---
title: "Functies"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies
---

# Hoofdstuk 3 — Functies

Een [functie](#def-g10-functions-function) is een machine die een getal binnenkrijgt en een getal teruggeeft, altijd hetzelfde antwoord bij dezelfde invoer. [Functies](#def-g10-functions-function) zijn de centrale objecten van de analyse die je de komende jaren opbouwt (vanaf [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ch-g11-quad)); dit hoofdstuk zet de woordenschat op — [domein](#def-g10-functions-function), [beeld](#def-g10-functions-function), [grafiek](#def-g10-functions-graph), verloop — en oefent de onmisbare vaardigheid om informatie van een [grafiek](#def-g10-functions-graph) af te lezen.

## 3.1 Woordenschat: beelden en originelen

**Definitie 3.1 (Functie).**

Zij $D$ een verzameling [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets). Een *functie* $f$ gedefinieerd op $D$ koppelt aan elk getal $x \in D$ precies één [reëel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets), geschreven $f(x)$ en het *beeld* van $x$ genoemd. De verzameling $D$ is het *domein* van $f$. We schrijven

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

Geldt $f(x) = y$, dan heet $x$ een *origineel* van $y$.

**Opmerking 3.2.**

Elke $x$ uit het [domein](#def-g10-functions-function) heeft precies één [beeld](#def-g10-functions-function), maar een getal $y$ kan meerdere originelen hebben, of geen enkel. Voor $f(x) = x^2$: het [beeld](#def-g10-functions-function) van $3$ is $9$, en $9$ heeft twee originelen, $3$ en $-3$; het getal $-4$ heeft geen enkel [origineel](#def-g10-functions-function).

**Voorbeeld 3.3 (Een domein bepalen).**

Wordt een [functie](#def-g10-functions-function) door een formule gegeven, dan is haar [domein](#def-g10-functions-function) de verzameling van de $x$ waarvoor de formule zin heeft.

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ heeft zin voor elke $x$ : het [domein](#def-g10-functions-function) is $\R$ .
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ vereist $x - 2 \neq 0$ : het [domein](#def-g10-functions-function) bestaat uit alle [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) behalve $2$ .
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ vereist $x - 3 \geq 0$ : het [domein](#def-g10-functions-function) is $\intco{3}{+\infty}$ .

**Voorbeeld 3.4 (Beelden en originelen berekenen).**

Zij $f(x) = x^2 - 4x + 3$, gedefinieerd op $\R$.

*[Beeld](#def-g10-functions-function) van $5$:* vul $x = 5$ in: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$.

*Originelen van $3$:* los $f(x) = 3$ op:

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

dus de originelen van $3$ zijn $0$ en $4$.

## 3.2 De grafiek van een functie

**Definitie 3.5 (Grafiek).**

In een assenstelsel is de *grafiek* (of *kromme*) van $f$ de verzameling van alle punten $(x, f(x))$ met $x$ in het [domein](#def-g10-functions-function). Met andere woorden: een punt $(x, y)$ ligt op de grafiek precies wanneer $y = f(x)$.

![Een beeld aflezen op een grafiek: vertrek bij x = 3 op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme en dan horizontaal naar de verticale as om f(3) = -1 af te lezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-7b566b99be89.svg)

*Een [beeld](#def-g10-functions-function) aflezen op een [grafiek](#def-g10-functions-graph): vertrek bij $x = 3$ op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme en dan horizontaal naar de verticale as om $f(3) = -1$ af te lezen.*

**Methode 3.6 (Een grafiek lezen).**

Op de [grafiek](#def-g10-functions-graph) van $f$:

1. *[beeld](#def-g10-functions-function) van $a$* : ga verticaal van $x = a$ op de horizontale as naar de kromme, en dan horizontaal naar de verticale as; de waarde die je daar afleest is $f(a)$ ;
2. *originelen van $b$* : teken de horizontale rechte $y = b$ ; de originelen zijn de $x$ -coördinaten van al haar snijpunten met de kromme;
3. *oplossingen van $f(x) = k$* : dat zijn de originelen van $k$ ;
4. *oplossingen van $f(x) \leq k$* : de $x$ waarvoor de kromme op of onder de rechte $y = k$ ligt.

