---
title: "Vectoren, rechten en vlakken in de ruimte"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 31
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/31-vectoren-rechten-en-vlakken-in-de-ruimte
---

# Hoofdstuk 31 — Vectoren, rechten en vlakken in de ruimte

De meetkunde van de drie dimensies wordt berekenbaar zodra [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) en [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) beschikbaar zijn: rechten krijgen een parametervoorstelling, vlakken krijgen een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation), en het [scalair product](#def-g12-space-dot) meet hoeken en afstanden. Dit hoofdstuk bouwt die gereedschapskist op en lost er de klassieke problemen over [doorsneden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) en afstanden mee op.

## 31.1 Vectoren in de ruimte

[Vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) in de ruimte gehoorzamen aan dezelfde regels als in het vlak: ze tellen op, ze schalen, en $\vect{AB} = \vect{CD}$ precies wanneer $ABDC$ een parallellogram is. In een [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $(O; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ heeft elke [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $(x, y, z)$.

**Definitie 31.1 (Collineair, coplanair).**

Twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) heten *[collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear)* als de ene een veelvoud van de andere is. Drie [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vec u, \vec v, \vec w$ heten *coplanair* als een van hen als een combinatie van de twee andere geschreven kan worden, bijvoorbeeld $\vec w = a\vec u + b\vec v$.

**Propositie 31.2.**

Zijn $\vec u, \vec v, \vec w$ niet [coplanair](#def-g12-space-collinear), dan valt elke [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) van de ruimte op precies één manier uiteen als $x\vec u + y\vec v + z\vec w$.

**Idee van het bewijs.** Trek door het uiteinde van de te [ontbinden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-expand) [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) de rechte evenwijdig met $\vec w$; die snijdt het vlak van $\vec u$ en $\vec v$ in één enkel punt, dat de [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) splitst in een component in dat vlak (op één manier $x\vec u + y\vec v$, vlakke meetkunde) en een component langs $\vec w$. Uniciteit: een [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) van twee ontbindingen zou een van de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) in [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van de twee andere uitdrukken, in tegenspraak met de niet-coplanariteit. ∎

## 31.2 Rechten en vlakken

**Definitie 31.3 (Parametervoorstelling van een rechte).**

De rechte door $A(x_A, y_A, z_A)$ met [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) $\vec u (a, b, c) \neq \vec 0$ is de verzameling van de punten

$$
M(x_A + ta,\; y_A + tb,\; z_A + tc), \qquad t \in \R .
$$

**Definitie 31.4 (Vlak).**

Het vlak door $A$ opgespannen door twee niet-collineaire [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vec u, \vec v$ is de verzameling van de punten $M$ met $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$, $(s, t) \in \R^2$.

![Links: de rechte door A met richting u, geijkt door de parameter t. Rechts: het vlak door A opgespannen door u en v; elk punt M van het vlak wordt bereikt als AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-fe0897e01060.svg)

![Links: de rechte door A met richting u, geijkt door de parameter t. Rechts: het vlak door A opgespannen door u en v; elk punt M van het vlak wordt bereikt als AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-7463ec207c91.svg)

*Links: de rechte door $A$ met richting $\vec u$, geijkt door de parameter $t$. Rechts: het vlak door $A$ opgespannen door $\vec u$ en $\vec v$; elk punt $M$ van het vlak wordt bereikt als $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$.*

**Propositie 31.5 (Onderlinge liggingen).**

Twee verschillende vlakken zijn ofwel evenwijdig, ofwel snijden ze elkaar volgens een rechte. Een rechte en een vlak zijn ofwel evenwijdig (eventueel met de rechte in het vlak), ofwel snijden ze elkaar in één enkel punt. Twee rechten in de ruimte kunnen snijdend, strikt evenwijdig, samenvallend of *kruisend* (niet [coplanair](#def-g12-space-collinear)) zijn.

**Schets.** Het gaat om uitspraken over incidentie; elke gevalsonderscheiding herleidt zich in [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) tot het oplossen van een [lineair stelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/7-vergelijkingen-van-rechten-en-lineaire-stelsels#def-g10-lines-system) en het tellen van de oplossingen — zie [Methode 31.10](#met-g12-space-intersections). ∎

## 31.3 Scalair product

**Definitie 31.6 (Scalair product).**

Het *scalair product* van $\vec u$ en $\vec v$ is

$$
\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2
- \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),
$$

waarbij $\norm{\vec u}$ de lengte van $\vec u$ is. Zijn beide [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) verschillend van $\vec 0$, dan is $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ met $\theta$ de hoek tussen beide; en in een *[orthonormaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system)* [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) geldt

$$
\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .
$$

Twee [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) heten *[orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal)* als hun scalair product $0$ is.

