---
title: "Goniometrie: de eenheidscirkel"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel
---

# Hoofdstuk 14 — Goniometrie: de eenheidscirkel

De goniometrie begint in rechthoekige driehoeken, maar haar echte thuis is de *eenheidscirkel*, waar [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) en [sinus](#def-g11-trigo-cossin) [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van een willekeurig [reëel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) worden. Dit hoofdstuk installeert de [radiaal](#def-g11-trigo-radian), het oprollen van de reële lijn om de cirkel, de exacte waarden die je uit het hoofd moet kennen, en de symmetrieën die alle klassieke identiteiten voortbrengen. De studie van $\cos$ en $\sin$ als [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) — verloop, [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#def-g11-deriv-derivative) — gebeurt in [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#ch-g12-trigo).

## 14.1 Radialen en het oprollen

**Definitie 14.1 (Radiaal).**

Zij $\mathcal C$ de cirkel met straal $1$ en middelpunt de oorsprong $O$, en $I(1, 0)$. De maat in *radialen* van een middelpuntshoek van $\mathcal C$ is de lengte van de boog die hij op $\mathcal C$ afsnijdt. Omdat de volledige cirkel omtrek $2\pi$ heeft, geldt

$$
360^\circ = 2\pi \text{ rad},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ rad},
\qquad
1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**Methode 14.2 (Omrekenen).**

Graden en [radialen](#def-g11-trigo-radian) zijn evenredig: vermenigvuldig met $\frac{\pi}{180}$ om van graden naar [radialen](#def-g11-trigo-radian) te gaan, en met $\frac{180}{\pi}$ in de andere richting. Zo is $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ en $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**Definitie 14.3 (De lijn om de cirkel oprollen).**

Koppel aan elk [reëel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $t$ het punt $M(t)$ van $\mathcal C$ dat je bereikt door vanaf $I$ een afstand $\abs t$ langs de cirkel af te leggen, tegen de wijzers van de klok in wanneer $t \geq 0$ en met de wijzers mee wanneer $t < 0$. Omdat de omtrek $2\pi$ is, bereiken de getallen $t$ en $t + 2k\pi$ ($k \in \Z$) hetzelfde punt: $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**Voorbeeld 14.4.**

$M(0) = I$; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$, de top van de cirkel; $M(\pi) = (-1, 0)$; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$; en $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) =
M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 Cosinus en sinus

**Definitie 14.5 (Cosinus en sinus).**

Voor elke reële $t$ zijn de *cosinus* en de *sinus* van $t$ de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van het punt $M(t)$ van de eenheidscirkel:

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![De eenheidscirkel: het reële getal t, vanaf I tegen de wijzers van de klok in opgerold, komt uit in het punt M(t), waarvan de coördinaten t en t definiëren.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*De eenheidscirkel: het reële getal $t$, vanaf $I$ tegen de wijzers van de klok in opgerold, komt uit in het punt $M(t)$, waarvan de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $\cos t$ en $\sin t$ *definiëren*.*

**Propositie 14.6 (Eerste eigenschappen).**

Voor alle $t \in \R$ en $k \in \Z$ geldt

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**Bewijs.** $M(t)$ ligt op de eenheidscirkel, dus liggen zijn [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) tussen $-1$ en $1$, en voldoen ze aan de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x^2 + y^2 = 1$ van de cirkel, wat de identiteit $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ is. De periodiciteit herhaalt $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([Definitie 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**Voorbeeld 14.7.**

Is $\sin t = \frac35$ en $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (tweede kwadrant), dan is $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, dus $\cos t = \pm\frac45$; in het tweede kwadrant is de [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) negatief, en dus is $\cos t = -\frac45$.

De waarden die je uit het hoofd moet kennen:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Opmerking 14.8.**

Een ezelsbruggetje: de sinussen lezen $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$, en de cosinussen zijn dezelfde lijst omgekeerd.

## 14.3 Verwante hoeken

**Propositie 14.9 (Verwante hoeken).**

Voor alle $t \in \R$ geldt

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**Bewijs.** Elke regel drukt een symmetrie van de cirkel uit.

$M(-t)$ is het spiegelbeeld van $M(t)$ om de $x$-as: de [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) blijft, de [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) wisselt van teken.

$M(\pi - t)$ is het spiegelbeeld van $M(t)$ om de $y$-as: vanaf $\pi$ over $t$ terugwandelen komt horizontaal tegenover vanaf $0$ over $t$ vooruitwandelen uit. De [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) wisselt van teken, de [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) blijft.