![f(x) = k grafisch oplossen: de oplossingen x_1 en x_2 zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale rechte y = k. Hier geldt f(x) ≤ k op (x_1, x_2), waar de kromme onder de rechte ligt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*$f(x) = k$ grafisch oplossen: de oplossingen $x_1$ en $x_2$ zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale rechte $y = k$. Hier geldt $f(x) \leq k$ op $\intcc{x_1}{x_2}$, waar de kromme onder de rechte ligt.*

**Voorbeeld 3.7.**

Ligt het punt $A(2, 5)$ op de [grafiek](#def-g10-functions-graph) van $f(x) = x^2 + 1$? Bereken $f(2) = 4 + 1 = 5$: ja, want $f(2)$ is gelijk aan de $y$-coördinaat van $A$. Het punt $B(3, 8)$ ligt er niet op, want $f(3) = 10 \neq 8$.

## 3.3 Het verloop van een functie

**Definitie 3.8 (Stijgend, dalend).**

Zij $f$ gedefinieerd op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$.

- $f$ is *stijgend* op $I$ wanneer voor alle $u, v \in I$ uit $u < v$ volgt dat $f(u) \leq f(v)$ : de uitvoer groeit mee met de invoer, en de [grafiek](#def-g10-functions-graph) klimt van links naar rechts.
- $f$ is *dalend* op $I$ wanneer uit $u < v$ volgt dat $f(u) \geq f(v)$ : de [grafiek](#def-g10-functions-graph) zakt van links naar rechts.

Met strikte ongelijkheden $f(u) < f(v)$ (respectievelijk $>$) spreken we van *strikt* stijgend (respectievelijk dalend).

**Definitie 3.9 (Verlooptabel).**

Een *verlooptabel* vat samen op welke intervallen $f$ stijgt en daalt, met de pijlen $\nearrow$ en $\searrow$, en noteert de waarden van $f$ in de keerpunten.

**Voorbeeld 3.10.**

Bekijk de [functie](#def-g10-functions-function) waarvan de [grafiek](#def-g10-functions-graph) hieronder op $\intcc{-2}{4}$ getekend staat.

![Een functie gedefinieerd op (-2, 4), eerst stijgend, dan dalend.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*Een [functie](#def-g10-functions-function) gedefinieerd op $\intcc{-2}{4}$, eerst [stijgend](#def-g10-functions-variations), dan [dalend](#def-g10-functions-variations).*

Van de [grafiek](#def-g10-functions-graph) af te lezen: $f$ stijgt van $f(-2) = -1.5$ tot haar [maximum](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$, en daalt daarna tot $f(4) = -1.5$. Haar [verlooptabel](#def-g10-functions-table) is

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**Voorbeeld 3.11 (Een verloop bewijzen).**

Toon aan dat $f(x) = 3x + 1$ strikt [stijgend](#def-g10-functions-variations) is op $\R$. Neem willekeurige $u < v$ en vergelijk de [beelden](#def-g10-functions-function):

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

want $v - u > 0$. Dus $f(u) < f(v)$: de [functie](#def-g10-functions-function) is strikt [stijgend](#def-g10-functions-variations). Dezelfde berekening met een negatieve richtingscoëfficiënt, bijvoorbeeld $g(x) = -2x + 5$, geeft $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$: strikt [dalend](#def-g10-functions-variations).

## 3.4 Extrema

**Definitie 3.12 (Maximum, minimum).**

Zij $f$ gedefinieerd op $D$ en $a \in D$. De waarde $f(a)$ is het *maximum* van $f$ op $D$ wanneer $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x \in D$; ze is het *minimum* wanneer $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in D$. Op een [grafiek](#def-g10-functions-graph) zijn dat het hoogste en het laagste punt van de kromme.

**Voorbeeld 3.13.**

Toon aan dat $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ op $\R$ het [minimum](#def-g10-functions-extrema) $2$ heeft, bereikt in $x = 1$. Voor elke $x$ is het kwadraat $(x-1)^2$ groter dan of gelijk aan $0$, dus $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$; en $f(1) = 0 + 2 = 2$, zodat de waarde $2$ ook echt bereikt wordt. Samen bewijzen die twee feiten dat $2$ het [minimum](#def-g10-functions-extrema) is.

