---
title: "Complexe getallen"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 28
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/28-complexe-getallen
---

# Hoofdstuk 28 — Complexe getallen

De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ heeft geen reële oplossing. Breid je $\R$ uit met één enkel nieuw getal $\iu$ waarvan het kwadraat $-1$ is, dan krijg je het lichaam $\C$ van de [complexe getallen](#def-g12-complex-def), waarin *elke* veeltermvergelijking oplossingen heeft — en waarvan de rekenkunde de meetkunde van het vlak codeert: verschuivingen, draaiingen en vermenigvuldigingen worden optellingen en producten.

## 28.1 Algebraïsche vorm

**Definitie 28.1 (Complexe getallen).**

De verzameling van de *complexe getallen* is

$$
\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},
$$

waarbij $\iu$ een symbool is dat aan de enkele regel $\iu^2 = -1$ voldoet; optellen en vermenigvuldigen gebeuren zoals bij reële veeltermen in $\iu$, waarna $\iu^2$ tot $-1$ herleid wordt. De [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) $a$ en $b$ zijn het *reële deel* $\Rea(z)$ en het *imaginaire deel* $\Ima(z)$ van $z = a + \iu b$; deze uitdrukking is de *algebraïsche vorm* van $z$, en ze is uniek: $a + \iu b = a' + \iu b'$ als en slechts als $a = a'$ en $b = b'$.

**Voorbeeld 28.2.**

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$.

**Definitie 28.3 (Complex toegevoegde).**

De *complex toegevoegde* van $z = a + \iu b$ is $\conj{z} = a - \iu b$.

**Propositie 28.4 (Eigenschappen van de toevoeging).**

Voor alle $z, w \in \C$ geldt

$$
\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad
\conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad
\conj{\conj z} = z, \quad
z + \conj z = 2\Rea(z), \quad
z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),
$$

en $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ voor $z = a + \iu b$. Bovendien is $z \in \R$ als en slechts als $z = \conj z$.

**Bewijs.** Alles volgt rechtstreeks uit de [algebraïsche vormen](#def-g12-complex-def); bijvoorbeeld $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎

**Methode 28.5 (Complexe getallen delen).**

Om een quotiënt in [algebraïsche vorm](#def-g12-complex-def) te schrijven, vermenigvuldig je teller en noemer met de [complex toegevoegde](#def-g12-complex-conjugate) van de noemer:

$$
\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5}
= \frac25 - \frac15\iu .
$$

Elk [complex getal](#def-g12-complex-def) verschillend van nul heeft dus een inverse: $\C$ is een *lichaam*.

## 28.2 Het complexe vlak, modulus en argument

**Definitie 28.6 (Beeldgetal, modulus).**

In het vlak met een [orthonormaal assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) is het punt $M(a, b)$ het *beeldpunt* van $z = a + \iu b$, en is $z$ het *beeldgetal* van $M$. De *modulus* van $z$ is de afstand van $M$ tot de oorsprong:

$$
\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
$$

![Het punt M(a,b) met beeldgetal z: de modulus z is de lengte OM, en de complex toegevoegde z is het spiegelbeeld van z om de reële as.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg)

*Het punt $M(a,b)$ met [beeldgetal](#def-g12-complex-modulus) $z$: de [modulus](#def-g12-complex-modulus) $\abs z$ is de lengte $OM$, en de [complex toegevoegde](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ is het spiegelbeeld van $z$ om de reële as.*

**Propositie 28.7 (Eigenschappen van de modulus).**

Voor $z, w \in \C$ geldt

$$
\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad
\abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad
\abs{\conj z} = \abs z,
$$

$$
\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \qquad \text{(driehoeksongelijkheid)}.
$$

Bovendien is $\abs{z_B - z_A}$ de afstand tussen de punten met beeldgetallen $z_A$ en $z_B$.

