuele [wortels](#def-g11-quad-discriminant) ;
2. stel de [tekentabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-signtable) op met [Stelling 10.11](#thm-g11-quad-sign) (het teken van $a$ buiten de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) );
3. lees het oplossingsinterval of de oplossingsintervallen af, met oog voor de vraag of de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) zelf meetellen (ruime ongelijkheid) of niet (strikte).

**Voorbeeld 10.13.**

Los $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ op. Hier is $\Delta = 9 + 16 = 25$, en zijn de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-3 \pm 5}{-2}$, dus $x_1 = -1$ en $x_2 = 4$. Omdat $a = -1 < 0$, is de drieterm negatief buiten de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) en positief ertussen. Bij de ruime ongelijkheid is de oplossingsverzameling $\intcc{-1}{4}$.

## 10.4 De parabool

**Definitie 10.14 (Parabool).**

De [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) van een [kwadratische functie](#def-g11-quad-quadratic) $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ is een *parabool* met *top* $S(\alpha, \beta)$. Ze opent naar boven wanneer $a > 0$ en naar beneden wanneer $a < 0$, en is symmetrisch om de verticale rechte $x = \alpha$.

**Opmerking 10.15.**

De symmetrie is snel na te gaan: voor elke $h$ is $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$, zodat twee punten op gelijke horizontale afstand van de rechte $x = \alpha$ dezelfde hoogte hebben.

![De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende parabool (a > 0) ten opzichte van de x-as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top S heeft abscis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-9863916135b2.svg)

![De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende parabool (a > 0) ten opzichte van de x-as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top S heeft abscis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-5eb7a968df56.svg)

![De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende parabool (a > 0) ten opzichte van de x-as: twee wortels, één dubbele wortel, geen wortel. De top S heeft abscis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-a1f1afe408b0.svg)

*De drie mogelijke liggingen van een naar boven openende [parabool](#def-g11-quad-parabola) ($a > 0$) ten opzichte van de $x$-as: twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant), één dubbele [wortel](#def-g11-quad-discriminant), geen [wortel](#def-g11-quad-discriminant). De top $S$ heeft [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $\alpha = -\frac{b}{2a}$.*

![Het teken van een naar beneden openende drieterm (a < 0) met twee wortels: het teken van -a tussen de wortels (gearceerd), het teken van a daarbuiten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-159a96c2a7c7.svg)

*Het teken van een naar beneden openende drieterm ($a < 0$) met twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant): het teken van $-a$ tussen de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) (gearceerd), het teken van $a$ daarbuiten.*

**Methode 10.16 (Een parabool lezen).**

Om $f(x) = ax^2+bx+c$ te schetsen: bepaal de opening (het teken van $a$), de top $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, het snijpunt $(0, c)$ met de $y$-as en de eventuele [wortels](#def-g11-quad-discriminant). De symmetrieas $x = -\frac{b}{2a}$ plaatst daarna elk berekend punt twee keer.

**Voorbeeld 10.17.**

Voor $f(x) = x^2 - 4x + 3$: opent naar boven, top $(2, -1)$, snijdt de $y$-as in $(0,3)$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $1$ en $3$ (gespot: $1 - 4 + 3 = 0$). Door de symmetrie ligt ook het punt $(4, 3)$ op de kromme, als spiegelbeeld van $(0, 3)$.

## 10.5 Oefeningen

**Oefening 10.1 ★.**

Los de [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op:

$$
x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad
x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad
9x^2 - 6x + 1 = 0 .
$$

**Oplossing van Oefening 10.1.**

$x^2-5x+6$: $\Delta = 25 - 24 = 1$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{5 \pm 1}{2}$, dus $2$ en $3$.

$2x^2+3x-2$: $\Delta = 9 + 16 = 25$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-3 \pm 5}{4}$, dus $\frac12$ en $-2$.

$x^2+2x+5$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, geen reële oplossing.

$9x^2-6x+1$: $\Delta = 36 - 36 = 0$, één (dubbele) [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$.

**Oefening 10.2 ★.**

Schrijf in [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical) en geef de top van de [parabool](#def-g11-quad-parabola):

$$
f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad
g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad
h(x) = 3x^2 + 6x .
$$

**Oplossing van Oefening 10.2.**

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$: top $(3, 2)$.

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1
= -2(x-1)^2 + 3$: top $(1, 3)$.