**Propositie 31.7 (Eigenschappen).**

Het [scalair product](#def-g12-space-dot) is symmetrisch ($\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$) en bilineair ($(a\vec u + b\vec v)\cdot \vec w = a\,\vec u\cdot\vec w +
b\,\vec v\cdot \vec w$), en $\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2 \geq 0$.

**Bewijs.** In een [orthonormaal assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) zijn alle drie de eigenschappen onmiddellijk af te lezen op de formule $xx' + yy' + zz'$, die zelf volgt uit de definiërende formule en uit de berekening van de lengtes met Pythagoras: $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 + z^2$. ∎

**Definitie 31.8 (Normaalvector).**

Een *normaalvector* van een vlak $\mathcal P$ is een [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) verschillend van $\vec 0$ die [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) is met elke [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) die in $\mathcal P$ ligt (het volstaat dat hij [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) is met twee niet-collineaire richtingen van $\mathcal P$).

![Een normaalvector n van het vlak P is orthogonaal met elke richting van P. Het punt H, de voet van de loodlijn uit M_0, verwezenlijkt de afstand van M_0 tot het vlak.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-c59e2488424e.svg)

*Een [normaalvector](#def-g12-space-normal) $\vec n$ van het vlak $\mathcal P$ is [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) met elke richting van $\mathcal P$. Het punt $H$, de voet van de loodlijn uit $M_0$, verwezenlijkt de afstand van $M_0$ tot het vlak.*

**Stelling 31.9 (Cartesische vergelijking van een vlak).**

In een [orthonormaal assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) heeft het vlak door $A$ met [normaalvector](#def-g12-space-normal) $\vec n(a, b, c)$ als [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation)

$$
a x + b y + c z + d = 0,
$$

met $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$. Omgekeerd bepaalt elke zulke [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) met $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ een vlak met [normaalvector](#def-g12-space-normal) $(a, b, c)$.

**Bewijs.** $M \in \mathcal P \iff \vect{AM} \perp \vec n \iff
a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, wat uitgewerkt de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) oplevert. Omgekeerd: kies een willekeurig punt $A$ dat aan de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) voldoet; dezelfde berekening in omgekeerde richting toont dat de oplossingsverzameling $\{M : \vect{AM}\cdot\vec n = 0\}$ is, het vlak door $A$ loodrecht op $\vec n$. ∎

**Methode 31.10 (Doorsneden in de praktijk).**

- *Rechte $\cap$ vlak* : vul de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) uit de parametervoorstelling van de rechte in de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van het vlak in en los op naar $t$ (één oplossing: één punt; $0 =$ iets van nul verschillend: evenwijdig; $0 = 0$ : de rechte ligt in het vlak).
- *Vlak $\cap$ vlak* : los het stelsel van de twee [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op en parametriseer met één vrije coördinaat; de oplossing is een rechte (of de vlakken zijn evenwijdig wanneer de [normaalvectoren](#def-g12-space-normal) [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear) zijn).
- *Toetsen op orthogonaliteit* : een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als haar richting [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear) is met de normaal; twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun normalen [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) zijn.

**Propositie 31.11 (Afstand van een punt tot een vlak).**

In een [orthonormaal assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) is de afstand van $M_0(x_0, y_0, z_0)$ tot het vlak $\mathcal P : ax + by + cz + d = 0$ gelijk aan

$$
\operatorname{dist}(M_0, \mathcal P)
= \frac{\abs{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
$$

**Bewijs.** Zij $H$ de [orthogonale](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) projectie van $M_0$ op $\mathcal P$: de voet van de loodlijn, zodat $\vect{HM_0}$ [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear) is met de eenheidsnormaal $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ en de afstand $\abs{\vect{HM_0}\cdot \frac{\vec n}{\norm{\vec n}}}$ bedraagt. Voor elke $H \in \mathcal P$ geldt $\vect{HM_0}\cdot\vec n = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_H + by_H + cz_H)
= ax_0 + by_0 + cz_0 + d$ (met de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) in $H$), waaruit de formule volgt na deling door $\norm{\vec n} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. ∎

**Voorbeeld 31.12.**

Afstand van de oorsprong tot het vlak $x + 2y + 2z - 6 = 0$: $\frac{\abs{-6}}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2$.

