---
title: "Afgeleiden: een eerste kennismaking"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking
---

# Hoofdstuk 12 — Afgeleiden: een eerste kennismaking

Hoe snel verandert een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function)? Het antwoord in één punt is de *[afgeleide](#def-g11-deriv-derivative)*, het nuttigste getal uit de hele toegepaste wiskunde. Dit hoofdstuk bouwt haar op uit [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-mean) veranderingssnelheden, berekent haar voor de [referentiefuncties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-reference), en gebruikt haar teken om het verloop van een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) af te lezen. Alles hier wordt in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#ch-g12-deriv) uitgebreid en verdiept.

## 12.1 De gemiddelde veranderingssnelheid

**Definitie 12.1 (Gemiddelde veranderingssnelheid).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$, en $a \neq b$ in $I$. De *gemiddelde veranderingssnelheid* van $f$ tussen $a$ en $b$ is

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

Het is de [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) van de *snijlijn* door de punten $\bigl(a, f(a)\bigr)$ en $\bigl(b, f(b)\bigr)$ van de kromme.

**Voorbeeld 12.2.**

Een auto legt tussen 14 en 16 uur $140$ km af: zijn [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-mean) snelheid is $\frac{140}{2} = 70$ km/u. De snelheidsmeter toont daarentegen op elk ogenblik een *ogenblikkelijke* snelheid — en dat is precies het begrip dat de [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) scherp maakt.

## 12.2 De afgeleide in een punt

**Definitie 12.3 (Afgeleide in een punt).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dat $a$ bevat. Vorm voor $h \neq 0$ de [gemiddelde veranderingssnelheid](#def-g11-deriv-rate) tussen $a$ en $a + h$:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

Nadert $r(h)$ één vast getal naarmate $h$ willekeurig dicht bij $0$ komt, dan zeggen we dat $f$ *differentieerbaar in $a$* is; dat getal is de *afgeleide van $f$ in $a$*, geschreven $f'(a)$:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**Voorbeeld 12.4.**

Zij $f(x) = x^2$ en $a = 1$. Voor $h \neq 0$:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

Nadert $h$ tot $0$, dan nadert dit tot $2$: de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $x^2$ is [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) in $1$ en $f'(1) = 2$. Let op de strategie: *vereenvoudig het quotiënt tot $h$ niet langer in een noemer staat*, en laat dan $h \to 0$ gaan.

**Voorbeeld 12.5 (Een punt zonder afgeleide).**

Zij $f(x) = \abs{x}$ en $a = 0$. Dan is $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, wat $1$ is voor $h > 0$ en $-1$ voor $h < 0$: er wordt geen enkel getal genaderd, en $\abs x$ is niet [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) in $0$. Haar kromme heeft daar een *knik*.

## 12.3 De raaklijn

**Definitie 12.6 (Raaklijn).**

Is $f$ [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) in $a$, dan is de *raaklijn* aan de kromme in het punt $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ de rechte door $A$ met [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$. Haar [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) is

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

De [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) is de grensstand van de [snijlijnen](#def-g11-deriv-rate) door $A$: naarmate $h \to 0$ glijdt het tweede punt $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ langs de kromme naar $A$, en nadert de [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ van de [snijlijn](#def-g11-deriv-rate) tot $f'(a)$.

![De snijlijn door A en B = (a+h, f(a+h) ) heeft richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h. Terwijl B naar A glijdt, kantelt de snijlijn naar de raaklijn, waarvan de richtingscoëfficiënt f'(a) is.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-257ea506c310.svg)

*De [snijlijn](#def-g11-deriv-rate) door $A$ en $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ heeft [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Terwijl $B$ naar $A$ glijdt, kantelt de [snijlijn](#def-g11-deriv-rate) naar de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent), waarvan de [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$ is.*

**Voorbeeld 12.7.**

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 1$: $f(1) = 1$ en $f'(1) = 2$ ([Voorbeeld 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), dus is de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent)

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

Dat is de rechte $d_2$ die in [Oefening 10.11](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#exo-g11-quad-11) met zuivere algebra gevonden werd.

