---
title: "Functies en hun verloop"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop
---

# Hoofdstuk 11 — Functies en hun verloop

Dit hoofdstuk ordent wat je over [functies](#def-g11-func-function) moet weten vóór de analyse: de kleine familie *[referentiefuncties](#def-g11-func-reference)* waarvan de [grafieken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) uit het hoofd gekend moeten zijn, de precieze betekenis van *[stijgend](#def-g11-func-monotone)* en *[dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations)*, en hoe het verloop zich gedraagt wanneer [functies](#def-g11-func-function) gecombineerd worden.

## 11.1 Functies en krommen

**Definitie 11.1 (Functie, domein, kromme).**

Een *functie* $f$ kent aan elk getal $x$ van een verzameling $D \subseteq \R$ (haar *domein*) precies één getal $f(x)$ toe. Haar *kromme* (of [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph)) is de verzameling van de punten $\bigl(x, f(x)\bigr)$ met $x \in D$.

**Voorbeeld 11.2.**

De formule $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ vereist $x + 2 \geq 0$ (voor de vierkantswortel) en $x \neq 1$ (noemer verschillend van nul): het [domein](#def-g11-func-function) is $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 De referentiefuncties

De volgende vijf [functies](#def-g11-func-function) en hun krommen moeten reflexen worden.

**Definitie 11.3 (Referentiefuncties).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (het kwadraat)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (de derde macht)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

Hun [domeinen](#def-g11-func-function) zijn respectievelijk $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ en $\R$. De kromme van $x \mapsto \frac1x$ is een *hyperbool*.

![De vijf referentiekrommen: de parabool x2 en de derde macht x3 (links); √ x, x en de hyperbool 1x (rechts).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![De vijf referentiekrommen: de parabool x2 en de derde macht x3 (links); √ x, x en de hyperbool 1x (rechts).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*De vijf referentiekrommen: de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $x^2$ en de derde macht $x^3$ (links); $\sqrt x$, $\abs x$ en de [hyperbool](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (rechts).*

## 11.3 Verloop op een interval

**Definitie 11.4 (Stijgend, dalend).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$. De [functie](#def-g11-func-function) $f$ heet *stijgend* op $I$ wanneer ze de orde behoudt:

$$
\text{voor alle } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

en *[dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations)* wanneer ze de orde omkeert ($u < v \implies f(u) \geq
f(v)$). Met strikte ongelijkheden rechts heet $f$ *strikt* stijgend (respectievelijk [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations)). Een [functie](#def-g11-func-function) die op $I$ stijgend of [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) is, heet *monotoon* op $I$.

**Methode 11.5 (Een verloop uit de definitie bewijzen).**

Neem twee willekeurige getallen $u < v$ uit het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) en bepaal het teken van het verschil $f(v) - f(u)$, meestal door het te *[ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand)*. Is dat teken constant op het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval), dan mag je besluiten.

**Propositie 11.6 (Verloop van de referentiefuncties).**

1. $x^2$ is strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ is strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\R$ .
3. $\sqrt x$ is strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ is strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$ (maar *niet* op hun [vereniging](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) ).
5. $\abs x$ is strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{0}{+\infty}$ .

**Bewijs.** Zij $u < v$. We [ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) telkens $f(v) - f(u)$.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Op $\intco{0}{+\infty}$: $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (want $v > u \geq 0$), dus $v^2 > u^2$. Op $\intoc{-\infty}{0}$: $v + u < 0$, dus $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, en de tweede factor is gelijk aan $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ tenzij $u = v = 0$. Bijgevolg is $v^3 > u^3$ zodra $v > u$.

*3.* Voor $0 \leq u < v$: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* Voor $0 < u < v$: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$, want $u - v < 0$ en $uv > 0$; dezelfde berekening geldt voor $u < v < 0$. Op de [vereniging](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) gaat de bewering niet op: $-1 < 1$, maar $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$.

*5.* Op $\intco{0}{+\infty}$ is $\abs x = x$ strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone); op $\intoc{-\infty}{0}$ is $\abs x = -x$ strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations). ∎

**Opmerking 11.7.**

Punt 4 is een klassieke valkuil: “[dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$” is *niet* hetzelfde als “[dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\R \setminus \{0\}$”. Verloop heeft alleen zin op intervallen.