$M(\pi + t)$ ligt diametraal tegenover $M(t)$ (een halve draai): beide [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) wisselen van teken.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ is het spiegelbeeld van $M(t)$ om de diagonale rechte $y = x$, die de twee [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) verwisselt. ∎

![De vier verwante punten: M(-t) spiegelt M(t) om de x-as, M(π - t) om de y-as, en M(π + t) ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van lees je van deze tekening af.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*De vier verwante punten: $M(-t)$ spiegelt $M(t)$ om de $x$-as, $M(\pi - t)$ om de $y$-as, en $M(\pi + t)$ ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van [Propositie 14.9](#prop-g11-trigo-associated) lees je van deze tekening af.*

**Voorbeeld 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$, en $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. De tabel met vijf waarden, uitgebreid met de symmetrieën, bestrijkt de hele cirkel.

## 14.4 Goniometrische vergelijkingen oplossen

**Stelling 14.11 (De vergelijkingen cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa en sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

Voor [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $t$ en $a$ geldt

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**Bewijs.** Twee punten van de eenheidscirkel hebben precies dan dezelfde [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) wanneer ze gelijk zijn of elkaars spiegelbeeld om de $x$-as; volgens [Propositie 14.9](#prop-g11-trigo-associated) is het spiegelbeeld van $M(a)$ het punt $M(-a)$. Dus betekent $\cos t = \cos a$ dat $M(t) = M(a)$ of $M(t) = M(-a)$, dus $t = \pm a$ op een veelvoud van $2\pi$ na. Net zo betekenen gelijke ordinaten gelijke punten of spiegelbeelden om de $y$-as, en het spiegelbeeld van $M(a)$ is $M(\pi - a)$. ∎

**Methode 14.12 (cos⁡t=c\cos t = ccost=c oplossen op een interval).**

1. Zoek *één* hoek $a$ met $\cos a = c$ , uit de tabel van bekende waarden.
2. Schrijf de algemene oplossingen $t = \pm a + 2k\pi$ op ( [Stelling 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. Kies de [gehele getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $k$ die in het gevraagde [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) belanden, en noem de oplossingen.

Ga voor $\sin t = c$ op dezelfde manier te werk, met $t = a + 2k\pi$ of $t = \pi - a + 2k\pi$.

**Voorbeeld 14.13.**

Los $\cos t = \frac12$ op op $\intoc{-\pi}{\pi}$. Eén oplossing van $\cos a = \frac12$ is $a = \frac{\pi}{3}$. De algemene oplossingen zijn $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ en $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. Binnen $\intoc{-\pi}{\pi}$ draagt alleen $k = 0$ bij: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

Los $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ op op $\intco{0}{2\pi}$. Eén hoek is $a = -\frac\pi4$; de oplossingen zijn $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ en $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. In $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{4}$ (uit $k = 1$) en $t = \frac{5\pi}{4}$.

![t = 1/2 oplossen: de verticale rechte x = 1/2 (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten die symmetrisch liggen om de x-as — vandaar de twee families oplossingen t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*$\cos t = \frac12$ oplossen: de verticale rechte $x = \frac12$ (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten die symmetrisch liggen om de $x$-as — vandaar de twee families oplossingen $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 Oefeningen

**Oefening 14.1 ★.**

Zet om naar [radialen](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$, $270^\circ$. Zet om naar graden: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{9}$.

**Oplossing van Oefening 14.1.**

Naar [radialen](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

Naar graden: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$, $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$, $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**Oefening 14.2 ★.**

Zet op de eenheidscirkel de punten $M(t)$ uit voor

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

nadat je elke waarde modulo $2\pi$ tot een waarde in $\intoc{-\pi}{\pi}$ hebt herleid.

**Oplossing van Oefening 14.2.**

$\frac{2\pi}{3}$ en $-\frac{\pi}{4}$ liggen al in $\intoc{-\pi}{\pi}$: respectievelijk in het tweede en in het vierde kwadrant.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$: tweede kwadrant, dicht bij de negatieve $x$-as.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$: de top van de cirkel, $(0, 1)$.

**Oefening 14.3 ★.**

Geef met de tabel en de [verwante hoeken](#prop-g11-trigo-associated) de exacte waarden van

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**Oplossing van Oefening 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4
= -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3
= -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6
= \frac{\sqrt3}{2}$.

**Oefening 14.4 ★.**

Gegeven $\cos t = \frac{5}{13}$ met $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$, bereken $\sin t$ exact.

