---
title: "Vectoren en rechten in het vlak"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak
---

# Hoofdstuk 15 — Vectoren en rechten in het vlak

[Vectoren](#def-g11-vect-vector) leggen verplaatsingen vast; rechten zijn hun banen. Het belangrijke nieuwe gereedschap van dit hoofdstuk is de *[determinant](#def-g11-vect-det)*, één getal dat beslist of twee [vectoren](#def-g11-vect-vector) [collineair](#def-g11-vect-collinear) zijn — en dat van daaruit [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van rechten voortbrengt en vragen over collineariteit en evenwijdigheid met zuiver rekenwerk beslecht. Dezelfde ideeën gaan in [Hoofdstuk 31](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/31-vectoren-rechten-en-vlakken-in-de-ruimte#ch-g12-space) naar de ruimte.

## 15.1 Vectoren: een opfrissing

**Definitie 15.1 (Vector, coördinaten).**

Een *vector* $\vec u$ stelt een verplaatsing voor: alle pijlen met dezelfde richting, zin en lengte stellen dezelfde vector voor. In een [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) noteert $\vec u\,(x, y)$ de verplaatsing ($x$ horizontaal, $y$ verticaal); voor punten $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ is

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

Vectoren tellen coördinaat per coördinaat op, en $\lambda\vec u$ heeft [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$.

**Propositie 15.2 (Midden).**

Het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ van het lijnstuk $[AB]$ heeft [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**Bewijs.** $M$ wordt gekenmerkt door $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$: coördinaat per coördinaat geeft dat $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, dus $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, en net zo voor $y_M$. ∎

## 15.2 Collineariteit en de determinant

**Definitie 15.3 (Collineaire vectoren).**

Twee [vectoren](#def-g11-vect-vector) heten *collineair* wanneer de ene een scalair veelvoud van de andere is: $\vec v = \lambda \vec u$ voor een zekere $\lambda \in \R$ (of $\vec u = \vec 0$). [Meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric): ze hebben dezelfde richting, of een van beide is nul.

**Definitie 15.4 (Determinant).**

De *determinant* van $\vec u\,(x, y)$ en $\vec v\,(x', y')$ is

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**Stelling 15.5 (Criterium voor collineariteit).**

Twee [vectoren](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ en $\vec v$ zijn [collineair](#def-g11-vect-collinear) dan en slechts dan als $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**Bewijs.** ($\Rightarrow$) Is $\vec v = \lambda\vec u$, dan is $x' = \lambda x$ en $y' = \lambda y$, dus $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y
= 0$; is $\vec u = \vec 0$, dan is de [determinant](#def-g11-vect-det) vanzelf $0$.

($\Leftarrow$) Stel $xy' - x'y = 0$ en $\vec u \neq \vec 0$, zeg $x \neq 0$ (het geval $y \neq 0$ verloopt symmetrisch). Stel $\lambda = \frac{x'}{x}$. Dan is $x' = \lambda x$ per constructie, en de betrekking $xy' = x'y = \lambda x y$ geeft na deling door $x \neq 0$ dat $y' = \lambda y$. Bijgevolg is $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**Voorbeeld 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ en $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, dus [collineair](#def-g11-vect-collinear) (en inderdaad is $\vec v = -2\vec u$). $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, dus niet [collineair](#def-g11-vect-collinear).

**Methode 15.7 (Drie punten op één rechte).**

$A$, $B$, $C$ liggen op één rechte dan en slechts dan als $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ [collineair](#def-g11-vect-collinear) zijn: bereken beide [vectoren](#def-g11-vect-vector) en ga $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ na.

## 15.3 Cartesische vergelijkingen van rechten

**Definitie 15.8 (Richtingsvector).**

Een *richtingsvector* van een rechte $d$ is elke [vector](#def-g11-vect-vector) $\vec u \neq \vec 0$ waarvoor $\vect{AB}$ [collineair](#def-g11-vect-collinear) is met $\vec u$ voor alle punten $A, B$ van $d$.

**Stelling 15.9 (Cartesische vergelijking).**

Een rechte met [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ heeft een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de vorm

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

Omgekeerd beschrijft elke zulke [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) een rechte met [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$.

