---
title: "Beschrijvende statistiek"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek
---

# Hoofdstuk 17 — Beschrijvende statistiek

De statistiek perst een lijst getallen samen tot enkele betekenisvolle kengetallen: waar de gegevens liggen ([gemiddelde](#def-g11-stat-mean), [mediaan](#def-g11-stat-median)) en hoe verspreid ze zijn ([kwartielen](#def-g11-stat-quartiles), [variantie](#def-g11-stat-variance), [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance)). Dit hoofdstuk werkt alles uit op één doorlopend voorbeeld. Dezelfde kengetallen duiken opnieuw op bij toevalsvariabelen in [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#ch-g11-prob), en hun kanswetten in [Hoofdstuk 34](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#ch-g12-sums).

Doorheen het hoofdstuk is onze gegevensreeks het puntenaantal (op $20$) van een klas met $12$ leerlingen:

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 Gemiddelde en mediaan

**Definitie 17.1 (Gemiddelde).**

Het *gemiddelde* van de waarden $x_1, x_2, \dots, x_n$ is

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

Komt de waarde $x_i$ voor met [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) $n_i$ (met $n_1 + \dots + n_k = n$), dan is $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$.

**Definitie 17.2 (Mediaan).**

Een *mediaan* van een gesorteerde gegevensreeks is een waarde die haar in twee helften splitst: minstens de helft van de waarden is kleiner dan of gelijk aan de mediaan, en minstens de helft is groter dan of gelijk. In de praktijk sorteer je de $n$ waarden; is $n$ oneven, dan is de mediaan de middelste waarde; is $n$ even, neem dan het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de twee middelste waarden.

**Voorbeeld 17.3.**

Voor onze gegevensreeks is de som $144$, dus $\bar x = \frac{144}{12} = 12$. De twee middelste waarden (de $6$de en de $7$de van de gesorteerde lijst) zijn allebei $12$, dus is ook de [mediaan](#def-g11-stat-median) $12$. [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en [mediaan](#def-g11-stat-median) moeten niet samenvallen: de [mediaan](#def-g11-stat-median) negeert *hoe ver* de uiterste waarden liggen, het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) niet. Vervang je het hoogste punt $17$ door $20$, dan schuift het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) naar $12.25$, terwijl de [mediaan](#def-g11-stat-median) op $12$ blijft.

## 17.2 Kwartielen

**Definitie 17.4 (Kwartielen, interkwartielafstand).**

Het *eerste kwartiel* $Q_1$ is de kleinste waarde waarvoor minstens een kwart van de gegevens $\leq Q_1$ is; het *derde kwartiel* $Q_3$ is de kleinste waarde waarvoor minstens drie kwart van de gegevens $\leq Q_3$ is. De *interkwartielafstand* is $Q_3 - Q_1$: de breedte van de middelste helft van de gegevens.

**Voorbeeld 17.5.**

$n = 12$: een kwart is $3$, dus is $Q_1$ de $3$de gesorteerde waarde: $Q_1 = 10$. Drie kwart is $9$, dus is $Q_3$ de $9$de waarde: $Q_3 = 13$. De [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) is $3$: de middelste helft van de klas ligt binnen $3$ punten.

![De gegevensreeks als puntenwolk, haar gemiddelde (rood), en erboven de vijfgetallensamenvatting (oranje): minimum, Q_1, mediaan, Q_3, maximum. De doos bevat de middelste helft van de gegevens.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-5a2d7d5ccd4b.svg)

*De gegevensreeks als puntenwolk, haar [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) (rood), en erboven de vijfgetallensamenvatting (oranje): [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema), $Q_1$, [mediaan](#def-g11-stat-median), $Q_3$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema). De doos bevat de middelste helft van de gegevens.*

## 17.3 Variantie en standaardafwijking

**Definitie 17.6 (Variantie, standaardafwijking).**

De *variantie* van de gegevensreeks is het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de gekwadrateerde afwijkingen van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

en de *standaardafwijking* is $\sigma = \sqrt{V}$, uitgedrukt in dezelfde eenheid als de gegevens.

