---
title: "Exponentiële functie en logaritme"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 23
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme
---

# Hoofdstuk 23 — Exponentiële functie en logaritme

De [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) is de unieke [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) die gelijk is aan haar eigen [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) en in $0$ de waarde $1$ aanneemt. Ze zet sommen om in producten; haar inverse, de [natuurlijke logaritme](#def-g12-exp-ln), zet producten om in sommen. Samen beschrijven ze elk verschijnsel waarvan de veranderingssnelheid evenredig is met de omvang: radioactief verval, bevolkingsgroei, samengestelde intrest.

## 23.1 De exponentiële functie

**Stelling 23.1 (Bestaan en uniciteit).**

Er bestaat precies één differentieerbare [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f \colon \R \to \R$ waarvoor

$$
f' = f \qquad\text{en}\qquad f(0) = 1 .
$$

Ze heet de *exponentiële functie* en wordt $\exp$ geschreven, of $x \mapsto \eu^x$.

**Bewijs van de uniciteit.** Zo’n [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) verdwijnt om te beginnen nooit. Neem immers $g(x) = f(x)f(-x)$; dan is

$$
g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,
$$

dus is $g$ constant en gelijk aan $g(0) = 1$: voor elke $x$ is $f(x)f(-x) = 1$, en in het bijzonder $f(x) \neq 0$.

Zij nu $f_1, f_2$ twee oplossingen en $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (geoorloofd, want $f_2$ verdwijnt nooit). Dan is

$$
h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,
$$

zodat $h$ constant is en gelijk aan $h(0) = 1$, dus $f_1 = f_2$.

Het *bestaan* wordt op dit niveau aangenomen (het volgt uit de [rij](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-sequence) van [Oefening 20.10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#exo-g12-seq-10), of uit de inverse van de [logaritme](#def-g12-exp-ln) die in [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#ch-g12-integ) met integratie opgebouwd wordt). ∎

**Propositie 23.2 (Functionaalvergelijking).**

Voor alle $x, y \in \R$ en $n \in \Z$ geldt

$$
\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad
\eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad
\eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad
\bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.
$$

Bovendien is $\eu^x > 0$ voor alle $x$.

**Bewijs.** Kies $y$ vast en bekijk $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. De teller en de noemer zijn, als [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $x$, allebei oplossingen van $f' = f$ op de constante $\exp(y)$ na; $\varphi$ rechtstreeks afleiden (quotiëntregel) geeft $\varphi' = 0$, dus $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$, wat de eerste identiteit bewijst. Met $y = -x$ krijg je de tweede (met de waarde $\eu^0 = 1$), en de derde volgt daaruit. De vierde is voor $n \geq 0$ een inductie op de eerste, en voor $n < 0$ een gevolg van de tweede.

Positiviteit: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ en $\eu^x \neq 0$ (aangetoond in [Stelling 23.1](#thm-g12-exp-existence)), dus $\eu^x > 0$. ∎

**Propositie 23.3 (Verloop en limieten).**

De [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) is strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) en [convex](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-convex), en

$$
\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .
$$

**Bewijs.** $(\exp)' = \exp > 0$ geeft de strikte stijging; $(\exp)'' = \exp > 0$ geeft de [convexiteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-convex). Door de [convexiteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-convex) is $\eu^x \geq 1 + x$ ([raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) in $0$, zie [Voorbeeld 22.15](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#ex-g12-deriv-ineq)), dus $\eu^x \to +\infty$ voor $x \to +\infty$ door [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation). Daarna is $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ voor $x \to -\infty$. ∎

![De exponentiële functie: strikt stijgend, convex, met _-∈fty x = 0. Ze ligt boven haar raaklijn in 0: x ≥ 1 + x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-4d7aa83a2aa6.svg)

*De [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence): strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), [convex](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-convex), met $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$. Ze ligt boven haar [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) in $0$: $\eu^x \geq 1 + x$.*

**Stelling 23.4 (Vergelijking van groeiorden).**

Voor elk [geheel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$ geldt

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty,
\qquad
\lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .
$$

In woorden: de [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) verslaat elke macht van $x$.

