---
title: "Afgeleiden en convexiteit"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit
---

# Hoofdstuk 22 — Afgeleiden en convexiteit

De [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative) meet de ogenblikkelijke veranderingssnelheid van een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function); ze is de [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) van de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) aan haar [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph). Dit hoofdstuk herneemt en verruimt de rekenregels voor [afgeleiden](#def-g12-deriv-derivative), verbindt het teken van $f'$ met het verloop van $f$, en voert de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) in, die door de tweede [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative) bestuurd wordt.

## 22.1 De afgeleide

**Definitie 22.1 (Afgeleide in een punt).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ en $a \in I$. De [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f$ is *differentieerbaar in $a$* wanneer het differentiequotiënt

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

een eindige limiet heeft voor $h \to 0$. Die limiet heet de *afgeleide van $f$ in $a$* en wordt $f'(a)$ geschreven. Is $f$ in elk punt van $I$ differentieerbaar, dan is de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ de *afgeleide* van $f$.

**Definitie 22.2 (Raaklijn).**

Is $f$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) in $a$, dan is de *raaklijn* aan de kromme van $f$ in het punt $(a, f(a))$ de rechte met [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![Naarmate h kleiner wordt, draait de snijlijn door A = (a, f(a)) en (a+h, f(a+h)) (oranje) naar de raaklijn in A (rood): haar richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h streeft naar f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-c104300eb643.svg)

*Naarmate $h$ kleiner wordt, draait de [snijlijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#def-g11-deriv-rate) door $A = (a, f(a))$ en $(a+h, f(a+h))$ (oranje) naar de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $A$ (rood): haar [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ streeft naar $f'(a)$.*

**Propositie 22.3.**

Een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) die [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) is in $a$, is [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) in $a$. Het omgekeerde geldt niet.

**Bewijs.** Voor kleine $h \neq 0$ is $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Voor $h \to 0$ streeft het rechterlid naar $0 \times f'(a) = 0$, dus $f(a+h) \to f(a)$. Voor het omgekeerde: $x \mapsto \abs{x}$ is [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) in $0$, maar haar differentiequotiënt in $0$ is $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ naargelang het teken van $h$, en heeft geen limiet. ∎

### 22.1.1 Rekenregels voor afgeleiden

**Propositie 22.4 (Bewerkingen).**

Zijn $u, v$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $I$ en is $\lambda \in \R$, dan zijn $u + v$, $\lambda u$ en $uv$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $I$, en $\frac{u}{v}$ waar $v \neq 0$, met

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Bewijs van de productregel.** Schrijf het differentiequotiënt van $uv$ in $a$ als

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

Voor $h \to 0$ is $v(a+h) \to v(a)$ door de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) ([Propositie 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont)), zodat het rechterlid naar $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ streeft. De andere regels bewijs je op dezelfde manier. ∎

**Stelling 22.5 (Kettingregel).**

Zij $u$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $I$ met waarden in $J$, en $g$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $J$. Dan is $g \circ u$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $I$ en geldt

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

In het bijzonder geldt voor differentieerbare $u$:

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**Schets van het bewijs.** Wanneer $u(a+h) \neq u(a)$ voor kleine $h$, schrijf je

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

Voor $h \to 0$ is $u(a+h) \to u(a)$, zodat de eerste factor naar $g'(u(a))$ streeft en de tweede naar $u'(a)$. (Een volledig bewijs moet ook het geval behandelen waarin $u(a+h) = u(a)$ voor willekeurig kleine $h$; dat technische punt komt aan de universiteit aan bod.) ∎

**Voorbeeld 22.6.**

De gebruikelijke [afgeleiden](#def-g12-deriv-derivative), geldig op de natuurlijke [domeinen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function):

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

De eerste bewijs je met inductie uit de productregel, en de laatste twee in [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#ch-g12-trigo).

## 22.2 Verloop en extrema

**Stelling 22.7 (Teken van de afgeleide en verloop).**

Zij $f$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. $f$ is [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) op $I$ dan en slechts dan als $f' \geq 0$ op $I$ .
2. $f$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) op $I$ dan en slechts dan als $f' \leq 0$ op $I$ .
3. Is $f' > 0$ op $I$ behalve in eindig veel punten waar ze verdwijnt, dan is $f$ strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) op $I$ .

