---
title: "Het scalair product in het vlak"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak
---

# Hoofdstuk 16 — Het scalair product in het vlak

Het [scalair product](#def-g11-scal-dot) hangt een *getal* aan een paar [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector), en dat getal ziet meetkunde: het verdwijnt precies bij loodrechte richtingen, en het meet hoeken en lengten. Het is de motor achter de cosinusregel, achter [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van cirkels en achter berekeningen met loodrechte stand. Hetzelfde gereedschap, in de ruimte, is het onderwerp van [Hoofdstuk 31](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/31-vectoren-rechten-en-vlakken-in-de-ruimte#ch-g12-space).

## 16.1 Definitie en eerste berekeningen

**Definitie 16.1 (Scalair product).**

Het *scalair product* van twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vec u$ en $\vec v$ is het getal

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

waarbij $\norm{\vec u}$ de lengte (de *norm*) van $\vec u$ aanduidt.

**Stelling 16.2 (De vier gezichten van het scalair product).**

Zij $\vec u\,(x, y)$ en $\vec v\,(x', y')$ [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) verschillend van $\vec 0$, en $\theta$ de hoek ertussen. Dan geldt

1. *([coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([cosinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(projectie)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , waarbij $\vec v'$ de [orthogonale](#def-g11-scal-orthogonal) projectie van $\vec v$ op de richting van $\vec u$ is; is $\vec u = \vect{OA}$ en $\vec v = \vect{OB}$ , dan is $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , een product van getekende lengten, waarbij $H$ de voet is van de loodlijn uit $B$ op de rechte $(OA)$ ;
4. *([normen](#def-g11-scal-dot))* de definiërende formule van [Definitie 16.1](#def-g11-scal-dot) .

**Bewijs van 1 en 2.** *1.* In [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) is $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (Pythagoras) en heeft $\vec u + \vec v$ [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $(x + x', y + y')$, dus

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

na de kwadraten uit te werken en weg te strepen.

*2.* Kies het [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) zo dat $\vec u$ langs de positieve $x$-as wijst: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ en $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#ch-g11-trigo)). Formule 1 geeft dan $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. Formule 3 leest dezelfde berekening af: de projectie van $\vec v$ op de $x$-as heeft getekende lengte $\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}$. ∎

![Het beeld van de projectie: u v = OA × OH, waarbij H de voet is van de loodlijn uit de punt van v. Het oranje lijnstuk OH heeft getekende lengte v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*Het [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) van de projectie: $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$, waarbij $H$ de voet is van de loodlijn uit de punt van $\vec v$. Het oranje lijnstuk $OH$ heeft getekende lengte $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**Voorbeeld 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ en $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. De [normen](#def-g11-scal-dot) zijn $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ en $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$, dus $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: de hoek is iets minder dan $82^\circ$.

**Propositie 16.4 (Rekenregels).**

Voor alle [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) en alle $\lambda \in \R$ geldt

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**Bewijs.** Alles volgt uit de formule in [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): zo is $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. De laatste identiteit werkt $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ uit met de eerste drie regels — het [scalair product](#def-g11-scal-dot) gedraagt zich precies als een gewoon product, zodat de gebruikelijke merkwaardige producten ook op [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van toepassing zijn. ∎

## 16.2 Loodrechte stand

**Definitie 16.5 (Orthogonale vectoren).**

Twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) heten *orthogonaal*, geschreven $\vec u \perp \vec v$, wanneer $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**Opmerking 16.6.**

Voor [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) verschillend van $\vec 0$ toont formule 2 van [Stelling 16.2](#thm-g11-scal-faces) dat $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0
\iff$ de richtingen staan loodrecht op elkaar. De nulvector is [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) met alles.

**Voorbeeld 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ en $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0$: [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal). Algemeen is $\vec u\,(a, b)$ altijd [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) met $\vec v\,(-b, a)$ — een kwartdraai.

## 16.3 De cosinusregel

**Stelling 16.8 (Cosinusregel).**

In een driehoek $ABC$ met zijden $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ en hoek $\widehat A$ in het hoekpunt $A$ geldt

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**Bewijs.** Schrijf $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ en werk uit met [Propositie 16.4](#prop-g11-scal-rules):

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

Volgens de cosinusformule is $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**Opmerking 16.9.**

Is $\widehat A$ een rechte hoek, dan is $\cos\widehat A = 0$ en herleidt de cosinusregel zich tot de stelling van Pythagoras $a^2 = b^2 + c^2$: het is Pythagoras met een correctieterm voor niet-rechte hoeken.