![De kromme van f(x) = (x-1)2 + 2 komt nooit onder de stippellijn y = 2, en raakt haar in x = 1: het minimum van f is 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*De kromme van $f(x) = (x-1)^2 + 2$ komt nooit onder de stippellijn $y = 2$, en raakt haar in $x = 1$: het [minimum](#def-g10-functions-extrema) van $f$ is $2$.*

## 3.5 Oefeningen

**Oefening 3.1 ★.**

Zij $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Bereken de [beelden](#def-g10-functions-function) van $0$, $2$, $-1$ en $\frac12$.

**Oplossing van Oefening 3.1.**

$f(0) = 1$; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$.

**Oefening 3.2 ★.**

Geef het [domein](#def-g10-functions-function) van elke [functie](#def-g10-functions-function):

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**Oplossing van Oefening 3.2.**

$f$: geen enkele voorwaarde, [domein](#def-g10-functions-function) $\R$.

$g$: vereist $x + 4 \neq 0$, [domein](#def-g10-functions-function) alle [reële getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) behalve $-4$.

$h$: vereist $2x - 6 \geq 0$, dus $x \geq 3$: [domein](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$.

$k$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ verdwijnt nooit, [domein](#def-g10-functions-function) $\R$.

**Oefening 3.3 ★.**

Zij $f(x) = x^2 - 2x$. Zoek alle originelen van $0$, van $3$ en van $-1$.

**Oplossing van Oefening 3.3.**

*Originelen van $0$:* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, dus $0$ en $2$.

*Originelen van $3$:* $x^2 - 2x = 3$, dus $x^2 - 2x - 3 = 0$, dus $(x-3)(x+1) = 0$ (ga na door uit te werken), dus $3$ en $-1$.

*Originelen van $-1$:* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, dus het enige [origineel](#def-g10-functions-function) $1$.

**Oefening 3.4 ★.**

Ligt het punt $A(-1, 4)$ op de [grafiek](#def-g10-functions-graph) van $f(x) = x^2 - 2x + 1$? En het punt $B(2, 1)$? Verantwoord met een berekening.

**Oplossing van Oefening 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$: ja, $A(-1, 4)$ ligt op de [grafiek](#def-g10-functions-graph). $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$: ja, ook $B(2, 1)$ ligt op de [grafiek](#def-g10-functions-graph).

**Oefening 3.5 ★.**

Een [functie](#def-g10-functions-function) $g$ gedefinieerd op $\intcc{-3}{5}$ heeft de [verlooptabel](#def-g10-functions-table)

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. Wat zijn het [maximum](#def-g10-functions-extrema) en het [minimum](#def-g10-functions-extrema) van $g$ op $\intcc{-3}{5}$ ?
2. Vergelijk $g(-1)$ en $g(-0.5)$ zonder hun waarden te kennen.
3. Hoeveel oplossingen heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ hoogstens op elk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) van de tabel?

**Oplossing van Oefening 3.5.**

*1.* De grootste waarde in de tabel is $4 = g(3)$ ([maximum](#def-g10-functions-extrema)), de kleinste is $-2 = g(0)$ ([minimum](#def-g10-functions-extrema)).

*2.* Op $\intcc{-3}{0}$ daalt de [functie](#def-g10-functions-function), en $-1 < -0.5$, dus $g(-1) \geq g(-0.5)$.

*3.* Op elk [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) waar $g$ monotoon is, neemt ze elke waarde hoogstens één keer aan, dus heeft $g(x) = 0$ hoogstens één oplossing per [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval): hoogstens $3$ oplossingen in totaal. (Hier ligt $0$ tussen $-2$ en $1$, tussen $-2$ en $4$, en tussen $0$ en $4$, dus zijn het er precies drie.)

**Oefening 3.6 ★★.**

Zij $f(x) = -2x + 7$. Toon aan, door $f(u)$ en $f(v)$ te vergelijken voor $u < v$, dat $f$ strikt [dalend](#def-g10-functions-variations) is op $\R$.

**Oplossing van Oefening 3.6.**

Zij $u < v$. Dan is

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

want $v - u > 0$. Dus $f(v) < f(u)$: $f$ is strikt [dalend](#def-g10-functions-variations) op $\R$.

**Oefening 3.7 ★★.**

Toon aan dat de [functie](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ een [minimum](#def-g10-functions-extrema) heeft op $\R$, en geef de waarde ervan en waar het bereikt wordt. (Tip: schrijf $f(x) = (x + 3)^2 + c$ voor de juiste constante $c$.)

