--- title: "Integreren" book: "Wiskunde bovenbouw" subject: math language: nl chapter: 25 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren --- # Hoofdstuk 25 — Integreren Integreren beantwoordt twee vragen tegelijk: wat is de oppervlakte onder een kromme, en hoe haal je een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) terug uit haar veranderingssnelheid? De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat dat dezelfde vraag is — de diepste en nuttigste ontdekking van de zeventiende-eeuwse wiskunde. ## 25.1 De integraal van een continue functie **Definitie 25.1 (Integraal van een positieve functie).** Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) en positief op $\intcc{a}{b}$. De *integraal* $$ \int_a^b f(x)\,\dd x $$ is de oppervlakte, in oppervlakte-eenheden, van het gebied begrensd door de kromme van $f$, de $x$-as en de verticale rechten $x = a$ en $x = b$. ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-be957e4dcae1.svg) Voor een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) met willekeurig teken tellen de oppervlakten onder de $x$-as negatief mee; en men stelt $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$. ![Getekende oppervlakten: ∈t_02π x\, x = 0, want het gebied onder de as (rood) heft dat erboven (blauw) op.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-49f37058cc51.svg) *Getekende oppervlakten: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$, want het gebied onder de as (rood) heft dat erboven (blauw) op.* **Propositie 25.2 (Eigenschappen van de integraal).** Zij $f, g$ [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dat $a, b, c$ bevat, en $\lambda \in \R$. 1. *Lineariteit:* $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ . 2. *Relatie van Chasles:* $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . 3. *Positiviteit:* is $a \leq b$ en $f \geq 0$ op $\intcc{a}{b}$ , dan is $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; is $f \leq g$ , dan is $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . **Bewijs.** Chasles en de positiviteit volgen uit de duiding als oppervlakte (oppervlakten tellen op wanneer gebieden naast elkaar liggen). De ongelijkheid volgt door de positiviteit op $g - f$ toe te passen. De lineariteit is intuïtief duidelijk (stapel de oppervlakten) en wordt aan de universiteit streng bewezen; *hier wordt ze aangenomen*. ∎ ## 25.2 De hoofdstelling van de integraalrekening **Definitie 25.3 (Primitieve functie).** Een *primitieve functie* van $f$ op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ is een differentieerbare [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $F$ op $I$ waarvoor $F' = f$. **Propositie 25.4.** Is $F$ een [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) van $f$ op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$, dan zijn de [primitieve functies](#def-g12-integ-primitive) van $f$ op $I$ precies de [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $F + c$ met $c \in \R$. Bij gegeven $x_0 \in I$ en $y_0 \in \R$ is er precies één [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) met $F(x_0) = y_0$. **Bewijs.** Is $G' = F' = f$, dan is $(G - F)' = 0$ op het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$, dus is $G - F$ constant.[1](#fn-1) Omgekeerd is elke $F + c$ een [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive). De voorwaarde $F(x_0) = y_0$ legt de constante vast. ∎ **Stelling 25.5 (Hoofdstelling van de integraalrekening).** Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ en $a \in I$. De [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t $$ is de [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) van $f$ op $I$ die in $a$ verdwijnt. Bijgevolg geldt voor elke [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) $G$ van $f$ en alle $a, b \in I$: $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a). $$ ![Het idee van het bewijs: de aangroei F(x+h) - F(x) is de oppervlakte van de smalle oranje strook, ingeklemd tussen rechthoeken met hoogten f(x) en f(x+h) op basis h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-fc94b388b117.svg) *Het idee van het bewijs: de aangroei $F(x+h) - F(x)$ is de oppervlakte van de smalle oranje strook, ingeklemd tussen rechthoeken met hoogten $f(x)$ en $f(x+h)$ op basis $h$.* **Bewijs voor stijgende $f$.** Kies $x \in I$ en $h > 0$ met $x + h \in I$. Volgens Chasles is $$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t . $$ Omdat $f$ [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) is, geldt $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ voor $t \in \intcc{x}{x+h}$, en door integralen te vergelijken (de [integraal](#def-g12-integ-area) van een constante $c$ over een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) van lengte $h$ is $ch$): $$ h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h), $$ dus $$ f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h). $$ Voor $h \to 0^+$ is $f(x+h) \to f(x)$ door de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity), en de insluitstelling geeft dat het differentiequotiënt naar $f(x)$ streeft; het geval $h < 0$ verloopt symmetrisch. Bijgevolg is $F' = f$ en $F(a) = 0$. Het algemene (niet-monotone) continue geval wordt aan de universiteit bewezen. Ten slotte: is $G$ een willekeurige [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive), dan is $G = F + c$ ([Propositie 25.4](#prop-g12-integ-primunique)), zodat $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎ **Voorbeeld 25.6.