---
title: "Differentiaalvergelijkingen"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/26-differentiaalvergelijkingen
---

# Hoofdstuk 26 — Differentiaalvergelijkingen

Een [differentiaalvergelijking](#def-g12-diffeq-ode) verbindt een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) met haar [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative). De natuurkunde, de scheikunde, de biologie en de economie drukken hun wetten in die vorm uit: de afkoelsnelheid van een lichaam, het verval van een radioactieve kern en de groei van een populatie zijn alle uitspraken over $y'$. Dit hoofdstuk lost de lineaire [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de eerste orde met constante coëfficiënten volledig op.

## 26.1 De vergelijking $y' = ay$

**Definitie 26.1 (Differentiaalvergelijking).**

Een *differentiaalvergelijking* is een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $y$ als onbekende, waarin $y$ en haar [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) voorkomen. Een *oplossing* op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ is een differentieerbare [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) die in elk punt van $I$ aan de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) voldoet.

**Stelling 26.2 (Oplossingen van y′=ayy' = ayy′=ay).**

Zij $a \in \R$. De oplossingen op $\R$ van de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ zijn precies de [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

Voor elk paar $(x_0, y_0)$ is er precies één oplossing met $y(x_0) = y_0$.

**Bewijs.** Elke $y = C\eu^{ax}$ voldoet aan $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. Omgekeerd, zij $y$ een willekeurige oplossing en stel $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. Dan is

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

dus is $z$ constant, zeg $C$, en $y(x) = C\eu^{ax}$. De beginvoorwaarde $y(x_0) = y_0$ legt $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ ondubbelzinnig vast. ∎

**Opmerking 26.3.**

De [exponentiële functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#thm-g12-exp-existence) wordt dus *gekenmerkt* door de eenvoudigste van alle [differentiaalvergelijkingen](#def-g12-diffeq-ode): groei evenredig met de omvang. Daarom duikt ze overal in de natuur op.

![De vergelijking y' = y schrijft in elk punt van het vlak een richtingscoëfficiënt voor (de grijze streepjes). De oplossingen C x — hier C = 1 (blauw), C = 0.3 (rood) en C = -0.5 (oranje) — zijn precies de krommen die dat veld van richtingen volgen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ schrijft in elk punt van het vlak een [richtingscoëfficiënt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/4-referentiefuncties#def-g10-reffunc-affine) voor (de grijze streepjes). De oplossingen $C\eu^{x}$ — hier $C = 1$ (blauw), $C = 0.3$ (rood) en $C = -0.5$ (oranje) — zijn precies de krommen die dat veld van richtingen volgen.*

**Voorbeeld 26.4 (Radioactief verval).**

Een radioactieve hoeveelheid voldoet aan $N' = -\lambda N$ met $\lambda > 0$, dus $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$; zie [Voorbeeld 23.9](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#ex-g12-exp-halflife) voor de halveringstijd.

## 26.2 De vergelijking $y' = ay + b$

**Stelling 26.5 (Oplossingen van y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

Zij $a \neq 0$ en $b \in \R$. De oplossingen op $\R$ van $y' = ay + b$ zijn precies de [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

De constante [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $y_p = -\frac ba$ is de *evenwichtsoplossing*. Voor elke $(x_0, y_0)$ is er precies één oplossing met $y(x_0) = y_0$; en is $a < 0$, dan streeft elke oplossing voor $x \to +\infty$ naar het evenwicht $-\frac ba$.

**Bewijs.** De constante $y_p = -\frac{b}{a}$ voldoet aan $y_p' = 0 = a y_p + b$. Nu is $y$ een oplossing dan en slechts dan als

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

dus dan en slechts dan als $z = y - y_p$ voldoet aan $z' = az$. Volgens [Stelling 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) is $z = C\eu^{ax}$, waaruit de formule, het bestaan en de uniciteit volgen. Is $a < 0$, dan is $\eu^{ax} \to 0$ voor $x \to +\infty$, dus $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**Methode 26.6 (y′=ay+by' = ay + by′=ay+b met een beginvoorwaarde oplossen).**

1. Zoek de evenwichtsoplossing $y_p = -\frac{b}{a}$ (los $y' = 0$ op).
2. Schrijf de algemene oplossing $y = C\eu^{ax} + y_p$ op.
3. Bepaal $C$ uit de beginvoorwaarde.
4. Toets het gedrag op lange termijn aan de fysische intuïtie ( [convergeert](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-limit) de oplossing naar het evenwicht?).