**Gedeeltelijk bewijs.** Is $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), dan is elk differentiequotiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ groter dan of gelijk aan $0$, en overgaan naar de limiet geeft $f'(a) \geq 0$. De omgekeerde implicaties steunen op de middelwaardestelling, die aan de universiteit bewezen wordt; ze worden *op dit niveau aangenomen*. ∎

**Definitie 22.8 (Lokaal extremum).**

$f$ heeft in $a$ een *lokaal maximum* wanneer $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x$ in de buurt van $a$; lokale minima worden symmetrisch gedefinieerd.

**Propositie 22.9 (Eerste-ordevoorwaarde).**

Is $f$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op een *open* [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ en heeft ze in $a \in I$ een lokaal [extremum](#def-g12-deriv-extremum), dan is $f'(a) = 0$. Het omgekeerde geldt niet ($f(x) = x^3$ in $a = 0$).

**Bewijs.** Zeg dat $a$ een [lokaal maximum](#def-g12-deriv-extremum) is. Voor kleine $h > 0$ is $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$, dus geeft $h \to 0^+$ dat $f'(a) \leq 0$; voor $h < 0$ is het quotiënt $\geq 0$, wat $f'(a) \geq 0$ geeft. Bijgevolg is $f'(a) = 0$. ∎

![In een lokaal extremum binnen een open interval is de raaklijn (oranje) horizontaal: f'(a) = 0. Hier is f(x) = x3 - 3x, met een lokaal maximum in -1 en een lokaal minimum in 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*In een lokaal [extremum](#def-g12-deriv-extremum) binnen een open [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) is de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) (oranje) horizontaal: $f'(a) = 0$. Hier is $f(x) = x^3 - 3x$, met een [lokaal maximum](#def-g12-deriv-extremum) in $-1$ en een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) in $1$.*

**Methode 22.10 (Verlooptabel).**

Om een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f$ te bestuderen: bepaal haar [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) en de limieten aan de rand; bereken $f'$ en ontbind ze; bepaal het teken van $f'$ op elk deelinterval; noteer alles in een [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table), met de extrema aangeduid; leid het aantal oplossingen van $f(x) = k$ af met de bijectiestelling ([Stelling 21.15](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 Convexiteit

**Definitie 22.11 (Convexe functie).**

Een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ heet *convex* op $I$ wanneer elke koorde van haar [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) boven de [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) ligt: voor alle $a, b \in I$ en $t \in \intcc{0}{1}$ geldt

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

Ze heet *concaaf* wanneer de omgekeerde ongelijkheid geldt ($-f$ convex).

![Een convexe functie: elke koorde (rood) ligt boven de grafiek, en de grafiek ligt boven elk van haar raaklijnen (oranje). Het gestippelde lijnstuk toont de kloof tussen f ((1-t)a+tb ) en (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-867eea68c8bb.svg)

*Een convexe [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function): elke koorde (rood) ligt boven de [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph), en de [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) ligt boven elk van haar [raaklijnen](#def-g12-deriv-tangent) (oranje). Het gestippelde lijnstuk toont de kloof tussen $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ en $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**Stelling 22.12 (Convexiteit en afgeleiden).**

Zij $f$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$. De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:

1. $f$ is [convex](#def-g12-deriv-convex) op $I$ ;
2. $f'$ is [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) op $I$ ;
3. de [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) van $f$ ligt boven elk van haar [raaklijnen](#def-g12-deriv-tangent) .

Is $f$ twee keer [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative), dan zijn die uitspraken ook gelijkwaardig met $f'' \geq 0$ op $I$.