** $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: de oppervlakte onder de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) is een derde van het eenheidsvierkant, zoals Archimedes wist. De tabel van [primitieve functies](#def-g12-integ-primitive) lees je af van de tabel van [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) ($u$ is een differentieerbare [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function), $c$ een willekeurige constante): | $f(x)$ | primitieve | $f$ | primitieve | | --- | --- | --- | --- | | $x^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | $u'u^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$ | | $\dfrac1x \ (x > 0)$ | $\ln x + c$ | $\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$ | $\ln u + c$ | | $\eu^x$ | $\eu^x + c$ | $u'\eu^u$ | $\eu^u + c$ | | $\cos x$ | $\sin x + c$ | $\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$ | $2\sqrt u + c$ | | $\sin x$ | $-\cos x + c$ | | | **Methode 25.7 (De vorm u′×(iets in u)u' \times (\text{iets in } u)u′×(iets in u) herkennen).** Zoek bij het integreren van een product naar een factor die, op een vermenigvuldigende constante na, de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) van een binnenfunctie $u$ is. Zo is in $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ de factor $x$ gelijk aan $\frac12 (x^2)'$: $$ \int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}. $$ **Stelling 25.8 (Partiële integratie).** Zij $u, v$ [differentieerbaar](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) op $\intcc{a}{b}$ met continue [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative). Dan geldt $$ \int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t . $$ **Bewijs.** De productregel geeft $(uv)' = u'v + uv'$; beide leden over $\intcc{a}{b}$ integreren en de hoofdstelling op het linkerlid toepassen levert $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$. ∎ **Voorbeeld 25.9.** $\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$: neem $u' = \eu^t$ en $v = t$, dus $u = \eu^t$ en $v' = 1$: $$ \int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ ## 25.3 Toepassingen **Definitie 25.10 (Gemiddelde waarde).** De *gemiddelde waarde* van een continue [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f$ op $\intcc{a}{b}$ ($a 0$. ∎ **Methode 25.12 (Oppervlakte tussen twee krommen).** Is $f \geq g$ op $\intcc{a}{b}$, dan is de oppervlakte tussen de twee krommen gelijk aan $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$. Kruisen de krommen elkaar, splits het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dan in de snijpunten en integreer $\abs{f - g}$ stuk voor stuk. ![De oppervlakte tussen de rechte y = x + 1 (rood) en de parabool y = x2 - 1 (blauw) is ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-d9b9464c2389.svg) *De oppervlakte tussen de rechte $y = x + 1$ (rood) en de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2 - 1$ (blauw) is $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$.* ## 25.4 Oefeningen **Oefening 25.1 ★.** Bereken $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} . $$ **Oplossing van Oefening 25.1.** $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}. $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 . $$ Met $u = 2t+1$ is $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$: $$ \int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}. $$ **Oefening 25.2 ★.** Zoek de [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) $F$ van $f(x) = x\eu^{x^2}$ op $\R$ waarvoor $F(0) = 1$. **Oplossing van Oefening 25.2.** $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ heeft als [primitieve functies](#def-g12-integ-primitive) $\frac12\eu^{x^2} + c$. De voorwaarde $F(0) = 1$ geeft $\frac12 + c = 1$, dus $$ F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}. $$ **Oefening 25.3 ★.** Bereken de [gemiddelde waarde](#def-g12-integ-mean) van $f(t) = \sin t$ op $\intcc{0}{\pi}$, en duid het resultaat op een [grafiek](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-graph). **Oplossing van Oefening 25.3.** $$ \mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 . $$ Grafisch heeft de rechthoek met basis $\intcc{0}{\pi}$ en hoogte $\frac{2}{\pi}$ dezelfde oppervlakte als de boog van de sinuskromme. **Oefening 25.4 ★★.** Bereken met [partiële integratie](#thm-g12-integ-ibp) $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{en}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t . $$ **Oplossing van Oefening 25.4.** Neem $u' = 1$ en $v = \ln t$, dus $u = t$ en $v' = \frac1t$: $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ Neem $u' = \sin t$ en $v = t$, dus $u = -\cos t$ en $v' = 1$: $$ \int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi . $$ **Oefening 25.5 ★★.** Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ en de rechte $y = x + 2$. **Oplossing van Oefening 25.5.** De krommen snijden elkaar waar $x^2 = x + 2$, dus in $x \in \{-1, 2\}$, en op $\intcc{-1}{2}$ ligt de rechte boven de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola). De oppervlakte is $$ \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}. $$ **Oefening 25.6 ★★.** Zij $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$. 1. Bereken $I$ . 