## 31.4 Oefeningen

In alle oefeningen is het [assenstelsel](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) [orthonormaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system).

**Oefening 31.1 ★.**

Zij $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 1)$ en $C(2, -1, 3)$. Liggen de punten $A$, $B$ en $C$ op één rechte? Geef een parametervoorstelling van de rechte $(AB)$.

**Oplossing van Oefening 31.1.**

$\vect{AB}(2, 1, -1)$ en $\vect{AC}(1, -1, 1)$ zijn niet evenredig ($\frac21 \neq \frac{1}{-1}$), dus de punten liggen niet op één rechte. De rechte $(AB)$:

$$
(x, y, z) = (1 + 2t,\; t,\; 2 - t), \qquad t \in \R .
$$

**Oefening 31.2 ★.**

Bepaal een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van het vlak door $A(1, 1, 0)$ met [normaalvector](#def-g12-space-normal) $\vec n(2, -1, 3)$. Behoort het punt $B(0, 2, 1)$ ertoe?

**Oplossing van Oefening 31.2.**

$2(x - 1) - (y - 1) + 3(z - 0) = 0$, dat wil zeggen

$$
2x - y + 3z - 1 = 0 .
$$

Voor $B(0,2,1)$: $0 - 2 + 3 - 1 = 0$: ja, $B$ ligt in het vlak.

**Oefening 31.3 ★.**

Bereken de hoek in $A$ (op één graad nauwkeurig) van de driehoek met hoekpunten $A(0,0,0)$, $B(1, 1, 0)$ en $C(1, 0, 1)$.

**Oplossing van Oefening 31.3.**

$\vect{AB}(1,1,0)$ en $\vect{AC}(1,0,1)$:

$$
\cos\widehat{A}
= \frac{\vect{AB}\cdot\vect{AC}}{\norm{\vect{AB}}\,\norm{\vect{AC}}}
= \frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac12,
$$

dus $\widehat A = 60^\circ$.

**Oefening 31.4 ★★.**

Beschouw de rechte $\mathcal D$ door $A(1, 2, 0)$ met richting $\vec u(1, -1, 2)$, en het vlak $\mathcal P : 2x + y - z + 1 = 0$. Bepaal $\mathcal D \cap \mathcal P$.

**Oplossing van Oefening 31.4.**

De punten van $\mathcal D$: $(1 + t,\, 2 - t,\, 2t)$. Invullen in de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van $\mathcal P$:

$$
2(1+t) + (2 - t) - 2t + 1 = 5 - t = 0 \iff t = 5 .
$$

Eén enkel snijpunt: $(6, -3, 10)$.

**Oefening 31.5 ★★.**

Zij $\mathcal P : x - y + 2z = 1$ en $\mathcal Q : 2x + y + z = 4$. Toon aan dat $\mathcal P$ en $\mathcal Q$ elkaar volgens een rechte snijden en geef daarvan een parametervoorstelling.

**Oplossing van Oefening 31.5.**

De [normaalvectoren](#def-g12-space-normal) $(1, -1, 2)$ en $(2, 1, 1)$ zijn niet [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear), dus de vlakken snijden elkaar volgens een rechte. De twee [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) optellen geeft $3x + 3z = 5$, dus $x = \frac53 - z$; de eerste [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) geeft dan $y = x + 2z - 1 = \frac23 + z$. Met $z = t$:

$$
(x, y, z) = \left(\frac53 - t,\; \frac23 + t,\; t\right), \qquad t \in \R,
$$

een rechte met [richtingsvector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-direction) $(-1, 1, 1)$. (Beide [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) kloppen identiek.)

**Oefening 31.6 ★★.**

Toon aan dat de rechten

$$
\mathcal D_1 : (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; 3 - t), \qquad
\mathcal D_2 : (x, y, z) = (2 + s,\; 1 + s,\; 1 + 2s)
$$

kruisend zijn (niet [coplanair](#def-g12-space-collinear)).