Dezelfde strategie — *een particuliere oplossing plus de algemene oplossing van de homogene [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation)* — gaat door voor $y' = ay + f(x)$: zie [Propositie 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**Voorbeeld 26.7 (Afkoelingswet van Newton).**

Een kop koffie van $80\,^\circ$C staat in een kamer van $20\,^\circ$C. De wet van Newton zegt dat de temperatuur $T$ voldoet aan $T' = -k(T - 20)$ voor een zekere $k > 0$, dus $T' = -kT + 20k$. Het evenwicht is $20$, en $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: de koffie koelt exponentieel snel af tot kamertemperatuur.

![Wat hun begintemperatuur ook is, alle oplossingen van T' = -k(T - 20) convergeren exponentieel naar het evenwicht T = 20.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-991d9d575e13.svg)

*Wat hun begintemperatuur ook is, alle oplossingen van $T' = -k(T - 20)$ convergeren exponentieel naar het evenwicht $T = 20$.*

## 26.3 De vergelijking $y' = ay + f(x)$

**Propositie 26.8 (Structuur van de oplossingsverzameling).**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ en zij $y_p$ één particuliere oplossing van

$$
y' = ay + f(x)
$$

op $I$. Dan zijn de oplossingen op $I$ precies de [functies](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $y = C\eu^{ax} + y_p$ met $C \in \R$.

**Bewijs.** Zoals in [Stelling 26.5](#thm-g12-diffeq-affine): $y$ is een oplossing dan en slechts dan als $z = y - y_p$ voldoet aan $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$, dus dan en slechts dan als $z = C\eu^{ax}$. ∎

**Methode 26.9 (Een particuliere oplossing raden).**

Zoek een particuliere oplossing *van dezelfde gedaante* als $f$:

- is $f$ een veelterm van graad $n$ : probeer een veelterm van graad $n$ ;
- is $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ met $k \neq a$ : probeer $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
- is $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (het resonante geval): probeer $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Vul in de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) in en stel de coëfficiënten gelijk.

**Voorbeeld 26.10.**

Los $y' = 2y + 4x$ op. Probeer $y_p = \alpha x + \beta$: uit $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ voor alle $x$ volgt $2\alpha + 4 = 0$ en $\alpha = 2\beta$, dus $\alpha = -2$ en $\beta = -1$. Algemene oplossing: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 Oefeningen

**Oefening 26.1 ★.**

Los op op $\R$: (a) $y' = 3y$ met $y(0) = 2$; (b) $2y' + y = 0$ met $y(0) = -1$; (c) $y' = -y + 5$ met $y(0) = 0$.

**Oplossing van Oefening 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$; $y(0) = 2$ geeft $y = 2\eu^{3x}$.

*(b)* $y' = -\frac12 y$, dus $y = C\eu^{-x/2}$; $y(0) = -1$ geeft $y = -\eu^{-x/2}$.

*(c)* Evenwicht $y_p = 5$; $y = C\eu^{-x} + 5$; $y(0) = 0$ geeft $C = -5$: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**Oefening 26.2 ★.**

Een bacteriepopulatie groeit met een snelheid evenredig met haar omvang en verdubbelt elke $3$ uur. Schrijf de [differentiaalvergelijking](#def-g12-diffeq-ode) op waaraan de populatie $N(t)$ voldoet, en bepaal de evenredigheidsconstante.

**Oplossing van Oefening 26.2.**

$N' = kN$, dus $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. Verdubbelen in $3$ uur betekent $\eu^{3k} = 2$, dus

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{u}^{-1}.
$$

**Oefening 26.3 ★.**

Ga na dat $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ een oplossing is van $y' = y + \eu^x$, en geef alle oplossingen op $\R$.