**Bewijs.** Voor $n = 1$: pas $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ toe met $t = x/2$:

$$
\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x}
\geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .
$$

Voor algemene $n$ schrijf je

$$
\frac{\eu^x}{x^n}
= \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty
$$

met het geval $n=1$ en de samenstelling. De limiet in $-\infty$ volgt met de substitutie $x \mapsto -x$: $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$. ∎

![De exponentiële functie (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze steekt x2 (rood) al vroeg voorbij en x3 (oranje) rond x 4.54.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-2bf938e48637.svg)

*De [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) (blauw) verslaat uiteindelijk elke macht: ze steekt $x^2$ (rood) al vroeg voorbij en $x^3$ (oranje) rond $x \approx 4.54$.*

## 23.2 De natuurlijke logaritme

**Definitie 23.5 (Natuurlijke logaritme).**

De [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) is [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) en strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) van $\R$ op $\intoo{0}{+\infty}$; volgens de bijectiestelling ([Stelling 21.15](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#thm-g12-limcont-bijection)) heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = y$ voor elke $y > 0$ precies één oplossing. Die oplossing is de *natuurlijke logaritme* van $y$, geschreven $\ln y$. Dus geldt

$$
\text{voor } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .
$$

In het bijzonder is $\ln 1 = 0$, $\ln \eu = 1$, $\eu^{\ln y} = y$ en $\ln(\eu^x) = x$.

![De krommen van en zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte y = x: het punt (x, x) spiegelt naar ( x, x).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-a625fce5956d.svg)

*De krommen van $\exp$ en $\ln$ zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte $y = x$: het punt $(x, \eu^x)$ spiegelt naar $(\eu^x, x)$.*

**Propositie 23.6 (Algebraïsche eigenschappen).**

Voor alle $a, b > 0$ en $n \in \Z$ geldt

$$
\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad
\ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad
\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad
\ln(a^n) = n \ln a, \quad
\ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .
$$

**Bewijs.** $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$, en van beide leden de [logaritme](#def-g12-exp-ln) nemen geeft de eerste identiteit. De andere volgen met hetzelfde mechanisme uit de overeenkomstige identiteiten van [Propositie 23.2](#prop-g12-exp-funceq). ∎

**Propositie 23.7 (Analytische eigenschappen).**

De [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $\ln$ is [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) op $\intoo{0}{+\infty}$ met

$$
(\ln x)' = \frac{1}{x},
$$

strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), [concaaf](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-convex), en $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$. Bovendien geldt voor elk [geheel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad
\lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .
$$

**Bewijs.** De differentieerbaarheid van de inverse [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) wordt op dit niveau aangenomen; ga je ervan uit, leid dan de identiteit $\eu^{\ln x} = x$ af met de kettingregel: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$, dus $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$, waaruit de strikte stijging, en $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$, waaruit de concaviteit. De limieten in $0^+$ en $+\infty$ spiegelen die van $\exp$ door de bijectie. Voor de vergelijking van [groeiorden](#thm-g12-exp-growth) substitueer je $x = \eu^{t}$: $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ voor $t \to +\infty$ volgens [Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth), en net zo voor de andere limieten met $x = \eu^{-t}$, wat $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ geeft. ∎

**Methode 23.8 (Vergelijkingen met exp⁡\expexp en ln⁡\lnln oplossen).**

Beide [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) zijn strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic), zodat je ze op beide leden van een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) of ongelijkheid mag toepassen (of eraf halen) zonder de richting te veranderen:

$$
\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad
\eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,
$$

en net zo voor $\ln$ op positieve grootheden. *Ga altijd eerst de [domeinen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) na* ($\ln$ vraagt positieve argumenten). Voor [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) als $a^x = b$ met $a>0$ en $a \neq 1$ herschrijf je $a^x = \eu^{x\ln a}$ en los je $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ op.