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr)
= 3(x+1)^2 - 3$: top $(-1, -3)$.

**Oefening 10.3 ★.**

Los de ongelijkheden op:

$$
x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad
2x^2 + x + 3 > 0, \qquad
-x^2 + 6x - 9 \geq 0 .
$$

**Oplossing van Oefening 10.3.**

$x^2 - 3x - 10$: $\Delta = 9 + 40 = 49$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ en $5$; de kopcoëfficiënt is positief, dus is de drieterm strikt tussen de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) negatief: de oplossingsverzameling is $\intoo{-2}{5}$.

$2x^2 + x + 3$: $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ en $a = 2 > 0$: altijd positief, dus is de oplossingsverzameling $\R$.

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$: dat is alleen $\geq 0$ waar $(x-3)^2 \leq 0$, dus in $x = 3$. De oplossingsverzameling is $\{3\}$.

**Oefening 10.4 ★.**

Zoek zonder $\Delta$ te berekenen één voor de hand liggende [wortel](#def-g11-quad-discriminant), en daarna de andere:

$$
x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad
x^2 + 4x - 5 = 0 .
$$

(Tip: probeer $x = 1$ en $x = -1$, en gebruik daarna het product van de [wortels](#def-g11-quad-discriminant).)

**Oplossing van Oefening 10.4.**

$x^2 - 7x + 6$: $1 - 7 + 6 = 0$, dus is $1$ een [wortel](#def-g11-quad-discriminant); het product van de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) is $6$, dus is de andere [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $6$.

$2x^2 + 5x - 7$: $2 + 5 - 7 = 0$, dus is $1$ een [wortel](#def-g11-quad-discriminant); het product is $\frac{c}{a} = -\frac72$, dus is de andere [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $-\frac72$.

$x^2 + 4x - 5$: $1 + 4 - 5 = 0$, dus is $1$ een [wortel](#def-g11-quad-discriminant); het product is $-5$, dus is de andere [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $-5$.

**Oefening 10.5 ★★.**

Zoek twee getallen met som $14$ en product $45$. Zoek daarna de afmetingen van een rechthoek met omtrek $34$ en oppervlakte $60$.

**Oplossing van Oefening 10.5.**

De twee getallen lossen $x^2 - 14x + 45 = 0$ op ([Propositie 10.9](#prop-g11-quad-vieta)); $\Delta = 196 - 180 = 16$, met [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ en $5$.

Voor de rechthoek: de halve omtrek geeft lengte $+$ breedte $= 17$, en de oppervlakte geeft hun product $60$. Ze lossen $x^2 - 17x + 60 = 0$ op; $\Delta = 289 - 240 = 49$, met [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ en $5$. De rechthoek meet $12 \times 5$.

**Oefening 10.6 ★★.**

Zij $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$, met $m$ een reële parameter. Voor welke waarden van $m$ heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 0$ precies één oplossing? En geen enkele?

**Oplossing van Oefening 10.6.**

$\Delta = (m-2)^2 - 4$. Precies één oplossing wanneer $\Delta = 0$: $(m-2)^2 = 4$, dus $m - 2 = \pm 2$, dus $m = 0$ of $m = 4$. Geen oplossing wanneer $\Delta < 0$: $(m-2)^2 < 4$, dus $-2 < m - 2 < 2$, dus $0 < m < 4$.

**Oefening 10.7 ★★.**

Een bal wordt omhoog geworpen; zijn hoogte na $t$ seconden is $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (in meter). Wat is de grootste bereikte hoogte, en op welk tijdstip? Op welk tijdsinterval bevindt de bal zich op minstens $16$ m hoogte?

**Oplossing van Oefening 10.7.**

De top ligt in $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$, en $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$: grootste hoogte $21$ m, na $2$ seconden bereikt.

$h(t) \geq 16$ betekent $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$, dus (na deling door $-5$, wat de ongelijkheid omkeert) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$. De [wortels](#def-g11-quad-discriminant) van $t^2-4t+3$ zijn $1$ en $3$ ($1 - 4 + 3 = 0$, product $3$), zodat $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ precies op $\intcc{1}{3}$ geldt: de bal bevindt zich tussen de tijdstippen $t = 1$ s en $t = 3$ s op minstens $16$ m hoogte.

**Oefening 10.8 ★★.**

Los de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ op door $X = x^2$ te stellen (een *bikwadratische* [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation)).