**Oplossing van Oefening 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: $y_p$ is een particuliere oplossing (het resonante geval van [Methode 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). Volgens [Propositie 26.8](#prop-g12-diffeq-general) zijn de oplossingen $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ met $C \in \R$.

**Oefening 26.4 ★★.**

Los $y' = -2y + \eu^{x}$ op met $y(0) = 1$. (Tip: zoek een particuliere oplossing van de vorm $\beta\,\eu^{x}$.)

**Oplossing van Oefening 26.4.**

Probeer $y_p = \beta\eu^x$: uit $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ volgt $3\beta = 1$, dus $y_p = \frac13\eu^x$. Algemene oplossing $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$; de voorwaarde $y(0) = 1$ geeft $C = \frac23$:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**Oefening 26.5 ★★.**

Koolstof-14 vervalt met een halveringstijd van $5730$ jaar. Een archeologisch monster bevat $60\%$ van de koolstof-14 van een levend organisme. Schat zijn ouderdom.

**Oplossing van Oefening 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ met $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([Voorbeeld 23.9](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#ex-g12-exp-halflife)). We lossen $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ op:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ jaar}.
$$

**Oefening 26.6 ★★.**

Een tank bevat $100$ L zuiver water. Pekel met $0.2$ kg zout per liter stroomt binnen met $5$ L/min, en het (voortdurend gemengde) mengsel stroomt met dezelfde snelheid weg. Zij $m(t)$ de massa zout in de tank op tijdstip $t$ (in minuten).

1. Verantwoord dat $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. Los op, en bepaal de limiet van $m(t)$ voor $t \to +\infty$ . Duid het resultaat.

**Oplossing van Oefening 26.6.**

*1.* Er stroomt $0.2 \times 5 = 1$ kg zout per minuut binnen. De uitstroom voert een concentratie $\frac{m}{100}$ kg/L af met $5$ L/min, dus $\frac{m}{20}$ kg/min. Bijgevolg is $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* Evenwicht $m_p = 20$; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, en $m(0) = 0$ geeft $C = -20$:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

Op lange termijn is de concentratie in de tank gelijk aan die van de binnenstromende pekel: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**Oefening 26.7 ★★.**

Een parachutespringster van $80$ kg valt onder invloed van de zwaartekracht ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) en van luchtweerstand evenredig met de snelheid, zodat haar snelheid voldoet aan $v' = g - \frac{k}{m}v$ met $k = 16$ kg/s.

1. Los de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op met $v(0) = 0$ .
2. Bereken de *eindsnelheid* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , en de tijd die nodig is om $95\%$ ervan te bereiken.

**Oplossing van Oefening 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ met $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. Evenwicht $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, en $v(0) = 0$ geeft

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* Eindsnelheid $49$ m/s ($\approx 176$ km/u). We willen $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$, dus $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**Oefening 26.8 ★★★.**

*(Logistische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation).)* Een populatie $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (uitgedrukt als fractie van de maximale populatie) voldoet aan

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. Zij $z = \dfrac{1}{y}$ . Toon aan dat $z$ voldoet aan de lineaire [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $z' = -z + 1$ .
2. Los op naar $z$ , en daarna naar $y$ , met $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. Toon aan dat $y(t) \to 1$ voor $t \to +\infty$ en schets de vorm van de oplossingskromme.

**Oplossing van Oefening 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ geeft $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y}
= -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* Evenwicht $z_p = 1$, dus $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. Uit $y(0) = \frac{1}{10}$ volgt $z(0) = 10$, dus $C = 9$ en

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* Voor $t \to +\infty$ is $9\eu^{-t} \to 0$ en $y(t) \to 1$. De kromme is de klassieke S-vormige (*sigmoïde*) logistische kromme: eerst trage groei ($y$ klein, $y' \approx y$), de snelste groei bij $y = \frac12$ (waar $y' = y(1-y)$ maximaal is), en daarna verzadiging naar de draagkracht $1$.