**Voorbeeld 23.9.**

Een radioactief monster vervalt volgens $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$. Zijn *halveringstijd* $T$ voldoet aan $N(T) = N_0/2$, dus $\eu^{-\lambda T} = \frac12$, waaruit $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$: de halveringstijd hangt niet van de beginhoeveelheid af.

## 23.3 Oefeningen

**Oefening 23.1 ★.**

Vereenvoudig $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ en $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$.

**Oplossing van Oefening 23.1.**

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$.

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)
= 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$.

**Oefening 23.2 ★.**

Los op in $\R$:

$$
\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0;
\qquad
\text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .
$$

**Oplossing van Oefening 23.2.**

*(a)* Stel $X = \eu^x > 0$: $X^2 - 3X + 2 = 0$ geeft $X = 1$ of $X = 2$, allebei positief, dus $x = 0$ of $x = \ln 2$.

*(b)* [Domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function): $x - 1 > 0$ en $x + 2 > 0$, dus $x > 1$. De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) wordt $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$, dus $(x-1)(x+2) = 4$, dus $x^2 + x - 6 = 0$, waaruit $x = 2$ of $x = -3$. Alleen $x = 2$ ligt in het [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function): $S = \{2\}$.

**Oefening 23.3 ★.**

Bereken de limieten:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad
\lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).
$$

**Oplossing van Oefening 23.3.**

Deel door $\eu^x$: $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to
\dfrac{1-0}{1+0} = 1$, met $x^2 \eu^{-x} \to 0$ ([Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ volgens [Propositie 23.7](#prop-g12-exp-lnanalytic) (geval $n = 2$).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$.

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$, want $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

**Oefening 23.4 ★★.**

Bestudeer de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f(x) = x\,\eu^{-x}$ op $\R$: verloop, limieten, [extremum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-extremum); toon aan dat haar kromme een [buigpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-inflection) heeft en geef de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) ervan.

**Oplossing van Oefening 23.4.**

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$, met het teken van $1 - x$: $f$ stijgt op $\intoc{-\infty}{1}$ en daalt op $\intco{1}{+\infty}$, met globaal [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu^{-1}$.

Limieten: voor $x \to +\infty$ is $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ ([Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth)); voor $x \to -\infty$ is $x \to -\infty$ en $\eu^{-x} \to +\infty$, dus $f(x) \to -\infty$.

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$, dat in $x = 2$ van teken verandert: [buigpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-inflection) in $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$.

**Oefening 23.5 ★★.**

Toon aan dat voor alle $x > -1$ geldt $\ln(1 + x) \leq x$, met gelijkheid alleen in $x = 0$. Leid af dat voor alle $n \geq 1$ geldt

$$
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .
$$

**Oplossing van Oefening 23.5.**

Zij $g(x) = x - \ln(1+x)$ op $\intoo{-1}{+\infty}$. Dan is $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$, negatief op $\intoo{-1}{0}$ en positief op $\intoo{0}{+\infty}$: $g$ bereikt haar [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $g(0) = 0$, dus is $g \geq 0$ met gelijkheid alleen in $0$. Bijgevolg is $\ln(1+x) \leq x$.

Pas dat toe met $x = \frac1n$: $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$, dus $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$. Pas het toe met $x = -\frac{1}{n+1} > -1$: $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq
-\frac{1}{n+1}$, dus $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ en $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$.

**Oefening 23.6 ★★.**

Een kapitaal $C_0$ wordt belegd tegen een jaarlijkse rentevoet van $3\%$, met jaarlijkse kapitalisatie van de intrest.

1. Druk het kapitaal $C_n$ na $n$ jaar uit.
2. Na hoeveel jaar verdubbelt het kapitaal? Geef het exacte antwoord met $\ln$ , en daarna een getalwaarde.
3. Vergelijk met de [benadering](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) “ $70$ gedeeld door de rentevoet in procent” die bankiers gebruiken.