**Bewijs van (2) $\Rightarrow$ (3).** Kies $a \in I$ en stel $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$, de kloof tussen de kromme en de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $a$. Dan is $g$ [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) met $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Is $f'$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), dan is $g' \leq 0$ op $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ en $g' \geq 0$ op $I \cap \intco{a}{+\infty}$: $g$ daalt vóór $a$ en stijgt erna, zodat $g$ haar [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(a) = 0$ bereikt, en dus $g \geq 0$. De overige implicaties worden op dit niveau aangenomen; de gelijkwaardigheid met $f'' \geq 0$ volgt uit [Stelling 22.7](#thm-g12-deriv-variations) toegepast op $f'$. ∎

**Definitie 22.13 (Buigpunt).**

Een punt waar de kromme van $f$ haar [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) kruist heet een *buigpunt*. Is $f$ twee keer [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative), dan zijn de buigpunten de punten waar $f''$ van teken verandert.

**Voorbeeld 22.14.**

Voor $f(x) = x^3$ is $f''(x) = 6x$: $f$ is [concaaf](#def-g12-deriv-convex) op $\intoc{-\infty}{0}$ en [convex](#def-g12-deriv-convex) op $\intco{0}{+\infty}$, met een [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) in de oorsprong, waar de kromme haar [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) (de $x$-as) kruist.

![Het buigpunt van x x3 in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links en convex rechts.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-4d4dba94af88.svg)

*Het [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) van $x \mapsto x^3$ in de oorsprong: de kromme kruist haar [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) (oranje), [concaaf](#def-g12-deriv-convex) links en [convex](#def-g12-deriv-convex) rechts.*

**Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit).**

De exponentiële [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) is [convex](#def-g12-deriv-convex) op $\R$ (haar tweede [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative) is ze zelf, en die is positief). Haar [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $0$ is $y = 1 + x$, dus

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .
$$

Zulke *raaklijnongelijkheden* zijn een standaardproduct van de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex).

**Methode 22.16 (Convexiteit gebruiken).**

- Om een ongelijkheid $f(x) \geq ax + b$ te bewijzen: herken de rechte als een [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) van een convexe $f$ en roep [Stelling 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3) in.
- Om [buigpunten](#def-g12-deriv-inflection) te lokaliseren: los $f''(x) = 0$ op *en* ga na dat $f''$ daar van teken verandert.
- In een [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) verfijnt de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) de schets van de kromme (welke kant ze op buigt).

## 22.4 Oefeningen

**Oefening 22.1 ★.**

Leid de volgende [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) af op hun [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function):

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**Oplossing van Oefening 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

Quotiëntregel: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

Kettingregel met $u = 2x+1$: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 =
10(2x+1)^4$.

Kettingregel met $u = x^2 + 1$: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**Oefening 22.2 ★.**

Geef de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) aan de kromme van $f(x) = x^2 - 3x + 1$ in het punt met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $a = 2$, en bepaal de ligging van de kromme ten opzichte van die [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent).

**Oplossing van Oefening 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$, dus $f(2) = -1$ en $f'(2) = 1$: de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) is $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. De kloof is

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

dus ligt de kromme overal boven de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) en raakt ze die alleen in $x = 2$ (zoals verwacht: $f$ is [convex](#def-g12-deriv-convex)).

**Oefening 22.3 ★.**

Bereken met de definitie van de [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative)

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{en}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**Oplossing van Oefening 22.3.**

Allebei zijn het differentiequotiënten. Met $f(x) = (1+x)^{100}$ in $0$: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$, dus is de limiet $f'(0) = 100$. Met $g(x) = \sqrt{x}$ in $4$: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, dus is de limiet $g'(4) = \frac14$.

**Oefening 22.4 ★★.**

Bestudeer de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ op haar [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function): limieten, [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative), [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table), lokale extrema.

**Oplossing van Oefening 22.4.**

[Domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. Limieten: in $\pm\infty$ gedraagt $f(x)$ zich als $x \to \pm\infty$; in $1^\pm$ streeft de teller naar $4 > 0$ en de noemer naar $0^\pm$, dus $f \to \pm\infty$; de rechte $x = 1$ is een [verticale asymptoot](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-asymptote).