**Oplossing van Oefening 3.7.**

Vul het kwadraat aan: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, dus

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

Voor elke $x$ is $(x+3)^2 \geq 0$, dus $f(x) \geq 2$; en $f(-3) = 0 + 2 = 2$. Het [minimum](#def-g10-functions-extrema) van $f$ is $2$, bereikt in $x = -3$.

**Oefening 3.8 ★★.**

Een rechthoekige tuin heeft omtrek $40$ m. Zij $x$ zijn breedte, in meter.

1. Druk de lengte, en daarna de oppervlakte $A(x)$ , uit als [functies](#def-g10-functions-function) van $x$ . Voor welke $x$ heeft dat zin?
2. Bereken $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ en $A(16)$ . Wat vermoed je over de vorm met de grootste oppervlakte?

**Oplossing van Oefening 3.8.**

*1.* Lengte $+$ breedte $= 20$, dus is de lengte $20 - x$ en

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

Beide afmetingen moeten positief zijn: $0 < x < 20$.

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$. De waarden stijgen tot $x = 10$ en dalen daarna symmetrisch: de oppervlakte lijkt het grootst voor $x = 10$, dus voor een *vierkante* tuin. ([Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/10-kwadratische-functies-en-vergelijkingen#ch-g11-quad) bewijst dat vermoeden.)

**Oefening 3.9 ★★.**

Zij $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, gedefinieerd op $\R$.

1. Toon aan dat $0 < f(x) \leq 1$ voor elke reële $x$ .
2. Heeft $f$ een [maximum](#def-g10-functions-extrema) op $\R$ ? En een [minimum](#def-g10-functions-extrema) ? Verantwoord.

**Oplossing van Oefening 3.9.**

*1.* Voor elke $x$ is $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, dus is $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ positief; en uit $x^2 + 1 \geq 1$ volgt door omkeren (beide leden positief) dat $f(x) \leq 1$.

*2.* [Maximum](#def-g10-functions-extrema): $f(0) = 1$ en $f(x) \leq 1$ voor alle $x$, dus is $1$ het [maximum](#def-g10-functions-extrema), bereikt in $0$. [Minimum](#def-g10-functions-extrema): $f(x) > 0$ geldt altijd, maar geen enkele $x$ bereikt $0$ (een quotiënt van getallen verschillend van nul is zelf niet nul), en $f$ neemt voor grote $x$ waarden aan die zo dicht bij $0$ liggen als je wilt; dus heeft $f$ geen [minimum](#def-g10-functions-extrema).

**Oefening 3.10 ★★★.**

Zij $f(x) = x^2$ op $\R$.

1. Zij $0 \leq u < v$ . Ontbind $f(v) - f(u)$ en leid af dat $f$ strikt [stijgend](#def-g10-functions-variations) is op $\intco{0}{+\infty}$ .
2. Pas het argument aan om aan te tonen dat $f$ strikt [dalend](#def-g10-functions-variations) is op $\intoc{-\infty}{0}$ .

**Oplossing van Oefening 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Is $0 \leq u < v$, dan is $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (som van een niet-negatief en een positief getal), dus $f(v) - f(u) > 0$: $f$ is strikt [stijgend](#def-g10-functions-variations) op $\intco{0}{+\infty}$.

*2.* Is $u < v \leq 0$, dan is $v - u > 0$ nog steeds, maar nu is $v + u < 0$ (som van een niet-positief en een negatief getal), dus $f(v) - f(u) < 0$: $f$ is strikt [dalend](#def-g10-functions-variations) op $\intoc{-\infty}{0}$.

## 3.6 Opgave: machines die met hun eigen uitvoer gevoed worden

**Probleem 3.1.**

Weekendopgave — vaste punten, iteratie en drie beroemde machines: de verbeteraar van Heron, de kwadrateermachine en de onopgeloste hagelsteen

Een [functie](#def-g10-functions-function) is een machine: er gaat een getal in, er komt een getal uit. De boeiendste proeven voeden de machine met *haar eigen uitvoer*, keer op keer — en dan overheersen twee vragen: komt het proces ergens tot rust (een *[vast punt](#pb-g10-functions-1)*), en hoe stuurt het verloop van de machine het daarheen? Een van de machines in deze opgave polijst al tweeduizend jaar vierkantswortels; een andere bewaakt het beroemdste onopgeloste vraagstuk dat de elementaire wiskunde te bieden heeft.