**Bewijs.** Zij $d$ de rechte door $A(x_A, y_A)$ met richting $\vec u\,(-b, a)$. Een punt $M(x, y)$ ligt op $d$ precies wanneer $\vect{AM}$ [collineair](#def-g11-vect-collinear) is met $\vec u$, dus ([Stelling 15.5](#thm-g11-vect-collinearity)) wanneer

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de aangekondigde vorm, met $c = -(a x_A + b y_A)$. Omgekeerd zijn de oplossingen van $ax + by + c = 0$, met bijvoorbeeld $b \neq 0$, de punten $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$: twee ervan van elkaar aftrekken toont dat elke koorde [collineair](#def-g11-vect-collinear) is met $(-b, a)$, en er bestaat altijd minstens één oplossing — het gaat dus om de rechte door dat punt met richting $(-b, a)$. ∎

**Methode 15.10 (Rechte door twee punten).**

Om een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte $(AB)$ te vinden: bereken de [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$; leg hem naast $(-b, a)$, dus neem $a = y_B - y_A$ en $b = -(x_B - x_A)$; bepaal $c$ door de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van $A$ in te vullen.

**Voorbeeld 15.11.**

De rechte door $A(1, 2)$ en $B(4, 3)$: $\vect{AB}\,(3, 1)$, dus $a = 1$, $b = -3$, en de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) is $x - 3y + c = 0$. $A$ invullen geeft $1 - 6 + c = 0$, dus $c = 5$. [Vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$. Controle met $B$: $4 - 9 + 5 = 0$.

**Opmerking 15.12.**

Is $b \neq 0$, dan kun je de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) naar $y$ oplossen: $y = mx + p$ met [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. De cartesische vorm $ax + by + c = 0$ is algemener: ze dekt ook de verticale rechten ($b = 0$), die geen [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) hebben.

![De rechte x - 3y + 5 = 0 van , haar richtingsvector u = AB (rood, hier met 1/2 geschaald), en de twee punten waarmee de vergelijking gebouwd werd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*De rechte $x - 3y + 5 = 0$ van [Voorbeeld 15.11](#ex-g11-vect-twopoints), haar [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (rood, hier met $\frac12$ geschaald), en de twee punten waarmee de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) gebouwd werd.*

## 15.4 Parametervoorstelling

**Definitie 15.13 (Parametervoorstelling).**

De rechte door $A(x_A, y_A)$ met richting $\vec u\,(\alpha, \beta)$ is de verzameling van de punten

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

Het getal $t$ is de *parameter*: elke waarde van $t$ levert één punt van de rechte op, alsof je haar met constante snelheid $\vec u$ doorloopt.

**Voorbeeld 15.14.**

De rechte van [Voorbeeld 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) is ook $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$: $t = 0$ geeft $A$, $t = 1$ geeft $B$. De parameter wegwerken ($t = y - 2$, dus $x = 1 + 3(y-2)$) levert $x - 3y + 5 = 0$ terug.

## 15.5 Onderlinge ligging van twee rechten

**Propositie 15.15 (Evenwijdig of snijdend).**

Twee rechten met [richtingsvectoren](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ en $\vec v$ zijn evenwijdig dan en slechts dan als $\det(\vec u, \vec v) = 0$. In vergelijkingsvorm: $d : ax + by + c = 0$ en $d' : a'x + b'y + c' = 0$ zijn evenwijdig dan en slechts dan als $ab' - a'b = 0$. Niet-evenwijdige rechten ontmoeten elkaar in precies één punt.

**Bewijs.** Evenwijdigheid betekent collineaire richtingen, en dat is [Stelling 15.5](#thm-g11-vect-collinearity); met $\vec u\,(-b, a)$ en $\vec v\,(-b', a')$ is de [determinant](#def-g11-vect-det) $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. Zijn de rechten niet evenwijdig, dan leidt het gelijktijdig oplossen van de twee [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) (met substitutie of combinatie) tot precies één oplossing: het stelsel gedraagt zich als een $2 \times 2$-stelsel met [determinant](#def-g11-vect-det) verschillend van nul. ∎

**Methode 15.16 (Snijpunt van twee rechten).**

Los het stelsel van de twee [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op: maak in de ene [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) één onbekende vrij en vul ze in de andere in, of combineer de [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) om één onbekende weg te werken. Controleer het gevonden punt altijd in *beide* [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation).