2. Zij voor $n \in \N$ het getal $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Toon aan dat $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ en dat $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ . 3. Leid af dat $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ . **Oplossing van Oefening 25.6.** *1.* $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$. *2.* $$ I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}. $$ Op $\intcc{0}{1}$ is $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$, dus door [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$. *3.* Uit de recursie volgt, met een telescoperende inductie, $$ I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right), $$ dus $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (met $I_0 = \ln 2$). Omdat $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$, streeft de alternerende harmonische som naar $\ln 2$. **Oefening 25.7 ★★.** De snelheid van een trein (in m/s) gedurende de eerste $100$ seconden na het vertrek wordt gemodelleerd door $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$. Bereken de afgelegde afstand tijdens die $100$ seconden, en de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) snelheid van de trein over dat [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval). **Oplossing van Oefening 25.7.** Afstand: $$ d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}. $$ In getallen is $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. [Gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) snelheid: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s. **Oefening 25.8 ★★★.** Zij voor $n \geq 1$ de som $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$. 1. Duid $S_n$ als een oppervlakte van rechthoeken die een gebied onder de kromme van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ op $\intcc{0}{1}$ benaderen. 2. Toon met de monotonie van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ aan dat $$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$$ en leid $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ af. **Oplossing van Oefening 25.8.** *1.* $S_n$ is de totale oppervlakte van $n$ rechthoeken met breedte $\frac1n$ en hoogten $f\left(\frac kn\right)$ voor $k = 1, \dots, n$, waarbij $f(t) = \frac{1}{1+t}$: het is de rechthoekbenadering “met het rechteruiteinde” van de oppervlakte onder $f$ op $\intcc{0}{1}$. *2.* $f$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations), dus geldt op elk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ dat $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$; integreren en over $k$ sommeren geeft $$ S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}. $$ (De middelste term uit de opgave, met $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$, is precies die grens.) Bijgevolg is $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$, dus $S_n \to \ln 2$. **Oefening 25.9 ★★★.** *(Integralen van Wallis.)* Zij voor $n \in \N$ het getal $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$. 1. Bereken $W_0$ en $W_1$ . 2. Toon, door $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ te schrijven en partieel te integreren, aan dat $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ . 3. Leid $W_2$ , $W_3$ en $W_4$ af, en toon aan dat $(W_n)$ [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) en positief is. **Oplossing van Oefening 25.9.** *1.* $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ en $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$. *2.* Integreer partieel met $u' = \sin t$ en $v = \sin^{n+1} t$, dus $u = -\cos t$ en $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$: $$ W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t, $$ want de haak verdwijnt in beide uiteinden. Bijgevolg is $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$, dus $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$. *3.* $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$, $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$, $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$. Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ is $0 < \sin t < 1$, dus $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$, met strikte ongelijkheid binnenin; integreren geeft $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (zelfs $<$): $(W_n)$ is [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) en positief. ## 25.5 Opgave: Archimedes tegen de machine **Probleem 25.1.** Weekendopgave — de oppervlakte onder de parabool, op drie manieren berekend over tweeëntwintig eeuwen, en de geheime identiteit van de logaritme als oppervlakte Rond 240 v.Chr. berekende Archimedes de exacte oppervlakte van een parabolisch segment — zonder [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system), zonder limieten, zonder algebra. Negentien eeuwen later deden de rechthoeken van Riemann het over met brute insluiting; en de hoofdstelling van de integraalrekening ([Stelling 25.5](#thm-g12-integ-ftc)) doet het vandaag in één regel. Deze opgave speelt alle drie de wedstrijden, en gebruikt daarna dezelfde machine om te onthullen wat de [logaritme](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) werkelijk is: een oppervlakte met een schaalsymmetrie. **Deel I — Vlot rekenen.** 1. Bereken $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ en $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ . 2. Spot de vormen $u'u$ ( [Methode 25.7](#met-g12-integ-uprime) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ en $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ . 3. Met [partiële integratie](#thm-g12-integ-ibp) ( [Stelling 25.8](#thm-g12-integ-ibp) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ en $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ . 4. Bereken de [gemiddelde waarde](#def-g12-integ-mean) ( [Definitie 25.10](#def-g12-integ-mean) ) van $\sin$ over $\intcc{0}{\pi}$ — en merk op dat ze *niet* $\frac12$ is. 5. Bereken de oppervlakte tussen de rechte $y = x$ en de [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ over $\intcc{0}{1}$ ( [Methode 25.12](#met-g12-integ-areabetween) ). **Deel II — De [parabool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-parabola), op drie manieren.** 6. De opzet van Riemann voor de oppervlakte onder $y = x^2$ op $\intcc{0}{1}$ : schrijf de ondersom $L_n$ en de bovensom $U_n$ over $n$ gelijke rechthoeken op (zoals in [Oefening 25.8](#exo-g12-integ-8) ). 7. Bewijs met inductie (de machine van [Probleem 20.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#pb-g12-seq-1)) de formule voor de som van de kwadraten: $$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$ 8. Leid gesloten uitdrukkingen voor $U_n$ en $L_n$ af, bereken hun gemeenschappelijke limiet, en besluit: de oppervlakte is $\frac13$ . 9. En nu de machine: bereken $\int_0^1 x^2\,\dd x$ met de hoofdstelling, in één regel. Vergelijk de inspanningen. 10. Archimedes formuleerde het anders: *een parabolisch segment is $\frac43$ van zijn ingeschreven driehoek* . Bereken voor het segment dat de koorde van $(-1, 1)$ naar $(1, 1)$ uit $y = x^2$ snijdt: de oppervlakte van het segment met een [integraal](#def-g12-integ-area) , de oppervlakte van de ingeschreven driehoek (met top in $(0, 0)$ ), en ga de verhouding van de meester na. 11. De eigen methode van Archimedes: vul het segment met de grote driehoek $T$ , daarna met twee driehoeken die samen $\frac T4$ meten, daarna met vier die samen $\frac{T}{16}$ meten, enzovoort. Sommeer de meetkundige reeks en haal $\frac43 T$ terug — de eindeloos afgebeten chocoladereep uit het onderbouwvolume, opgegeten door een Griekse meetkundige. 12. Telkens één zin: uitputting (Archimedes), insluiting (Riemann), terugafleiden (Newton en Leibniz) — wat heeft elk nodig, en wat geeft elk? **Deel III — De [logaritme](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) is een oppervlakte.** Stel voor $x > 0$: $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$. 13. Geef $A(1)$ en $A'(x)$ ( [Stelling 25.5](#thm-g12-integ-ftc) ), en besluit dat $A$ precies de [natuurlijke logaritme](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) van [Definitie 23.5](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) is. 14. Het schaalwonder: kies $a > 0$ vast en bestudeer $g(x) = A(ax) - A(x)$. Bereken $g'$ (kettingregel), leid af dat $g$ constant is, bepaal die constante — en besluit tot de functionaalvergelijking $$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$$ bewezen met zuivere analyse: de oppervlakte van $1$ tot $ab$ valt uiteen in geschaalde kopieën. 15. Leid uit vraag 14 af: $\ln(a^n) = n\ln a$ en $\ln\frac1a = -\ln a$ . 16. [Oefening 25.8](#exo-g12-integ-8) leest $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ als rechthoeken onder $\frac{1}{1 + t}$ : bereken die som voor $n = 10$ (drie decimalen) en vergelijk met $\ln 2$ . Welke sommen met een harmonische smaak, term voor term divergent, convergeren hier naar een oppervlakte? **Deel IV — Opstapelen.** 17. Een auto versnelt met snelheid $v(t) = 3t^2$ m/s voor $t \in \intcc{0}{10}$ . Bereken de afgelegde afstand, de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) snelheid, en het ogenblik waarop de ogenblikkelijke snelheid gelijk is aan de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) snelheid. 18. Een staaf van $4$ meter heeft lineaire dichtheid $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Bereken haar totale massa en haar massamiddelpunt $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — het evenwichtspunt van de kartonnen driehoek uit het onderbouwvolume, eindelijk berekend met gewichten die variëren. 19. De integralen van Wallis ( [Oefening 25.9](#exo-g12-integ-9) ): bereken $W_0$ , $W_1$ en $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ met de linearisatie uit [Probleem 24.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#pb-g12-trigo-1) . (Hun oneindige ladder klimt in de universitaire volumes naar een productformule voor $\pi$ en naar de normalisatie van de klokkromme.) 20. Slotstuk — de drie gezichten van het integreren: een *oppervlakte* per definitie, een *opstapeling* in de wereld (afstand, massa), en een *[primitieve functie](#def-g12-integ-primitive)* volgens de hoofdstelling; en de geschiedenis ervan in drie namen. Sluit af met de parel van dit hoofdstuk: welke alledaagse toets op de rekenmachine is in het geheim de oppervlakte onder $\frac1t$ — en welke identiteit bewees die oppervlakte? **Oplossing van Probleem 25.1.** **1.** $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$. **2.** $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$. **3.** $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. En $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$. **4.