**Oefening 26.9 ★★★.**

Zij $y$ een oplossing van $y' = ay + b$ en zij $u_n = y(n)$ voor $n \in \N$. Toon aan dat $(u_n)$ voldoet aan een affiene recursie $u_{n+1} = q u_n + r$, en druk $q$ en $r$ uit in $a$ en $b$. Waarmee stemt de voorwaarde $\abs{q} < 1$ overeen voor de [differentiaalvergelijking](#def-g12-diffeq-ode)?

**Oplossing van Oefening 26.9.**

Volgens [Stelling 26.5](#thm-g12-diffeq-affine) is $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. Bijgevolg is

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

met $q = \eu^{a}$ en $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. De voorwaarde $\abs q < 1$ betekent $\eu^a < 1$, dus $a < 0$: precies de voorwaarde waaronder de oplossingen van de [differentiaalvergelijking](#def-g12-diffeq-ode) naar het evenwicht $-\frac ba$ convergeren — en inderdaad is het vaste punt van de recursie $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 Opgave: de klok in de dingen

**Probleem 26.1.**

Weekendopgave — koolstof-14 dateert de grotten, de afkoelingswet van Newton klokt een misdaad, en één kleine vergelijking draagt vier kostuums

Een [differentiaalvergelijking](#def-g12-diffeq-ode) is een wet van verandering; haar oplossen maakt van die wet een *klok*. Diezelfde kleine [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $y' = ay + b$ ([Stelling 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) tikt in prehistorische houtskool, in afkoelende koffie, in vallende regendruppels en in ziekenhuisinfusen — en die klokken aflezen is het werk van deze opgave: ze dateert de schilderingen van Lascaux, legt een tijdstip van overlijden vast, en controleert haar eigen aannames zoals een goede wetenschapper betaamt.

**Deel I — Vlot rekenen.**

1. Los $y' = 3y$ met $y(0) = 2$ op; en daarna $y' = -2y + 6$ met $y(0) = 0$ ( [Methode 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. Leid de uniciteitstruc achter [Stelling 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) opnieuw af: bereken voor $y' = ay$ de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-derivative) van $y(t)\,\eu^{-at}$ en besluit dat *elke* oplossing $C\eu^{at}$ is.
3. Zoek voor $y' = -2y + 6$ de evenwichtsoplossing, en beschrijf het lot van elke andere oplossing voor $t \to +\infty$ . (De vaste punten van de recursies uit [Probleem 13.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#pb-g11-seq-1) , maar dan [continu](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/21-limieten-en-continuiteit#def-g12-limcont-continuity) .)
4. Toon voor de vervalwet $y' = -\frac{y}{\tau}$ aan dat de halveringstijd $t_{1/2} = \tau \ln 2$ is.
5. Schets (of beschrijf) de familie oplossingen van $y' = -2y + 6$ : wat doen de oplossingen die boven $3$ starten? En die eronder? En die op $3$ ?

**Deel II — Koolstof-14.** Levend weefsel houdt een constante verhouding radioactieve koolstof-14 aan; bij het overlijden stopt de opname en vervalt de voorraad: $N' = -\lambda N$, met halveringstijd $5\,730$ jaar.

6. Bereken $\lambda$ (per jaar).
7. Een bot bevat nog $20\,\%$ van de verhouding van levend weefsel: hoe oud is het?
8. Houtskool uit de beschilderde grotten van Lascaux bevat er nog ongeveer $15\,\%$ : dateer de schilderingen.
9. De ijsmummie Ötzi, gevonden in een Alpengletsjer, mat ongeveer $53\,\%$ : dateer hem (de archeologen zeggen ongeveer $5\,300$ jaar — hoe deed jij het?).
10. Waarom kan koolstof-14 geen dinosauriërs dateren? Bereken de fractie die na tien halveringstijden overblijft, geef de fractie na $65$ miljoen jaar als een macht van $2$ , en besluit.
11. Foutenmarges: is de $53\,\%$ van Ötzi slechts tot op $\pm 1\,\%$ bekend, bereken dan het ouderdomsbereik. Welke nauwkeurigheid in het labo koopt welke nauwkeurigheid in de datering?