**Voorbeeld 15.17.**

Snijd $d: x - 3y + 5 = 0$ met $d': 2x + y - 4 = 0$. Uit $d'$ volgt $y = 4 - 2x$. Invullen in $d$ geeft

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

en dan $y = 2$. De rechten ontmoeten elkaar in $(1, 2)$. Controle in $d$: $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 Oefeningen

**Oefening 15.1 ★.**

Bereken bij $A(2, -1)$, $B(5, 3)$ en $C(-1, 1)$ de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ en $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$, en het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[BC]$.

**Oplossing van Oefening 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. Het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[BC]$ is $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**Oefening 15.2 ★.**

Zijn de [vectoren](#def-g11-vect-vector) [collineair](#def-g11-vect-collinear)?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ en } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ en } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ en } \vec v\,(0, -8).
$$

**Oplossing van Oefening 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: [collineair](#def-g11-vect-collinear) (en inderdaad is $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: niet [collineair](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: [collineair](#def-g11-vect-collinear) (allebei verticaal).

**Oefening 15.3 ★.**

Zoek een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte door $A(2, 1)$ met [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$, en daarna van de rechte door $B(0, 4)$ en $C(2, 0)$.

**Oplossing van Oefening 15.3.**

Door $A(2,1)$ met richting $(3, -1)$: uit $(-b, a) = (3, -1)$ volgt $a = -1$ en $b = -3$, dus $-x - 3y + c = 0$; $A$ invullen geeft $-2 - 3 + c = 0$, dus $c = 5$. Vermenigvuldigd met $-1$: $x + 3y - 5 = 0$.

Door $B(0,4)$ en $C(2,0)$: $\vect{BC}\,(2, -4)$, dus $a = -4$ en $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$; $B$ invullen geeft $-8 + c = 0$, dus $c = 8$. Vereenvoudigd door $-2$: $2x + y - 4 = 0$. Controle met $C$: $4 + 0 - 4 = 0$.

**Oefening 15.4 ★.**

Geef voor de rechte $d: 3x - 2y + 6 = 0$ een [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) en de snijpunten met de twee coördinaatassen, en beslis of de punten $P(2, 6)$ en $Q(1, 4)$ tot $d$ behoren.

**Oplossing van Oefening 15.4.**

Een [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) is $(-b, a) = (2, 3)$. Snijpunten: $x = 0$ geeft $y = 3$, het punt $(0, 3)$; $y = 0$ geeft $x = -2$, het punt $(-2, 0)$. Voor $P(2,6)$: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, dus $P \in d$. Voor $Q(1,4)$: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, dus $Q \notin d$.

**Oefening 15.5 ★★.**

Liggen de punten $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$ op één rechte? Dezelfde vraag voor $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$.

**Oplossing van Oefening 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ en $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, dus liggen $A$, $B$ en $C$ op één rechte.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ en $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: $D$, $E$ en $F$ liggen niet op één rechte.

**Oefening 15.6 ★★.**

Bepaal het eventuele snijpunt:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ en }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ en }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**Oplossing van Oefening 15.6.**

Eerste paar: de twee [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) optellen geeft $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$, dus $x = 2$ en daarna $y = x + 1 = 3$: ze ontmoeten elkaar in $(2, 3)$ (controle: $4 + 3 - 7 = 0$).

Tweede paar: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, dus zijn de rechten evenwijdig; $e$ met $-2$ vermenigvuldigen geeft $-2x + 4y - 6 = 0$, wat van $e'$ verschilt ($-6 \neq 1$): strikt evenwijdig, geen snijpunt.

**Oefening 15.7 ★★.**

Geef een parametervoorstelling van de rechte $d: 2x - y + 3 = 0$, en een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**Oplossing van Oefening 15.7.**

Voor $d: 2x - y + 3 = 0$: richting $(-b, a) = (1, 2)$, en het punt $(0, 3)$ ligt op $d$, dus $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

Voor de parametrische rechte door $(1, -3)$ met richting $(2, 1)$: $a = 1$ en $b = -2$, dus $x - 2y + c = 0$; $(1, -3)$ invullen geeft $1 + 6 + c = 0$, dus $c = -7$. [Vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ (controle met $t = 1$, het punt $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$).

**Oefening 15.8 ★★.**

Zoek de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte door $P(1, -2)$ die evenwijdig is met $d: 4x - 3y + 2 = 0$, en de waarde van $m$ waarvoor de rechte $mx + 2y - 5 = 0$ evenwijdig is met $d$.