**Oplossing van Oefening 23.6.**

*1.* Elk jaar vermenigvuldigt het kapitaal met $1.03$: $C_n = C_0 (1.03)^n$.

*2.* $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$: het kapitaal verdubbelt na $24$ jaar.

*3.* $\frac{70}{3} \approx 23.3$, dicht bij de exacte $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$. De regel werkt omdat $\ln(1 + r) \approx r$ voor kleine $r$, zodat $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx
\frac{70}{100r}$.

**Oefening 23.7 ★★.**

Los de ongelijkheid $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ op, en daarna de ongelijkheid $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$.

**Oplossing van Oefening 23.7.**

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (de [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) is strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic)): $S = \intoo{1}{+\infty}$.

[Domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van de tweede ongelijkheid: $x^2 - 1 > 0$ en $x + 5 > 0$, dus $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$. Op dat [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) geldt, omdat $\ln$ strikt [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) is,

$$
\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0
\iff x \in \intcc{-2}{3}.
$$

Doorsnijden met het [domein](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function): $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$.

**Oefening 23.8 ★★★.**

Zij $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ voor $x > 0$.

1. Bestudeer het verloop van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ en geef haar [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) .
2. Voor welke waarden van $k$ heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ in $\intoo{0}{+\infty}$ $0$ , $1$ of $2$ oplossingen?

**Oplossing van Oefening 23.8.**

*1.* $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$, negatief op $\intoo{0}{1}$ en positief op $\intoo{1}{+\infty}$: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu$. Limieten: $f \to +\infty$ in $0^+$ (teller $\to 1$, noemer $\to 0^+$) en in $+\infty$ ([Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

*2.* Voor $x > 0$ is $\eu^x = kx \iff f(x) = k$. Uit de [verlooptabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-table) ($+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$, [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) en strikt monotoon aan elke kant): geen oplossing voor $k < \eu$; precies één ($x = 1$) voor $k = \eu$; precies twee voor $k > \eu$ (één in $\intoo{0}{1}$ en één in $\intoo{1}{+\infty}$, volgens de bijectiestelling op elk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval)).

**Oefening 23.9 ★★★.**

Zij voor $n \geq 1$ het getal $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$.

1. Toon met [Oefening 23.5](#exo-g12-exp-5) aan dat $(u_n)$ [naar boven begrensd](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-bounded) is door $\eu$ .
2. Toon aan dat $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , en leid af dat $u_n \to \eu$ . (Tip: herken een differentiequotiënt van $\ln$ in $1$ .)

**Oplossing van Oefening 23.9.**

*1.* Rechtstreeks uit de eerste ongelijkheid van [Oefening 23.5](#exo-g12-exp-5): $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$.

*2.* Schrijf

$$
\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right)
= \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},
$$

een differentiequotiënt van $\ln$ in het punt $1$ met stap $h = \frac1n \to 0$. Omdat $\ln$ in $1$ [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) is met [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) $1$, is $\ln u_n \to 1$. Door de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) van $\exp$ ([Propositie 21.12](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#prop-g12-limcont-seqcont)) is $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$.

## 23.4 Opgave: de logaritme temt de wereld

**Probleem 23.1.**

Weekendopgave — verdubbelingstijden en de regel van 72, de schalen van aardbevingen, zuren en piano’s, en de constante $\eu$ die overal vingerafdrukken achterlaat

Wat met een vast *percentage* groeit, groeit exponentieel — spaargeld, bacteriën, epidemieën — en wat te veel machten van tien overspant om te bevatten — energieën van aardbevingen, zuurtegraden, geluidsintensiteiten — wordt door een [logaritme](#def-g12-exp-ln) getemd. Deze opgave berekent verdubbelingstijden en ontmaskert de bankiersregel van 72, leest de logaritmische schalen van de wereld, en verzamelt de vingerafdrukken die het getal $\eu$ op elke plaats delict achterlaat ([Propositie 23.2](#prop-g12-exp-funceq), [Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth), [Methode 23.8](#met-g12-exp-equations)).