**Oplossing van Oefening 31.6.**

De richtingen $\vec u_1(1, 2, -1)$ en $\vec u_2(1, 1, 2)$ zijn niet [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear), dus de rechten zijn niet evenwijdig. Snijden zouden ze alleen als

$$
1 + t = 2 + s, \qquad 2t = 1 + s, \qquad 3 - t = 1 + 2s .
$$

De twee eerste geven $t = 1 + s$ en $2(1+s) = 1 + s$, dus $s = -1$ en $t = 0$; maar dan luidt de derde $3 = -1$, ongerijmd. Geen gemeenschappelijk punt en niet evenwijdig: de rechten zijn kruisend.

**Oefening 31.7 ★★.**

Zij $\mathcal P : 2x - y + 2z - 3 = 0$.

1. Bereken de afstand van $M_0(3, 1, 1)$ tot $\mathcal P$ .
2. Bepaal de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) van de [orthogonale](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) projectie $H$ van $M_0$ op $\mathcal P$ , en controleer de afstand $M_0H$ .

**Oplossing van Oefening 31.7.**

*1.* $\operatorname{dist} = \dfrac{\abs{2\cdot3 - 1 + 2\cdot1 - 3}}
{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$.

*2.* $H = M_0 + t\,\vec n$ met $\vec n(2, -1, 2)$, waarbij $t$ zo gekozen wordt dat $H \in \mathcal P$:

$$
2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) - 3 = 4 + 9t = 0 \iff t = -\frac49 .
$$

Dus $H\left(\frac{19}{9}, \frac{13}{9}, \frac19\right)$, en

$$
M_0H = \norm{t\,\vec n} = \frac49 \times 3 = \frac43,
$$

in overeenstemming met de afstandsformule.

**Oefening 31.8 ★★★.**

De kubus $ABCDEFGH$ heeft ribbe $1$; kies de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) zo dat $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$ en $E(0,0,1)$ (met $C = B + D$, $F = B + E$, $G = B + D + E$ en $H = D + E$ als [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) vanuit $A$).

1. Toon aan dat de diagonaal $(AG)$ [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) is met het vlak $(BDE)$ .
2. Bereken de afstand van $A$ tot het vlak $(BDE)$ , en het punt waar $(AG)$ er doorheen prikt.

**Oplossing van Oefening 31.8.**

[Coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system): $G(1,1,1)$, en het vlak $(BDE)$ gaat door $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$ en $E(0,0,1)$.

*1.* Het vlak $(BDE)$ heeft als [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = 1$ (voldaan door de drie punten, die niet op één rechte liggen), dus is $\vec n(1,1,1)$ er een [normaalvector](#def-g12-space-normal) van. Omdat $\vect{AG} = (1,1,1) = \vec n$, is de diagonaal $(AG)$ [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) met het vlak $(BDE)$.

*2.* Afstand vanaf $A(0,0,0)$: $\frac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$. De rechte $(AG)$ is $(t, t, t)$; ze ontmoet het vlak zodra $3t = 1$: in het punt $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$, het zwaartepunt van de driehoek $BDE$.

**Oefening 31.9 ★★★.**

*(Volume van een viervlak.)* Zij $A(1,1,1)$, $B(2,1,0)$, $C(0,2,1)$ en $D(2,2,2)$.

1. Ga na dat $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ en $\vect{AD}$ niet [coplanair](#def-g12-space-collinear) zijn (de punten vormen een echt viervlak).
2. Zoek een [vector](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $\vec n$ [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) met zowel $\vect{BC}$ als $\vect{BD}$ , en leid een cartesische [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van het vlak $(BCD)$ af.
3. Bereken de afstand van $A$ tot het vlak $(BCD)$ en de oppervlakte van de driehoek $BCD$ , met de formule $\text{Opp} = \frac12\sqrt{\norm{\vec u}^2\norm{\vec v}^2 -  (\vec u \cdot \vec v)^2}$ voor de driehoek opgespannen door $\vec u$ en $\vec v$ .
4. Leid het volume van het viervlak af ( $V = \frac13 \times \text{grondvlak} \times \text{hoogte}$ ).

**Oplossing van Oefening 31.9.**

*1.* $\vect{AB}(1, 0, -1)$, $\vect{AC}(-1, 1, 0)$ en $\vect{AD}(1, 1, 1)$. Zou $\vect{AD} = a\vect{AB} + b\vect{AC}$ gelden, dan geven de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) $a - b = 1$, $b = 1$ en $-a = 1$: de twee eerste dwingen $a = 2$ af, in tegenspraak met $a = -1$. Niet [coplanair](#def-g12-space-collinear).