![De cosinusregel: twee zijden b, c en de hoek ertussen leggen de derde zijde a vast.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*De cosinusregel: twee zijden $b$, $c$ en de hoek ertussen leggen de derde zijde $a$ vast.*

**Voorbeeld 16.10.**

Twee zijden van een driehoek meten $b = 5$ en $c = 8$ en sluiten een hoek $\widehat A = \frac\pi3$ in. Dan is

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

dus $a = 7$.

## 16.4 Toepassingen: cirkels en loodrechte rechten

**Propositie 16.11 (Cirkel met gegeven middellijn).**

Een punt $M$ ligt op de cirkel met middellijn $[AB]$ dan en slechts dan als

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**Bewijs.** Is $M \neq A, B$, dan zegt de voorwaarde dat de hoek in $M$ in de driehoek $AMB$ recht is, en de punten die een lijnstuk onder een rechte hoek zien zijn precies die van de cirkel met dat lijnstuk als middellijn. Hier is een rechtstreeks bewijs: zij $O$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$ en $r = \frac{AB}{2}$. Dan is $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ en $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, dus

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

wat precies verdwijnt wanneer $MO = r$, dus wanneer $M$ op de cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ ligt. ∎

**Propositie 16.12 (Normaalvector van een rechte).**

De [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ is [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) met elke [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) van de rechte $d : ax + by + c = 0$; men noemt $\vec n$ een *normaalvector* van $d$. Twee rechten staan loodrecht op elkaar precies wanneer hun normaalvectoren (of hun [richtingsvectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction)) [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) zijn.

**Bewijs.** Een [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) van $d$ is $\vec u\,(-b, a)$ ([Stelling 15.9](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#thm-g11-vect-cartesian)), en $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**Methode 16.13 (Werken met normaalvectoren).**

- Rechte door $A$ met normaalvector $\vec n\,(a,b)$ : schrijf $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ , wat uitwerkt tot $ax + by + c = 0$ , waarbij $A$ de waarde van $c$ bepaalt.
- Loodrechte stand van $d: ax+by+c = 0$ en $d': a'x+b'y+c' = 0$ : ga $aa' + bb' = 0$ na.

**Voorbeeld 16.14.**

De rechte door $P(2, -1)$ loodrecht op $d : 3x - y + 4 = 0$: een [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) van $d$ is $(1, 3)$, en die dient als *normaalvector* van de loodlijn. [Vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$ met $2 - 3 + c = 0$, dus $c = 1$: de rechte is $x + 3y + 1 = 0$.

**Voorbeeld 16.15 (Vergelijking van een cirkel).**

De cirkel met middelpunt $\Omega(1, 2)$ en straal $3$ is de verzameling van de punten $M(x,y)$ met $\Omega M^2 = 9$:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

Omgekeerd herschrijft $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ zich, door de kwadraten aan te vullen ([Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ch-g11-quad)), tot $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$: dezelfde cirkel.

## 16.5 Oefeningen

**Oefening 16.1 ★.**

Bereken $\vec u \cdot \vec v$ voor

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**Oplossing van Oefening 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([orthogonale vectoren](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**Oefening 16.2 ★.**

$ABC$ is een gelijkzijdige driehoek met zijde $6$. Bereken $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ en $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**Oplossing van Oefening 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

De [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ en $\vect{BC}$ maken een hoek van $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (zet ze staart aan staart in $B$), dus is $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**Oefening 16.3 ★.**

Voor welke waarde van $t$ zijn $\vec u\,(3, t)$ en $\vec v\,(t - 8, 1)$ [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal)? En voor welke waarde of waarden van $t$ is $\vec u\,(t, 2)$ [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) met zichzelf min $\vec v\,(4, 2)$, dus $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$?

**Oplossing van Oefening 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ geeft $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, dus $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, wat verdwijnt voor $t = 0$ of $t = 4$.

**Oefening 16.4 ★.**

Bereken de hoek $\theta$ tussen $\vec u\,(1, 2)$ en $\vec v\,(3, 1)$ (geef $\cos\theta$ exact, en daarna $\theta$ op de graad nauwkeurig).

**Oplossing van Oefening 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$ en $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, dus

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

en bijgevolg is $\theta = 45^\circ$ exact.