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

Bijgevolg is $f' > 0$ op $\intoo{-\infty}{-1}$ en $\intoo{3}{+\infty}$, en $f' < 0$ op $\intoo{-1}{1}$ en $\intoo{1}{3}$. De [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) stijgt tot een [lokaal maximum](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$, daalt naar $-\infty$, springt na de [asymptoot](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-asymptote) naar $+\infty$, daalt tot een lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(3) = 6$, en stijgt daarna.

**Oefening 22.5 ★★.**

Uit een vierkant vel karton met zijde $30\,$cm maak je een doos zonder deksel door in de hoeken gelijke vierkanten met zijde $x$ weg te knippen en de zijden op te plooien. Bepaal de $x$ die het volume van de doos maximaal maakt.

**Oplossing van Oefening 22.5.**

Voor $x \in \intoo{0}{15}$ heeft de doos een vierkant grondvlak met zijde $30 - 2x$ en hoogte $x$, dus

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. Op $\intoo{0}{15}$ is $30 - 2x > 0$, dus heeft $V'$ het teken van $30 - 6x$: positief vóór $x = 5$, negatief erna. Het volume is maximaal voor $x = 5$ cm, met $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$.

**Oefening 22.6 ★★.**

Zij $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. Bereken $f''$ en bepaal de intervallen van [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) en de [buigpunten](#def-g12-deriv-inflection) van $f$ .
2. Toon aan dat de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in het [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) met [abscis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $2$ de kromme daar kruist.

**Oplossing van Oefening 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ en $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. Dus is $f'' > 0$ op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{2}{+\infty}$ ([convex](#def-g12-deriv-convex)), en $f'' < 0$ op $\intoo{0}{2}$ ([concaaf](#def-g12-deriv-convex)). $f''$ verandert van teken in $0$ en in $2$: allebei [buigpunten](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* In $a = 2$: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$, $f'(2) = 32 - 48 = -16$, [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. De kloof is

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

Omdat $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$, deelt $(x-2)^3$ de uitdrukking $g$; delen geeft $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. In de buurt van $x = 2$ is $x + 2 > 0$, dus heeft $g$ het teken van $(x-2)^3$: negatief vóór $2$, positief erna. De kromme kruist de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent): $2$ is inderdaad een [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection).

**Oefening 22.7 ★★.**

Toon met een raaklijnongelijkheid aan dat voor alle $x > 0$ geldt

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

en bepaal wanneer de gelijkheid optreedt. (Tip: de vierkantswortel is [concaaf](#def-g12-deriv-convex).)

**Oplossing van Oefening 22.7.**

De [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ voldoet aan $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ op $\intoo{0}{+\infty}$: ze is [concaaf](#def-g12-deriv-convex), zodat haar [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) *onder* elke [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) ligt. De [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $a = 1$ is

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

waaruit $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ voor alle $x > 0$. Gelijkheid betekent dat de kromme de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) raakt, en dat gebeurt alleen in het raakpunt $x = 1$. (Gelijkwaardig: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**Oefening 22.8 ★★★.**

Zij $f$ [convex](#def-g12-deriv-convex) en [differentieerbaar](#def-g12-deriv-derivative) op $\R$, en stel dat $f'$ in een zeker punt $a$ verdwijnt. Toon aan dat $f(a)$ het *globale* [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) van $f$ op $\R$ is.

**Oplossing van Oefening 22.8.**

Volgens [Stelling 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) ligt de [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) van een differentieerbare convexe [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) boven elk van haar [raaklijnen](#def-g12-deriv-tangent). De [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $a$ is horizontaal ($f'(a) = 0$), met [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y = f(a)$. Bijgevolg is $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in \R$: $f(a)$ is het globale [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema).

**Oefening 22.9 ★★★.**

Toon aan dat onder alle rechthoeken met vaste omtrek $p$ het vierkant de grootste oppervlakte heeft. Toon daarna aan dat onder alle rechthoeken met vaste oppervlakte $A$ het vierkant de kleinste omtrek heeft, en leg uit hoe de twee uitspraken samenhangen.