**Deel I — Vlot rekenen.**

1. Los op: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (een kwadratische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) in vermomming).
2. Vereenvoudig: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
3. Bewijs de moederongelijkheid: $\eu^x \geq 1 + x$ voor alle reële $x$ (bestudeer $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), en leid $\ln(1 + u) \leq u$ af voor $u > -1$ .
4. Bereken $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ ( [Stelling 23.4](#thm-g12-exp-growth) ), en $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (herken een [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) ).
5. Bestudeer $f(x) = x \ln x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : verloop, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) , en de limiet in $0^+$ (aangenomen: $x \ln x \to 0$ ). Dat kleine functietje meet informatie en entropie doorheen de universitaire volumes.

**Deel II — Verdubbelingstijden en de regel van 72.**

6. Spaargeld groeit met $3\,\%$ per jaar. Los $1.03^n = 2$ op: hoe lang duurt het voor het kapitaal verdubbelt?
7. Bankiers schatten de verdubbelingstijd als $\frac{72}{\text{rentevoet in }\%}$ . Toets de regel bij $3\,\%$ , $6\,\%$ en $9\,\%$ aan de exacte $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , en verklaar ze daarna: voor kleine $r$ is $\ln(1 + r) \approx r$ (de ongelijkheid van vraag 3 is daar de helft van het verhaal), zodat de exacte constante $100 \ln 2 \approx 69.3$ is — waarom verkiezen bankiers $72$ ?
8. Een bacterie deelt zich elke $20$ minuten: $p(t) = 2^{t/20}$ (met $t$ in minuten). Herschrijf dat als $\eu^{\lambda t}$ , en bereken daarna $p$ na $24$ uur. Wat bewijst het antwoord (meer dan $10^{21}$ ) over het model — en wat houdt echte kolonies tegen?
9. Cafeïne verlaat het lichaam met een halveringstijd van ongeveer $5$ uur. Hoeveel blijft er na een koffie van $100$ mg om 15 uur nog over om 23 uur? Op welk tijdstip zakt het onder $10$ mg? (Slapeloosheid heeft een [logaritme](#def-g12-exp-ln) .)
10. Eén euro tegen $100\,\%$ jaarrente: bereken het eindkapitaal bij jaarlijkse, maandelijkse en dagelijkse kapitalisatie, en geef het plafond waarvan [Oefening 23.9](#exo-g12-exp-9) bewees dat het onbreekbaar is. Welke beroemde constante is de limiet van de pure hebzucht?
11. Waarom zetten wetenschappers tijdens de beginfase van een epidemie $\ln(\text{aantal gevallen})$ tegen de tijd uit? Wat onthult een rechte lijn op die [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) , en wat meet haar [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) ?

**Deel III — De logaritmische schalen van de wereld.** (Schrijf $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.)

12. Geluidsniveau in decibel: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Een gesprek meet $60$ dB, een rockconcert $120$ dB: met welke factor verschillen de geluidsintensiteiten?
13. De magnitude van een aardbeving stijgt met $1$ wanneer de seismische amplitude met $10$ vermenigvuldigd wordt, en de vrijgekomen energie schaalt als amplitude $^{3/2}$ . Vergelijk bevingen met magnitude $5$ en $7$ : eerst de verhouding van de amplitudes, dan die van de energieën.
14. Scheikunde: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Citroensap heeft pH $2$ , melk pH $6.5$ : wat is de verhouding van hun zuurconcentraties?
15. Muziek: elk octaaf verdubbelt de [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) . Hoeveel octaven overspant een piano van haar laagste A ( $27.5$ Hz) tot haar hoogste C ( $4\,186$ Hz)? En waarom verkiezen onze zintuigen — gehoor, zicht, het voelen van bevingen — logaritmische schalen? (Eén zin.)
16. De rekenliniaal, $350$ jaar lang de rekenmachine van de ingenieur: twee latjes zo geijkt dat de *lengte* tot het merkteken $x$ evenredig is met $\ln x$ . Leg uit hoe het ene latje langs het andere schuiven getallen vermenigvuldigt, en noem de identiteit van [Propositie 23.6](#prop-g12-exp-lnalg) die het werk doet.