**Voorbeeld 11.8 (Vergelijken zonder rekenen).**

Omdat $\sqrt x$ strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) is, geldt $\sqrt{7} < \sqrt{8}$; omdat $x^2$ strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) is op $\intoc{-\infty}{0}$, geldt $(-3)^2 > (-2)^2$. Monotonie zet vergelijkingen van beelden om in [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de argumenten.

## 11.4 Nieuwe functies uit oude

**Propositie 11.9 (Transformaties).**

Zij $u$ een [functie](#def-g11-func-function) gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ en $k \in \R$.

1. $u + k$ heeft op $I$ *hetzelfde* verloop als $u$ ; haar kromme is die van $u$ , verticaal over $k$ verschoven.
2. Voor $\lambda > 0$ heeft $\lambda u$ hetzelfde verloop als $u$ ; voor $\lambda < 0$ is het verloop omgekeerd.
3. Is $u \geq 0$ op $I$ , dan heeft $\sqrt u$ hetzelfde verloop als $u$ .
4. Is $u \neq 0$ en heeft $u$ een constant teken op $I$ , dan heeft $\frac1u$ het *tegengestelde* verloop van $u$ .

**Bewijs.** Zij $x_1 < x_2$ in $I$, en schrijf $s = u(x_1)$ en $t = u(x_2)$ voor de [beelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function).

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: het verschil van de [beelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) verandert niet, en dus ook het teken ervan niet.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: het teken blijft behouden als $\lambda > 0$ en keert om als $\lambda < 0$.

*3.* Is $u$ [stijgend](#def-g11-func-monotone) en $x_1 < x_2$, dan is $0 \leq s \leq t$, en omdat de vierkantswortel [stijgend](#def-g11-func-monotone) is ([Propositie 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) geldt $\sqrt s \leq \sqrt t$. Hetzelfde argument werkt in het dalende geval.

*4.* Is $u$ [stijgend](#def-g11-func-monotone) en $0 < s \leq t$ (of $s \leq t < 0$), dan is $\frac1s \geq \frac1t$, want $x \mapsto \frac1x$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) aan elke kant van $0$: de orde keert om. ∎

**Voorbeeld 11.10.**

Bestudeer $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op $\R$. De binnenfunctie $u(x) = x^2 + 1$ is positief, [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{0}$ en [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{0}{+\infty}$ (een verschoven kwadraat). Volgens punt 3 heeft $f$ hetzelfde verloop: eerst [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations), dan [stijgend](#def-g11-func-monotone), met [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$.

![Transformaties aan het werk: x2 één omhoog schuiven (rood) behoudt het verloop; daarna de vierkantswortel nemen (oranje) behoudt het opnieuw, zoals in .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*Transformaties aan het werk: $x^2$ één omhoog schuiven (rood) behoudt het verloop; daarna de vierkantswortel nemen (oranje) behoudt het opnieuw, zoals in [Voorbeeld 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 Even en oneven functies

**Definitie 11.11 (Pariteit).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [domein](#def-g11-func-function) $D$ dat symmetrisch is om $0$ (dus $-x \in D$ zodra $x \in D$). De [functie](#def-g11-func-function) $f$ heet *even* wanneer $f(-x) = f(x)$ voor alle $x \in D$, en *oneven* wanneer $f(-x) = -f(x)$ voor alle $x \in D$.

**Propositie 11.12 (Meetkundige betekenis).**

De kromme van een [even functie](#def-g11-func-parity) is symmetrisch om de $y$-as; de kromme van een [oneven functie](#def-g11-func-parity) is symmetrisch om de oorsprong.

**Bewijs.** Is $f$ [even](#def-g11-func-parity) en ligt $(x, y)$ op de kromme (dus $y = f(x)$), dan is $f(-x) = f(x) = y$: ook het spiegelpunt $(-x, y)$ ligt op de kromme. Is $f$ [oneven](#def-g11-func-parity), dan is $f(-x) = -y$: het punt $(-x, -y)$, symmetrisch met $(x,y)$ om de oorsprong, ligt op de kromme. ∎

**Voorbeeld 11.13.**

$x^2$ en $\abs x$ zijn [even](#def-g11-func-parity); $x^3$ en $\frac1x$ zijn [oneven](#def-g11-func-parity); $f(x) = x^2 + x$ is geen van beide: $f(-1) = 0$ terwijl $f(1) = 2$, dus is $f(-1) \neq \pm f(1)$. Pariteit halveert het werk: een [even](#def-g11-func-parity) of [oneven functie](#def-g11-func-parity) hoef je alleen op $\intco{0}{+\infty}$ te bestuderen.