**Deel I — De machine van Heron.** Bekijk de [functie](#def-g10-functions-function)

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. Geef het [domein](#def-g10-functions-function) van $f$ , en bereken $f(1)$ , $f(2)$ en $f\!\left(\frac32\right)$ als exacte breuken.
2. Zoek alle originelen van $\frac32$ : los $f(x) = \frac32$ op (werk de noemer weg en gebruik de methoden van [Probleem 2.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#pb-g10-algebra-1) ).
3. Een *vast punt* van $f$ is een getal dat de machine onveranderd laat: $f(x) = x$ . Zoek beide vaste punten van $f$ . Welke oude bekende bewaakt het positieve?
4. Voed de machine, vertrekkend van $x = 1$ , drie keer met haar eigen uitvoer en noteer de exacte resultaten. Welke rij uit de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume heb je herbouwd — en wat was “het recept van Heron”, in de taal van de [functies](#def-g10-functions-function) ?
5. Schets op één tekening de [grafiek](#def-g10-functions-graph) van $f$ (voor $x > 0$ ) en de diagonale rechte $y = x$ . Waar liggen de vaste punten op die tekening? (Vergelijk met de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume: de temperatuur die op beide schalen hetzelfde aanwees, was hetzelfde idee.)

**Deel II — Waarom de machine niet mis kan.**

6. Toon voor $0 < u < v$, door op één noemer te brengen, aan dat $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ en leid het verloop van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ af: [dalend](#def-g10-functions-variations) tot aan een punt, daarna [stijgend](#def-g10-functions-variations) — welk punt? (Dezelfde techniek als in [Oefening 3.10](#exo-g10-functions-10).)
7. Leid af dat de [functie](#def-g10-functions-function) $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ een [minimum](#def-g10-functions-extrema) heeft, precies gelijk aan $\sqrt2$ en bereikt in $\sqrt2$ . Wat zegt dat over *elke* uitvoer van de machine (bij positieve invoer)?
8. Toon aan dat uit $x > \sqrt2$ volgt dat $\sqrt2 < f(x) < x$ : een te grote schatting wordt altijd verbeterd, nooit voorbijgeschoten. (Voor $f(x) < x$ : vergelijk $\frac2x$ met $x$ .)
9. Breng de vragen 6–8 samen in de [verlooptabel](#def-g10-functions-table) van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ ( [Definitie 3.9](#def-g10-functions-table) ), [minimum](#def-g10-functions-extrema) inbegrepen.
10. Een tweede machine: $g(x) = x^2$ . Haar vaste punten zijn $0$ en $1$ (ga na). Itereer $g$ vier keer vanaf $x = 0.9$ , en daarna vier keer vanaf $x = 1.1$ (rekenmachine, drie decimalen). Het ene vaste punt trekt aan, het andere stoot af: welk is welk?

**Deel III — De hagelsteenmachine.** Definieer op de [natuurlijke getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets): $h(n) = \frac n2$ als $n$ even is, en $h(n) = 3n + 1$ als $n$ oneven is. Getallen stuiteren onder $h$ als hagelstenen in een onweerswolk.

11. Bereken de volledige vlucht van $7$ onder $h$ , tot bij $1$ . Hoeveel stappen duurt ze, en hoe hoog vliegt ze?
12. Begin de vlucht van $27$ en bereken tien stappen. (De volledige vlucht duurt $111$ stappen en piekt op $9\,232$ — vanaf een startgetal $27$ .) Welke les over eenvoudige regels leren $7$ en $27$ je?
13. Leg uit waarom elke vlucht die een macht van $2$ bereikt regelrecht naar $1$ neerstort, en wat er in $1$ gebeurt (bereken $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). Heeft $h$ een [vast punt](#pb-g10-functions-1) onder de positieve [natuurlijke getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) ? Wat vormt het einde van elke waargenomen vlucht in de plaats daarvan?
14. Het *vermoeden van Collatz* beweert dat elk startgetal uiteindelijk bij $1$ uitkomt. Computers hebben het ver voorbij $10^{20}$ nagegaan; geen mens heeft het bewezen. Welke twee soorten vondsten zouden het *weerleggen* ? En waarom sluit massale verificatie de zaak nog altijd niet (de weekendopgave over het orakel met de luciferstokjes in het onderbouwvolume luidde deze klok al)?
15. “De wiskunde is nog niet rijp voor zulke vragen”, zei Paul Erdős over dit vermoeden. In één zin: wat scheidt de hagelsteenmachine van die van Heron, waar de vragen 6–8 alles beslechtten?