**Oplossing van Oefening 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, dus $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. Op $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (vierde kwadrant) is de [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) negatief: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**Oefening 14.5 ★★.**

Vereenvoudig, voor elke reële $x$:

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**Oplossing van Oefening 14.5.**

Met [Propositie 14.9](#prop-g11-trigo-associated):

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**Oefening 14.6 ★★.**

Los op op $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**Oplossing van Oefening 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$: één oplossing is $\frac\pi6$, dus $t = \pm\frac\pi6$ (de verschuivingen over $2k\pi$ verlaten het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$: $t = \frac\pi6$ of $t = \pi - \frac\pi6 =
\frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$: het enige punt met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $-1$ is $M(\pi)$, dus $t = \pi$.

**Oefening 14.7 ★★.**

Los op op $\intco{0}{2\pi}$:

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**Oplossing van Oefening 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$: vanuit $a = -\frac\pi3$ zijn de families $-\frac\pi3 + 2k\pi$ en $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$; in $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{4\pi}{3}$ en $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$: $t = \frac\pi2$ en $t = \frac{3\pi}{2}$.

$2\sin t + 1 = 0$ betekent $\sin t = -\frac12$: vanuit $a = -\frac\pi6$, in $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{6}$ en $t = \frac{11\pi}{6}$.

**Oefening 14.8 ★★.**

Los op $\R$ de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$ op. (Gebruik [Stelling 14.11](#thm-g11-trigo-equations) met $a = t$, en bespreek de twee families oplossingen.)

**Oplossing van Oefening 14.8.**

Volgens [Stelling 14.11](#thm-g11-trigo-equations) betekent $\cos 2t = \cos t$ dat $2t = t + 2k\pi$ of $2t = -t + 2k\pi$, dus $t = 2k\pi$ of $t = \frac{2k\pi}{3}$ ($k \in \Z$). De eerste familie zit in de tweede vervat (neem $k$ een veelvoud van $3$), zodat de oplossingsverzameling

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

is — op de cirkel de drie punten $M(0)$, $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ en $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**Oefening 14.9 ★★.**

Toon aan dat voor elke reële $x$ geldt:

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**Oplossing van Oefening 14.9.**

Beide kwadraten [uitwerken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) en $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ gebruiken:

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**Oefening 14.10 ★★.**

Een wiel met straal $30$ cm rolt zonder te slippen. Over welke hoek (in [radialen](#def-g11-trigo-radian), en daarna in graden) draait het wanneer de fiets $1.5$ m vooruitgaat? Hoever gaat de fiets vooruit bij één volledige omwenteling van het wiel?

**Oplossing van Oefening 14.10.**

Rollen zonder slippen betekent dat de booglengte gelijk is aan de afgelegde afstand: $r\theta = 150$ cm geeft $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$. Eén volledige omwenteling brengt de fiets de omtrek vooruit: $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, ongeveer $1.88$ m.

**Oefening 14.11 ★★★.**

Los op $\intoc{-\pi}{\pi}$ de ongelijkheid $\cos t \leq \frac12$ op. (Schets de eenheidscirkel, markeer het gebied waar de [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) hoogstens $\frac12$ is, en lees het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) van waarden van $t$ af.)

**Oplossing van Oefening 14.11.**

Op de eenheidscirkel zijn de punten met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) precies $\frac12$ de punten $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. De punten met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) *hoogstens* $\frac12$ vormen de boog links van de verticale rechte $x = \frac12$, die je doorloopt terwijl $t$ van $\frac\pi3$ tot $\pi$ gaat, of van $-\pi$ tot $-\frac\pi3$. Bijgevolg is op $\intoc{-\pi}{\pi}$

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(De randpunten $\pm\frac\pi3$ tellen mee, want de ongelijkheid is ruim.)

## 14.6 Opgave: het reuzenrad en het getij

**Probleem 14.1.**

Weekendopgave — radialen als afgerolde afstand, en de eenheidscirkel als hoofdklok van elk periodiek verschijnsel

Een reuzenrad draagt je rond een cirkel; het getij draagt het water van de haven op en neer langs dezelfde wiskundige cirkel. Elk periodiek verschijnsel — wielen, getijden, geluid, seizoenen — leest zijn dienstregeling af van de eenheidscirkel uit dit hoofdstuk ([Definitie 14.5](#def-g11-trigo-cossin)), en de [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van [Methode 14.12](#met-g11-trigo-solve) geven de exacte tijdstippen. Deze opgave rekent om, rolt op, modelleert en lost op — en beslecht onderweg waarom wiskundigen hoeken in [radialen](#def-g11-trigo-radian) meten.

