---
title: "Goniometrische functies"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies
---

# Hoofdstuk 24 — Goniometrische functies

De [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $\cos$ en $\sin$ zetten de meetkunde van de cirkel om in analyse. Gedefinieerd door de reële lijn om de eenheidscirkel te rollen, zijn ze het oerbeeld van de periodieke [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function), en hun [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) maken hen tot oplossingen van de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de trillingen $y'' = -y$.

## 24.1 De eenheidscirkel

**Definitie 24.1 (Cosinus en sinus).**

Zij $\mathcal{C}$ de cirkel met straal 1 en middelpunt de oorsprong van een [orthonormaal assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system). Koppel aan elke reële $t$ het punt $M(t)$ dat je krijgt door vanaf het punt $I(1,0)$ een lengte $\abs{t}$ langs $\mathcal{C}$ op te rollen, tegen de wijzers van de klok in wanneer $t \geq 0$ en met de wijzers mee anders. Dan zijn *$\cos t$ en $\sin t$ de coördinaten van $M(t)$*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

Omdat de cirkel omtrek $2\pi$ heeft, blijft het punt $M(t)$ ongewijzigd wanneer $t$ met $2\pi$ toeneemt; en omdat $M(t)$ op de eenheidscirkel ligt:

**Propositie 24.2 (Fundamentele identiteiten).**

Voor alle $t \in \R$ en $k \in \Z$ geldt

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**Bewijs.** De eerste identiteit is de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de eenheidscirkel; de andere drukken de symmetrieën van de cirkel uit: $M(-t)$ is het spiegelbeeld van $M(t)$ om de $x$-as, $M(\pi - t)$ om de $y$-as, en $M(\frac\pi2 - t)$ om de rechte $y = x$. ∎

De waarden die je uit het hoofd moet kennen:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Propositie 24.3 (Somformules).**

Voor alle $a, b \in \R$ geldt

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

In het bijzonder is $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ en $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**Bewijs.** De [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ en $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ hebben lengte $1$ en maken een hoek $a - b$; hun [scalair product](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-dot) is zowel $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ ([coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system)) als $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (meetkunde), en dat is de derde formule. $b$ door $-b$ vervangen geeft de eerste; de formules voor de [sinus](#def-g12-trigo-cossin) volgen met $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. De formules voor de dubbele hoek zijn het geval $b = a$, gecombineerd met $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 Analytische studie

**Lemma 24.4 (Fundamentele limiet).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{en}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**Bewijs.** Vergelijk voor $0 < t < \frac{\pi}{2}$ drie oppervlakten in de eenheidscirkel: de driehoek $OIM(t)$, de cirkelsector $OIM(t)$, en de rechthoekige driehoek met basis $OI$ en hoogte $\tan t$:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![De drie geneste oppervlakten: de driehoek OIM (blauw, oppervlakte t/2), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte t/2) en de rechthoekige driehoek met hoogte t (oranje, oppervlakte t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*De drie geneste oppervlakten: de driehoek $OIM$ (blauw, oppervlakte $\frac{\sin t}{2}$), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte $\frac{t}{2}$) en de rechthoekige driehoek met hoogte $\tan t$ (oranje, oppervlakte $\frac{\tan t}{2}$).*

De eerste ongelijkheid geeft $\frac{\sin t}{t} \leq 1$; de tweede geeft $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. Voor $t \to 0^+$ is $\cos t \to 1$ ([continuïteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity)), en de insluitstelling levert $\frac{\sin t}{t} \to 1$; de pariteit breidt dat uit tot $t \to 0$. Voor de tweede limiet:

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**Stelling 24.5 (Afgeleiden van sinus en cosinus).**

De [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $\sin$ en $\cos$ zijn [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) op $\R$, met

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

Algemener geldt $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ en $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**Bewijs.** Met de somformules is

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

met [Lemma 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). De berekening voor $\cos$ verloopt identiek, en de algemene vorm volgt uit de kettingregel. ∎

**Propositie 24.6 (Verloop).**

Op $\intcc{0}{\pi}$ daalt $\cos$ van $1$ naar $-1$. Op $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ stijgt $\sin$ van $-1$ naar $1$. Beide [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) zijn $2\pi$-periodiek met [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$; $\cos$ is even, $\sin$ is oneven.