**Bewijs.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ geeft de eerste; de tweede en de derde gaan net zo. Voor de driehoeksongelijkheid:

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w)
\leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w}
= \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,
$$

waarbij $\Rea(u) \leq \abs u$ gebruikt wordt. De uitspraak over de afstand is de formule van Pythagoras toegepast op de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van $z_B - z_A$. ∎

**Definitie 28.8 (Argument, goniometrische en exponentiële vorm).**

Zij $z \neq 0$. Een *argument* van $z$, genoteerd $\Arg(z)$, is elke maat $\theta$ van de hoek van de positieve reële as naar de halfrechte $OM$; het ligt vast op $2k\pi$ na. Met $r = \abs z$ is

$$
z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta)
\qquad\text{(goniometrische vorm)}.
$$

Voer je de notatie

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta
$$

in, dan wordt dit de *exponentiële vorm* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$.

![Exponentiële vorm: z ligt vast door zijn afstand r tot de oorsprong en de hoek vanaf de positieve reële as.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg)

*[Exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument): $z$ ligt vast door zijn afstand $r$ tot de oorsprong en de hoek $\theta$ vanaf de positieve reële as.*

**Stelling 28.9.**

Voor alle $\theta, \theta' \in \R$ geldt

$$
\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')},
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .
$$

Bijgevolg geldt voor $z = r\eu^{\iu\theta}$ en $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ verschillend van nul:

$$
zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')},
\qquad
\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :
$$

*moduli vermenigvuldigen zich, [argumenten](#def-g12-complex-argument) tellen op.*

**Bewijs.** De eerste identiteit *is* het paar somformules ([Propositie 24.3](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#prop-g12-trigo-addition)):

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta')
= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta')
+ \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').
$$

De rest volgt uit een rechtstreekse berekening. ∎

**Gevolg 28.10 (Formule van De Moivre).**

Voor $\theta \in \R$ en $n \in \Z$ geldt $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$.

**Bewijs.** Inductie op $n \geq 0$ met [Stelling 28.9](#thm-g12-complex-expform); breid uit naar $n < 0$ door inversen te nemen. ∎

**Methode 28.11 (Van de ene vorm naar de andere).**

Van algebraïsch naar exponentieel: bereken $r = \abs z$ en zoek daarna $\theta$ met $\cos\theta = \frac ar$ en $\sin\theta = \frac br$ (bepaal eerst het juiste kwadrant voordat je een inverse [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#def-g12-trigo-cossin) inroept). Van exponentieel naar algebraïsch: werk $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$ uit. Gebruik de [algebraïsche vorm](#def-g12-complex-def) voor sommen en de [exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument) voor producten, machten en quotiënten.

**Voorbeeld 28.12.**

$z = 1 + \iu$: $\abs z = \sqrt2$ en $\cos\theta = \sin\theta =
\frac{1}{\sqrt2}$, dus $\theta = \frac\pi4$ en $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. Bijgevolg is $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$.

## 28.3 Vierkantsvergelijkingen en eenheidswortels

**Stelling 28.13 (Vierkantsvergelijkingen met reële coëfficiënten).**

Zij $a, b, c \in \R$, $a \neq 0$, en $\Delta = b^2 - 4ac$. De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ heeft in $\C$ de oplossingen

$$
\begin{aligned}
&\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{twee reële}); \qquad
\Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{dubbele}); \\
&\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{twee
toegevoegde}).
\end{aligned}
$$

**Bewijs.** Vervolledig het kwadraat: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Is $\Delta < 0$, dan is $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$, en het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) van twee kwadraten ontbindt zoals gewoonlijk. ∎

**Definitie 28.14 (Eenheidswortels).**

Voor $n \geq 1$ zijn de *$n$-de eenheidswortels* de oplossingen van $z^n = 1$.

**Stelling 28.15.**

De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ heeft precies $n$ oplossingen:

$$
\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .
$$

Hun beeldpunten zijn de hoekpunten van een regelmatige $n$-hoek ingeschreven in de eenheidscirkel, en voor $n \geq 2$ is hun som $0$.