**Deel IV — De handleiding van de machine.**

16. [Domeinen](#def-g10-functions-function) als intervallen (in de taal van [Probleem 1.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#pb-g10-numbers-1) ): geef de [domeinen](#def-g10-functions-function) van $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
17. Terug naar de $f$ van Heron: zoek de exacte originelen van $3$ (los $f(x) = 3$ op door het kwadraat aan te vullen).
18. Een steen wordt omhoog geworpen: zijn hoogte is $H(t) = 20t - 5t^2$ meter na $t$ seconden. Op welk tijdsinterval heeft de formule fysische zin? Vul het kwadraat aan om de grootste hoogte en het tijdstip ervan te vinden ( [Definitie 3.12](#def-g10-functions-extrema) ), en geef de [verlooptabel](#def-g10-functions-table) .
19. Hoe lang bevindt de steen zich op minstens $15$ m hoogte? (Los $H(t) \geq 15$ op met een [tekentabel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-signtable) , [Methode 2.17](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#met-g10-algebra-signtable) .)
20. Slotstuk: deze opgave liet vier machines draaien — de verbeteraar van Heron, de kwadrateermachine, de hagelsteen en de hoogte van de steen. Zeg in twee of drie zinnen wat elke [functie](#def-g10-functions-function) heeft (een [domein](#def-g10-functions-function) , een voorschrift, een [grafiek](#def-g10-functions-graph) ) en welke twee grote vragen deze opgave aan elk ervan stelde (waar komt de iteratie tot rust? hoe verloopt de [functie](#def-g10-functions-function) ?) — vragen die de volgende hoofdstukken één voor één opnemen.

**Oplossing van Probleem 3.1.**

**1.** [Domein](#def-g10-functions-function): $x \neq 0$ (deling door $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) =
\frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) =
\frac{17}{12}$.

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ geeft $x^2 + 2 = 3x$, dus $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: de originelen van $\frac32$ zijn $1$ en $2$ — zoals vraag 1 al aankondigde.

**3.** $f(x) = x$ geeft $x + \frac2x = 2x$, dus $\frac2x = x$ en $x^2 = 2$: vaste punten $\sqrt2$ en $-\sqrt2$. Het positieve is de diagonaal van het eenheidsvierkant, [irrationaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#ex-g10-numbers-classify) volgens de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume.

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: de [benaderingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) van $\sqrt2$ van Heron. Zijn recept “neem het gemiddelde van de schatting en $2/$schatting” is precies *het itereren van de [functie](#def-g10-functions-function) $f$* — en het getal dat het proces najaagt is het vaste punt van $f$.

**5.** De vaste punten zijn de snijpunten van de [grafiek](#def-g10-functions-graph) met de diagonaal $y = x$: de uitvoer opnieuw invoeren laat het punt langs de [grafiek](#def-g10-functions-graph) naar dat snijpunt wandelen. In de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume was de aanwijzing $-40^\circ$ hetzelfde idee van het kruisen van de diagonaal, voor de omrekeningsfunctie.

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u =
\frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Voor $0 < u < v \leq \sqrt2$ is $uv < 2$, is de haak negatief en dus $f(v) < f(u)$: [dalend](#def-g10-functions-variations). Voor $\sqrt2 \leq u < v$ is $uv > 2$: [stijgend](#def-g10-functions-variations). Keerpunt: $\sqrt2$.

**7.** [Dalend](#def-g10-functions-variations) vóór $\sqrt2$, [stijgend](#def-g10-functions-variations) erna: $f$ bereikt haar [minimum](#def-g10-functions-extrema) in $\sqrt2$, met waarde $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. Gevolg: elke uitvoer van de machine (bij positieve invoer) is minstens $\sqrt2$ — na één slag aan de zwengel wonen de schattingen in $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

**8.** Is $x > \sqrt2$, dan is $x^2 > 2$, dus $\frac2x < x$, en het gemiddelde $f(x)$ van $x$ en $\frac2x$ is kleiner dan $x$; en $f(x) \geq
\sqrt2$ volgens vraag 7, met gelijkheid alleen in $x = \sqrt2$. Dus is $\sqrt2 < f(x) < x$: elke iteratie verbetert strikt zonder voorbij te schieten — de rij uit vraag 4 glijdt neer op $\sqrt2$.