**Oplossing van Oefening 10.8.**

Met $X = x^2$: $X^2 - 13X + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, dus $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ of $4$. Terug naar $x$: $x^2 = 9$ geeft $x = \pm 3$, en $x^2 = 4$ geeft $x = \pm 2$. De oplossingsverzameling is $\{-3, -2, 2, 3\}$.

**Oefening 10.9 ★★.**

Voor welke waarden van $x$ ligt het punt $M(x, x^2)$ van de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ strikt onder de rechte $y = x + 2$? Duid het op een schets.

**Oplossing van Oefening 10.9.**

De voorwaarde is $x^2 < x + 2$, dus $x^2 - x - 2 < 0$. Omdat $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ ([wortels](#def-g11-quad-discriminant) $-1$ en $2$), geldt de ongelijkheid strikt tussen de [wortels](#def-g11-quad-discriminant): $x \in \intoo{-1}{2}$. Op een schets duikt de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ precies tussen haar twee snijpunten $(-1, 1)$ en $(2, 4)$ onder de rechte $y = x+2$.

**Oefening 10.10 ★★.**

De som van een positief getal en zijn omgekeerde is $\frac{13}{6}$. Zoek het getal. (Herleid tot een kwadratische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation).)

**Oplossing van Oefening 10.10.**

Zij $x > 0$ met $x + \frac1x = \frac{13}{6}$. Vermenigvuldigen met $6x > 0$: $6x^2 + 6 = 13x$, dus $6x^2 - 13x + 6 = 0$. Dan is $\Delta = 169 - 144 = 25$ en $x = \frac{13 \pm 5}{12}$, wat $x = \frac32$ of $x = \frac23$ geeft. Beide zijn positief en elkaars omgekeerde, zoals verwacht: het getal is $\frac32$ (of $\frac23$).

**Oefening 10.11 ★★★.**

Zij $\mathcal P$ de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ en $d_m$ de rechte $y = mx - 1$, met $m$ een reële parameter.

1. Voor welke waarden van $m$ snijden $\mathcal P$ en $d_m$ elkaar in twee punten? In één punt? In geen enkel punt?
2. Bereken, wanneer ze elkaar in precies één punt raken, het raakpunt. (In [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#ch-g11-deriv) zul je $d_m$ herkennen als de raaklijn aan $\mathcal P$ in dat punt.)

**Oplossing van Oefening 10.11.**

*1.* De snijpunten horen bij de oplossingen van $x^2 = mx - 1$, dus van $x^2 - mx + 1 = 0$, met [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) $\Delta = m^2 - 4$. Twee punten wanneer $\abs{m} > 2$; precies één wanneer $m = \pm 2$; geen enkel wanneer $-2 < m < 2$.

*2.* Voor $m = 2$: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$, dus is het enige raakpunt $(1, 1)$. Voor $m = -2$: $(x+1)^2 = 0$, raakpunt $(-1, 1)$. In beide gevallen ontmoet de rechte de [parabool](#def-g11-quad-parabola) in één punt zonder haar te kruisen — het is daar de raaklijn, en inderdaad is haar [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $m = \pm 2$ gelijk aan de waarde in $x = \pm 1$ van de afgeleide $2x$ van $x^2$ ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#ch-g11-deriv)).

## 10.6 Opgave: het geheime punt van de parabool

**Probleem 10.1.**

Weekendopgave — brandpunt en richtlijn: waarom schotelantennes, koplampen en hangbruggen alle dezelfde kromme tekenen, waarvan er in wezen maar één bestaat

Elke schotelantenne op elk balkon richt haar ontvanger op één welbepaald punt binnenin; elke koplamp verbergt haar lampje op dezelfde bijzondere plek. Dat punt — het *[brandpunt](#pb-g11-quad-1)* — is een geheim dat de [parabool](#def-g11-quad-parabola) al sinds de Griekse meetkunde bewaart, en de afstandsformule volstaat om het eruit te halen. Onderweg oefent deze opgave de [discriminant](#def-g11-quad-discriminant), werpt ze projectielen over muren, hangt ze een brug op, en bewijst ze een verbluffend slotfeit: op een vergroting na is *er maar één [parabool](#def-g11-quad-parabola) ter wereld*.