**Propositie 17.7 (Rekenformule).**

De [variantie](#def-g11-stat-variance) is het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de kwadraten min het kwadraat van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**Bewijs.** Werk elke gekwadrateerde afwijking uit: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$. Optellen en door $n$ delen geeft

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

Dezelfde identiteit, voor toevalsvariabelen, is [Propositie 18.13](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#prop-g11-prob-konig). ∎

**Voorbeeld 17.8.**

Voor onze gegevensreeks zijn de afwijkingen van $\bar x = 12$ gelijk aan $-4$, $-3$, $-2$, $-2$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $2$, $4$, $5$; hun kwadraten tellen op tot

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

Bijgevolg is

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ punten}.
$$

Ruwweg gezegd ligt een typisch resultaat ongeveer $2.6$ punten van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) af.

**Propositie 17.9 (Verandering van eenheid).**

Wordt elke waarde omgezet door $y_i = a x_i + b$, dan geldt

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**Bewijs.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$. Vervolgens is $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$: elke afwijking wordt met $a$ geschaald (de verschuiving $b$ valt weg), dus elke gekwadrateerde afwijking met $a^2$, en dus ook hun [gemiddelde](#def-g11-stat-mean). De vierkantswortel trekken geeft $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$. ∎

**Voorbeeld 17.10.**

Temperaturen die in graden Celsius genoteerd zijn met [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $20$ en [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $3$ zet je naar Fahrenheit om met $F = 1.8\,C + 32$: het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) wordt $1.8 \times 20 + 32 = 68$ en de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $1.8 \times 3 = 5.4$. Een gegevensreeks verschuiven verandert haar spreiding niet; ze herschalen herschaalt de spreiding.

**Methode 17.11 (Gegevensreeksen samenvatten en vergelijken).**

Om twee gegevensreeksen te vergelijken zet je naast elkaar: het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) (of de [mediaan](#def-g11-stat-median)) voor de *ligging*, en de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) (of de [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles)) voor de *spreiding*. Het paar ([mediaan](#def-g11-stat-median), [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles)) is robuust tegen extreme waarden; het paar ([gemiddelde](#def-g11-stat-mean), [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance)) gebruikt elke waarde en voedt de kansrekening.

**Voorbeeld 17.12.**

Twee boogschutters schieten elk $10$ pijlen; hun scores hebben allebei [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $8.5$, maar de [standaardafwijkingen](#def-g11-stat-variance) zijn $0.5$ en $2.1$. Gemiddeld even sterk — maar de eerste boogschutter is veel regelmatiger.

## 17.4 Oefeningen

**Oefening 17.1 ★.**

Bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), de [mediaan](#def-g11-stat-median), de [kwartielen](#def-g11-stat-quartiles) en de [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) van de gegevensreeks

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

**Oplossing van Oefening 17.1.**

$n = 8$, som $71$: [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$. [Mediaan](#def-g11-stat-median): het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de $4$de en de $5$de waarde, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$. [Kwartielen](#def-g11-stat-quartiles): een kwart van $8$ is $2$, dus is $Q_1$ de $2$de waarde, $7$; drie kwart is $6$, dus is $Q_3$ de $6$de waarde, $10$. [Interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles): $10 - 7 = 3$.

**Oefening 17.2 ★.**

Bereken de [variantie](#def-g11-stat-variance) en de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) van de gegevensreeks $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (eerst het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), daarna de rekenformule van [Propositie 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)).

**Oplossing van Oefening 17.2.**

Som $40$, dus $\bar x = 5$. Som van de kwadraten: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$. Met de rekenformule:

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**Oefening 17.3 ★.**

Er wordt $50$ keer met een dobbelsteen gegooid; de uitkomsten zijn in [frequenties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) samengevat:

| uitkomst | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

Bereken de [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) uitkomst en de [mediaan](#def-g11-stat-median).

**Oplossing van Oefening 17.3.**

[Gemiddelde](#def-g11-stat-mean):

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[Mediaan](#def-g11-stat-median): de cumulatieve [frequenties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) zijn $6, 15, 23, 33, \dots$, zodat de $25$ste en de $26$ste gesorteerde uitkomst allebei $4$ zijn: de [mediaan](#def-g11-stat-median) is $4$.

**Oefening 17.4 ★★.**

Een klas van $15$ leerlingen heeft gemiddeld $11.2$. Een $16$de leerling komt erbij en haalt $18$. Wat is het nieuwe klasgemiddelde?

**Oplossing van Oefening 17.4.**

Het totaal van de $15$ resultaten is $15 \times 11.2 = 168$; met de nieuwkomer wordt dat $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$.