**Oefening 16.5 ★★.**

Een driehoek heeft zijden $b = 4$ en $c = 6$ met daartussen de hoek $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$. Bereken de derde zijde $a$. Bereken daarna in een driehoek met zijden $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$ de waarde van $\cos\widehat A$ en beslis of $\widehat A$ scherp of stomp is.

**Oplossing van Oefening 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, dus $a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7$.

Voor de tweede driehoek geeft de cosinusregel, opgelost naar de hoek,

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

negatief: $\widehat A$ is stomp.

**Oefening 16.6 ★★.**

Zij $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ en $C(3, 5)$. Bereken $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$; is de hoek $\widehat A$ recht? Bereken de drie zijdelengten en toets je antwoord met de cosinusregel.

**Oplossing van Oefening 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ en $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, dus is de hoek in $A$ recht. Zijden: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$, en $\vect{BC}\,(-2, 6)$ geeft $BC = \sqrt{40}$. Consistentie: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, de cosinusregel met $\cos\widehat A = 0$ (Pythagoras).

**Oefening 16.7 ★★.**

Geef een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de cirkel met middelpunt $\Omega(-2, 3)$ en straal $5$. Bepaal daarna het middelpunt en de straal van de cirkel

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**Oplossing van Oefening 16.7.**

In middelpunt-straalvorm: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Voor de tweede cirkel vul je de kwadraten aan:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

middelpunt $(3, -1)$, straal $4$.

**Oefening 16.8 ★★.**

Zij $A(-3, 0)$ en $B(0, 2)$. Zoek met [Propositie 16.11](#prop-g11-scal-diameter) een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de cirkel met middellijn $[AB]$, en ga na dat de oorsprong $O(0,0)$ erop ligt.

**Oplossing van Oefening 16.8.**

$M(x,y)$ ligt op de cirkel wanneer $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ met $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ en $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

Voor de oorsprong: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, dus ligt $O$ op de cirkel — [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric) zijn $\vect{OA}\,(-3,0)$ en $\vect{OB}\,(0,2)$ [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal), zodat $O$ het lijnstuk $[AB]$ onder een rechte hoek ziet. (Kwadraten aanvullen geeft middelpunt $\left(-\frac32, 1\right)$ en straal $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**Oefening 16.9 ★★.**

Zoek een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de rechte door $P(1, 3)$ loodrecht op $d : 2x + y - 7 = 0$, en de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van de voet $H$ van de loodlijn (het snijpunt van de twee rechten). Leid de afstand van $P$ tot $d$ af.

**Oplossing van Oefening 16.9.**

De loodlijn door $P$ heeft de [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) van $d$, namelijk $(-1, 2)$, als normaalvector: [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$; door $P(1,3)$: $-1 + 6 + c = 0$, dus $c = -5$, en de rechte is $x - 2y + 5 = 0$.

Snijpunt met $d$: uit $2x + y = 7$ volgt $y = 7 - 2x$; invullen geeft $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, dus $x = \frac95$ en $y = \frac{17}5$: $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. Dan is $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ en

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**Oefening 16.10 ★★.**

Bewijs met $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ en het analogon voor $\vec u - \vec v$ de *parallellogramidentiteit*:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

en duid ze in een parallellogram (diagonalen tegenover zijden).

**Oplossing van Oefening 16.10.**

Optellen van

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{en}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
$$

laat de gemengde termen wegvallen en geeft $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$. In een parallellogram met zijden $\vec u$ en $\vec v$ zijn de diagonalen $\vec u + \vec v$ en $\vec u - \vec v$: de som van de kwadraten van de twee diagonalen is gelijk aan de som van de kwadraten van de vier zijden.

**Oefening 16.11 ★★★.**

Zij $A$ en $B$ twee punten met $AB = 4$, en $I$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AB]$.

1. Toon aan dat voor elk punt $M$ geldt: $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (Schuif $I$ ertussen: $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. Leid de verzameling af van de punten $M$ met $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**Oplossing van Oefening 16.11.**

*1.* Omdat $I$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) is, geldt $\vect{IB} = -\vect{IA}$ en $IA = 2$. Dan is

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* De voorwaarde $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ wordt $MI^2 = 16$, dus $MI = 4$: de verzameling is de cirkel met middelpunt $I$ en straal $4$.