**Deel IV — De vingerafdrukken van $\eu$.**

17. Uit [Oefening 23.8](#exo-g12-exp-8) : de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) heeft $0$ , $1$ of $2$ oplossingen naargelang de ligging van $k$ ten opzichte van een drempel. Formuleer het resultaat opnieuw — en ga het meetkundige feit erachter na: de rechte $y = \eu x$ is precies de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) aan de [exponentiële functie](#thm-g12-exp-existence) door de oorsprong.
18. De constante van het net-niet: bij $n$ loten met elk winstkans $\frac1n$ is $\P(\text{geen winst}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Bereken haar limiet via $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (gebruik de standaardlimiet $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), en breng ze in overeenstemming met de raadselachtige $0.368$ uit [Probleem 19.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/19-de-binomiale-verdeling#pb-g11-binom-1) .
19. De $37\,\%$ -regel: om de beste van $n$ kandidaten te kiezen die in willekeurige volgorde op gesprek komen (zonder terug te kunnen), verwerpt de optimale strategie de eerste $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ en neemt ze daarna de eerste kandidaat die beter is dan alle vorige — met een slaagkans van ongeveer $\frac1\eu$ . Waar komen de twee $\frac1\eu$ ’s uit de vragen 18 en 19 vandaan? Formuleer het gemeenschappelijke mechanisme (veel onafhankelijke gebeurtenissen met elk een kleine [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) ), en bereken $\frac1\eu$ op drie decimalen.
20. Slotstuk — het portret van $\eu$ : het plafond van de kapitalisatie (vraag 10); het grondtal waarvan de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) in $0$ precies [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $1$ heeft (vragen 3 en 4); de groei die geen enkele veelterm inhaalt (vraag 4); de constante van het net-niet en van het optimale stoppen (vragen 18–19); en haar inverse $\ln$ , die producten in sommen omzet (vraag 16) en decaden in centimeters (deel III). Telkens één zin.

**Oplossing van Probleem 23.1.**

**1.** $x = \frac{\ln 5}{2}$. $3x - 1 = \eu^2$: $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$. Met $u = \eu^x$: $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$: $x = 0$ of $x = \ln 2$.

**2.** $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$; $3 + \frac12 = \frac72$; $\frac52$.

**3.** $f'(x) = \eu^x - 1$: negatief vóór $0$, positief erna: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 0$, dus $f \geq 0$ overal: $\eu^x \geq 1 + x$. Invullen van $x = \ln(1 + u)$ geeft $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$, dus $\ln(1 + u) \leq u$.

**4.** $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ en $\frac{\ln x}{x} \to 0$: exponentiëlen verpletteren machten, machten verpletteren [logaritmen](#def-g12-exp-ln). En $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$.

**5.** $f'(x) = \ln x + 1$: nul in $\eu^{-1}$, negatief ervóór en positief erna: [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$; en $x \ln x \to 0$ in $0^+$: de kromme vertrekt uit de oorsprong, duikt naar $-\frac1\eu$, en klimt daarna weg.

**6.** $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ jaar.

**7.** Exact: $23.4$, $11.9$ en $8.0$ jaar; met de regel van 72: $24$, $12$ en $8$. Omdat $\ln(1+r) \approx r$, is $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$, dus $\frac{69.3}{\text{rentevoet in }\%}$; bankiers ronden op tot $72$ omdat dat prachtig deelbaar is door $2, 3, 4, 6, 8, 9$ en $12$ — hoofdrekenen wint het van één decimaal nauwkeurigheid.