**Oplossing van Oefening 15.8.**

Een evenwijdige rechte heeft dezelfde $(a, b)$: $4x - 3y + c = 0$; door $P(1, -2)$: $4 + 6 + c = 0$, dus $c = -10$ en de rechte is $4x - 3y - 10 = 0$.

Evenwijdigheid van $mx + 2y - 5 = 0$ met $d$ vereist $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$, dus $m = -\frac83$.

**Oefening 15.9 ★★.**

Zij $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ en $C(1, -4)$. Zoek een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de *zwaartelijn* van de driehoek $ABC$ uit $C$ (de rechte die $C$ met het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$ verbindt).

**Oplossing van Oefening 15.9.**

Het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$ is $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) =
(1, 1)$. De zwaartelijn is de rechte $(CM)$ met $C(1, -4)$: beide punten hebben [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $1$, dus is de zwaartelijn de verticale rechte

$$
x - 1 = 0 .
$$

**Oefening 15.10 ★★.**

Voor welke waarde of waarden van de parameter $m$ zijn de [vectoren](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ en $\vec v\,(3, m - 1)$ [collineair](#def-g11-vect-collinear)?

**Oplossing van Oefening 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. Die verdwijnt wanneer $m^2 - m - 6 = 0$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, met [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, dus $m = 3$ of $m = -2$.

**Oefening 15.11 ★★★.**

Zij $ABCD$ een parallellogram, $I$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$, en $J$ het punt bepaald door $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. Werk in het [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) waarin $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ (zodat $C(1,1)$):

1. Bereken de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van $I$ en $J$ .
2. Toon aan dat $A$ , $J$ en $C$ op één rechte liggen. (Een mooi feit: de rechte $(DI)$ snijdt de diagonaal $(AC)$ op een derde van haar lengte.)

**Oplossing van Oefening 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. Dan is $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ en $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$, dus

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ en $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, dus liggen $A$, $J$ en $C$ op één rechte — er geldt zelfs $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: de rechte $(DI)$ snijdt de diagonaal $(AC)$ op precies een derde van haar lengte vanaf $A$.

## 15.7 Opgave: aanvaringskoersen en slim gekozen coördinaten

**Probleem 15.1.**

Weekendopgave — kruisende banen zijn nog geen aanvaring: de kleinste nadering op zee, en stellingen bewezen door het juiste assenstelsel te kiezen

De rechte koersen van twee schepen kruisen elkaar — moeten de schepen dan botsen? Alleen wanneer ze het kruispunt *op hetzelfde ogenblik* bereiken: banen zijn verzamelingen punten, bewegingen zijn parametrisch, en die twee verwarren heeft echte schepen doen zinken. Deze opgave houdt een kleine scheepvaartbegeleiding op parametrische rechten ([Definitie 15.13](#def-g11-vect-parametric)), en wendt zich daarna tot zuivere meetkunde met de andere superkracht van [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): ze *slim kiezen*, zoals in [Oefening 15.11](#exo-g11-vect-11), zodat klassieke stellingen zichzelf uitrekenen.

**Deel I — Rechten, op drie manieren.**

1. Geef een parametervoorstelling van de rechte door $A(1, 2)$ met [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ , en werk daarna de parameter weg om een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) te krijgen.
2. Lees voor de rechte $2x - 5y + 3 = 0$ een [richtingsvector](#def-g11-vect-direction) af ( [Stelling 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), zoek één punt, en schrijf een parametervoorstelling.
3. Bereken het snijpunt van de twee rechten uit de vragen 1 en 2 ( [Methode 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. Bevestig met de [determinant](#def-g11-vect-det) ( [Stelling 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) dat die twee rechten elkaar wel moesten snijden; toon daarna aan dat $2x - 5y + 3 = 0$ en $-4x + 10y + 1 = 0$ strikt evenwijdig zijn.
5. Liggen $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ op één rechte ( [Methode 15.7](#met-g11-vect-alignment) )?

**Deel II — De scheepvaartbegeleiding.** Op tijdstip $t$ (in uren) bevindt schip $P$ zich in $(2t,\ 3 + t)$ en schip $Q$ in $(10 - t,\ 2t - 1)$ (afstanden in zeemijl).