## 11.6 Oefeningen

**Oefening 11.1 ★.**

Geef het [domein](#def-g11-func-function) van elke [functie](#def-g11-func-function):

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**Oplossing van Oefening 11.1.**

$f$: nodig is $3 - x \geq 0$, [domein](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$: nodig is $x^2 - 4 \neq 0$, dus $x \neq \pm 2$: [domein](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$: nodig is $x \geq 0$ en $x \neq 5$: [domein](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**Oefening 11.2 ★.**

Vergelijk met het verloop van de [referentiefuncties](#def-g11-func-reference), zonder rekenmachine:

$$
\sqrt{11} \text{ en } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ en } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ en } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ en } (-0.99)^3 .
$$

**Oplossing van Oefening 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$, want de vierkantswortel is [stijgend](#def-g11-func-monotone) en $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$, want $x^2$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{0}$ en $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$, want $\frac1x$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoo{0}{+\infty}$ en $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$, want $x^3$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) en $-1.01 < -0.99$.

**Oefening 11.3 ★.**

Bepaal of elke [functie](#def-g11-func-function) [even](#def-g11-func-parity) is, [oneven](#def-g11-func-parity), of geen van beide:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**Oplossing van Oefening 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [even](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [oneven](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ en $h(-1) = 1 - 1 = 0$, dus is $h(-1)$ noch $h(1)$ noch $-h(1)$: noch [even](#def-g11-func-parity) noch [oneven](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [oneven](#def-g11-func-parity).

**Oefening 11.4 ★.**

Een [functie](#def-g11-func-function) $f$ heeft het volgende verloop: [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intcc{-3}{1}$ van $f(-3) = -2$ tot $f(1) = 4$, daarna [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intcc{1}{5}$ tot $f(5) = 0$. Hoeveel oplossingen heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ op $\intcc{-3}{5}$? En $f(x) = 5$?

**Oplossing van Oefening 11.4.**

Lees de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table). Op $\intcc{-3}{1}$ klimt $f$ van $-2$ naar $4$ en passeert ze de waarde $1$ precies één keer; op $\intcc{1}{5}$ zakt ze van $4$ naar $0$ en passeert ze $1$ nog een keer: de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ heeft $2$ oplossingen. Het [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) van $f$ is $f(1) = 4 < 5$, dus heeft $f(x) = 5$ geen oplossing.

**Oefening 11.5 ★★.**

Bewijs met [Methode 11.5](#met-g11-func-variation) (het teken van $f(v) - f(u)$) dat $f(x) = x^2 - 4x$ strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) is op $\intco{2}{+\infty}$.

**Oplossing van Oefening 11.5.**

Zij $2 \leq u < v$. Dan is

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

Beide factoren zijn positief: $v - u > 0$, en $u + v > 2 + 2 = 4$ want $u \geq 2$ en $v > 2$. Bijgevolg is $f(v) > f(u)$: $f$ is strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{2}{+\infty}$.

**Oefening 11.6 ★★.**

Geef, zonder ook maar één afgeleide te berekenen, het verloop van

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ op } \intoc{-\infty}{5},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty}.
$$

**Oplossing van Oefening 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ met $u(x) = 5 - x$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) en niet-negatief op $\intoc{-\infty}{5}$: $f$ is daar [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) ([Propositie 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ met $u(x) = x^2 + 1$ [stijgend](#def-g11-func-monotone) en positief op $\intco{0}{+\infty}$: $g$ is daar [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations).

$h = 3 - 2\sqrt x$: $\sqrt x$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone), vermenigvuldigen met $-2 < 0$ keert om, en $3$ optellen verandert niets: $h$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intco{0}{+\infty}$.

**Oefening 11.7 ★★.**

Zij $f(x) = (x-2)^2 - 3$ op $\R$.