*2.* $\vect{BC}(-2, 1, 1)$ en $\vect{BD}(0, 1, 2)$. Los $\vec n \cdot \vect{BC} = \vec n \cdot \vect{BD} = 0$ op: uit $b + 2c = 0$ volgt $b = -2c$; dan geeft $-2a - 2c + c = 0$ dat $c = -2a$. Met $a = 1$: $\vec n(1, 4, -2)$. Het vlak door $B(2,1,0)$:

$$
x + 4y - 2z - 6 = 0 .
$$

*3.* Afstand vanaf $A(1,1,1)$: $\dfrac{\abs{1 + 4 - 2 - 6}}{\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}}$. Oppervlakte van $BCD$: $\norm{\vect{BC}}^2 = 6$, $\norm{\vect{BD}}^2 = 5$ en $\vect{BC}\cdot\vect{BD} = 3$, dus

$$
\text{Opp} = \frac12\sqrt{6 \times 5 - 9} = \frac{\sqrt{21}}{2}.
$$

*4.*

$$
V = \frac13 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{21}}
= \frac12 .
$$

## 31.5 Opgave: de kubus doorsnijden

**Probleem 31.1.**

Weekendopgave — een vlak snijdt een kubus tot een volmaakte zeshoek, een regelmatig viervlak verstopt zich in de hoeken, en de hoek van de diagonaal vormt elke diamant

Snijd een kubus door en je verwacht vierkanten en rechthoeken — en toch levert één beroemde snede een *regelmatige zeshoek* op, en laten vier slimme hoeksnedes een *regelmatig viervlak* achter. Beide verrassingen, en de hoek van $109.5^\circ$ die de koolstofatomen vereren, bezwijken voor de gereedschapskist van dit hoofdstuk: parametervoorstellingen van rechten, [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van vlakken en het [scalair product](#def-g12-space-dot) ([Stelling 31.9](#thm-g12-space-planeeq), [Propositie 31.11](#prop-g12-space-distance)). Gebruik overal de kubus van [Oefening 31.8](#exo-g12-space-8): ribbe $1$, $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $C(1,1,0)$, $F(1,0,1)$, $H(0,1,1)$, $G(1,1,1)$.

**Deel I — Vlotheid.**

1. Schrijf de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) op van het vlak door $B(1,0,0)$ met [normaalvector](#def-g12-space-normal) $(1,1,1)$ , een parametervoorstelling van de rechte door $A$ met richting $(1,1,1)$ , en hun snijpunt.
2. Bereken de afstand van $A$ tot dat vlak ( [Propositie 31.11](#prop-g12-space-distance) ).
3. Zijn de [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) $(1,-1,0)$ en $(1,1,-2)$ [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) ?
4. Hoe liggen de vlakken $x + y + z = 1$ en $2x + 2y + 2z = 5$ ten opzichte van elkaar? En de rechte door $A$ met richting $(1,1,0)$ ten opzichte van het eerste vlak?
5. Som de [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) op van de zes ribben $[BC], [CD], [DH], [HE], [EF],  [FB]$ van de kubus, en ga na dat alle zes aan de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = \frac32$ voldoen.

**Deel II — De zeshoekige [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion).** Zij $P$ het vlak $x + y + z = \frac32$.

6. Toon aan dat $P$ loodrecht staat op de lichaamsdiagonaal $(AG)$ en door het middelpunt van de kubus gaat.
7. Bereken de afstanden tussen de opeenvolgende [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) uit vraag 5 langs de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) : wat vind je?
8. Bereken de hoek van de veelhoek van de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) in één hoekpunt (twee opeenvolgende zijdevectoren en een [scalair product](#def-g12-space-dot) ). Besluit: de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) is een *regelmatige zeshoek* .
9. Bereken de omtrek en de oppervlakte van de zeshoek, en vergelijk die oppervlakte met die van een zijvlak van de kubus. (Voor de volledigheid: de grootste vlakke [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) van de eenheidskubus is de diagonale rechthoek $1 \times \sqrt2$ , met oppervlakte $\sqrt2$ — de regelmatige zeshoek pakt het zilver.)
10. Waar prikt de diagonaal $(AG)$ door $P$ ? Ga na dat het prikpunt het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AG]$ is.
11. Laat de snede schuiven: beschrijf de [doorsneden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) $x + y + z = c$ naarmate $c$ van $0$ tot $3$ groeit — bereken de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) voor $c = \frac12$ (welke veelhoek, welke afmeting?), en vertel de gedaanteverwisseling die bij $c = \frac32$ door jouw zeshoek gaat.
12. Waarom kan geen enkel vlak een kubus in een veelhoek met *zeven* zijden snijden? (Waar moet elke zijde van de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) liggen?)