**Bewijs.** Op $\intoo{0}{\pi}$ is $(\cos)' = -\sin < 0$, want het punt $M(t)$ heeft daar een positieve [ordinaat](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system); net zo is $(\sin)' = \cos > 0$ op $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. De periodiciteit en de pariteit komen uit [Propositie 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![De krommen van (blauw) en (rood).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*De krommen van $\cos$ (blauw) en $\sin$ (rood).*

**Methode 24.7 (cos⁡x=a\cos x = acosx=a en sin⁡x=a\sin x = asinx=a oplossen).**

Zoek voor $a \in \intcc{-1}{1}$ één bijzondere oplossing $\alpha$ (uit de tabel met waarden of met een rekenmachine). Dan zijn alle oplossingen:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

Voor ongelijkheden lokaliseer je de oplossingsbogen op de eenheidscirkel en lees je de intervallen binnen één periode af.

**Voorbeeld 24.8.**

Los $\cos x = \frac12$ op in $\intoc{-\pi}{\pi}$: een bijzondere oplossing is $\frac\pi3$, dus zijn de oplossingen $x = \frac\pi3$ en $x = -\frac\pi3$. Op heel $\R$: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$.

## 24.3 Oefeningen

**Oefening 24.1 ★.**

Bereken $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ en $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ met de identiteiten van [Propositie 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**Oplossing van Oefening 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**Oefening 24.2 ★.**

Leid $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ en $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ af.

**Oplossing van Oefening 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (kettingregel).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (ketting- en productregel).

Quotiëntregel:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**Oefening 24.3 ★.**

Los op in $\intoc{-\pi}{\pi}$, en daarna in $\R$:

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**Oplossing van Oefening 24.3.**

*(a)* Een bijzondere oplossing van $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ is $\frac\pi3$. Algemene oplossingen: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ of $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. In $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ geeft $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$, dus $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. In $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8,
\frac{7\pi}{8}\right\}$.

**Oefening 24.4 ★★.**

Bereken met de somformules de exacte waarde van $\cos\frac{\pi}{12}$ en $\sin\frac{\pi}{12}$. (Tip: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} -
\frac{\pi}{4}$.)

**Oplossing van Oefening 24.4.**

Met $a = \frac\pi3$ en $b = \frac\pi4$:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**Oefening 24.5 ★★.**

Los in $\intcc{0}{2\pi}$ de ongelijkheid $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ op. (Tip: ontbind de kwadratische uitdrukking in $\sin x$.)

**Oplossing van Oefening 24.5.**

Stel $s = \sin x$: $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ precies wanneer $s \leq -\frac12$ of $s = 1$.

$\sin x = 1$ geeft $x = \frac\pi2$. $\sin x \leq -\frac12$: op de eenheidscirkel is dat de boog onder de horizontale rechte $y = -\frac12$, wat in $\intcc{0}{2\pi}$ overeenkomt met $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. Bijgevolg is

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**Oefening 24.6 ★★.**

Bereken de limieten

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**Oplossing van Oefening 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (samenstelling met $u = 3x \to 0$).

Met $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

Met de substitutie $u = \frac1x \to 0^+$: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**Oefening 24.7 ★★.**

Bestudeer de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ op $\intcc{0}{2\pi}$: verloop en extrema. Toon aan dat $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) is op $\R$ hoewel $f'$ in oneindig veel punten verdwijnt.

**Oplossing van Oefening 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ voor alle $x$, met gelijkheid precies wanneer $\sin x = 1$, dus $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. Op $\intcc{0}{2\pi}$ stijgt $f$ van $f(0) = 1$ tot $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (het nulpunt van $f'$ in $\frac{\pi}{2}$ is geïsoleerd, zodat de stijging zelfs strikt is); [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $1$ in $0$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $2\pi + 1$ in $2\pi$. Op $\R$ is $f' \geq 0$ overal met alleen geïsoleerde nulpunten, dus is $f$ (strikt) [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) volgens [Stelling 22.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#thm-g12-deriv-variations), hoewel $f'$ in elke $\frac\pi2 + 2k\pi$ verdwijnt.

**Oefening 24.8 ★★★.**

Zij $f(x) = A\cos x + B \sin x$ met $(A,B) \neq (0,0)$.