**8.** $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$: $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ per minuut. Na $24 \times 60 = 1440$ minuten: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bacteriën — meer dan er zandkorrels op Aarde liggen, uit één cel in één dag. Het model is alleen eerlijk zolang er voedsel en ruimte zijn: echte groei buigt af naar de logistische S-kromme (de kromme van de epidemioloog uit [Probleem 22.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#pb-g12-deriv-1)).

**9.** Om 23 uur (na $8$ uur): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Onder $10$ mg: uit $2^{-t/5} < 0.1$ volgt $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ u: rond 7.40 uur de volgende ochtend — de espresso van drie uur heeft een lange staart.

**10.** Jaarlijks: $2$. Maandelijks: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$. Dagelijks: $\approx 2.715$. Het plafond: $\eu = 2.71828\ldots$ ([Oefening 23.9](#exo-g12-exp-9)) — bij continue kapitalisatie [convergeert](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-limit) de hebzucht.

**11.** Groeien de gevallen exponentieel, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$, dan is $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$: een rechte met [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $\lambda$ — de groeisnelheid. Een recht stuk op de logaritmische [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph) *is* de exponentiële fase, en haar steilheid is het tempo van de epidemie.

**12.** $120 - 60 = 60$ dB betekent $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$: het concert is $10^6$ — een miljoen keer — intenser dan het gesprek.

**13.** Amplitude: $10^{7-5} = 100$. Energie: $100^{3/2} = 1000$: twee magnitudepunten verbergen drie grootteordes aan energie.

**14.** $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$: citroensap is dertigduizend keer zuurder dan melk — de pH perst de kloven van de scheikunde samen tot een zakformaat.

**15.** $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2}
\approx 7.25$: een piano overspant net iets meer dan zeven octaven. Zintuigen reageren op *verhoudingen* van prikkels — de intensiteit verdubbelen voelt als één stap, ongeacht het beginniveau — zodat de waarneming op een logaritmische schaal gebouwd is, en de eenheden die we ervoor bedachten evenzeer.

**16.** Het latje voor $a$ kop aan staart tegen de stand voor $b$ leggen telt de lengten $\ln a + \ln b$ op, en de ijking op die totale lengte leest $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$: de rekenliniaal berekent producten door [logaritmen](#def-g12-exp-ln) op te tellen — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ([Propositie 23.6](#prop-g12-exp-lnalg)), in palmhout gekerfd.

**17.** Het [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) van $\frac{\eu^x}{x}$ op $\intoo{0}{+\infty}$ is $\eu$, in $x = 1$: geen oplossing voor $k < \eu$, precies één voor $k = \eu$, en twee voor $k > \eu$. Controle met de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent): in $a = 1$ is de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) aan $\eu^x$ gelijk aan $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$: ze gaat door de oorsprong — de drempelrechte, die de kromme in $(1, \eu)$ scheert.

**18.** $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n}
\times (-1) \to -1$, dus $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx
0.368$: de $0.999^{1000} \approx 0.368$ uit [Probleem 19.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/19-de-binomiale-verdeling#pb-g11-binom-1), verklaard — de constante van het net-niet bij de loterij is $\frac1\eu$.

**19.** Beide zijn de grensvorm van “veel onafhankelijke gebeurtenissen, elk op zich onwaarschijnlijk”: de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat *geen* van $n$ kansen van grootte $\frac1n$ afgaat, streeft naar $\eu^{-1}$, en de secretaresseregel stemt haar verwerpingsvenster zo af dat het succes zich rond diezelfde constante concentreert. $\frac1\eu \approx 0.368$.

**20.** Het plafond van de kapitalisatie; het unieke grondtal waarvan de [raaklijn](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-tangent) in $0$ [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) $1$ heeft (en daarom houdt de analyse zoveel van $\eu$); de groei die elke macht voorbijsteekt; de constante waar het net-niet en het optimale stoppen zich vastzetten; en haar inverse $\ln$, die vermenigvuldigen tot optellen maakt en de wildste bereiken van de wereld op een meetlat vouwt.