**Oefening 17.5 ★★.**

Het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de gegevensreeks $6, 8, x, 12, 14$ is $10$. Zoek $x$, en bereken daarna de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) van de aangevulde reeks.

**Oplossing van Oefening 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ geeft $40 + x = 50$, dus $x = 10$. De afwijkingen van $6, 8, 10, 12, 14$ ten opzichte van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $10$ zijn $-4, -2, 0, 2, 4$, met kwadraten die optellen tot $40$: $V = \frac{40}{5} =
8$ en $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**Oefening 17.6 ★.**

Punten met [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $12.4$ en [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $2.5$ worden herschaald met $y = \frac{x}{2} + 4$. Geef het nieuwe [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de nieuwe [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance).

**Oplossing van Oefening 17.6.**

Volgens [Propositie 17.9](#prop-g11-stat-affine) met $a = \frac12$ en $b = 4$: het nieuwe [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) is $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$; de nieuwe [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) is $\frac{2.5}{2} = 1.25$.

**Oefening 17.7 ★★.**

Groep A ($20$ waarden) heeft [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $10$; groep B ($30$ waarden) heeft [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $15$. Bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de $50$ samengevoegde waarden. Is dat het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$? Waarom niet?

**Oplossing van Oefening 17.7.**

Het samengevoegde [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) is het *gewogen* [gemiddelde](#def-g11-stat-mean)

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

en niet $12.5$: groep B levert meer waarden en trekt het gezamenlijke [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) dus naar zich toe.

**Oefening 17.8 ★★.**

Twee productielijnen vullen zakken suiker van $1$ kg. Steekproeven geven: lijn 1: [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $1.002$ kg, [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg; lijn 2: [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $1.001$ kg, [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg. Welke lijn moet als eerste bijgeregeld worden, en waarom?

**Oplossing van Oefening 17.8.**

Beide lijnen zitten gemiddeld bijna op doel ($1.002$ en $1.001$ kg), maar de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) van lijn 2 is drie keer groter: haar zakken variëren veel meer, wat veel merkbaarder te licht en te zwaar gevulde zakken oplevert. Lijn 2 moet als eerste aangepakt worden — niet alleen het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), maar vooral de regelmaat vraagt herstel.

**Oefening 17.9 ★★.**

Een gegevensreeks van $n = 10$ waarden heeft $\sum x_i = 70$ en $\sum x_i^2 = 540$. Bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), de [variantie](#def-g11-stat-variance) en de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance).

**Oplossing van Oefening 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$.

**Oefening 17.10 ★★★.**

De gegevensreeks $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ bevat een *uitschieter*.

1. Bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de [mediaan](#def-g11-stat-median) met en zonder de waarde $23$ .
2. Bereken de [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) met en zonder $23$ .
3. Welke kengetallen zijn robuust tegen de uitschieter? Besluit met een aanbeveling.

**Oplossing van Oefening 17.10.**

*1.* Met $23$: som $50$, [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $5$; [mediaan](#def-g11-stat-median) $=$ het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de $5$de en de $6$de waarde $= 3$. Zonder $23$: som $27$, [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $3$; [mediaan](#def-g11-stat-median) (de $5$de van $9$ waarden) $= 3$.

*2.* Met $23$ ($n = 10$): $Q_1$ is de $3$de waarde ($2$) en $Q_3$ de $8$ste ($4$): [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) $2$. Zonder ($n = 9$): $Q_1$ is de $3$de waarde ($2$) en $Q_3$ de $7$de ($4$): opnieuw $2$.

*3.* De ene uitschieter sleurt het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van $3$ naar $5$, maar laat de [mediaan](#def-g11-stat-median) en de [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) onaangeroerd: die twee zijn *robuust*. Kan een gegevensreeks afwijkende waarden bevatten, meld dan de [mediaan](#def-g11-stat-median) en de [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) in plaats van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance).

## 17.5 Opgave: de z-score, een universele meetlat

**Probleem 17.1.**

Weekendopgave — standaardafwijkingen vergelijken appelen met peren, de ongelijkheid van Chebyshev maakt van $\sigma$ een garantie, en het gemiddelde wint zijn eigen medaille

Is $15/20$ op een moeilijk examen beter dan $13/20$ op een makkelijk? Is een $23$ in een lijst kleine getallen een toevalligheid of een uitschieter? Ruwe getallen kunnen dat niet zeggen — maar gedeeld door de juiste [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) spreken ze allemaal één taal, die van de *[z-score](#pb-g11-stat-1)*. Deze opgave beheerst de machinerie van de [variantie](#def-g11-stat-variance) ([Definitie 17.6](#def-g11-stat-variance), [Propositie 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)), bouwt de universele meetlat, en bewijst de merkwaardige ongelijkheid die van $\sigma$ meer maakt dan een beschrijvend getal: een garantie.