**Bewijs.** Elke $\omega_k$ voldoet aan $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$, en ze zijn paarsgewijs verschillend omdat hun [argumenten](#def-g12-complex-argument) in $\intco{0}{2\pi}$ liggen. Omgekeerd: geldt $z^n = 1$, dan is $\abs z^n = 1$, dus $\abs z = 1$ (positief reëel) en $z = \eu^{\iu\theta}$ met $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, dat wil zeggen $\theta = \frac{2k\pi}{n}$; door $k$ modulo $n$ te herleiden kom je bij de $\omega_k$ uit. De hoekpunten liggen op gelijke hoekafstand $\frac{2\pi}{n}$: een regelmatige $n$-hoek. Ten slotte geldt met $\omega = \omega_1$, waarbij $\omega \neq 1$, volgens de meetkundige som

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k
= \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere
$$

∎

![De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg)

*De vijfde [eenheidswortels](#def-g12-complex-rootsofunity), $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel ([Oefening 28.10](#exo-g12-complex-10)).*

**Voorbeeld 28.16.**

De derde [eenheidswortels](#def-g12-complex-rootsofunity) zijn $1$, $j = \eu^{2\iu\pi/3} =
-\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ en $\conj j = j^2$, met $1 + j + j^2 = 0$.

## 28.4 Complexe getallen en vlakke meetkunde

**Propositie 28.17 (Meetkundig woordenboek).**

Zij $A, B, C, D$ punten met beeldgetallen $a, b, c, d$ ($a \neq b$, $c \neq d$).

1. De verschuiving over de [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) met [beeldgetal](#def-g12-complex-modulus) $t$ is $z \mapsto z + t$ .
2. De draaiing met centrum $\omega$ ( [beeldgetal](#def-g12-complex-modulus) ) en hoek $\theta$ is $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
3. De homothetie met centrum $\omega$ en factor $k \in \R^*$ is $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
4. $\dfrac{d - c}{b - a}$ heeft [modulus](#def-g12-complex-modulus) $\dfrac{CD}{AB}$ en als [argument](#def-g12-complex-argument) de hoek tussen de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ en $\vect{CD}$ . In het bijzonder is $AB \perp CD$ als en slechts als $\frac{d-c}{b-a}$ zuiver imaginair is, en zijn $A$ , $B$ , $C$ [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear) ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) als en slechts als $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

**Bewijs.** (1) en (3) herformuleren de formules in [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system). Voor (2): $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ vermenigvuldigt de moduli met $1$ en telt $\theta$ bij de [argumenten](#def-g12-complex-argument) op: het is de draaiing over $\theta$ om de oorsprong; toevoeging met de verschuiving die $\omega$ naar $0$ brengt geeft het algemene centrum. Voor (4): bij een quotiënt worden de moduli gedeeld en de [argumenten](#def-g12-complex-argument) afgetrokken ([Stelling 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎

## 28.5 Oefeningen

**Oefening 28.1 ★.**

Schrijf in [algebraïsche vorm](#def-g12-complex-def): $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$, $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$, $\iu^{2027}$.

**Oplossing van Oefening 28.1.**

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$.

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)}
= \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$.

$\iu^{2027}$: omdat $\iu^4 = 1$ en $2027 = 4 \times 506 + 3$, is $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$.

**Oefening 28.2 ★.**

Los op in $\C$: (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$; (b) $z^2 + z + 1 = 0$. Ga in elk geval na dat de twee oplossingen toegevoegd zijn, en bereken hun product.

**Oplossing van Oefening 28.2.**

*(a)* $\Delta = 16 - 52 = -36$: $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. Een toegevoegd paar; het product is $4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(b)* $\Delta = 1 - 4 = -3$: $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (de derde [eenheidswortels](#def-g12-complex-rootsofunity) $j$ en $\conj j$); het product is $\frac{1 + 3}{4} = 1$.