**9.** Op $\intoo{0}{+\infty}$: [dalend](#def-g10-functions-variations) van $+\infty$ (dicht bij $0$) tot het [minimum](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ in $x = \sqrt2$, daarna onbegrensd [stijgend](#def-g10-functions-variations).

**10.** $g(x) = x$ geeft $x^2 = x$, dus $x(x - 1) = 0$: vaste punten $0$ en $1$. Vanaf $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — glijdend naar $0$. Vanaf $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — wegvluchtend naar oneindig. Het vaste punt $0$ trekt aan, $1$ stoot af: een haarbreed verschil bij de start, tegengestelde lotsbestemmingen.

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to
20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: zestien stappen, met een piek op $52$.

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142
\to 71 \to 214 \to \dots$ — na tien stappen nog altijd klimmend, op weg naar een piek van $9\,232$ en een vlucht van $111$ stappen. De les: een regel van twee regels kan gedrag voortbrengen dat niemand in één oogopslag voorspelt — buurgetallen ($26$, $27$, $28$) hebben wild uiteenlopende vluchten.

**13.** Een macht van $2$ halveert zijn hele ladder af: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. Onderaan is $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: de vlucht komt in de cyclus $4 \to 2 \to 1 \to 4$ terecht. Een [vast punt](#pb-g10-functions-1) zou $\frac n2 = n$ vragen (alleen $n = 0$) of $3n + 1 = n$ (negatief): geen enkel onder de positieve [gehele getallen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) — de waargenomen vluchten eindigen niet in een [vast punt](#pb-g10-functions-1) maar in die kleine *cyclus*.

**14.** Een tegenvoorbeeld zou ofwel een vlucht zijn die eeuwig groeit (nooit terug naar $1$), ofwel een tweede cyclus los van $4 \to 2 \to 1$. Verificatie tot $10^{20}$ laat oneindig veel ongeteste getallen over — precies de les over de gebieden in de cirkel uit de weekendopgave over het orakel met de luciferstokjes in het onderbouwvolume: overeenstemming in eindig veel gevallen bewijst niets over alle.

**15.** Bij de machine van Heron hadden we *structuur* — een ontbonden verschil (vraag 6) dat het verloop blootlegt, een [minimum](#def-g10-functions-extrema), een insluiting — terwijl de pariteitsschakelaar van de hagelsteen geen enkel zulk houvast biedt: niemand heeft de structuur gevonden die haar temt.

**16.** $\sqrt{x - 3}$: vereist $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: vereist $x \neq \pm 3$: $\R$ zonder $-3$ en $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: vereist $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

**17.** $f(x) = 3$ geeft $x + \frac2x = 6$, dus $x^2 - 6x + 2 = 0$, dus $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ of $x = 3 + \sqrt7$ (beide positief: twee exacte originelen).

**18.** Fysische zin zolang de steen in de lucht is: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ voor $t \in \intcc{0}{4}$. Kwadraat aanvullen: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: [maximum](#def-g10-functions-extrema) $20$ m in $t = 2$ s. Verloop: [stijgend](#def-g10-functions-variations) op $\intcc{0}{2}$ van $0$ tot $20$, [dalend](#def-g10-functions-variations) op $\intcc{2}{4}$ terug tot $0$.

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: twee volle seconden boven $15$ m.

**20.** Elke machine heeft een [domein](#def-g10-functions-function) (waar het voorschrift mag werken), een voorschrift (de formule of de pariteitsschakelaar) en een [grafiek](#def-g10-functions-graph) of tabel die haar in haar geheel toont. Aan elk stelden we de twee grote vragen: *waar leidt herhaling heen* (vaste punten, cycli, aantrekking — opgelost voor Heron, open voor de hagelsteen) en *hoe beweegt de uitvoer met de invoer mee* (verloop, extrema — de top van de steen, het [minimum](#def-g10-functions-extrema) van Heron). De volgende hoofdstukken verscherpen beide: eerst de referentiefuncties, en in latere jaren de afgeleiden om het verloop te meten en de limieten om te bevestigen waar iteraties belanden.