**Deel I — Vlot met drietermen.**

1. Los $x^2 - 5x + 6 = 0$ op, daarna $2x^2 + x - 6 = 0$ , en ten slotte $x^2 + x + 1 = 0$ ( [Stelling 10.7](#thm-g11-quad-roots) ).
2. Schrijf $2x^2 - 4x - 6$ in ontbonden vorm en in [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical) ( [Stelling 10.2](#thm-g11-quad-canonical) ). Samen met de uitgewerkte vorm heb je nu drie kostuums van één [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) : zeg welk kenmerk elk kostuum in één oogopslag toont ( [wortels](#def-g11-quad-discriminant) , top, $y$ -afsnede).
3. Los $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ op met de tekenregel ( [Stelling 10.11](#thm-g11-quad-sign) ).
4. Viète als speurder ( [Propositie 10.9](#prop-g11-quad-vieta) , in het spoor van Babylon in [Probleem 2.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#pb-g10-algebra-1) ): zoek twee getallen met som $7$ en product $12$ door hun [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op te schrijven. En daarna: één [wortel](#def-g11-quad-discriminant) van $x^2 - 5x + c = 0$ is gelijk aan $2$ ; zoek $c$ en de andere [wortel](#def-g11-quad-discriminant) zonder ook maar iets op te lossen.
5. Voor welke waarden van $m$ heeft $x^2 + mx + 9 = 0$ een dubbele [wortel](#def-g11-quad-discriminant) ? Geen [wortel](#def-g11-quad-discriminant) ? Twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant) ?

**Deel II — Het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) onthuld.** Werk met de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$, het punt $F\left(0, \frac14\right)$ en de horizontale rechte $\delta$ met [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y = -\frac14$.

6. Werk voor een punt $P(x, x^2)$ van de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ uit en toon aan dat het het volkomen kwadraat $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ is. Leid $PF$ af.
7. Bereken de afstand van $P$ tot de rechte $\delta$ , en besluit: *elk punt van de [parabool](#def-g11-quad-parabola) ligt precies even ver van $F$ als van $\delta$* . ( $F$ is het *brandpunt* , $\delta$ de *richtlijn* .)
8. Bewijs het omgekeerde: een punt $P(x, y)$ met $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ moet aan $y = x^2$ voldoen. (Kwadrateer beide afstanden en vereenvoudig.) De [parabool](#def-g11-quad-parabola) is dus een *meetkundige plaats* , net als de cirkel in [Probleem 5.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#pb-g10-coordgeom-1) : gelijke afstand tot een punt en een rechte, in plaats van tot één punt.
9. Pas voor de wijdere [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ (met $f > 0$ ) vraag 6 aan om aan te tonen dat het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) $(0, f)$ is en de [richtlijn](#pb-g11-quad-1) $y = -f$ . Toepassing: een schotelantenne is $60$ cm breed en $9$ cm diep — haar rand gaat door $(30, 9)$ . Zoek $f$ : hoe hoog boven de top moet de ontvanger hangen?
10. Waarom schotels werken: stralen die evenwijdig met de as binnenkomen weerkaatsen alle *door het [brandpunt](#pb-g11-quad-1)* (en een lampje in het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) werpt een evenwijdige bundel — koplampen zijn schotels die achterstevoren werken). Leg uit waarom de gelijke afstanden van vraag 7 dat aannemelijk maken (denk aan de stralen als oprukkende golffronten), en zeg welk gereedschap uit [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#ch-g11-deriv) (zie [Oefening 10.11](#exo-g11-quad-11) ) aannemelijkheid in een bewijs omzet.

**Deel III — Parabolen aan het werk.**

11. Een bal volgt de baan $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ en $y$ in meter). Zoek waar hij neerkomt, de horizontale plaats van zijn hoogste punt, en de grootste hoogte ( [Propositie 10.4](#prop-g11-quad-variations) ).
12. Op dezelfde baan staat een muur in $x = 4$ . Bereken de hoogte van de bal daar: gaat hij over een muur van $3$ m? En over een van $4$ m?
13. Een paraboolboog overspant $40$ m met een grootste hoogte van $10$ m: in gecentreerde [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) is $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Kan een vrachtwagen van $7$ m hoog erdoor op $10$ m van het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) ? En op $15$ m?
14. De opbrengst van een theater bij een ticketprijs van $p$ euro is $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (de vraag zakt als de prijs stijgt). Zoek de prijs die de opbrengst maximaal maakt, en dat [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) .
15. De hoofdkabels van de Golden Gate zijn tot op grote nauwkeurigheid parabolisch (een gelijkmatig verdeelde last op het brugdek levert een [parabool](#def-g11-quad-parabola) op — een vrij hangende ketting *niet* : haar kromme, de kettinglijn, vraagt de exponentiële [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) van jaar 12). Met een overspanning van $1\,280$ m en een doorhang van $143$ m volgt de kabel $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ vanaf het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) . Hoe hoog ligt de kabel boven zijn laagste punt in $x = 320$ m?