**Deel III — De afkoeling van Newton, en een misdaad.** Een lichaam met temperatuur $T$ in een omgeving met constante $T_a$ koelt af volgens $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. Los de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op (substitueer $z = T - T_a$): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. Koffie die op $90\,^\circ$ C wordt uitgeschonken in een kamer van $20\,^\circ$ C staat na $5$ minuten op $70\,^\circ$ C. Bepaal $k$ , en daarna de wachttijd tot de drinkbare $55\,^\circ$ C.
14. De melkvraag: om over tien minuten de warmst mogelijke koffie te drinken, moet de koude melk er nu in of pas op het laatste ogenblik? Antwoord met de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) (wat doet melk toevoegen met het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) $T - T_a$ , en hoe stuurt dat [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) het verlies aan?).
15. Forensisch onderzoek: om middernacht wordt een lichaam gevonden van $30\,^\circ$ C in een kamer van $20\,^\circ$ C; een uur later meet het $28\,^\circ$ C. Neem $37\,^\circ$ C aan op het ogenblik van overlijden, haal $k$ uit de twee metingen, en bereken daarna het tijdstip van overlijden.
16. Controleer de klok van de wetsdokter: noem drie manieren waarop de werkelijkheid de aannames van het model schendt, en de richting waarin elk het geschatte tijdstip van overlijden zou vertekenen.

**Deel IV — Vier kostuums en een S-kromme.**

17. De logistische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van [Oefening 26.8](#exo-g12-diffeq-8) , $y' = y(1 - y)$ met $y(0) = 0.1$ : leid met de substitutie van die oefening af dat $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ , en zoek het tijdstip van het [buigpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ — de datum van de epidemioloog uit [Probleem 22.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#pb-g12-deriv-1) , nu berekenbaar.
18. Een regendruppel voldoet aan $v' = 10 - \frac v2$ (zwaartekracht min weerstand) met $v(0) = 0$ . Zoek de eindsnelheid, los op naar $v(t)$ , en bereken wanneer de druppel $95\,\%$ van de eindsnelheid haalt.
19. Een ziekenhuisinfuus dient een geneesmiddel toe met een constant debiet terwijl het lichaam het evenredig verwijdert: $c' = 4 - 0.5c$ met $c(0) = 0$ . Zoek de evenwichtsconcentratie en de tijd om de helft ervan te bereiken. Formuleer in één zin de overeenkomst met de leningrecursies uit [Oefening 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. Slotstuk — één [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) , vier kostuums: verval, afkoeling, vallen en doseren, alle $y' = ay + b$ met andere tekens en andere namen. Herhaal de modelleerlus die deze opgave vier keer doorliep (wet $\to$ [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $\to$ oplossing $\to$ ijking $\to$ voorspelling $\to$ controle), en noem het verschijnsel dat $y''$ nodig heeft — en welke opgave het al ontmoette.

**Oplossing van Probleem 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. Voor de tweede: evenwicht $3$, dus $y = 3 + C\eu^{-2t}$ met $y(0) = 0$, waaruit $C = -3$: $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} =
(y' - ay)\eu^{-at} = 0$: het product is een constante $C$, dus $y = C\eu^{at}$ — geen enkele oplossing ontsnapt.

**3.** Evenwicht: $y \equiv 3$. Elke andere oplossing is $3 + C\eu^{-2t}$ met $C \neq 0$: de exponentiële term sterft uit en de oplossing glijdt naar $3$ — een stabiel [vast punt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#pb-g10-functions-1), de continue tweelingbroer van de vaste punten van de recursies uit [Probleem 13.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ halveert wanneer $\eu^{-t/\tau} =
\frac12$: $t = \tau\ln 2$.

**5.** Alle oplossingen zijn verticale verschuivingen van het verval naar $3$: die erboven starten zakken naar $3$, die eronder starten stijgen naar $3$, en de constante oplossing $3$ blijft liggen — een trechter rond het evenwicht.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ per jaar.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$: $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx
13\,300$ jaar.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ jaar: de stieren van Lascaux dateren uit de late ijstijd.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ jaar: binnen een mensenleven van de waarde van de archeologen — de klok werkt.