1. Toon aan dat $f$ te schrijven is als $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ met $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ en een geschikte $\varphi$ .
2. Leid het [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) en het [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) van $f$ af, en los $\cos x + \sin x = 1$ op in $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**Oplossing van Oefening 24.8.**

*1.* Zij $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. Het punt $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ ligt op de eenheidscirkel, dus bestaat er een $\varphi$ met $\cos\varphi = \frac AR$ en $\sin\varphi = \frac BR$. Dan is

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* Omdat $\cos$ het [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$ heeft, heeft $f$ [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $R$ en [minimum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) $-R$. Voor $\cos x + \sin x$: $A = B = 1$, $R = \sqrt2$ en $\varphi = \frac\pi4$, zodat de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ wordt, dus $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, waaruit $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$: in $\intoc{-\pi}{\pi}$ is $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**Oefening 24.9 ★★★.**

Toon aan dat $\sin$ en $\cos$ allebei aan de differentiaalvergelijking $y'' = -y$ voldoen. Toon omgekeerd aan, voor een oplossing $y$ van $y'' = -y$ met $y(0) = a$ en $y'(0) = b$, dat $y = a\cos + b\sin$. (Tip: bekijk $g = (y - a\cos - b\sin)$ en de “energie” $E = g^2 + (g')^2$.)

**Oplossing van Oefening 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ en $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: allebei lossen ze $y'' = -y$ op.

Zij $g = y - a\cos - b\sin$. Dan is $g'' = -g$ (lineariteit van het afleiden), $g(0) = y(0) - a = 0$ en $g'(0) = y'(0) - b = 0$. Stel $E = g^2 + (g')^2$. Dan is

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

dus is $E$ constant en gelijk aan $E(0) = 0$. Een som van twee kwadraten die identiek verdwijnt, dwingt $g = 0$ af, dus $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 Opgave: het geheim van de slinger

**Probleem 24.1.**

Weekendopgave — één meetkundige limiet drijft de afgeleiden van sinus en cosinus aan, en van daaruit alle trillingen: veren, slingers, zwevingen en de meter die het bijna werd

Elke klok die ooit tikte en elke snaar die ooit klonk, gehoorzaamt aan dezelfde wiskunde: een terugdrijvende kracht evenredig met de uitwijking, dus de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$, dus cosinussen. Aan de basis van dat alles ligt één onschuldig ogende limiet, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — in jaar 9 beloofd, door [Stelling 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) gebruikt, en hier met een tekening bewezen. Deze opgave klimt van die limiet naar de slag van een slinger van één meter, en legt uit waarom de meter er op een haar na niet mee gedefinieerd is.

**Deel I — De fundamentele limiet.**

1. Warm op met getallen: bereken $\frac{\sin x}{x}$ voor $x = 0.1$ en $x = 0.01$ (in [radialen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-radian) !).
2. De insluiting, op de eenheidscirkel met $0 < x < \frac\pi2$ : druk met elementaire meetkunde de oppervlakten uit van (i) de driehoek met hoekpunten $O$ , $A(1,0)$ en het cirkelpunt $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) de cirkelsector $OAM$ ; (iii) de rechthoekige driehoek $OAT$ met $T(1, \tan x)$ .
3. Leid uit de insluiting van de oppervlakten af dat $\sin x < x < \tan x$ , daarna dat $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , en besluit met de insluitstelling dat $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (de pariteit regelt $x < 0$ ).
4. Leid $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ af (vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking).
5. Leg uit waarom die limiet de motor van [Stelling 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) is (wat is $\sin'(0)$ ?), en waarom ze ook een oude schuld vereffent: in welke zin zijn *[radialen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-radian)* de enige hoekeenheid waarvoor $\sin' = \cos$ zonder constante geldt?