** $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$: de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) hoogte van de sinusboog is $\frac2\pi$, merkbaar meer dan een half — de boog is dik bij haar top. **5.** $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$. **6.** $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ en $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$: rechthoeken met breedte $\frac1n$ waarvan de hoogte in het linkeruiteinde (onder de kromme) of het rechteruiteinde (erboven) wordt afgelezen. **7.** Waar voor $n = 1$ ($1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$). Geldt ze voor $n$, dan geeft $(n+1)^2$ erbij optellen $$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, $$ de formule voor $n + 1$: erfelijkheid, klaar. **8.** $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$, en $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$: ingeklemd tussen haar trappen is de oppervlakte precies $\frac13$. **9.** $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: één regel. De hoofdstelling zet een oneindige insluiting om in het invullen van één [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) — en daarom heet ze de hoofdstelling. **10.** Segment: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$. Driehoek met als basis de koorde (lengte $2$, op hoogte $1$) en top $(0,0)$: oppervlakte $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$. Verhouding: $\frac43$ — precies de stelling van Archimedes, nagegaan met de machine die hij niet had. **11.** $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (meetkundige reeks met [reden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric) $\frac14$): met $T = 1$ opnieuw de oppervlakte $\frac43$ van het segment. Archimedes sommeerde de reeks met een zuiver [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) argument — de kwarthappen van het chocoladereeptype, twee millennia voordat limieten woorden waren. **12.** De uitputting vraagt een vernuftige meetkundige gelijkvormigheid en geeft geval per geval exacte oppervlakten; Riemann vraagt alleen monotonie en geeft een universele definitie, tegen de prijs van sommen berekenen; en de hoofdstelling vraagt het hele bouwwerk van de [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) en betaalt dat terug door oppervlakten tot berekeningen van één regel te maken. **13.** $A(1) = 0$ en $A'(x) = \frac1x$ (hoofdstelling): $A$ is de [primitieve functie](#def-g12-integ-primitive) van $\frac1x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ die in $1$ verdwijnt — en dat is precies de [natuurlijke logaritme](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln). **14.** $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$: $g$ is constant; in $x = 1$ is $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$. Bijgevolg is $A(ax) = A(a) + A(x)$ voor alle $x$, en met $x = b$: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. De oppervlakte onder de [hyperbool](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-reference) trekt zich niets aan van de horizontale schaal: $t$ met $a$ uitrekken drukt $\frac1t$ met $a$ samen, en de oppervlakte overleeft — [logaritmen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) optellen is een schaalsymmetrie. **15.** Herhalen geeft $\ln(a^n) = n\ln a$ (inductie op $n$). En $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$, dus $\ln\frac1a = -\ln a$. **16.** $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$, tegenover $\ln 2 \approx 0.693$: tien rechthoeken onder $\frac{1}{1+t}$, en al dichtbij. De harmonische reeks divergeert, maar haar *plakken* van $n$ tot $2n$ zetten zich vast op $\ln 2$: divergentie op slakkentempo, gemeten door een oppervlakte. **17.** Afstand: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. [Gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) snelheid: $100$ m/s. Het ogenblik met $v = 100$: $3t^2 = 100$, dus $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s. **18.** Massa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Moment: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$. Massamiddelpunt: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — voorbij het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) geduwd door het zwaardere rechteruiteinde, zoals de intuïtie eist. **19.** $W_0 = \frac\pi2$; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$; en $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$. **20.** Oppervlakte: de definitie, ingeklemd door trappen. Opstapeling: afstanden uit snelheden, massa’s uit dichtheden — de [integraal](#def-g12-integ-area) als lopend totaal. [Primitieve functie](#def-g12-integ-primitive): de hoofdstelling, de sluipweg van Newton en Leibniz door het geduld van Archimedes heen. De parel: de toets $\ln$ is de oppervlakte onder $\frac1t$, en de schaalsymmetrie van die oppervlakte *is* de identiteit $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. 1. Dat een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) met [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) nul op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) constant is, volgt uit [Stelling 22.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#thm-g12-deriv-variations) : ze is zowel [stijgend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-monotonic) als [dalend](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-variations) . [↩](#fnref-1)