**Oefening 28.3 ★.**

Schrijf in [exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument): $z_1 = -1 + \iu$ en $z_2 = \sqrt3 - \iu$, en bereken $\dfrac{z_1}{z_2}$ eerst in exponentiële, daarna in [algebraïsche vorm](#def-g12-complex-def). Leid de exacte waarde van $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ af.

**Oplossing van Oefening 28.3.**

$\abs{z_1} = \sqrt2$, [argument](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (tweede kwadrant): $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. $\abs{z_2} = 2$, [argument](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$: $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. Dus

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}
= \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.
$$

Algebraïsch:

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu}
= \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4}
= \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.
$$

Door de reële delen gelijk te stellen: $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$, dus

$$
\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.
$$

**Oefening 28.4 ★★.**

Beschrijf [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) de verzameling van de punten $M$ met [beeldgetal](#def-g12-complex-modulus) $z$ waarvoor: (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ zuiver imaginair is.

**Oplossing van Oefening 28.4.**

*(a)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ betekent dat $M$ even ver ligt van $A(2, 0)$ als van $B(0, -1)$: de *middelloodlijn* van $[AB]$.

*(b)* Afstand $3$ tot het punt $(1,1)$: de *cirkel* met middelpunt $1 + \iu$ en straal $3$.

*(c)* Volgens [Propositie 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4) betekent $\frac{z-1}{z+1}$ zuiver imaginair dat de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van $A(1,0)$ naar $M$ en van $B(-1,0)$ naar $M$ [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) zijn: $M$ ziet het lijnstuk $[AB]$ onder een rechte hoek. De verzameling is de *cirkel met middellijn $[AB]$* (de eenheidscirkel) *zonder de punten $A$ en $B$ zelf*.

**Oefening 28.5 ★★.**

Druk met de formule van De Moivre en het binomium van Newton $\cos 3\theta$ uit als een veelterm in $\cos\theta$, en $\sin 3\theta$ in [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $\sin\theta$.

**Oplossing van Oefening 28.5.**

De Moivre: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. [Uitwerken](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) met het binomium van Newton, met $c = \cos\theta$ en $s = \sin\theta$:

$$
(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3
= (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).
$$

Door de delen gelijk te stellen en $s^2 = 1 - c^2$, $c^2 = 1 - s^2$ te gebruiken:

$$
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta,
\qquad
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .
$$

**Oefening 28.6 ★★.**

*(Lineariseren.)* Lineariseer met $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$ de uitdrukking $\cos^3\theta$ (schrijf ze als een combinatie van $\cos k\theta$), en leid $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$ af.

**Oplossing van Oefening 28.6.**

$$
\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

Dus

$$
\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta
= \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}
= \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.
$$

(In overeenstemming met $W_3 = \frac23$ in [Oefening 25.9](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#exo-g12-integ-9), want $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ wegens de symmetrie $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.)

**Oefening 28.7 ★★.**

Zij $A$ en $B$ de punten met beeldgetallen $a = 1 + \iu$ en $b = 3 + 2\iu$. Bepaal de twee punten $C$ die de driehoek $ABC$ gelijkzijdig maken, als de [beelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) van $B$ onder de draaiingen met centrum $A$ en hoek $\pm\frac{\pi}{3}$.

**Oplossing van Oefening 28.7.**

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ met $b - a = 2 + \iu$ en $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$:

$$
\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu)
= \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),
$$

dus $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$, en net zo met de hoek $-\frac\pi3$: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$.

**Oefening 28.8 ★★★.**

Los $z^4 = -4$ op in $\C$ en teken de oplossingen. Ontbind $z^4 + 4$ in twee tweedegraadsveeltermen met reële coëfficiënten.