6. Zoek de cartesische [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de twee *banen* , en bereken waar de banen elkaar kruisen.
7. Op welk tijdstip passeert elk schip het kruispunt? Botsen de schepen? Formuleer de algemene waarschuwing in één zin: kruisende banen tegenover samenvallende bewegingen.
8. Bereken het kwadraat $D^2(t)$ van de afstand tussen de schepen op tijdstip $t$ , en herleid het tot een kwadratische uitdrukking in $t$ . Op welk tijdstip zijn de schepen het dichtst bij elkaar, en hoe dicht komen ze (de toptechniek van [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#pb-g11-quad-1) )?
9. De reglementen eisen een tussenafstand van minstens $1$ mijl. Wordt ze geschonden? Zo ja, los $D^2(t) < 1$ op en geef de duur van de overtreding.
10. Leg uit waarom $D^2(t)$ voor *elke* twee schepen op rechte koersen met constante snelheid altijd een [kwadratische functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-quadratic) van $t$ is — zodat de “kleinste nadering” altijd een topberekening is.
11. Onderschepping: een patrouilleboot vertrekt in $t = 0$ vanuit de oorsprong met constante snelheid $(a, b)$ en moet schip $P$ precies in $t = 3$ ontmoeten. Bereken de vereiste $(a, b)$ en de snelheid van de patrouilleboot.

**Deel III — Slim gekozen [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system).** Werk in het [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van [Oefening 15.11](#exo-g11-vect-11): het parallellogram $ABCD$ wordt $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$; zij $I$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$ en $K$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[CD]$.

12. Bereken een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte $(DI)$ .
13. Snijd $(DI)$ met de diagonaal $(AC)$ : haal het feit van [Oefening 15.11](#exo-g11-vect-11) terug — de snede ligt precies op een derde van de diagonaal.
14. En nu de rechte $(BK)$ : zoek haar [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) , snijd met $(AC)$ , en besluit tot de volledige klassieke stelling: *de hoektransversalen $(DI)$ en $(BK)$ verdelen de diagonaal $(AC)$ in drie gelijke stukken* .
15. Waarom was het geoorloofd de stelling in dit ene bijzondere [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) te bewijzen? (Wat behoudt de keuze van de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) , en waarover gaat de uitspraak?) Antwoord in twee of drie zinnen.
16. Nog een verdeling in drieën ter oefening: zij $E$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[BC]$ . Waar snijdt de rechte $(AE)$ de *andere* diagonaal $(DB)$ ?

**Deel IV — Plaatsbepalingspuzzels.**

17. Gaan de drie rechten $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ door één punt? (Snijd er twee en toets de derde.)
18. Zij $d_m$ voor elke reële $m$ de rechte $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Toon aan dat *elke* $d_m$ door één [vast punt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#pb-g10-functions-1) gaat. (Groepeer de termen in $m$ .)
19. In de familie $(d_m)$ : welk lid is evenwijdig met $y = 2x + 7$ ? En welk gaat door de oorsprong?
20. Slotstuk — de drie kostuums van een rechte: cartesisch (een test op lidmaatschap met één invulling), herleid ( [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) en [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) in één oogopslag), parametrisch (beweging, timing, onderschepping); de [determinant](#def-g11-vect-det) als orakel voor evenwijdigheid; en het goed gekozen [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) als stellingenfabriek. Telkens één zin.

**Oplossing van Probleem 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$. Uit de tweede volgt $t = 2 - y$; invullen geeft $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: de cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** Voor $ax + by + c = 0$ is $(-b, a)$ een [richtingsvector](#def-g11-vect-direction): hier $(5, 2)$. Een punt: $y = 1$ geeft $x = 1$, dus $(1, 1)$. Parametervoorstelling: $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$.

**3.** $x = 7 - 3y$ invullen in $2x - 5y + 3 = 0$ geeft $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, dus $y = \frac{17}{11}$ en $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: het punt $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** Richtingen $(5, 2)$ en $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: snijdend, zoals gevonden. Voor het tweede paar: de richtingen $(5, 2)$ en $(10, 4)$ hebben $\det = 0$ (evenwijdig), en $2x - 5y + 3 = 0$ verdubbelen geeft $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$: strikt evenwijdig.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: op één rechte.