**Deel III — Het verborgen viervlak.**

13. Bereken het volume van het hoekviervlak $ABDE$ (grondvlak, hoogte en de formule met een derde die het onderbouwvolume aannam — [Oefening 31.9](#exo-g12-space-9) berekent zulke volumes in het algemeen).
14. De vier hoekpunten $B$ , $D$ , $E$ en $G$ : bereken alle zes de paarsgewijze afstanden en besluit dat $BDEG$ een *regelmatig* viervlak is. Bepaal daarna zijn volume door de hoekviervlakken van de kubus af te trekken.
15. Bereken de afstand van het middelpunt van de kubus tot het vlak $(BDE)$ .
16. De diamanthoek: bereken de hoek tussen de diagonalen $\vect{AG}$ en $\vect{BH}$ van de kubus. Haar supplement, ongeveer $109.5^\circ$ , is de hoek tussen de bindingen in diamant en in methaan — waarom kiezen vier elektronenparen rond een koolstofatoom de hoekpunten van het viervlak uit vraag 14?

**Deel IV — Echt driedimensionaal.**

17. Zoek waar de rechte door $B(1,0,0)$ met richting $(0,1,1)$ door het vlak $P$ van de zeshoek prikt.
18. Toon aan dat de rechten $(AB)$ en $(EG)$ elkaar niet snijden en niet evenwijdig zijn: *kruisende* rechten, het verschijnsel dat in een vlak onmogelijk is.
19. Bereken de [orthogonale](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal) projectie van $B$ op $P$ (loop van $B$ uit langs de normaal tot aan het vlak), en ga na dat jouw punt aan de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van $P$ voldoet.
20. Slotstuk — de uitrusting van de landmeter in de ruimte: parametervoorstellingen om door te prikken, [normaalvectoren](#def-g12-space-normal) voor hoeken en afstanden, [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van vlakken voor [doorsneden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) ; en de kubus als speelterrein waar ze een zeshoek, een regelmatig viervlak, de diamanthoek en een paar kruisende rechten voortbrachten. Telkens één zin.

**Oplossing van Probleem 31.1.**

**1.** Het vlak: $x + y + z = 1$. De rechte: $(t, t, t)$. Het snijpunt: $3t = 1$, dus $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$.

**2.** $\dfrac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3} =
\dfrac{\sqrt3}{3}$.

**3.** $1 - 1 + 0 = 0$: [orthogonaal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-orthogonal).

**4.** Dezelfde normaal $(1,1,1)$, maar $\frac52 \neq 1$: strikt evenwijdige vlakken. De rechte: haar richting geeft $(1,1,0) \cdot (1,1,1) = 2 \neq 0$: niet evenwijdig met het vlak, dus ze prikt er in één punt doorheen.

**5.** De [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(1, \frac12, 0\right)$, $\left(\frac12, 1, 0\right)$, $\left(0, 1, \frac12\right)$, $\left(0, \frac12, 1\right)$, $\left(\frac12, 0, 1\right)$ en $\left(1, 0, \frac12\right)$: elk heeft $\frac32$ als som van zijn [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system).

**6.** De normaal van $P$ is $(1,1,1)$, de richting van $(AG)$: loodrecht. Het middelpunt $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$ heeft coördinatensom $\frac32$: het ligt op $P$.

**7.** Opeenvolgende [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) verschillen over [vectoren](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-vector) zoals $\left(-\frac12, \frac12, 0\right)$: telkens lengte $\frac{\sqrt2}{2}$ — zes gelijke zijden.

**8.** In $\left(\frac12, 1, 0\right)$: de zijdevectoren $\left(\frac12, -\frac12, 0\right)$ en $\left(-\frac12, 0, \frac12\right)$ hebben [scalair product](#def-g12-space-dot) $-\frac14$ en [normen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/16-het-scalair-product-in-het-vlak#def-g11-scal-dot) $\frac{\sqrt2}{2}$, dus $\cos = -\frac12$: de hoek is $120^\circ$. Gelijke zijden en gelijke hoeken van $120^\circ$: een regelmatige zeshoek.