1. Geef het verloop van $f$ en haar [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) .
2. Leid het verloop van $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ en haar [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) af. (Merk op dat $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**Oplossing van Oefening 11.7.**

*1.* $f$ staat in [toppuntsvorm](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#thm-g11-quad-canonical): [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{2}$, [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{2}{+\infty}$, met [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ met $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. De verschuiving met $4$ behoudt het verloop van $f$, en $u \geq 1 > 0$. Het omgekeerde nemen keert het verloop om: $g$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intoc{-\infty}{2}$ en [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intco{2}{+\infty}$, met [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**Oefening 11.8 ★★.**

De kromme van een [functie](#def-g11-func-function) $f$ gaat door de punten $(0, 1)$, $(2, 3)$ en $(4, 1)$, en $f$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intcc{0}{2}$ en [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intcc{2}{4}$. Schets een mogelijke kromme, en schets daarna de krommen van $f + 2$, van $-f$ en van $2f$.

**Oplossing van Oefening 11.8.**

Elke heuvelvormige kromme door de drie punten voldoet. Vervolgens: $f + 2$ gaat door $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$, met hetzelfde verloop (verticale verschuiving); $-f$ gaat door $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ met *omgekeerd* verloop (de top wordt een dal); $2f$ gaat door $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$, met hetzelfde verloop maar verticaal uitgerekt.

**Oefening 11.9 ★★.**

Toon aan dat de [functie](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ te schrijven is als $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$, en leid haar verloop op $\intoo{-1}{+\infty}$ af.

**Oplossing van Oefening 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. Op $\intoo{-1}{+\infty}$ is $u(x) = x + 1$ [stijgend](#def-g11-func-monotone) en positief, dus is $\frac1u$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations), is $-\frac1u$ [stijgend](#def-g11-func-monotone), en verandert $2$ optellen niets: $f$ is strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Oefening 11.10 ★★.**

Waar of niet waar (verantwoord of geef een tegenvoorbeeld)?

1. De som van twee [stijgende functies](#def-g11-func-monotone) op $I$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $I$ .
2. Het product van twee [stijgende functies](#def-g11-func-monotone) op $I$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $I$ .
3. Is $f$ [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $I$ , dan is $f^2$ ( $= f \times f$ ) [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $I$ .

**Oplossing van Oefening 11.10.**

*1. Waar.* Is $u < v$, dan is $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ een som van twee niet-negatieve getallen.

*2. Niet waar.* $f(x) = g(x) = x$ zijn [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\R$, maar hun product $x^2$ is niet [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\R$ (het daalt op $\intoc{-\infty}{0}$). (De uitspraak wordt wel waar als beide [functies](#def-g11-func-function) ook niet-negatief zijn.)

*3. Niet waar.* Hetzelfde tegenvoorbeeld: $f(x) = x$ is [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\R$, maar $f^2(x) = x^2$ niet.

**Oefening 11.11 ★★★.**

Zij $f(x) = x + \frac{1}{x}$ voor $x > 0$.

1. Toon aan dat voor $0 < u < v$ geldt: $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. Leid af dat $f$ strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) is op $\intoc{0}{1}$ en strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{1}{+\infty}$ .
3. Besluit dat $x + \frac1x \geq 2$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid alleen in $x = 1$ .

**Oplossing van Oefening 11.11.**

*1.* Voor $0 < u < v$:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* Altijd is $v - u > 0$ en $uv > 0$. Is $0 < u < v \leq 1$, dan is $uv < 1$, dus $uv - 1 < 0$ en $f(v) < f(u)$: $f$ is strikt [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{0}{1}$. Is $1 \leq u < v$, dan is $uv > 1$ en $f(v) > f(u)$: $f$ is strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* $f$ daalt vóór $1$ en stijgt erna, dus is $f(x) \geq f(1) = 2$ voor alle $x > 0$, met gelijkheid precies in $x = 1$. (Deze ongelijkheid duikt in vele gedaanten op; vergelijk [Voorbeeld 10.3](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ex-g11-quad-canonical) en de raaklijnongelijkheden van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#ch-g12-deriv).)