## 12.4 Afgeleiden van de referentiefuncties

**Propositie 12.8.**

Op hun [domeinen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van differentieerbaarheid geldt

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

Algemener is $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ voor elk [geheel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$.

**Bewijs.** Elk bewijs volgt de strategie van [Voorbeeld 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint): vereenvoudig de veranderingssnelheid en laat dan $h \to 0$ gaan. Kies $a$ in het [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function).

*Constante en identiteit.* $\frac{c - c}{h} = 0$ en $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ voor alle $h$: de limieten zijn $0$ en $1$.

*Kwadraat.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*Derde macht.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, zodat de veranderingssnelheid $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ is.

*Omgekeerde.* Voor $a \neq 0$ en $h$ klein genoeg opdat $a + h \neq 0$:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*Vierkantswortel.* Vermenigvuldig voor $a > 0$ met de toegevoegde uitdrukking:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*Algemene macht.* Het patroon $2a$, $3a^2$ loopt door: werk je $(a+h)^n$ uit, dan dragen alle termen na $a^n + n\,a^{n-1}h$ een $h^2$, zodat de veranderingssnelheid tot $n\,a^{n-1}$ nadert. (Een volledige inductie staat in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#ch-g12-deriv).) ∎

## 12.5 Rekenregels voor afgeleiden

**Stelling 12.9 (Bewerkingen).**

Zijn $u$ en $v$ [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) op $I$ en is $\lambda \in \R$, dan zijn $u + v$, $\lambda u$ en $uv$ [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) op $I$, en $\frac{u}{v}$ overal waar $v \neq 0$, met

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Bewijs van de eerste drie regels.** Kies $a \in I$ en kort af: $\Delta u = u(a+h) - u(a)$, $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*Som.* De veranderingssnelheid van $u + v$ is $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*Veelvoud.* Die van $\lambda u$ is $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*Product.* Tel de gemengde term $u(a+h)\,v(a)$ erbij op en trek hem er weer af:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

Voor $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$, en $u(a+h) \to u(a)$ (haar veranderingssnelheid heeft een limiet, dus $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). Bijgevolg nadert de veranderingssnelheid tot $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

De quotiëntregel wordt op dezelfde manier bewezen; ze wordt *op dit niveau aangenomen* en in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#ch-g12-deriv) bewezen. ∎

**Voorbeeld 12.10.**

*Veelterm.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*Quotiënt.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: met $u = 2x + 1$ en $v = x^2 + 1$ is

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*Product.* $k(x) = x\sqrt x$ voor $x > 0$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 Het teken van de afgeleide en het verloop

**Stelling 12.11 (Afgeleide en verloop).**

Zij $f$ [differentieerbaar](#def-g11-deriv-derivative) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. Is $f' \geq 0$ op $I$ , dan is $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $I$ .
2. Is $f' \leq 0$ op $I$ , dan is $f$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $I$ .
3. Is $f' > 0$ op $I$ (op hoogstens eindig veel punten na, waar ze verdwijnt), dan is $f$ strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $I$ .

**Bewijs.** De intuïtie is duidelijk — een kromme waarvan alle [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent) omhoog wijzen moet klimmen — maar een streng bewijs vraagt de middelwaardestelling. Het resultaat wordt *op dit niveau aangenomen*; zie [Stelling 22.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#thm-g12-deriv-variations). ∎

**Propositie 12.12 (Extrema).**

Verandert $f'$ in $a$ van teken, van $+$ naar $-$, dan heeft $f$ in $a$ een lokaal [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema); van $-$ naar $+$ een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema). In zo’n punt is $f'(a) = 0$ en is de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) horizontaal.