## 16.6 Opgave: twee geschenken van het scalair product

**Probleem 16.1.**

Weekendopgave — de somformules vallen uit één scalair product, de afstand tot een rechte uit een ander, en de drie hoogtelijnen ontmoeten elkaar als toegift

Het [scalair product](#def-g11-scal-dot) lijkt boekhouding — vermenigvuldig, tel op — en toch levert het bijna gratis twee schatten op waaraan eeuwen hoekenjagen zich stukbeten: de *somformules* van de goniometrie (bereken $\cos 15^\circ$ exact!) en de *afstand van een punt tot een rechte* in één nette breuk. Als afscheidscadeau bewijst het dat de drie hoogtelijnen van elke driehoek door één punt gaan. Alle vier de gezichten van [Stelling 16.2](#thm-g11-scal-faces) melden zich voor dienst.

**Deel I — Vlot rekenen.**

1. Bereken voor $\vec u(3, 4)$ en $\vec v(-1, 2)$ het [scalair product](#def-g11-scal-dot) $\vec u \cdot \vec v$ , de twee [normen](#def-g11-scal-dot) , en de hoek tussen de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) (op een tiende graad).
2. Zoek $k$ zodat $(2, k)$ en $(3, -4)$ [orthogonaal](#def-g11-scal-orthogonal) zijn ( [Definitie 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. Het gezicht van de natuurkunde: een slee wordt $10$ m ver getrokken door een kracht van $50$ N onder $60^\circ$ met de grond. Bereken de arbeid $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. Cosinusregel ( [Stelling 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): twee zijden van $5$ en $7$ sluiten een hoek van $60^\circ$ in; zoek de derde zijde exact.
5. Omgekeerd: een driehoek heeft zijden $4$ , $6$ , $8$ . Bereken de [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-cossin) van de hoek tegenover de zijde $8$ , bepaal het soort hoek, en geef hem op een tiende graad.

**Deel II — Eerste geschenk: de somformules.** Zij $\vec u = (\cos a, \sin a)$ en $\vec v = (\cos b, \sin b)$: twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van lengte $1$ onder de hoeken $a$ en $b$.

6. Bereken $\vec u \cdot \vec v$ twee keer — één keer met [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system), één keer met de [normen](#def-g11-scal-dot) en de hoek tussen de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) — en besluit tot de moederformule: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. Vervang $b$ door $-b$ (denk aan de pariteit van [sinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-cossin) en [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-cossin) !) om $\cos(a + b)$ te krijgen.
8. Verkrijg $\sin(a + b)$ uit de complementaire identiteit $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ , toegepast op $x = a + b$ .
9. Eindelijk exacte waarden: bereken $\cos 15^\circ$ (als $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) en $\sin 75^\circ$ . Ga beide numeriek na.
10. Stel $b = a$ om de formules voor de dubbele hoek af te leiden: $\cos 2a$ (in haar drie vormen) en $\sin 2a$ .
11. Bereken uit $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ de waarde van $\sin^2 15^\circ$ , en daarna $\sin 15^\circ$ als een geneste [wortel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) — en ga na dat haar kwadraat overeenstemt met de waarde $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ die de methode van vraag 9 oplevert.

**Deel III — Tweede geschenk: de afstand tot een rechte.**

12. Zij $d$ de rechte $ax + by + c = 0$, met normaalvector $\vec n(a, b)$ ([Propositie 16.12](#prop-g11-scal-normal)), en $P(x_0, y_0)$ een punt. Leg uit waarom, met een willekeurig punt $A$ op $d$, de afstand van $P$ tot $d$ gelijk is aan $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$, en leid de formule af $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ Bereken de afstand van $P(5, 6)$ tot $3x + 4y - 12 = 0$.
13. Schrijf de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op van de cirkel met middelpunt $(5, 6)$ die die rechte raakt.
14. Toets de formule: bereken de afstand van de oorsprong tot $3x + 4y - 12 = 0$ , en ga ze na door de voet van de loodlijn uit de oorsprong expliciet te berekenen.
15. Driehoek $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : bereken zijn oppervlakte met $[AB]$ als basis; bereken daarna de afstand van $B$ tot de rechte $(AC)$ en ga na dat ze dezelfde oppervlakte oplevert.
16. De cirkel met middelpunt $(2, 1)$ en straal $2$ , tegenover de rechte $x + y - 6 = 0$ : bereken de afstand van het middelpunt tot de rechte en bepaal hun onderlinge ligging (snijdend, rakend, of zonder gemeenschappelijk punt).