## 11.7 Opgave: de symmetriefabriek

**Probleem 11.1.**

Weekendopgave — elke functie is een even deel plus een oneven deel: pariteitsregels, het transformatiespel, en minima gewonnen zonder afgeleiden

Sommige [functies](#def-g11-func-function) zijn spiegelsymmetrisch, andere symmetrisch onder een halve draai, de meeste geen van beide — en toch zegt een klein algebraïsch wonder dat *elke* [functie](#def-g11-func-function) op precies één manier de som is van een spiegelsymmetrisch en een halvedraaisymmetrisch stuk. Deze opgave bewijst het wonder, speelt het transformatiespel op de referentiekrommen ([Propositie 11.9](#prop-g11-func-transforms)), en sluit af met de ontbindingstechniek van [Oefening 11.11](#exo-g11-func-11), die minimaliseringsvraagstukken wint een volledig hoofdstuk voordat de afgeleide arriveert.

**Deel I — Vlot met pariteit.**

1. [Even](#def-g11-func-parity) , [oneven](#def-g11-func-parity) , of geen van beide ( [Definitie 11.11](#def-g11-func-parity) )? Verantwoord elk geval: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
2. Formuleer de meetkundige betekenis van elk oordeel ( [Propositie 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): welke symmetrie heeft de kromme van een [even functie](#def-g11-func-parity) ? En die van een [oneven functie](#def-g11-func-parity) ?
3. Pariteit vermenigvuldigt als tekens: bewijs dat het product van twee [oneven functies](#def-g11-func-parity) [even](#def-g11-func-parity) is, en vul de hele vermenigvuldigingstabel aan ( [even](#def-g11-func-parity) $\times$ [even](#def-g11-func-parity) , [even](#def-g11-func-parity) $\times$ [oneven](#def-g11-func-parity) , [oneven](#def-g11-func-parity) $\times$ [oneven](#def-g11-func-parity) ).
4. Snelle gevolgen: is $f$ [oneven](#def-g11-func-parity) en in $0$ gedefinieerd, wat is dan $f(0)$ ? Is $f$ [even](#def-g11-func-parity) met $f(3) = 7$ , wat is dan $f(-3)$ ? En toon aan dat de enige [functie](#def-g11-func-function) die zowel [even](#def-g11-func-parity) als [oneven](#def-g11-func-parity) is, de nulfunctie is.
5. Hoeveel van de kromme van een [even functie](#def-g11-func-parity) legt haar volledig vast? Geef een [functie](#def-g11-func-function) die noch [even](#def-g11-func-parity) noch [oneven](#def-g11-func-parity) is, en leg uit wat er misgaat.

**Deel II — De splitsingsstelling.** Stel voor een [functie](#def-g11-func-function) $f$ gedefinieerd op een [domein](#def-g11-func-function) dat symmetrisch is om $0$:

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. Bereken $E$ en $O$ voor $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , en ga na: $E$ [even](#def-g11-func-parity) , $O$ [oneven](#def-g11-func-parity) , $E + O = f$ .
7. Bewijs de algemene uitspraak: voor elke $f$ is de [functie](#def-g11-func-function) $E$ [even](#def-g11-func-parity) , is $O$ [oneven](#def-g11-func-parity) , en geldt $f = E + O$ — *elke [functie](#def-g11-func-function) splitst in een [even](#def-g11-func-parity) en een [oneven](#def-g11-func-parity) deel* .
8. Bewijs dat de splitsing uniek is: is $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ met $E_i$ [even](#def-g11-func-parity) en $O_i$ [oneven](#def-g11-func-parity) , gebruik dan vraag 4 op $E_1 - E_2$ .
9. Splits $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (voor $x \neq \pm 1$ ): breng $E$ en $O$ op de gemeenschappelijke noemer $1 - x^2$ en vereenvoudig.
10. Een vooruitblik, telkens in één zin: het [even](#def-g11-func-parity) en het [oneven](#def-g11-func-parity) deel van de exponentiële [functie](#def-g11-func-function) zullen de tweelingfuncties van jaar 12 zijn (de hyperbolische cosinus en sinus); en hetzelfde instinct — splits een object in symmetrische stukken en behandel elk met zijn eigen symmetrie — drijft in de universitaire volumes de analyse van geluid en signalen aan. Waarom is zo’n splitsing in het algemeen *nuttig* ?