**Bewijs.** Is $f' \geq 0$ op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dat in $a$ eindigt en $f' \leq 0$ op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dat in $a$ begint, dan stijgt $f$ tot $f(a)$ en daalt ze daarna ([Stelling 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): $f(a)$ is in de buurt de grootste waarde. Omdat $f'$ in $a$ van teken verandert en daar gedefinieerd is, is $f'(a) = 0$. ∎

**Methode 12.13 (Een functie bestuderen).**

1. Bereken $f'(x)$ en vereenvoudig — bij voorkeur tot een ontbonden vorm.
2. Bepaal het teken van $f'(x)$ op elk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) (is $f'$ kwadratisch, gebruik dan [Stelling 10.11](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#thm-g11-quad-sign) ).
3. Noteer de resultaten in een *[verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table)* : één rij voor het teken van $f'$ , één rij pijlen voor $f$ , met de waarden van $f$ in de keerpunten.
4. Besluit: extrema, aantal oplossingen van $f(x) = k$ , ongelijkheden.

**Voorbeeld 12.14.**

Bestudeer $f(x) = x^3 - 3x + 1$ op $\R$. Eerst is $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: een drieterm met [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) $-1$ en $1$, positief daarbuiten. Dus is $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $\intoc{-\infty}{-1}$, [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intcc{-1}{1}$ en [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $\intco{1}{+\infty}$, met een lokaal [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ en een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![De kromme van f(x) = x3 - 3x + 1 (): horizontale raaklijnen (oranje) in het lokale maximum (-1, 3) en het lokale minimum (1, -1), waar f' van teken verandert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*De kromme van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([Voorbeeld 12.14](#ex-g11-deriv-study)): horizontale [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent) (oranje) in het lokale [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $(-1, 3)$ en het lokale [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $(1, -1)$, waar $f'$ van teken verandert.*

**Voorbeeld 12.15 (Optimalisering).**

Uit een blad van $12 \times 12$ cm maak je een open doos door uit elke hoek een vierkant met zijde $x$ te knippen en de randen op te plooien. Het volume is $V(x) = x(12 - 2x)^2$ voor $0 < x < 6$. Uitgewerkt is $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, dus

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

Op $\intoo{0}{6}$ is de factor $x - 6$ negatief, zodat $V'(x)$ het teken van $-(x-2)$ heeft: positief vóór $2$, negatief erna. Het volume is maximaal voor $x = 2$ cm, met $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$.

## 12.7 Oefeningen

**Oefening 12.1 ★.**

Bereken met de definitie (veranderingssnelheid, en dan $h \to 0$) $f'(2)$ voor $f(x) = x^2$, en daarna $g'(1)$ voor $g(x) = x^2 + 3x$.

**Oplossing van Oefening 12.1.**

Voor $f(x) = x^2$ in $a = 2$:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

dus $f'(2) = 4$. Voor $g(x) = x^2 + 3x$ in $a = 1$: $g(1) = 4$ en

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

dus $g'(1) = 5$.

**Oefening 12.2 ★.**

Leid af:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**Oplossing van Oefening 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (op $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (productregel).

**Oefening 12.3 ★.**

Geef de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) aan de kromme van $f$ in het punt met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $a$:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**Oplossing van Oefening 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$: $f(2) = -2$ en $f'(x) = 2x - 3$, dus $f'(2) = 1$; [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$; [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} =
\frac14$; [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**Oefening 12.4 ★.**

Leid de quotiënten af:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**Oplossing van Oefening 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (quotiëntregel met $u = 1$).

**Oefening 12.5 ★★.**

Bestudeer het verloop van $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ op $\R$ ([verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table), lokale extrema).