**Deel I — [Radialen](#def-g11-trigo-radian), de afgerolde afstand.**

1. Zet om naar [radialen](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; en naar graden: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ ( [Methode 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. Waar het bij [radialen](#def-g11-trigo-radian) om draait: een boog met hoek $t$ (in [radialen](#def-g11-trigo-radian) ) op een cirkel met straal $r$ heeft lengte precies $r\,t$ . Welke boog snijdt een hoek van $2$ [radialen](#def-g11-trigo-radian) af op een cirkel met straal $3$ m? (Nergens een $\pi$ — daar gaat het om.)
3. Een wiel met straal $30$ cm rolt $1$ km zonder te slippen. Over hoeveel *[radialen](#def-g11-trigo-radian)* is het gedraaid, en hoeveel volledige omwentelingen is dat?
4. Zet uit op de eenheidscirkel en bereken exact: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ en $\cos\frac{19\pi}{6}$ (herleid eerst modulo $2\pi$ ; [Propositie 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. Een hoek $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ voldoet aan $\sin t = \frac35$ . Zoek met $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ en het kwadrant de waarden van $\cos t$ en $\tan t$ .

**Deel II — Het reuzenrad.** Een reuzenrad heeft straal $60$ m, zijn as hangt $65$ m boven de grond, en het draait één keer rond per $30$ minuten. Je stapt op het laagste punt in op tijdstip $t = 0$ (in minuten), zodat je hoogte voldoet aan

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. Verantwoord de formule: ga de hoek na waarover na $t$ minuten gedraaid is, de hoogte in $t = 0$ , en verklaar het minteken.
7. Bereken je hoogte in $t = 7.5$ , $t = 15$ en $t = 20$ minuten (exacte waarden).
8. Op welk tijdstip bevind je je voor het *eerst* op $95$ m? (Los $h(t) = 95$ op met [Methode 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. Op welk tijdsinterval van de rit bevind je je op minstens $95$ m hoogte — en hoe lang in totaal? (Vergelijk [Oefening 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. Waar verandert de hoogte het *snelst* ? Vergelijk de klim tijdens de eerste minuut ( $h(1) - h(0)$ ) met de klim tussen minuut $7$ en minuut $8$ , en formuleer de waarneming (het gereedschap dat haar exact maakt — de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#def-g11-deriv-derivative) van de sinusoïde — komt in jaar 12).
11. De ingenieur aan zet: ontwerp de hoogteformule van een rad met een grootste hoogte van $40$ m, een kleinste hoogte van $4$ m en een periode van $12$ minuten, waarbij je onderaan instapt in $t = 0$ .

**Deel III — Het getij en de symmetrieën van de cirkel.** In een haven bedraagt de waterdiepte in meter, $t$ uur na middernacht,

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. Geef de grootste en de kleinste diepte, de tijdstippen waarop ze zich voor het eerst voordoen, en de periode van het getij.
13. Een vrachtschip heeft $8.5$ m water nodig. Los $d(t) \geq 8.5$ op op $\intco{0}{12}$ : tijdens welk venster kan het binnenvaren, en hoe lang duurt dat venster? Wanneer opent het volgende?
14. Leid twee identiteiten voor [verwante hoeken](#prop-g11-trigo-associated) rechtstreeks uit de symmetrieën van de cirkel af — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (spiegeling om de verticale as) en $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (halve draai) — en formuleer de complementaire identiteit $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. Pariteit (met de woordenschat van [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#pb-g11-func-1) ): bepaal of $\sin$ , $\cos$ en $t \mapsto \sin t + t^3$ even of oneven zijn, met bewijzen van één regel vanuit de cirkel.
16. Los op op $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Een kwadratische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) in vermomming: ontbind ze zoals in [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) , en lees daarna de cirkel af.)

**Deel IV — De hoek van de wiskundige.**

17. Hoeveel graden is $1$ [radiaal](#def-g11-trigo-radian) ? En dan een valstrik met de rekenmachine: wat is groter, $\sin(1)$ (in [radialen](#def-g11-trigo-radian) ) of $\sin(1^\circ)$ — en ruwweg met welke factor? Welke moraal voor de instellingen van je rekenmachine?
18. Los $\cos t = \sin t$ op op $\intco{0}{2\pi}$ , met de cirkel (waar zijn [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) en [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) gelijk?).
19. Voor kleine hoeken vallen de boog en zijn [sinus](#def-g11-trigo-cossin) bijna samen: vergelijk $\sin(0.1)$ met $0.1$ (vijf decimalen), en geef de relatieve fout. Die “kleinehoekbenadering” stuurt schepen en slingers aan; de stelling erachter ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) is een ster van het limietenhoofdstuk in jaar 12.
20. Slotstuk — de eenheidscirkel als hoofdklok, telkens één zin: [radialen](#def-g11-trigo-radian) maken van hoeken eerlijke getallen (boog $=$ straal $\times$ hoek); [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) en [sinus](#def-g11-trigo-cossin) zijn de schaduw en de hoogte van de wijzer; de symmetrieën van de cirkel zijn de identiteiten; $\cos t = c$ oplossen leest de tijdstippen van de klok af; en elk periodiek verschijnsel — rad, getij, geluid — is deze klok in een kostuum.