**Oplossing van Oefening 22.9.**

*Vaste omtrek.* Een rechthoek met zijden $x$ en $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) heeft oppervlakte $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. Dan verdwijnt $S'(x) = \frac p2 - 2x$ in $x = \frac p4$, positief ervóór en negatief erna: het [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) ligt in $x = \frac{p}{4}$, waar beide zijden $\frac p4$ meten — een vierkant.

*Vaste oppervlakte.* Zijden $x$ en $\frac Ax$ geven omtrek $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$, met $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$, negatief voor $x < \sqrt A$ en positief erna: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) in $x = \sqrt{A}$, opnieuw een vierkant.

*Verband.* De twee uitspraken zijn duaal. Stel dat een niet-vierkante rechthoek bij vaste oppervlakte $A$ de omtrek minimaal maakte; het vierkant met dezelfde omtrek zou volgens de eerste uitspraak oppervlakte $> A$ hebben, en het gelijkvormig verkleinen tot oppervlakte $A$ zou zijn omtrek strikt verkleinen — in tegenspraak met de minimaliteit. Elke uitspraak houdt de andere dus in.

## 22.5 Opgave: de berekening van de redder

**Probleem 22.1.**

Weekendopgave — de snelste reddingsweg gehoorzaamt aan de wet van Snellius, de convexiteit bekrachtigt elk optimum, en het ideale blikje is precies even hoog als breed

Een strandredder ziet een zwemmer in nood — schuin verderop het strand af, in het water. Lopen gaat sneller dan zwemmen: de rechte lijn is *niet* de snelste weg. De weg die de tijd minimaal maakt buigt aan de waterlijn, en haar buigingswet is precies de wet waarmee licht breekt bij het binnendringen van water: ook de natuur leidt af. Deze opgave oefent de kettingregel ([Stelling 22.5](#thm-g12-deriv-chain)), voert de redding uit, oogst de ongelijkheden van de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) ([Stelling 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)), en ontwerpt een blikje.

**Deel I — Vlot met de kettingregel.**

1. Leid af: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. Geef de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) aan $y = \sqrt{x^2 + 9}$ in $x = 4$ .
3. Bouw de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) van $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ op $\R$ (extrema inbegrepen).
4. Voor $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) *en* convexiteitstabel ( $g''$ ), met het [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) ( [Definitie 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. Bereken de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) aan $g$ in haar [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) , en toon aan dat $g(x) - (\text{raaklijn}) = (x - 1)^3$ : wat zegt de tekenwissel over de manier waarop de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) de kromme in een [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) ontmoet?

**Deel II — De redding.** De waterlijn loopt langs de $x$-as; de redder staat op het zand in $A(0, 30)$, de zwemmer wacht in $B(40, -20)$ (in meter). De redder loopt met $5$ m/s op het zand, zwemt met $2$ m/s, en gaat het water in op een zelf gekozen punt $(x, 0)$.

6. Model: druk de totale reddingstijd $T(x)$ uit, en zeg waarom alleen $x \in \intcc{0}{40}$ de moeite van het bekijken waard is.
7. Leid $T$ af (de kettingregel aan het werk — twee keer).
8. Zij $\theta_1$ de hoek van het loopstuk met de *loodlijn* op de waterlijn, en $\theta_2$ die van het zwemstuk. Toon aan dat $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ en dat de voorwaarde $T'(x) = 0$ luidt $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — de *wet van Snellius*, met de twee snelheden in de plaats van de lichtsnelheden in lucht en in water.
9. Het rechte lijnstuk $[AB]$ kruist de waterlijn in $x = 24$ . Bereken $T(24)$ , $T(40)$ (langs het strand lopen en dan recht naar buiten zwemmen) en $T(0)$ : is de meetkundige rechte lijn de snelste? En is een van de uiterste strategieën dat?
10. Lokaliseer het optimale instappunt met [bisectie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#thm-g12-limcont-ivt) op $T'$ (het ligt rond $33.7$ m): geef $x^*$ op de meter en de recordtijd $T(x^*)$ op een tiende seconde. Hoeveel wint de optimale knik ten opzichte van de rechte lijn?
11. Waarom is het kritieke punt een *globaal* [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) ? (Elke term van $T$ is [convex](#def-g12-deriv-convex) — neem aan dat een som van convexe [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) [convex](#def-g12-deriv-convex) is — en pas [Oefening 22.8](#exo-g12-deriv-8) toe.)
12. Het principe van Fermat zegt dat licht altijd de weg van de kortste *tijd* volgt. Leid af waarom een lichtstraal precies aan het oppervlak buigt bij het binnendringen van water (waar licht trager is), en noem de alledaagse waarneming die dit verklaart over een potlood in een glas water.