**Oplossing van Oefening 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: positief buiten $\intcc{1}{3}$, negatief erbinnen. Dus is $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $\intoc{-\infty}{1}$, [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intcc{1}{3}$ en [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $\intco{3}{+\infty}$, met een lokaal [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ en een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**Oefening 12.6 ★★.**

Bestudeer het verloop van $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ op $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Oplossing van Oefening 12.6.**

Op $\intoo{-1}{+\infty}$:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

Voor $x > -1$ zijn zowel $x + 3$ als $(x+1)^2$ positief, dus heeft $f'(x)$ het teken van $x - 1$: $f$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-1}{1}$ en [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-monotone) op $\intco{1}{+\infty}$, met [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**Oefening 12.7 ★★.**

Zij $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. Zoek het punt van de kromme waar de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) horizontaal is.
2. Zoek het punt of de punten waar de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) evenwijdig is met de rechte $y = 2x + 1$ .

**Oplossing van Oefening 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* Horizontale [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent): $f'(x) = 0$ in $x = 2$; het punt is $(2, f(2)) = (2, 1)$ (de top van de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola)).

*2.* Evenwijdig met $y = 2x + 1$ betekent [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $2$: $2x - 4 = 2$, dus $x = 3$, wat het punt $(3, f(3)) = (3, 2)$ geeft.

**Oefening 12.8 ★★.**

Tegen een muur wordt met $60$ m omheining een rechthoekige weide gebouwd (drie zijden). Druk de oppervlakte uit als [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van de breedte $x$, en zoek met de [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) de afmetingen met de grootste oppervlakte. (Vergelijk met de topmethode van [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ch-g11-quad).)

**Oplossing van Oefening 12.8.**

Met breedte $x$ (twee omheinde zijden) en lengte $60 - 2x$ is $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ op $\intoo{0}{30}$. Dan is $A'(x) = 60 - 4x$, positief vóór $x = 15$ en negatief erna: de oppervlakte is maximaal voor $x = 15$, wat een weide van $15 \times 30$ m met oppervlakte $450$ m$^2$ geeft. De topformule $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ uit [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ch-g11-quad) geeft hetzelfde antwoord zonder [afgeleiden](#def-g11-deriv-derivative).

**Oefening 12.9 ★★.**

Toon aan dat voor alle $x > 0$ geldt $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$, door de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ te bestuderen.

**Oplossing van Oefening 12.9.**

Zij $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ op $\intoo{0}{+\infty}$. Dan is

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

wat het teken heeft van $\sqrt x - 1$: negatief op $\intoo{0}{1}$, positief op $\intoo{1}{+\infty}$. Dus daalt $f$ eerst en stijgt ze daarna, met [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$. Bijgevolg is $f(x) \geq 0$ voor alle $x > 0$, dus $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, met gelijkheid alleen in $x = 1$.

**Oefening 12.10 ★★.**

Een cilindrisch blik moet $500$ cm$^3$ bevatten. Zijn oppervlakte (twee schijven plus de mantel) is $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ met $\pi r^2 h = 500$. Druk $S$ uit als [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $r$ alleen, en toon aan dat $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$. Leid de straal af die de oppervlakte minimaal maakt, als exacte uitdrukking.

**Oplossing van Oefening 12.10.**

Uit $\pi r^2 h = 500$ volgt $h = \frac{500}{\pi r^2}$, dus

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$S'(r) = 0$ wanneer $4\pi r^3 = 1000$, dus $r^3 = \frac{250}{\pi}$ en $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm). Omdat $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ vóór die waarde negatief is en erna positief, gaat het om een [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema).

**Oefening 12.11 ★★★.**

Hoeveel [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent) aan de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ gaan door het uitwendige punt $P(1, -3)$? Bepaal hun [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation). (Noem $a$ de [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van het raakpunt en druk uit dat de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $a$ door $P$ gaat.)