**Deel III — Het transformatiespel.**

11. Beschrijf, vertrekkend van de kromme van $x \mapsto x^2$ , nauwkeurig de krommen van $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ ( [Propositie 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. Herleid $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ tot een stuksgewijze formule op de drie intervallen die $-2$ en $2$ afsnijden, en beschrijf haar kromme (ze heeft een beroemde vlakke bodem).
13. Welke transformaties behouden het [even](#def-g11-func-parity) zijn? Beslis, met een bewijs of een tegenvoorbeeld: de horizontale verschuiving $f(x - 3)$ ; de verticale verschuiving $f(x) + 2$ ; de verticale rek $2 f(x)$ (alle toegepast op een [even](#def-g11-func-parity) $f$ ).
14. Los $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ op met de stuksgewijze formule van vraag 12.
15. Terugrekenen: een [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) heeft top $(2, -3)$ en gaat door $(0, 1)$ . Reconstrueer haar [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) in [toppuntsvorm](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#thm-g11-quad-canonical) .

**Deel IV — Minima zonder afgeleiden.**

16. Spiegel [Oefening 11.11](#exo-g11-func-11) voor $g(x) = x + \dfrac4x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : toon aan dat $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , bepaal het [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) en geef zijn waarde.
17. Pas toe: welke rechthoek met oppervlakte $16$ heeft de kleinste omtrek? (Schrijf $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ en gebruik de machine van vraag 16.) Een oude bekende besluit.
18. Bepaal het verloop van $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op heel $\R$ , door een samenstellingsargument op $\intco{0}{+\infty}$ met een pariteitsargument voor de rest te combineren.
19. Het dichtstbijzijnde punt: zoek het punt van de kromme $y = \sqrt x$ dat het dichtst bij $(3, 0)$ ligt. (Minimaliseer het *kwadraat* van de afstand — een kwadratische uitdrukking in $x$ — en leg uit waarom het kwadraat minimaliseren geoorloofd is.)
20. Slotstuk, de rondleiding door de fabriek: de referentiekrommen zijn de grondstof; de transformaties zijn de machines; de pariteit en de splitsing zijn de kwaliteitscontrole; het [ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) van het verschil is de meetbank. Telkens één zin — en noem het krachtige gereedschap dat het volgende hoofdstuk levert.

**Oplossing van Probleem 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [even](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$). $x^3 - x$: [oneven](#def-g11-func-parity). $x^2 + x$: geen van beide ($f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ en ook $\neq -f(1)$). $\abs x$: [even](#def-g11-func-parity). $\frac1x$: [oneven](#def-g11-func-parity).

**2.** [Even](#def-g11-func-parity): de kromme is symmetrisch om de $y$-as (spiegeling). [Oneven](#def-g11-func-parity): symmetrisch om de oorsprong (halve draai).

**3.** Zijn $f$ en $g$ [oneven](#def-g11-func-parity), dan is $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: [even](#def-g11-func-parity). De tabel: [even](#def-g11-func-parity) $\times$ [even](#def-g11-func-parity) $=$ [even](#def-g11-func-parity); [even](#def-g11-func-parity) $\times$ [oneven](#def-g11-func-parity) $=$ [oneven](#def-g11-func-parity); [oneven](#def-g11-func-parity) $\times$ [oneven](#def-g11-func-parity) $=$ [even](#def-g11-func-parity) — de tekenregel, maar dan met pariteiten.

**4.** [Oneven](#def-g11-func-parity) in $0$: $f(0) = -f(0)$, dus $f(0) = 0$. [Even](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$. Zowel [even](#def-g11-func-parity) als [oneven](#def-g11-func-parity): $f(x) = f(-x) = -f(x)$ voor alle $x$, dus $2f(x) = 0$: $f$ is de nulfunctie.

**5.** De rechterhelft ($x \geq 0$) legt een [even functie](#def-g11-func-parity) volledig vast: de linkerhelft is haar spiegelbeeld. Noch [even](#def-g11-func-parity) noch [oneven](#def-g11-func-parity): $x^2 + x$ (vraag 1) — allebei de symmetrieën falen in $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ ([even](#def-g11-func-parity)), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([oneven](#def-g11-func-parity)); hun som is $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [even](#def-g11-func-parity). $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [oneven](#def-g11-func-parity). En $E(x) + O(x) = f(x)$ door rechtstreeks op te tellen: elke [functie](#def-g11-func-function) splitst.