**Deel III — De oogst van de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex).**

13. Toon aan dat $x \mapsto x^2$ [convex](#def-g12-deriv-convex) is, en bewijs de middenongelijkheid $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ twee keer: één keer uit de [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) , één keer door $(a - b)^2 \geq 0$ uit te werken.
14. Leid af dat het *kwadratisch [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean)* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ het [rekenkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) overtreft, en stel de volledige ketting van deze reeks samen — harmonisch $\leq$ [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) $\leq$ [rekenkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) $\leq$ kwadratisch — en ga alle vier na op $a = 2$ , $b = 8$ .
15. [Raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) onder de kromme: $x \mapsto \frac1x$ is [convex](#def-g12-deriv-convex) op $\intoo{0}{+\infty}$ ; schrijf haar [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $1$ op en leid de ongelijkheid $\frac1x \geq 2 - x$ voor alle $x > 0$ af. Waar is het een gelijkheid?
16. Een [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) in het wild: tijdens een epidemie volgt het cumulatieve aantal gevallen een S-vormige kromme. Wat gebeurt er in haar [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) , en waarom is dat de datum waar epidemiologen naar uitkijken? Breng het in verband met het teken van de tweede [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative) aan elke kant.

**Deel IV — Het ideale blikje.** Een cilindrisch blikje moet $V = 330$ cm$^3$ bevatten met zo weinig mogelijk metaal: oppervlakte $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, met de voorwaarde $\pi r^2 h = V$.

17. Druk $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ uit, leid af, en bereken de optimale straal en hoogte voor $V = 330$ (op de millimeter nauwkeurig).
18. Bewijs de sierlijke algemene wet: in het optimum is $h = 2r$ — het ideale blikje is precies even hoog als breed.
19. Ga $S''(r) > 0$ na en besluit (opnieuw via [Oefening 22.8](#exo-g12-deriv-8) ) dat het optimum globaal is. Echte frisdrankblikjes zijn zichtbaar hoger dan breed: noem een niet-wiskundige [reden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric) .
20. Slotstuk — de pijplijn van het optimaliseren: modelleren, de [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative) raadplegen, de kritieke punten oplossen, bekrachtigen met [convexiteit](#def-g12-deriv-convex) of een tabel, en duiden. Loop de lijst af voor de redder, het blikje en de sterkste balk uit jaar 11 ( [Probleem 12.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#pb-g11-deriv-1) ) — en zeg wat het principe van Fermat vertelt over wie er nog meer met deze pijplijn werkt.

**Oplossing van Probleem 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$, [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$: [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$, dus $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$: negatief, positief, negatief over $-1$ en $1$ heen: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$, met [horizontale asymptoot](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-asymptote) $0$ aan beide kanten.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$: [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations), [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) over $0$ en $2$ heen; [lokaal maximum](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$, lokaal [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(2) = 0$. $g''(x) = 6x - 6$: [concaaf](#def-g12-deriv-convex) vóór $1$, [convex](#def-g12-deriv-convex) erna: [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) in $(1, 2)$.

**5.** [Raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) in $1$: [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$, dus $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. [Verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic): $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$, dat in $1$ van teken verandert: de [raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) *kruist* de kromme — het kenmerkende gedrag in een [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection), waar de kromme van kant wisselt.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. Het water invóór $0$ of voorbij $40$ verlengt *beide* stukken: zinloos.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** In de loopdriehoek is de zijde langs de waterlijn $x$ en de schuine zijde $\sqrt{x^2 + 900}$: de [sinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-cossin) van de hoek met de loodlijn is precies hun quotiënt (overstaande zijde op schuine zijde); net zo is $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. Dan luidt $T'(x) = 0$ als $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — de wet van Snellius, met de snelheden $5$ en $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. De rechte lijn verliest zelfs van “helemaal langs het strand lopen en dan recht naar buiten zwemmen” — en allebei verliezen ze van de gebroken weg.