**Oplossing van Oefening 12.11.**

De [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) aan $y = x^2$ in het punt met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $a$ is $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. Ze gaat door $P(1, -3)$ wanneer $-3 = 2a - a^2$, dus $a^2 - 2a - 3 = 0$, met [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) $a = 3$ en $a = -1$ ($\Delta = 16$). Er zijn dus *twee* [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent) door $P$:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**Oefening 12.12 ★★★.**

Zij $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (zie [Voorbeeld 12.14](#ex-g11-deriv-study)). Bepaal met de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) het aantal oplossingen van de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ naargelang de waarde van het reële getal $k$.

**Oplossing van Oefening 12.12.**

Uit [Voorbeeld 12.14](#ex-g11-deriv-study): $f$ stijgt tot het lokale [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = 3$, daalt tot het lokale [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = -1$, en stijgt daarna opnieuw; voor grote positieve (respectievelijk negatieve) $x$ overheerst $x^3$ en neemt $f$ willekeurig grote (respectievelijk kleine) waarden aan. Trek je horizontale rechten $y = k$ over de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table), dan geldt:

- $k > 3$ of $k < -1$ : de rechte ontmoet de kromme één keer — $1$ oplossing;
- $k = 3$ of $k = -1$ : de rechte raakt een keerpunt en kruist één andere tak — $2$ oplossingen;
- $-1 < k < 3$ : de rechte kruist alle drie de takken — $3$ oplossingen.

## 12.8 Opgave: de drie beroepen van de raaklijn

**Probleem 12.1.**

Weekendopgave — de parabolische spiegel bewezen, de wortelzoekmachine van Newton, en de sterkste balk in de boomstam

Een [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) tekent [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent); dat klinkt als een bescheiden talent. Deze opgave laat zien dat de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) drie beroepen tegelijk uitoefent: ze bewijst de koplampstelling die in [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) bleef openstaan (elke straal evenwijdig met de as van een [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) weerkaatst door het [brandpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1)), ze drijft het snelste veelgebruikte algoritme aan om [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op te lossen — het zit in elke rekenmachine en elk neuraal netwerk — en ze vindt de sterkste rechthoekige balk die een ronde boomstam kan leveren.

**Deel I — Vlot met [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent).**

1. Leid $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ en $g(x) = x^3 - 12x$ af ( [Stelling 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ); en haal $\left(x^2\right)'$ in $x = 1$ terug uit de definitie (veranderingssnelheid, en dan $h \to 0$ ).
2. Zoek de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) aan $y = x^3 - 12x$ in $a = 2$ . Wat is er bijzonder aan, en wat signaleert dat ( [Propositie 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )?
3. Stel de algemene [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) aan de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ in het punt $(a, a^2)$ op: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. Waar snijdt die [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) de $y$ -as? Leid het recept van de tekenaar af: om de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) te tekenen in een punt $P$ op hoogte $h$ van de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) , verbind je $P$ met het punt van de as op een diepte … onder de oorsprong. Formuleer het.
5. Bouw de volledige [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) van $g(x) = x^3 - 12x$ (teken van $g'$ , lokale extrema en hun waarden, [Methode 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**Deel II — De spiegelstelling.** Zij $P(a, a^2)$ een punt van de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (neem $a \neq 0$), $F\left(0, \frac14\right)$ het [brandpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1), en $T$ het punt waar de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $P$ de $y$-as snijdt (vraag 4). Denk eraan dat uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) volgt dat $PF = a^2 + \frac14$.

6. Bereken de afstand $FT$ .
7. Besluit dat de driehoek $FPT$ gelijkbenig is in $F$ . Welke twee hoeken zijn bijgevolg gelijk?
8. De invallende straal door $P$ , evenwijdig met de as, is evenwijdig met de rechte $(TF)$ (beide verticaal). Toon met verwisselende hoeken aan dat de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $P$ *gelijke hoeken* maakt met de invallende verticale straal en met het lijnstuk $[PF]$ .
9. Natuurkunde: licht weerkaatst op een kromme zoals op haar [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) , en vertrekt onder dezelfde hoek als waaronder het aankwam (de weerkaatsingswet). Besluit tot de *spiegelstelling* : elke straal evenwijdig met de as weerkaatst door het [brandpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) — en, met de tijd omgekeerd, straalt een lampje in het [brandpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) evenwijdig licht uit. De schotel en de koplamp van [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) zijn nu stellingen.
10. Ga de gelijkbenige driehoek na met getallen in $a = 1$ : bereken $T$ , $FP$ en $FT$ .