**Deel IV — Rechten, raaklijnen en de laatste verrassing.**

16. Vervolledig [Oefening 10.11](#exo-g11-quad-11) : de rechten $y = mx - 1$ door het uitwendige punt $(0, -1)$ ontmoeten $y = x^2$ naargelang het teken van een [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) . Zoek de twee raaklijnen vanuit $(0, -1)$ en hun raakpunten.
17. En nu de rechten $y = mx + 1$ door het *inwendige* punt $(0, 1)$ : bereken de [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) van de snijvergelijking en toon aan dat elke zulke rechte de [parabool](#def-g11-quad-parabola) twee keer snijdt. Moraal: van binnenuit geen raaklijnen — net als bij een cirkel.
18. De brandpuntskoorde: snijd $y = x^2$ met de horizontale rechte door het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) , $y = \frac14$ . Hoe lang is die koorde? Ga de algemene regel na (het onthouden waard voor schotels): voor $y = \frac{x^2}{4f}$ heeft de koorde door het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) evenwijdig met de [richtlijn](#pb-g11-quad-1) lengte $4f$ .
19. De laatste verrassing: pas de vergroting $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ toe op de [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ en toon aan dat het [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) precies $y = \frac{x^2}{k}$ is. Besluit: elke [parabool](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ is een vergroting van de eenheidsparabool — anders dan cirkels en ellipsen met verschillende verhoudingen zijn *alle parabolen gelijkvormig* .
20. Slotstuk: het portret van de [parabool](#def-g11-quad-parabola) in vijf regels — een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met drie kostuums (vraag 2), een meetkundige plaats (vragen 7–8), de weerkaatser van de ingenieur (vragen 9, 10), de baan van een projectiel en de kabel van een brug (vragen 11–15), en op een vergroting na één enkele kromme (vraag 19). Telkens één zin.

**Oplossing van Probleem 10.1.**

**1.** $x^2 - 5x + 6$: $\Delta = 1$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $2$ en $3$. $2x^2 + x - 6$: $\Delta = 1 + 48 = 49$, [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-1 \pm 7}{4}$: $\frac32$ en $-2$. $x^2 + x + 1$: $\Delta = -3 < 0$: geen reële oplossing.

**2.** $\Delta = 16 + 48 = 64$: [wortels](#def-g11-quad-discriminant) $3$ en $-1$, dus is $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$; de [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical) is $2(x - 1)^2 - 8$. De ontbonden vorm toont de [wortels](#def-g11-quad-discriminant), de [toppuntsvorm](#thm-g11-quad-canonical) de top $(1, -8)$, en de uitgewerkte vorm de $y$-afsnede $-6$.

**3.** [Wortels](#def-g11-quad-discriminant) $1$ en $3$, met negatieve kopcoëfficiënt: de drieterm is $\geq 0$ *tussen* de [wortels](#def-g11-quad-discriminant): $x \in \intcc{1}{3}$.

**4.** De getallen zijn de [wortels](#def-g11-quad-discriminant) van $x^2 - 7x + 12 = 0$: $3$ en $4$. Is $2$ een [wortel](#def-g11-quad-discriminant) van $x^2 - 5x + c$, dan voldoet de andere [wortel](#def-g11-quad-discriminant) $r$ aan $2 + r = 5$ (som), dus $r = 3$, en $c = 2 \times 3 = 6$ (product): Viète leest het zo af.

**5.** $\Delta = m^2 - 36$: een dubbele [wortel](#def-g11-quad-discriminant) voor $m = \pm 6$ ([wortel](#def-g11-quad-discriminant) $\mp 3$); geen [wortel](#def-g11-quad-discriminant) voor $-6 < m < 6$; twee [wortels](#def-g11-quad-discriminant) voor $\abs m > 6$.

**6.** $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2
= x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= \left(x^2 + \frac14\right)^2$. Bijgevolg is $PF = x^2 + \frac14$ (beide factoren zijn positief).