**10.** [Bisectie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#thm-g12-limcont-ivt) op $T'$ (negatief in $24$, positief in $40$) [convergeert](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-limit) naar $x^* \approx 34$ m, met $T(x^*) \approx 19.5$ s: ongeveer één seconde sneller dan de rechte lijn — het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) tussen een redding en een drama.

**11.** Elke deeltijd is een convexe [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $x$ (een tak van de vorm $\sqrt{\text{kwadratische uitdrukking}}$), dus is $T$ [convex](#def-g12-deriv-convex), en een kritiek punt van een convexe differentieerbare [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) is haar globale [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) ([Oefening 22.8](#exo-g12-deriv-8)): $x^*$ is niet zomaar stationair, hij is onverslaanbaar.

**12.** Licht is trager in water; volgens het principe van Fermat buigt de snelste weg van lucht naar water aan het oppervlak precies volgens de wet van Snellius — zodat stralen van een ondergedompeld potlood gebroken bij het oog aankomen, en de hersenen, die rechte lijnen doortrekken, het potlood aan de waterlijn gebroken zien.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$: [convex](#def-g12-deriv-convex). [Convexiteit](#def-g12-deriv-convex) in het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint): $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$, en dat is de bewering. Met de hand: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4}
\geq 0$.

**14.** De vierkantswortel ([stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic)) nemen in vraag 13 geeft $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. De volledige ketting op $2$ en $8$: harmonisch $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$; [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) $\sqrt{16} = 4$; [rekenkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) $5$; kwadratisch $\sqrt{34} \approx 5.83$: elk [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) buigt voor het volgende.

**15.** [Raaklijn](#def-g12-deriv-tangent) aan $\frac1x$ in $1$: waarde $1$, [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $-1$: $y = 2 - x$. Convexe krommen liggen boven hun [raaklijnen](#def-g12-deriv-tangent) ([Stelling 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)): $\frac1x \geq 2 - x$ voor alle $x > 0$, met gelijkheid precies in het raakpunt $x = 1$.

**16.** In het [buigpunt](#def-g12-deriv-inflection) bereikt het *dagelijkse* aantal gevallen (de [afgeleide](#def-g12-deriv-derivative)) haar top: de groei houdt op te versnellen en begint te vertragen — het eerste wiskundige signaal dat de golf keert, lang voordat de aantallen zelf dalen. Ervóór is $f'' > 0$ (elke dag erger dan de vorige); erna is $f'' < 0$ (nog groeiend, maar trager).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ geeft $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$: $r \approx 3.74$ cm, en $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** In het optimum is $h = \frac{V}{\pi r^2} =
\frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$: de hoogte is gelijk aan de diameter, wat het volume ook is.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$: [convex](#def-g12-deriv-convex), dus is de kritieke straal het globale [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema). Echte blikjes staan hoger omwille van de grip, het stapelen, de zichtbaarheid in het rek en het dikkere metaal boven en onder — optimaliseren minimaliseert altijd precies wat je opschreef, niet wat je bedoelde.

**20.** De redder: modelleer $T(x)$, leid af, Snellius, [convexiteit](#def-g12-deriv-convex), één seconde gewonnen. Het blikje: modelleer $S(r)$, leid af, $h = 2r$, [convexiteit](#def-g12-deriv-convex), metaal gespaard. De balk ([Probleem 12.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/12-afgeleiden-een-eerste-kennismaking#pb-g11-deriv-1)): modelleer $S(w)$, leid af, $d = w\sqrt2$, tabel, stijfheid gewonnen. En volgens het principe van Fermat doorloopt het licht zelf die pijplijn aan elk oppervlak dat het tegenkomt — de natuur was de eerste optimaliseerder.