**Deel I — Mechanica van de [variantie](#def-g11-stat-variance).**

1. Bereken voor de gegevensreeks $4, 8, 6, 5, 2$ het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) , daarna de [variantie](#def-g11-stat-variance) rechtstreeks uit de definitie, en daarna $\sigma$ .
2. Bereken de [variantie](#def-g11-stat-variance) opnieuw met de rekenformule ( [Propositie 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) — het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de kwadraten min het kwadraat van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) — en ga de overeenstemming na.
3. Met [frequenties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) : de punten $8$ , $10$ , $14$ werden behaald door $3$ , $5$ en $2$ leerlingen. Bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) , de [variantie](#def-g11-stat-variance) en $\sigma$ (twee decimalen).
4. Temperaturen hebben [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $20$ en $\sigma = 3$ (in graden Celsius). Geef het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en $\sigma$ in Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; [Propositie 17.9](#prop-g11-stat-affine) ).
5. Bewijs de twee regels die je zonet gebruikte: een constante $b$ bij elke waarde optellen verschuift het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) met $b$ en laat $\sigma$ ongemoeid; met $a$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) met $a$ en $\sigma$ met $\abs a$ .

**Deel II — De universele meetlat.** De *z-score* van een waarde $x$ in een gegevensreeks met [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $\bar x$ en [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $\sigma$ is $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$: het aantal [standaardafwijkingen](#def-g11-stat-variance) tussen $x$ en het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean).

6. Examen A heeft [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $12$ en $\sigma = 2$ ; examen B heeft [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $8$ en $\sigma = 4$ . Alice haalde $15$ op A, Bob $13$ op B. Bereken beide [z-scores](#pb-g11-stat-1) : wiens prestatie steekt verder boven de massa uit?
7. Bereken de vijf [z-scores](#pb-g11-stat-1) van de gegevensreeks uit vraag 1, en ga na dat ze [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $0$ en [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $1$ hebben. Leg met vraag 5 uit waarom standaardiseren *altijd* [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $0$ en $\sigma = 1$ oplevert.
8. Een aanlegtest heeft [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $100$ en $\sigma = 15$ . Welke ruwe score hoort bij $z = 2$ ? En wat is de [z-score](#pb-g11-stat-1) van $76$ ?
9. Een kinderarts noteert het gewicht van een baby als “ $z = -2.5$ ”. Zeg wat dat betekent, en waarom groei in [z-scores](#pb-g11-stat-1) en niet in kilogram wordt gevolgd naarmate het kind ouder wordt.
10. De uitschieter uit [Oefening 17.10](#exo-g11-stat-10) (de reeks $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): bereken het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) , $\sigma$ en de [z-score](#pb-g11-stat-1) van $23$ . De klassieke alarmdrempel is $\abs z \geq 3$ : wat is het oordeel?
11. Bereken $\sigma$ opnieuw *zonder* de waarde $23$ , en de [z-score](#pb-g11-stat-1) die $23$ zou krijgen tegenover het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de $\sigma$ van de schone gegevens. Wat deed de uitschieter met de meetlat die hem juist moest meten, en welke tegenzet stelt [Oefening 17.10](#exo-g11-stat-10) voor?

**Deel III — De garantie van Chebyshev.**

12. Bewijs de ongelijkheid van Bienaymé en Chebyshev voor een gegevensreeks: voldoet een aandeel $p$ van de waarden aan $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$, dan geeft het behouden van alleen die termen in de variantiesom $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{en dus}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. Wat garandeert de ongelijkheid over het aandeel van eender welke gegevensreeks verder dan $2\sigma$ van haar [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) ? En verder dan $3\sigma$ ? Ga de uitspraak over $2\sigma$ na op de gegevensreeks uit vraag 1.
14. Een fabriek maakt bouten met [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $50$ mm en $\sigma = 0.1$ mm. Wat garandeert Chebyshev over het aandeel bouten buiten $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (In werkelijkheid doet de productie het veel beter — de klokkromme van jaar 12 maakt van dit voorzichtige $\frac19$ een fractie van een procent.)
15. Twee fondsen brengen allebei gemiddeld $5\,\%$ per jaar op, met $\sigma = 2\,\%$ voor fonds A en $\sigma = 12\,\%$ voor fonds B. Wat zegt Chebyshev voor elk fonds over het aandeel jaren met een rendement onder $-19\,\%$ ? Hoe noemt de financiële wereld $\sigma$ ?