**7.** De afstand van $P(x, x^2)$ tot de horizontale rechte $y = -\frac14$ is $x^2 + \frac14$ — precies $PF$. Elk punt van de [parabool](#def-g11-quad-parabola) ligt even ver van het [brandpunt](#pb-g11-quad-1) als van de [richtlijn](#pb-g11-quad-1).

**8.** $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ en $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$. Gelijkstellen geeft $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$, dus $x^2 = y$: de meetkundige plaats is precies de [parabool](#def-g11-quad-parabola). Eén punt en één rechte brengen de kromme voort, zoals één punt en één afstand de cirkel voortbrachten.

**9.** Voor $y = \frac{x^2}{4f}$ geeft dezelfde uitwerking met $F(0, f)$ dat $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2
= \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$: de afstand tot $F$ is gelijk aan de afstand tot $y = -f$. Schotel: $9 = \frac{30^2}{4f}$ geeft $4f = 100$, dus $f = 25$ cm: de ontvanger hangt een kwart meter boven de top — buiten de $9$ cm diepe schotel, zoals echte antennes laten zien.

**10.** Een golffront dat evenwijdig met de as binnenkomt heeft gelijke afstanden afgelegd om de hoogte van de [richtlijn](#pb-g11-quad-1) te bereiken; de gelijke afstanden zetten “even ver van de [richtlijn](#pb-g11-quad-1)” om in “even ver van $F$”: alle weerkaatste signalen komen *in de pas* in $F$ aan en versterken elkaar — daar moet je dus luisteren. Het eerlijke bewijs vraagt de [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) van de raaklijn in elk punt — de afgeleide van [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#ch-g11-deriv), waarvan [Oefening 10.11](#exo-g11-quad-11) een glimp geeft.

**11.** $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$: hij komt neer in $x = 20$ m. De top ligt halverwege: $x = 10$, met hoogte $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

**12.** $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: ruim over een muur van $3$ m, maar knal tegen een muur van $4$ m.

**13.** $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$: de vrachtwagen raakt erdoor op $10$ m van het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint). $y(15) = 10 - \frac{225}{40} =
4.375$ m: op $15$ m niet.

**14.** $R(p) = -2p^2 + 120p$: top in $p = \frac{120}{4} = 30$ euro, met opbrengst $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euro.

**15.** $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 =
\frac{143}{4} \approx 36$ m boven het laagste punt.

**16.** $x^2 = mx - 1$ geeft $x^2 - mx + 1 = 0$, met $\Delta = m^2 - 4$: twee punten voor $\abs m > 2$, geen voor $\abs m < 2$, en raking voor $m = \pm 2$ met raakpunt $x = \frac m2 = \pm 1$: de raaklijnen $y = 2x - 1$ in $(1, 1)$ en $y = -2x - 1$ in $(-1, 1)$.

**17.** $x^2 = mx + 1$ geeft $\Delta = m^2 + 4 > 0$ voor elke $m$: dus altijd twee snijpunten. Vanuit een inwendig punt kruist elke rechte de kromme twee keer — raaklijnen teken je alleen van buitenaf, net als bij cirkels.

**18.** $y = \frac14$ ontmoet $y = x^2$ in $x = \pm\frac12$: koordelengte $1$. Voor $y = \frac{x^2}{4f}$ geeft $y = f$ dat $x^2 = 4f^2$, dus $x = \pm 2f$: lengte $4f$ — de brandpuntsbreedte is vier keer de brandpuntsafstand (schotelontwerpers noemen ze de latus rectum).

**19.** Een punt van $y = x^2$ is $(a, a^2)$; zijn [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) is $(X, Y) = (ka, ka^2)$, en $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$: de beeldkromme is precies $y = \frac{x^2}{k}$. Met $k = 4f$ bereik je elke [parabool](#def-g11-quad-parabola): het zijn allemaal vergrotingen van één moederkromme. (Ook cirkels zijn onderling gelijkvormig — ellipsen niet: samendrukken telt, vergroten niet.)

**20.** Een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met drie leesbare kostuums; de meetkundige plaats van de gelijke afstand tot een punt en een rechte; de weerkaatser die evenwijdige stralen in zijn [brandpunt](#pb-g11-quad-1) bundelt en de kabel die een gelijkmatig belast dek draagt; de baan van elke geworpen bal; en, op een vergroting na, één enkele kromme — één [parabool](#def-g11-quad-parabola), overal.