**Oplossing van Oefening 28.8.**

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$, dus de oplossingen van $z^4 = -4$ zijn

$$
z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)},
\quad k = 0, 1, 2, 3,
$$

dat wil zeggen $1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$: de hoekpunten van een vierkant met omgeschreven straal $\sqrt 2$. Door toegevoegde [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) te koppelen:

$$
z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr)
\bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr)
= (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).
$$

**Oefening 28.9 ★★★.**

Bereken voor $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ en $n \in \N$

$$
S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta
$$

door de meetkundige som $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ te berekenen en de reële delen te nemen. (Antwoord: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2}$.)

**Oplossing van Oefening 28.9.**

Met $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$:

$$
\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}
= \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}}
\cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}}
= \eu^{\iu n\theta/2}\,
\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
$$

waarbij $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ gebruikt wordt (het *afsplitsen van de halve hoek*). De reële delen nemen geeft

$$
S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\cos\frac{n\theta}{2}.
$$

**Oefening 28.10 ★★★.**

Zij $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Verantwoord dat $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Zij $u = \omega + \omega^4$ en $v = \omega^2 + \omega^3$ . Toon aan dat $u + v = -1$ en $uv = -1$ , en leid af dat $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
3. Besluit dat $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

**Oplossing van Oefening 28.10.**

*1.* $\omega$ is een vijfde eenheidswortel verschillend van $1$, dus de som van alle vijf de [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) is nul ([Stelling 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)), en dat luidt $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.

*2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ volgens punt 1. Voor het product, met $\omega^5 = 1$:

$$
uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)
= \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7
= \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .
$$

Dus $u$ en $v$ zijn de [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) van $X^2 + X - 1 = 0$: $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. Nu is $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (want $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), dus $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

*3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

## 28.6 Opgave: de vijfhoek in de spiegel van de eenheid

**Probleem 28.1.**

Weekendopgave — de vijfde eenheidswortels berekenen $\cos 72^\circ$ exact, de gulden snede tekent het resultaat, en vermenigvuldigen blijkt draaien te zijn

Euclides kon de regelmatige vijfhoek construeren, maar de [reden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-geometric) *waarom* die met passer en liniaal lukt — terwijl de nederige hoek van $20^\circ$ weerstand biedt — bleef tweeduizend jaar verborgen. Ze schuilt in dit hoofdstuk: de vijf vijfde [eenheidswortels](#def-g12-complex-rootsofunity) ([Stelling 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) hebben som nul, en die ene regel algebra perst $\cos 72^\circ$ uit een vierkantsvergelijking — alleen vierkantswortels, dus construeerbaar, en uiteraard getekend door de gulden snede. Rondom dit juweel: vlotheid, de kortere weg van De Moivre naar de goniometrie, en vermenigvuldigen ontmaskerd als meetkunde.

**Deel I — Vlotheid.**

1. Bereken $(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [Methode 28.5](#met-g12-complex-division) ), en $\abs{3 + 4\iu}$ .
2. Schrijf in [exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ .
3. Bereken $(1 + \iu)^8$ met de [exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument) .
4. Los $z^2 = \iu$ op, en daarna $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [Stelling 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ).
5. [Meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) woordenboek ( [Propositie 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ): beschrijf de afbeelding $z \mapsto \iu z$ , en de verzameling $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ .

**Deel II — Vijf [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant), één vijfhoek.** Zij $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ en beschouw $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.

6. Ga na dat dit precies de oplossingen van $z^5 = 1$ zijn, en beschrijf de figuur die ze in het vlak tekenen.
7. Bewijs dat hun som nul is. (Meetkundige som — of vermenigvuldig de som met $1 - \omega$ .)
8. Neem de reële delen en leid af dat $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$
9. Stel $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ en zet vraag 8 met de formule voor de dubbele hoek toegepast op $\cos\frac{4\pi}{5}$ om in een vierkantsvergelijking in $c$; los ze op en besluit $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$
10. Controleer numeriek, en laat daarna de gulden snede haar werk signeren: toon aan dat $c = \frac{1}{2\varphi}$ met $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [Probleem 2.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#pb-g10-algebra-1) ) — en formuleer de beroemde meetkundige echo: in een regelmatige vijfhoek is de diagonaal $\varphi$ keer de zijde.