**Deel IV — De toegift: de hoogtelijnen gaan door één punt.**

17. Veralgemeen [Oefening 16.11](#exo-g11-scal-11): bewijs voor elke twee punten $A$ en $B$ met [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ dat $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{voor elk punt } M .$$
18. Leid [Propositie 16.11](#prop-g11-scal-diameter) in één regel af: de verzameling van de punten $M$ met $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ is de cirkel met middellijn $[AB]$ .
19. De hoogtelijnen: zij $H$ het snijpunt van de hoogtelijnen uit $A$ en uit $B$ in een driehoek $ABC$ (dus $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ en $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). Bewijs de identiteit $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ — werk alles vanuit $H$ uit met Chasles — en besluit dat $H$ ook op de hoogtelijn uit $C$ ligt: de drie hoogtelijnen gaan door één punt (het *hoogtepunt*).
20. Slotstuk: vier gezichten, drie trofeeën. Welk gezicht van [Stelling 16.2](#thm-g11-scal-faces) droeg de somformules, welk de afstandsformule, welk het [hoogtepunt](#pb-g11-scal-1) — en waarom is “bereken dezelfde grootheid twee keer” het motto van het hele hoofdstuk?

**Oplossing van Probleem 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} =
\frac{1}{\sqrt5}$: $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$: $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ joule: alleen de component langs de beweging levert arbeid.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} =
-\frac14$: negatief, dus is de hoek stomp: $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** [Coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b +
\sin a \sin b$. Meetkunde: twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van lengte $1$, dus $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. De twee berekeningen van hetzelfde getal gelijkstellen geeft $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} +
\frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. En $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: dezelfde waarde.

**10.** $b = a$ in de vragen 7 en 8: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (met $\cos^2 + \sin^2 = 1$), en $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$, dus $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. Het kwadraat van $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ is $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: hetzelfde getal in twee kostuums.

**12.** $\vect{AP}$ valt uiteen in een deel langs $d$ (onzichtbaar voor $\vec n$) en een deel loodrecht op $d$, waarvan de lengte de gezochte afstand is; het [scalair product](#def-g11-scal-dot) met de eenheidsnormaal $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ doodt het eerste deel en meet het tweede. Met $A$ op $d$: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$, waaruit de formule volgt. Voorbeeld: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** Straal $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** Afstand $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. De voet: de loodlijn door de oorsprong is $(3t, 4t)$; op de rechte geldt $9t + 16t = 12$, dus $t = \frac{12}{25}$: de voet is $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, op afstand $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. De formule en de eerlijke berekening stemmen overeen.

**15.** Basis $AB = 6$, hoogte $=$ de afstand van $C$ tot $(AB)$ (de as $y = 0$): $5$; oppervlakte $15$. De rechte $(AC)$ is $5x - 2y = 0$, en $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$; dan is $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29}
\times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: dezelfde oppervlakte, welke hoogtelijn je ook neemt.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}{\sqrt2} =
\frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: de rechte loopt vrij langs de cirkel — zonder gemeenschappelijk punt.

**17.** Schuif $I$ ertussen: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) +
\vect{IA} \cdot \vect{IB}$. De middelste term sterft ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$), en $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ (tegengestelde [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van lengte $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4}
\iff MI = \frac{AB}{2}$: de cirkel met middelpunt $I$ en straal $\frac{AB}2$ — de cirkel met middellijn $[AB]$.

**19.** Werk elk paar vanuit $H$ uit ($\vect{BC} = \vect{HC} -
\vect{HB}$, enzovoort):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

alles valt paarsgewijs weg — de identiteit geldt voor *elke* vier punten. Voor onze $H$ verdwijnen de eerste twee scalaire producten volgens de veronderstelling, zodat $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: $H$ ligt op de hoogtelijn uit $C$. Drie hoogtelijnen, één punt.

**20.** De somformules kwamen uit één [scalair product](#def-g11-scal-dot), berekend met het gezicht van de *[coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system)* en dat van de *[normen](#def-g11-scal-dot) en de hoek*; de afstandsformule uit het gezicht van de *projectie*; het [hoogtepunt](#pb-g11-scal-1) uit het gezicht van de *bilineariteit* (Chasles en [uitwerken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand)). Bereken dezelfde grootheid twee keer, stel gelijk, en er valt een stelling uit — de hele stiel van het [scalair product](#def-g11-scal-dot).