**Deel II — Harmonische beweging.**

6. Ga met de kettingregel na dat $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ voldoet aan $y'' = -\omega^2 y$ .
7. Een massa aan een veer voldoet aan $y'' = -4y$ , met $y(0) = 3$ en $y'(0) = 8$ . Neem (uit [Oefening 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) aan dat alle oplossingen van de vorm $A\cos 2t + B\sin 2t$ zijn, en bepaal $A$ en $B$ .
8. Herschrijf de oplossing als $R\cos(2t - \varphi)$ ( [Oefening 24.8](#exo-g12-trigo-8) ): geef de amplitude $R$ , de periode en de fase $\varphi$ (drie decimalen).
9. Op welk tijdstip passeert de massa voor het eerst de evenwichtsstand $y = 0$ ?
10. De slinger: een bol aan een koord met lengte $L$ voldoet *exact* aan $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — niet oplosbaar met elementaire [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) . Vervang voor kleine uitslagen $\sin\theta$ door $\theta$ (deel I verantwoordt dat!) en leid de periode $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ af. Bereken $T$ voor $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): de beroemde ontdekking van Galilei — waarvan hangt de formule *niet* af?
11. De secondeslinger: welke lengte geeft precies $T = 2$ s? De Franse Academie aarzelde in 1791 tussen die lengte en het tienmiljoenste van de kwartmeridiaan om de *meter* te definiëren — hoeveel millimeter verschillen de twee kandidaten?

**Deel III — De somformules aan het werk.**

12. Toon met de somformules ( [Propositie 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) aan dat $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ en $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : afleiden is op de cirkel een kwartdraai — ga de overeenstemming met [Stelling 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) na.
13. Leid de identiteit $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ af, die producten in sommen omzet, en de linearisatie $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (het hoofdstuk over integreren zal je dankbaar zijn).
14. Zwevingen: leid $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ af, en pas het toe op twee stemvorken van $440$ en $444$ Hz: welke toon hoort het oor, en hoeveel zwevingen per seconde? (Zo stemmen orkesten.)
15. Leid de identiteit voor de drievoudige hoek $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ af (schrijf $3x = 2x + x$ ). Aan welke derdegraadsvergelijking moet $\cos 20^\circ$ voldoen als je $x = 20^\circ$ stelt? (Dat die [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) niet met vierkantswortels alleen op te lossen is, is precies de [reden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric) waarom het driedelen van een hoek twee millennia lang aan passer en liniaal weerstond — het volledige verhaal staat in de universitaire volumes.)
16. Een wisselstroom luidt $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Herschrijf hem als $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : wat is de piekstroom en wat de fase?

**Deel IV — De trillende wereld.**

17. Perioden: wat is de (kleinste) periode van $\sin^2 t$ (gebruik vraag 13)? En van $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
18. Een echte slinger dempt uit: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Beschrijf de beweging, bereken de waarde van de omhullende in $t = 10$ (er duikt een oude bekende op, [Probleem 23.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#pb-g12-exp-1) ), en noem het hoofdstuk waarin [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met zulke oplossingen opgelost worden.
19. Waarom beheersen sinussen en cosinussen elke trilling? Geef het woordenboek van natuurkunde naar wiskunde in twee zinnen (terugdrijvende kracht evenredig met de uitwijking $\rightarrow$ welke [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ welke oplossingen), en zeg wat [Oefening 24.9](#exo-g12-trigo-9) aan die bewering bijdraagt.
20. Slotstuk: de boog van dit hoofdstuk in vier stappen — één meetkundige limiet, twee [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) , één differentiaalvergelijking, en alle trillingen. En het eerlijke sterretje: bij grote uitslagen bevat de echte periode van de slinger een elliptische integraal, die bliksemsnel berekend wordt door … het [rekenkundig-meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van Gauss, het toetje van [Probleem 20.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#pb-g12-seq-1) . De draden van de reeks knopen zichzelf aan elkaar.

**Oplossing van Probleem 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ en $0.99998\ldots$: kruipend naar $1$.

**2.** Driehoek $OAM$: basis $1$, hoogte $\sin x$: oppervlakte $\frac{\sin x}{2}$. Sector $OAM$: het deel $\frac{x}{2\pi}$ van de eenheidsschijf: oppervlakte $\frac x2$. Driehoek $OAT$: basis $1$, hoogte $\tan x$: oppervlakte $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** De driehoek ligt in de sector, en die in de grote driehoek: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, dus $\sin x < x < \tan x$. Uit $\sin x < x$ volgt $\frac{\sin x}{x} < 1$; en uit $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ volgt, na vermenigvuldigen met $\frac{\cos x}{x} > 0$, dat $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. Voor $x \to 0^+$ is $\cos x \to 1$: ingesloten streeft $\frac{\sin x}{x}$ naar $1$; en $\frac{\sin x}{x}$ is even, zodat de tweezijdige limiet $1$ is.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$: het hele afleiden van [sinus](#def-g12-trigo-cossin) en [cosinus](#def-g12-trigo-cossin) vloeit uit die ene limiet voort. In graden gemeten zou de limiet $\frac{\pi}{180}$ zijn, en zou elke [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) die constante meeslepen: [radialen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/14-goniometrie-de-eenheidscirkel#def-g11-trigo-radian) zijn precies de eenheid die de analyse van de trilling zuiver houdt.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ en $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. $y(0) = A = 3$; $y'(0) = 2B = 8$, dus $B = 4$: $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$; periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$: $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ voor het eerst wanneer $2t - \varphi = \frac\pi2$: $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