**9.** Omtrek $6 \times \frac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4.24$. Oppervlakte $6 \times \frac{\sqrt3}{4} \times \frac12 = \frac{3\sqrt3}{4}
\approx 1.30$: groter dan een zijvlak (oppervlakte $1$) — een snede groter dan elke zijde van de doos; alleen de diagonale rechthoek ($\sqrt2 \approx 1.41$) doet beter.

**10.** $(t,t,t)$ ontmoet $P$ bij $t = \frac12$: het middelpunt — en dat is het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $[AG]$ ($A$ bij $t = 0$, $G$ bij $t = 1$).

**11.** Voor $c = \frac12$ snijdt het vlak de drie ribben bij de hoek van $A$, in $\left(\frac12,0,0\right)$, $\left(0,\frac12,0\right)$ en $\left(0,0,\frac12\right)$: een gelijkzijdige driehoek met zijde $\frac{\sqrt2}{2}$. Naarmate $c$ groeit, groeit die driehoek, worden zijn hoeken afgeknot tot een zeshoek (regelmatig precies bij $c = \frac32$), en krimpt het [beeld](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-function) daarna symmetrisch terug tot een driehoek bij de hoek van $G$: de gedaanteverwisseling van een geslepen kristal.

**12.** Elke zijde van de [doorsnede](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) is de snijding van het snijvlak met één *zijvlak* van de kubus, en een vlak ontmoet een zijvlak (een vlakke veelhoek) in ten hoogste één lijnstuk: dus ten hoogste $6$ zijden. Zeven is onmogelijk; drie tot en met zes komen alle voor (de vragen 8 en 11 tonen er twee van).

**13.** Grondvlak $ABD$: een rechthoekige driehoek met oppervlakte $\frac12$; hoogte $AE = 1$: volume $\frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16$.

**14.** Elk paar uit $B, D, E, G$ verschilt in precies twee [coördinaten](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#def-g10-coordgeom-system) over $1$: alle zes de afstanden zijn $\sqrt2$ — regelmatig. De kubus valt uiteen in $BDEG$ plus vier hoekviervlakken congruent met $ABDE$: volume $1 - 4 \times \frac16 = \frac13$.

**15.** Het vlak $(BDE)$: $x + y + z = 1$; het middelpunt $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$: afstand $\frac{\abs{\frac32 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{6}$.

**16.** $\vect{AG} = (1,1,1)$ en $\vect{BH} = (-1,1,1)$: $\cos\theta = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac13$, dus $\theta \approx 70.5^\circ$, met supplement $\approx 109.5^\circ$. Vier elektronenparen stoten elkaar af en spreiden zich zo ver mogelijk rond het koolstofatoom: het optimum zijn de hoekpunten van het regelmatige viervlak, waarvan de richtingen van het middelpunt naar de hoekpunten elkaar onder precies die hoek ontmoeten — diamant is vraag 14, uitgekristalliseerd.

**17.** $(1, t, t)$ ligt op $P$ zodra $1 + 2t = \frac32$, dus $t = \frac14$: het punt $\left(1, \frac14, \frac14\right)$.

**18.** $(AB)$: de punten $(t, 0, 0)$; $(EG)$: de punten $(s, s, 1)$. Snijden zou $0 = 1$ vragen in de derde coördinaat: nooit. Evenwijdig zijn zou vragen dat $(1,0,0)$ en $(1,1,0)$ [collineair](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/15-vectoren-en-rechten-in-het-vlak#def-g11-vect-collinear) zijn: nee. Ze snijden elkaar niet en zijn niet evenwijdig: kruisend — twee gangen op verschillende verdiepingen.

**19.** $B + t(1,1,1) = (1 + t, t, t)$ ligt op $P$ zodra $1 + 3t = \frac32$, dus $t = \frac16$: de projectie $\left(\frac76, \frac16, \frac16\right)$, met coördinatensom $\frac32$: op $P$, zoals gevraagd.

**20.** Parametervoorstellingen prikken door (de vragen 1, 10 en 17); [normaalvectoren](#def-g12-space-normal) meten hoeken en afstanden (de vragen 2, 8, 15 en 16); [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van vlakken snijden [doorsneden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interunion) uit (de gedaanteverwisseling van driehoek naar zeshoek). En het speelterrein betaalde het bezoek terug: een regelmatige zeshoek in een doos van vierkanten, een regelmatig viervlak in de hoeken, de hoek van diamant, en twee rechten die elkaar negeren — meetkunde die alleen de ruimte kan bieden.