**Deel III — De sluipwegen van De Moivre.**

11. Het constructieverdict: $\cos 72^\circ$ heeft alleen vierkantswortels nodig (vraag 9), dus de vijfhoek is met passer en liniaal construeerbaar; $\cos 20^\circ$ voldoet aan een onbreekbare derdegraadsvergelijking ( [Probleem 24.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#pb-g12-trigo-1) ), dus de hoek van $60^\circ$ kan niet in drie gedeeld worden. Formuleer het criterium dat zich aftekent (vierkantswortels bouwbaar, derdemachtswortels niet); de volledige theorie ervan — Gauss, negentien jaar, en de regelmatige zeventienhoek — staat in de universitaire volumes.
12. Los $z^4 = -4$ op met de [exponentiële vorm](#def-g12-complex-argument) en vind de ontbinding $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ van [Oefening 28.8](#exo-g12-complex-8) terug door toegevoegde [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) te koppelen.
13. Werk $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ uit met het binomium van Newton en De Moivre, en leid $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ in drie regels opnieuw af — vergelijk met de weg via de somformules in [Probleem 24.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/24-goniometrische-functies#pb-g12-trigo-1) .
14. Kruiscontrole met [Oefening 28.9](#exo-g12-complex-9) : wat is voor $\theta = \frac{2\pi}{5}$ en $n = 4$ de som $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ , en waarom strookt dat met vraag 8?
15. Bereken de drie derdemachtswortels van $8\iu$ in [algebraïsche vorm](#def-g12-complex-def) .

**Deel IV — Vermenigvuldigen is meetkunde.**

16. Beschrijf de afbeelding $z \mapsto (1 + \iu)z$ volledig: over welke hoek draait ze, met welke factor vergroot ze, en wat doet ze met het eenheidsvierkant?
17. Bewijs $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ met toegevoegden ( [Propositie 28.7](#prop-g12-complex-modulus) ), bereken daarna $(1+\iu)^n$ voor $n = 1, 2, 3, 4$ en beschrijf de spiraal die de machten tekenen.
18. Het getal $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : toon aan dat $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ , en ga op de driehoek $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ het klassieke criterium na: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ geldt voor een gelijkzijdige driehoek $abc$ (in één van de twee oriëntaties).
19. De hoofdstelling van de algebra (aangenomen: d’Alembert–Gauss): elke veelterm ontbindt volledig over $\C$ . Leid het gevolg voor de reële wereld af — elke reële veelterm ontbindt in reële factoren van graad $1$ en $2$ — en verwijs naar vraag 12 als voorbeeld.
20. Slotstuk — het portret van $\C$ , telkens één zin: getallen worden punten; vermenigvuldigen wordt draaien en vergroten; de [eenheidswortels](#def-g12-complex-rootsofunity) worden regelmatige veelhoeken; De Moivre maakt van machten goniometrische identiteiten; en de algebraïsche geslotenheid waarborgt dat geen enkele [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) ooit een grotere wereld nodig heeft. Coda: welke twee beroemde getallen ontmoetten elkaar in vraag 10?

**Oplossing van Probleem 28.1.**

**1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$.

**2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$.

**3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} =
16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$.

**4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$: $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. En $\Delta = 4 - 20 = -16$: $z = 1 \pm 2\iu$.

**5.** $z \mapsto \iu z$: een draaiing over een kwartslag om de oorsprong. $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$: de cirkel met middelpunt $1 + \iu$ en straal $2$.

**6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$, en de vijf punten $\eu^{2\iu k\pi/5}$ zijn verschillend: dat zijn dus alle vijf de oplossingen van $z^5 = 1$. Ze liggen op de eenheidscirkel op gelijke hoeken van $72^\circ$: een regelmatige vijfhoek met een hoekpunt in $1$.

**7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ voldoet aan $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$, en $\omega \neq 1$: dus $S = 0$. (Het zwaartepunt van de vijfhoek is haar middelpunt.)