**8.** Uit $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ volgt $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. Het linkerlid is [even](#def-g11-func-parity), het rechterlid [oneven](#def-g11-func-parity) — die [functie](#def-g11-func-function) is dus allebei, en bijgevolg nul (vraag 4): $E_1 = E_2$ en $O_1 = O_2$. Slechts één splitsing.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right)
= \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$, en $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} =
\frac{x}{1 - x^2}$. Controle: $E$ is [even](#def-g11-func-parity), $O$ is [oneven](#def-g11-func-parity), en hun som is $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} =
f(x)$.

**10.** Doordat elk stuk aan een symmetrie gehoorzaamt, volstaat voor elk de helft van het werk (en de helft van de gegevens): los het aan één kant op en spiegel naar de andere — en veel bewerkingen (integreren, reeksen, signaalanalyse) behandelen symmetrische stukken veel eenvoudiger dan ruwe [functies](#def-g11-func-function).

**11.** $(x-3)^2$: $3$ naar rechts geschoven. $x^2 + 2$: $2$ omhoog geschoven. $(x-3)^2 + 2$: allebei. $-x^2$: ondersteboven gekeerd. $2x^2$: verticaal met $2$ uitgerekt (smallere schaal).

**12.** Voor $x \geq 2$: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. Voor $-2 \leq x \leq 2$: $(2 - x) + (x + 2) = 4$. Voor $x \leq -2$: $-2x$. De kromme daalt met [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $-2$, loopt tussen $-2$ en $2$ vlak op hoogte $4$, en klimt daarna met [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $2$: een dal met een vlakke bodem.

**13.** Verticale verschuiving: $f(x) + 2$ blijft [even](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). Verticale rek: $2f(x)$ blijft [even](#def-g11-func-parity). Horizontale verschuiving: $(x - 3)^2$ is niet [even](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): zijwaarts schuiven vernielt de spiegeling.

**14.** Op de vlakke bodem is de waarde $4 \neq 6$. Voor $x \geq 2$: $2x = 6$, dus $x = 3$. Voor $x \leq -2$: $-2x = 6$, dus $x = -3$. Oplossingen: $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ met $f(0) = 4a - 3 = 1$: $a = 1$, dus $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: negatief voor $u < v$ met $uv < 4$, positief met $uv > 4$: [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{0}{2}$, [stijgend](#def-g11-func-monotone) op $\intco{2}{+\infty}$; [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) in $x = 2$, met waarde $g(2) = 4$.

**17.** Zijden $x$ en $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, minimaal (de machine van vraag 16 met $4 \to 16$, keerpunt $\sqrt{16} = 4$) in $x = 4$: het *vierkant* $4 \times 4$, met omtrek $16$ — het antwoord van Dido, nu bewezen voor elke reële zijdelengte.

**18.** Op $\intco{0}{+\infty}$ stijgt $x \mapsto x^2 + 1$, en de vierkantswortel stijgt, dus stijgt de samenstelling. En $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: $h$ is [even](#def-g11-func-parity), dus daalt ze door de spiegelsymmetrie op $\intoc{-\infty}{0}$. [Minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** Het kwadraat van de afstand van het punt $(x, \sqrt x)$ tot $(3, 0)$ is $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, minimaal in $x = \frac52$: het dichtstbijzijnde punt is $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, op afstand $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Het kwadraat minimaliseren mag, omdat kwadrateren strikt [stijgend](#def-g11-func-monotone) is op de positieve getallen: $d$ en $d^2$ bereiken hun laagste punt op dezelfde plaats.

**20.** Grondstof: de referentiekrommen, uit het hoofd gekend. Machines: verschuivingen, spiegelingen en rekkingen die uit oude [grafieken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) nieuwe bouwen. Kwaliteitscontrole: de pariteit en de splitsing in een [even](#def-g11-func-parity) en een [oneven](#def-g11-func-parity) deel, die elke studie halveren. Meetbank: het [ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) van $f(v) - f(u)$, dat verloop en minima rechtstreeks afleest. Het krachtige gereedschap van het volgende hoofdstuk: de *afgeleide*, die ze in één oogopslag afleest.