**Oplossing van Probleem 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. En $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** Lengte $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. [Radialen](#def-g11-trigo-radian) maken van de booglengte een gewoon product — graden zouden in elke formule een $\frac{\pi}{180}$ meeslepen.

**3.** Aantal [radialen](#def-g11-trigo-radian) $= \frac{\text{afstand}}{\text{straal}} =
\frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; gedeeld door $2\pi$: ongeveer $530$ volledige omwentelingen.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, dus $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$; in het tweede kwadrant is de [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) negatief: $\cos t = -\frac45$, en $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** In $t$ minuten draait het rad over $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. In $t = 0$ is $h = 65 - 60 = 5$ m — het instapperron onderaan (ashoogte min straal). Het minteken zet je *onder* de as wanneer de gedraaide hoek $0$ is.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (ashoogte); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (de top); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

**8.** $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ geeft $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$: de eerste oplossing is $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$, dus $t = 10$ minuten.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ voor $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$, dus $t \in \intcc{10}{20}$: tien minuten van de rit boven $95$ m, symmetrisch rond de top in $t = 15$.

**10.** Eerste minuut:

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ m}.
$$

Tussen minuut $7$ en minuut $8$:

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ m}
$$

— bijna tien keer meer. De hoogte verandert het snelst ter hoogte van de as en staat bijna stil bij de bodem en de top: de sinusoïde is steil in haar [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) en vlak in haar uitersten.

**11.** Straal $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, as op $4 + 18 = 22$ m, periode $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [Maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ m wanneer $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$: voor het eerst in $t = 3$ (3 uur ’s nachts); [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $4$ m voor het eerst in $t = 9$; periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ uur.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ voor $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$: $t \in \intcc{1}{5}$ — een venster van vier uur, van 1 tot 5 uur, dat één periode later opnieuw opengaat, $t \in \intcc{13}{17}$ (van 13 tot 17 uur).

**14.** De spiegeling om de verticale as stuurt het punt met hoek $t$ naar het punt met hoek $\pi - t$ en behoudt de [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): $\sin(\pi - t) = \sin t$. De halve draai om het middelpunt stuurt $t$ naar $\pi + t$ en keert beide [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) om: $\cos(\pi + t) = -\cos t$. En de spiegeling om de diagonaal verwisselt [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) en [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — de “co” van de complementaire hoeken.

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$: oneven (haar [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) is symmetrisch onder een halve draai); $\cos(-t) = \cos t$: even (spiegeling). En $\sin t + t^3$ is een som van twee [oneven functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-parity): oneven.

**16.** [Ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand): $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$: $\sin t = 1$ geeft $t = \frac\pi2$; $\sin t = -\frac12$ geeft $t = \frac{7\pi}{6}$ en $t = \frac{11\pi}{6}$. Drie oplossingen op de cirkel.

**17.** $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. Dus is $\sin(1) \approx 0.841$ terwijl $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$: een factor van bijna $50$. Moraal: kijk naar het lampje van de modus voordat je een goniometrische uitkomst vertrouwt.

**18.** [Abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) en [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) zijn gelijk op de diagonaal: $t = \frac\pi4$ en $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ tegenover $0.1$: een relatieve fout van ongeveer $0.17\,\%$. Voor kleine hoeken vlijt de koorde zich tegen de boog aan — en de limiet $\frac{\sin t}{t} \to 1$ uit jaar 12 is precies deze waarneming, tot stelling verheven.

**20.** [Radialen](#def-g11-trigo-radian): hoek $=$ boog op de eenheidscirkel, zodat je met hoeken rekent als met lengten. [Cosinus](#def-g11-trigo-cossin) en [sinus](#def-g11-trigo-cossin): de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van de wijzer — schaduw op de grond, hoogte tegen de muur. Symmetrieën van de cirkel: de hele catalogus van identiteiten, afgelezen van spiegelingen en halve draaien. De [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\cos t = c$: de dienstregeling van de klok, met de cirkel die alle oplossingen tegelijk toont. Kostuums: het rad droeg $65 - 60\cos$, het getij droeg $7 + 3\sin$ — dezelfde klok, dezelfde wiskunde.