**6.** $P$: uit $x = 2t$ en $y = 3 + t$ volgt $y = 3 + \frac x2$. $Q$: uit $x = 10 - t$ volgt $t = 10 - x$, dus $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. Kruising: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ geeft $x = 6.4$ en $y = 6.2$: de banen kruisen elkaar in $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** $P$ passeert daar wanneer $2t = 6.4$: $t = 3.2$ u. $Q$ wanneer $10 - t = 6.4$: $t = 3.6$ u. Vierentwintig minuten uit elkaar: geen aanvaring. Waarschuwing: een kaart toont *banen*; alleen de parametrische klokken zeggen of twee bewegingen op hetzelfde ogenblik hetzelfde punt bezetten.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$: top in $t = \frac{68}{20} = 3.4$ u, waar $D^2 = 0.4$: de kleinste nadering is $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ mijl, in $t = 3.4$.

**9.** Geschonden: $0.63 < 1$. $D^2(t) < 1$ luidt $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, met [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: de schepen zitten te dicht bij elkaar van $t \approx 3.16$ tot $t \approx 3.64$ — ongeveer $29$ minuten inbreuk. Een van beide moet van koers veranderen.

**10.** Elke coördinaat van elk schip is een *affiene* [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $t$, dus is elk [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) van [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) affien, en is $D^2$ — een som van twee gekwadrateerde [affiene functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) — kwadratisch (met niet-negatieve kopcoëfficiënt). De kleinste nadering lees je dus altijd van een top af.

**11.** $P$ ontmoeten in $t = 3$, dus in $(6, 6)$: $(3a, 3b) = (6, 6)$ geeft $(a, b) = (2, 2)$, met snelheid $\sqrt{8} \approx 2.8$ knopen.

**12.** $D(0, 1)$ en $I\left(\frac12, 0\right)$: richting $\left(\frac12, -1\right)$, dus $(1, -2)$: [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** $(AC)$: $y = x$. Dan geeft $2x + x = 1$ dat $x = \frac13$: het punt $\left(\frac13, \frac13\right)$, op een derde van de weg van $A$ naar $C$.

**14.** $B(1, 0)$ en $K\left(\frac12, 1\right)$: richting $\left(-\frac12, 1\right)$, [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. Met $y = x$: $x = \frac23$: het punt $\left(\frac23, \frac23\right)$. De twee hoektransversalen snijden $(AC)$ in haar twee derdepunten: de stelling is bewezen, twee keer drie regels rekenwerk.

**15.** Elk parallellogram wordt op het eenheidsvierkant afgebeeld door $A$ als oorsprong en $\vect{AB}$ en $\vect{AD}$ als de eenheden van de twee assen te kiezen. Die keuze behoudt alles waarover de stelling spreekt — [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint), het op één rechte liggen, en verhoudingen langs een gegeven rechte (alle uit te drukken met [vectoren](#def-g11-vect-vector) en scalairen) — zodat de uitspraak in het vierkant bewijzen ze voor elk parallellogram bewijst. (Lengten of hoeken zou ze *niet* overdragen: die vervormt het [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system).)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: de rechte $(AE)$ is $y = \frac x2$. De diagonaal $(DB)$ loopt van $(0,1)$ naar $(1,0)$: $y = 1 - x$. Snijpunt: $\frac x2 = 1 - x$ geeft $x = \frac23$: het punt $\left(\frac23, \frac13\right)$ — opnieuw een derdepunt, nu van de andere diagonaal. Hoektransversalen naar [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) houden van derden.

**17.** De eerste twee: $x + y = 4$ en $2x - y = 2$ geven $3x = 6$: $(2, 2)$. De derde: $2 - 4 = -2$: voldaan. Ze gaan alle drie door $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: opdat de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) voor *elke* $m$ zou gelden, neem je $x = 3$ en $y = 2$ — en inderdaad bevat elke $d_m$ het punt $(3, 2)$. Een bundel rechten door één punt, één rechte per [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** Evenwijdig met $y = 2x + 7$: [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, dus de rechte $2x - y - 4 = 0$. Door de oorsprong: $2 - 3m = 0$, dus $m = \frac23$.

**20.** Cartesisch: vul een punt in, en het lidmaatschap is beslecht. Herleid: [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) en $y$-afsnede zichtbaar, [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) meteen. Parametrisch: de klok zit ingebouwd — aanvaringen, kleinste nadering, onderschepping. De [determinant](#def-g11-vect-det): één kruisvermenigvuldiging, en de evenwijdigheid staat vast. Het gekozen [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): een parallellogram wordt een eenheidsvierkant, en een klassieke stelling over verdeling in drieën wordt het snijden van drie rechten.