**10.** Met $\sin\theta \approx \theta$ wordt $\theta'' = -\frac gL \theta$: harmonisch met $\omega = \sqrt{\frac gL}$ en periode $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Voor $L = 1$ is $T \approx 2.006$ s. De periode hangt niet van de amplitude af (bij kleine uitslagen) — de isochronie van Galilei, het feit dat slingeruurwerken mogelijk maakt.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2}
\approx 0.994$ m: de secondeslinger komt ongeveer $6$ mm tekort op de meridiaanmeter. De Academie koos de meridiaan (de zwaartekracht verschilt van plaats tot plaats en verraadt de slinger); was $g$ een haartje groter geweest, dan zou onze meter tikken.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. Dus geeft de [sinus](#def-g12-trigo-cossin) afleiden de [sinus](#def-g12-trigo-cossin) een kwartdraai verder ($\cos$), en nog eens ($-\sin$), en nog eens, en na vier stappen ben je thuis: afleiden draait de cirkel rond.

**13.** De twee uitwerkingen van $\cos(a \mp b)$ optellen geeft $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. Met $a = b = x$: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, dus $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** Met $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ en $q$ als spiegelbeeld geeft [uitwerken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) en optellen $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. Voor $440$ en $444$ Hz: een toon van $442$ Hz waarvan de luidheid gemoduleerd wordt door $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — de luidheid piekt $4$ keer per seconde (de [absolute waarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-abs) van de omhullende): vier zwevingen per seconde, die verdwijnen zodra de stemvorken het eens zijn.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. In $x = 20^\circ$ is $\cos 60^\circ = \frac12$, dus voldoet $c = \cos 20^\circ$ aan $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — een derdegraadsvergelijking zonder oplossing in vierkantswortels: $20^\circ$ construeren, dus $60^\circ$ in drieën delen, ligt buiten het bereik van passer en liniaal.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} =
\sqrt3$: $\varphi = \frac\pi3$: $I(t) = 6\cos\left(100\pi t -
\frac\pi3\right)$: piek $6$ ampère, met een faseachterstand van $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$: periode $\pi$. $\sin 2t$ heeft periode $\pi$ en $\sin 3t$ heeft $\frac{2\pi}{3}$: de som herhaalt zich na het kleinste gemeenschappelijke veelvoud, $2\pi$.

**18.** Een trilling met periode $1$ binnen de krimpende omhullende $\pm\eu^{-t/10}$: elke slag ongeveer $10\,\%$ lager. In $t = 10$ is de omhullende $\eu^{-1} \approx 0.368$ — opnieuw de constante van [Probleem 23.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#pb-g12-exp-1). [Vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met zulke gedempte oplossingen ($y'' + a y' + b y = 0$) worden opgelost in het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen.

**19.** Een kracht die evenredig met de uitwijking terugtrekt geeft $y'' = -\omega^2 y$; en [Oefening 24.9](#exo-g12-trigo-9) toont dat de oplossingen van die [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) *precies* de combinaties van $\cos$ en $\sin$ zijn — bestaan door aanwijzing, uniciteit door de oefening: een trilling kan niet anders dan sinusvormig zijn.

**20.** Eén limiet ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, met ingesloten oppervlakten), twee [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), één [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$), en een wereld van klokken, snaren, stromen en getijden. Het sterretje: voor grote uitslagen is $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — het [rekenkundig-meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van [Probleem 20.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#pb-g12-seq-1) berekent de elliptische integraal in een handvol iteraties: de dagboeknotitie van Gauss en de slinger van Galilei, één formule van elkaar verwijderd.