**Deel IV — De medaille van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), en een waarschuwing.**

16. Zij $f(c)$ het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de gekwadrateerde afwijkingen $(x_i - c)^2$ ten opzichte van een willekeurig middelpunt $c$. Bewijs de identiteit $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ en besluit: het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) is de unieke minimalisator van de [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) gekwadrateerde afwijking — zijn medaille, tegenhanger van de minimalisering van absolute afwijkingen door de [mediaan](#def-g11-stat-median) in [Probleem 8.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#pb-g10-stats-1).
17. Ga de identiteit na op de gegevensreeks uit vraag 1 met $c = 6$ : bereken $f(6)$ rechtstreeks en via de formule.
18. Dezelfde kengetallen, andere gegevens: ga na dat $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ en $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ hetzelfde [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) maar niet dezelfde [variantie](#def-g11-stat-variance) hebben; bouw daarna een gegevensreeks van de vorm $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ met precies het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de [variantie](#def-g11-stat-variance) van $P$ — en toch een heel eigen vorm.
19. Bewijs dat $\sigma = 0$ afdwingt dat alle waarden gelijk zijn. (Wat moet elke term van een som van kwadraten die nul is, zelf zijn?)
20. Slotstuk — de ladder van de statisticus, één regel per sport: [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) ( [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) , [mediaan](#def-g11-stat-median) ), spreidingen ( $\sigma$ , [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles) ), de universele meetlat ( $z$ ), de garantie (Chebyshev), en de waarschuwing van vraag 18: kengetallen persen samen, en samenpersen verliest — met de klokkromme van jaar 12 die klaarstaat om [z-scores](#pb-g11-stat-1) in exacte kansen om te zetten.

**Oplossing van Probleem 17.1.**

**1.** [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. Gekwadrateerde afwijkingen: $1, 9, 1, 0, 9$: [variantie](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$, dus $\sigma = 2$.

**2.** [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de kwadraten: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$; min $\bar x^2 = 25$: [variantie](#def-g11-stat-variance) $4$. Hetzelfde antwoord, half het werk.

**3.** [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10}
= 10.2$; [variantie](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} -
10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$; $\sigma \approx 2.09$.

**4.** [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean): $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F; $\sigma$: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — de verschuiving $+32$ spreidt niets.

**5.** $b$ optellen: elke afwijking $x_i + b - (\bar x + b) =
x_i - \bar x$ blijft ongewijzigd, en dus ook de [variantie](#def-g11-stat-variance). Met $a$ vermenigvuldigen: de afwijkingen worden met $a$ vermenigvuldigd, hun kwadraten met $a^2$, de [variantie](#def-g11-stat-variance) met $a^2$, en $\sigma$ met $\sqrt{a^2} = \abs a$.

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$; $z_B = \frac{13 - 8}{4} =
1.25$. Alice steekt verder boven haar groep uit: de $15$ op het moeilijke examen verslaat de $13$ op het makkelijke.

**7.** De [z-scores](#pb-g11-stat-1) zijn $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $0$, [standaardafwijking](#def-g11-stat-variance) $1$. In het algemeen trekt standaardiseren eerst $\bar x$ af (waardoor het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $0$ wordt en $\sigma$ onaangeroerd blijft) en deelt het daarna door $\sigma$ (waardoor de nieuwe $\sigma$ gelijk aan $1$ wordt): twee keer vraag 5.

**8.** $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$. En $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

**9.** De baby ligt $2.5$ [standaardafwijkingen](#def-g11-stat-variance) onder het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) gewicht *van baby’s van zijn leeftijd* — alarmerend licht voor zijn groep. Ruwe kilogrammen laten zich niet over leeftijden heen vergelijken (alle baby’s komen aan); [z-scores](#pb-g11-stat-1) meten elk kind tegenover zijn eigen leeftijdsgroep, één meetlat voor alle leeftijden.