**8.** $\omega^4 = \overline\omega$ en $\omega^3 = \overline{\omega^2}$: door de toegevoegden te koppelen luidt het [reële deel](#def-g12-complex-def) van de som $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$.

**9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$, dus $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$, dat wil zeggen $4c^2 + 2c - 1 = 0$: $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (de positieve [wortel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant), want $72^\circ$ is scherp): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

**10.** Numeriek is $c \approx 0.30902$: dat klopt met het rekentoestel. En $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (maak de noemer wortelvrij): $c = \frac{1}{2\varphi}$. De vijfhoek is door en door gulden: haar diagonaal verhoudt zich tot haar zijde als $\varphi$ — de eindeloze zelfgelijkvormigheid van het pentagram.

**11.** Vierkantswortels zijn met de passer construeerbaar (de halvecirkelmachine van het [meetkundig](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-arith-geom) [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) uit het onderbouwvolume), dus een getal dat uit [rationale getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) met alleen vierkantswortels gebouwd wordt — zoals $\cos 72^\circ$ — is construeerbaar; derdemachtswortels zijn dat niet, en $\cos 20^\circ$ heeft er één nodig: de vijfhoek geeft zich gewonnen, de driedeling houdt stand. Het criterium van Gauss beslist over elke regelmatige veelhoek — zijn zeventienhoek, op zijn negentiende, deed hem voor de wiskunde kiezen.

**12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$: de vierdemachtswortels hebben [modulus](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2$ en [argumenten](#def-g12-complex-argument) $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$: de vier getallen $\pm 1 \pm \iu$. Toegevoegden koppelen: $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ en $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$: de ontbinding van [Oefening 28.8](#exo-g12-complex-8).

**13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta +
3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta$; volgens De Moivre is dit $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. Reële delen: $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)
= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — en de imaginaire delen leveren $\sin 3\theta$ er gratis bij.

**14.** Het is het [reële deel](#def-g12-complex-def) van $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$: de som is $0$ — precies vraag 8, gezien door de kern van [Oefening 28.9](#exo-g12-complex-9).

**15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$: de [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) zijn $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$; $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$.

**16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$: de afbeelding draait het vlak over $45^\circ$ en vergroot het met factor $\sqrt2$. Het eenheidsvierkant wordt een schuin vierkant met zijde $\sqrt2$ — verdubbeld in oppervlakte, een achtste slag gedraaid.

**17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} =
z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$: neem de vierkantswortels. Machten van $1 + \iu$: $1 + \iu$, $2\iu$, $-2 + 2\iu$, $-4$: telkens $45^\circ$ verder gedraaid en $\sqrt2$ keer langer — een naar buiten lopende spiraal met moduli $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$

**18.** $\mathrm{j}$ is een derde eenheidswortel verschillend van $1$, dus (het [argument](#def-g12-complex-argument) van vraag 7 met $n = 3$) is $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. Criterium op de standaarddriehoek: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} +
\mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 =
1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0$: voldaan, zoals de gelijkzijdige driehoek $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ vraagt.

**19.** Over $\C$ valt een reële veelterm uiteen in factoren van graad $1$; haar niet-reële [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) komen in toegevoegde paren voor (voeg de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) toe), en elk paar vermenigvuldigt tot een reële tweedegraadsfactor $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$: vandaar de reële ontbinding in stukken van graad $1$ en $2$ — vraag 12 voerde ze uit op $z^4 + 4$.

**20.** Punten; draaien en vergroten; regelmatige veelhoeken; goniometrische identiteiten door uitwerking; en een gesloten wereld waarin elke [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van graad $n$ haar $n$ [wortels](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#def-g11-quad-discriminant) heeft. Coda: in vraag 10 gaf de vijfhoek van $\pi$ de hand aan de gulden snede — de twee beroemdste gasten van Euclides, eindelijk aan elkaar voorgesteld door een som van vijf pijlen die nul is.