**10.** Tien halveringstijden laten $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ over: aan de rand van het meetbare. Na $65$ miljoen jaar is de fractie $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$: van de oorspronkelijke voorraad blijft in geen enkel fossiel één atoom over — dinosauriërs worden met tragere klokken gedateerd (kalium-argon en verwanten).

**11.** $52\,\%$ geeft ongeveer $5\,405$ jaar en $54\,\%$ ongeveer $5\,095$: de $\pm 1\,\%$ van de scheikunde wordt ruwweg $\pm 155$ jaar geschiedenis — nauwkeurigheid in het labo is nauwkeurigheid op het bordje in het museum.

**12.** $z = T - T_a$ voldoet aan $z' = -kz$: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$, en $T = T_a + z$.

**13.** Het beginverschil is $T_0 - T_a = 70$; na vijf minuten is het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) $70 - 20 = 50$, dus $50 = 70\eu^{-5k}$: $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ per minuut. Drinkbaar: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$, dus $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minuten.

**14.** De snelheid van het verlies is evenredig met het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) $T - T_a$: gloeiend hete koffie bloedt het snelst warmte weg. De melk *nu* toevoegen snijdt het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) meteen weg, zodat er over de tien minuten minder warmte verloren gaat; ze op het einde toevoegen laat de koffie eerst op volle snelheid afkoelen. Voor de warmste kop: eerst de melk. (Ongeduldige gastheren hebben de thermodynamica omgekeerd.)

**15.** Verschillen met de omgeving: om middernacht $10$, een uur later $8$: $\eu^{-k} = 0.8$, dus $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ per uur. Bij het overlijden was het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) $17$; het zakte tot $10$ tegen middernacht: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ uur. Tijdstip van overlijden: rond 21.40 uur.

**16.** Een verwarmde of tochtige kamer ($T_a$ niet constant) buigt de klok naar beide kanten; kleding of lichaamsmassa verandert $k$ (de tabellen van de wetsdokter corrigeren daarvoor) — een verkeerde $k$ schaalt het hele [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval); en een lichaam dat elders vandaan komt zet $T_a$ halverwege het verval opnieuw, wat een vroeger of later overlijden voorspiegelt. De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) is eerlijk; het risico zit in de aannames.

**17.** $z = \frac1y$ voldoet aan $z' = 1 - z$: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (uit $z(0) = 10$), dus $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. [Buigpunt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/22-afgeleiden-en-convexiteit#def-g12-deriv-inflection) in $y = \frac12$: $9\eu^{-t} = 1$, dus $t = \ln 9 \approx 2.2$ — de keerdatum van de epidemie, rechtstreeks uit de formule.

**18.** Eindsnelheid: $v' = 0$ in $v = 20$ m/s. Oplossing: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. Dan $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$, dus $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — regendruppels halen hun kruissnelheid binnen enkele seconden, en daarom is regen niet dodelijk.

**19.** Evenwicht: $c = 8$. De helft ervan: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$, dus $\eu^{-t/2} = \frac12$ en $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ uur. Het infuus is de continue tweelingbroer van de lening: een constante instroom en een evenredige uitstroom — [Oefening 26.9](#exo-g12-diffeq-9) maakt het woordenboek exact.

**20.** Verval ($a < 0$, $b = 0$), afkoeling ($y = T - T_a$), vallen ($a < 0$, $b > 0$: het evenwicht van onderaf naderen) en doseren (hetzelfde, in een ader): één [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation), vier werelden. De lus: formuleer de wet van verandering; schrijf de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op; los ze op ([Methode 26.6](#met-g12-diffeq-solve)); ijk de constanten op metingen; voorspel; en controleer daarna de aannames (vraag 16). Een trilling vraagt $y'' = -\omega^2 y$ — ontmoet, opgelost en aan het schommelen gebracht in [Probleem 24.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#pb-g12-trigo-1).