**Deel III — De machine van Newton.** Om $f(x) = 0$ op te lossen stelde Newton voor: vertrek van een schatting $x_0$, volg de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $x_0$ omlaag tot aan de as, en neem haar snijpunt met de as als volgende schatting.

11. Leid de formule van de methode af: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. Laat ze lopen op $f(x) = x^2 - 2$ vanaf $x_0 = 1$: bereken $x_1$, $x_2$, $x_3$ als exacte breuken. Welke tweeduizend jaar oude rij — en welke machine uit [Probleem 3.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#pb-g10-functions-1) — heb je zojuist herbouwd? Bewijs de identiteit achter het toeval: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$$
13. Los $x^3 = 100$ op (het omslagpunt van de spaarplannen uit [Probleem 4.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#pb-g10-reffunc-1) ): pas twee stappen van Newton toe op $f(x) = x^3 - 100$ vanaf $x_0 = 5$ (vier decimalen), en vergelijk met de $\sqrt[3]{100}$ van de rekenmachine.
14. Sabotage: probeer de methode te starten op $f(x) = x^3 - 12x$ in $x_0 = 2$ . Wat loopt er mis, en waarom (vraag 2)? Formuleer het praktische voorbehoud.
15. In vraag 12 gingen de juiste decimalen ruwweg $1 \to 3 \to 6$ . Vergelijk met bisectie (elke stap een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) halveren) en zeg in één zin waarom rekenmachines, gps-ontvangers en het trainen van neurale netwerken alle op het idee van Newton draaien.

**Deel IV — De sterkste balk.** Uit een ronde boomstam met diameter $30$ cm wordt een rechthoekige balk gezaagd met breedte $w$ en hoogte $d$, zodat $w^2 + d^2 = 900$. De stijfheid van een balk is evenredig met $w d^2$ (de hoogte telt dubbel: balken staan op hun kant!).

16. Druk de stijfheid uit als [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $w$ alleen: $S(w) = 900w - w^3$ , op welk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) ?
17. Leid af, bouw de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) , en zoek de optimale $w$ en $d$ (exacte waarden, en daarna op de millimeter).
18. Toon aan dat de optimale verhoudingen voldoen aan $d = w\sqrt2$ — de oude verhouding van de timmerlieden. (Extra weetje: de diameter van de stam in drie gelijke stukken verdelen en loodlijnen naar de cirkel oprichten construeert precies deze rechthoek.)
19. De voor de hand liggende keuze is de *vierkante* balk ( $w = d$ ). Bereken haar stijfheid en die van de optimale balk, en geef de winst van de timmerman in procent.
20. Slotstuk — de drie beroepen van de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) , telkens één zin: meetkunde (de spiegelstelling), numeriek rekenen (de machine van Newton), optimaliseren (de balk), alle aangedreven door hetzelfde object. En de vooruitblik: jaar 12 voegt de convexiteit toe — aan welke kant van de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) de kromme ligt — om alle drie te verscherpen.

**Oplossing van Probleem 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$; $g'(x) = 3x^2 - 12$. Uit de definitie: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: de [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) van $x^2$ in $1$ is $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ en $g'(2) = 12 - 12 = 0$: de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) is de horizontale rechte $y = -16$. Een horizontale [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) signaleert een kritiek punt — hier een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema), zoals de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) van vraag 5 bevestigt.