**10.** [Gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $5$; [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) van de kwadraten $\frac{622}{10} = 62.2$, [variantie](#def-g11-stat-variance) $37.2$, $\sigma \approx 6.10$; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: net onder de alarmdrempel — de toets knippert nauwelijks.

**11.** Zonder $23$: [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $3$, [variantie](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$; tegenover die schone meetlat scoort $23$ een $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$: een monster. De uitschieter blies zowel het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) als $\sigma$ op en camoufleerde zichzelf — en daarom beveelt [Oefening 17.10](#exo-g11-stat-10) robuuste kengetallen ([mediaan](#def-g11-stat-median), [interkwartielafstand](#def-g11-stat-quartiles)) aan zodra besmetting dreigt.

**12.** Houd in de variantiesom $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ alleen de termen over met $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$: dat zijn er $pN$, elk minstens $(k\sigma)^2$, dus $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$: deel door $k^2 \sigma^2$ (met spreiding verschillend van nul) en er blijft $p \leq \frac{1}{k^2}$ over.

**13.** Verder dan $2\sigma$: hoogstens $\frac14 = 25\,\%$ van eender welke gegevensreeks; verder dan $3\sigma$: hoogstens $\frac19 \approx 11\,\%$. De gegevens van vraag 1: verder dan $2\sigma = 4$ van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $5$ betekent $\leq 1$ of $\geq 9$: geen enkele van de vijf waarden — $0\,\% \leq 25\,\%$, zoals beloofd.

**14.** Buiten $\intcc{49.7}{50.3}$ betekent verder dan $3\sigma$: hoogstens $\frac19$ van de productie, *welke* vorm de verdeling ook heeft — Chebyshev vraagt niets meer dan een [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en een $\sigma$. Een klokvormige productie concentreert zich veel beter (ongeveer $0.3\,\%$ verder dan $3\sigma$): de normale verdeling, jaar 12.

**15.** $-19\,\%$ ligt $24$ punten onder het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $5$. Fonds B: $24 = 2\sigma_B$: Chebyshev laat tot $\frac14$ van de jaren zo slecht toe. Fonds A: $24 = 12\sigma_A$: hoogstens $\frac{1}{144}$. Hetzelfde [gemiddelde](#def-g11-stat-mean), onvergelijkbare gevaren — $\sigma$ is wat de financiële wereld *risico* (of volatiliteit) noemt.

**16.** Werk uit rond $\bar x$: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$. Middelen: de middelste term sterft (de afwijkingen van het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) tellen op tot nul), zodat $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ overblijft — minimaal precies in $c = \bar x$, met [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $\sigma^2$. Het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) is het kleinstekwadratenmiddelpunt, zoals de [mediaan](#def-g11-stat-median) het middelpunt van de kleinste absolute afwijking is ([Probleem 8.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#pb-g10-stats-1)).

**17.** Rechtstreeks: de afwijkingen van $6$ zijn $-2, 2, 0, -1, -4$, met kwadraten $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. Via de formule: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. Overeenstemming.

**18.** Beide hebben [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) $7$; de [varianties](#def-g11-stat-variance) zijn $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ en $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: verschillende spreidingen achter één [gemiddelde](#def-g11-stat-mean). Voor $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ geeft de [variantie](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ dat $a = \sqrt{20} \approx 4.47$: de reeks $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ draagt precies het [gemiddelde](#def-g11-stat-mean) en de [variantie](#def-g11-stat-variance) van $P$ met een compleet ander profiel — kengetallen persen samen, en samenpersen verliest.

**19.** $\sigma^2 = 0$ betekent dat een som van kwadraten $(x_i - \bar x)^2$ verdwijnt; kwadraten zijn $\geq 0$, dus dwingt een som gelijk aan nul elke term nul te zijn: $x_i = \bar x$ voor alle $i$ — alle waarden gelijk.

**20.** [Middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) zeggen waar de gegevens wonen; spreidingen hoe los; de [z-score](#pb-g11-stat-1) legt één meetlat over alle gegevensreeksen, examens, leeftijden en munteenheden; Chebyshev zet $\sigma$ om in een onvoorwaardelijke garantie; en vraag 18 houdt ons eerlijk — geen handvol getallen bevat ooit het hele verhaal. Volgend jaar verscherpt de klokkromme de meetlat tot exacte kansen.