**3.** [Richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $2a$ in $(a, a^2)$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** In $x = 0$: $y = -a^2$: de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) snijdt de as op diepte $a^2$ onder de oorsprong — precies even ver *onder* nul als $P$ erboven ligt. Recept: om de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) te tekenen in een punt op hoogte $h$, verbind je het met het aspunt op diepte $h$ onder de oorsprong. (Aan de tekentafel heb je geen [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) nodig.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: positief op $\intoo{-\infty}{-2}$, negatief op $\intoo{-2}{2}$, positief daarvoorbij. $g$ stijgt tot een lokaal [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(-2) = 16$, zakt tot een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(2) = -16$ en stijgt daarna.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ en $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: gelijkbenig in $F$, dus zijn de basishoeken gelijk: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** De invallende straal in $P$ is verticaal, en dus evenwijdig met de rechte $(TF)$ (de $y$-as). De [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ kruist beide evenwijdige rechten, zodat de hoek tussen de straal en de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) gelijk is aan $\widehat{FTP}$ (verwisselende hoeken) — en die is gelijk aan $\widehat{FPT}$, de hoek tussen $[PF]$ en de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent). Gelijke hoeken aan weerszijden van de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $P$.

**9.** Volgens de weerkaatsingswet vertrekt de straal die verticaal in $P$ aankomt langs de rechte die aan de andere kant dezelfde hoek maakt — volgens vraag 8 dus langs $[PF]$: door het [brandpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1), wat $a$ ook is. Omgekeerd verlaat licht dat in $F$ ontstaat elk punt van de spiegel evenwijdig met de as. Schotels vangen op, koplampen stralen uit: bewezen.

**10.** $a = 1$: [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} =
\frac54$; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: gelijkbenig, zoals beloofd.

**11.** De [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in $x_n$ is $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$; ze snijdt $y = 0$ waar $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$; $x_3 = \frac{577}{408}$: de [benaderingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) van $\sqrt2$ van Heron, dus de machine met het vaste punt uit [Probleem 3.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#pb-g10-functions-1). Identiteit: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x}
= \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — het recept van Heron *is* de methode van Newton toegepast op $x^2 - 2$, twee millennia te vroeg.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$. Rekenmachine: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — vier juiste decimalen in twee stappen.

**14.** $f'(2) = 0$: de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) in het startpunt is horizontaal (vraag 2) en snijdt de as nooit — de formule deelt door nul. Voorbehoud: start Newton weg van kritieke punten (en, algemener, dicht genoeg bij de [wortel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) die je zoekt).

**15.** Bisectie wint per stap één binair cijfer; Newton *verdubbelt* ruwweg het aantal juiste cijfers per stap (hier $1 \to 3 \to 6$). Wanneer elke stap duur is — miljoenen parameters, navigatie in real time — verslaat verdubbelen het stapje voor stapje vorderen, en daarom draait er zoveel silicium op de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent).

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, dus $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$, voor $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ in $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3
\approx 17.3$ cm ($S' > 0$ ervóór, $< 0$ erna: een [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema)). Dan is $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, dus $d = w\sqrt2$: de hoogte is de breedte maal $\sqrt2$ — de verhouding van de timmerman (en de constructie met de diameter in drieën levert ze met een passer, zonder algebra op de werf).

**19.** Vierkante balk: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, met stijfheid $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. Optimale balk: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. Winst: ongeveer $8.9\,\%$ meer stijfheid uit dezelfde stam — de [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) betaalt de zagerij terug.

**20.** Meetkunde: de gelijke hoeken van de [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) maakten van een paraboloïde een lichtverzamelaar. Numeriek rekenen: langs [raaklijnen](#def-g11-deriv-tangent) afglijden lost [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op met verdubbelende cijfers. Optimaliseren: een verdwijnende [afgeleide](#def-g11-deriv-derivative) vond de sterkste rechthoek in de stam. Eén object, drie stielen — en de convexiteit van jaar 12 zal daarbovenop vertellen aan welke kant van elke [raaklijn](#def-g11-deriv-tangent) de kromme ligt.