---
title: "Toevalsvariabelen en de binomiale verdeling"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling
---

# Hoofdstuk 33 — Toevalsvariabelen en de binomiale verdeling

Een [toevalsvariabele](#def-g12-randvar-rv) hangt aan elke uitkomst van een experiment een getal: een winst, een aantal, een duur. Haar [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) is het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) op lange termijn van de waarden die ze voortbrengt, haar [variantie](#def-g12-randvar-exp) meet hun spreiding. De ster van dit hoofdstuk is de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial), die de successen telt in herhaalde onafhankelijke proeven. [Toevalsvariabelen](#def-g12-randvar-rv) en de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) kwamen voor het eerst aan bod in Hoofdstukken [18](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#ch-g11-prob) en [19](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/19-de-binomiale-verdeling#ch-g11-binom); dit hoofdstuk herneemt en verdiept ze, nu de combinatorische gereedschappen van [Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/27-combinatoriek-en-tellen#ch-g12-comb) beschikbaar zijn.

## 33.1 Discrete toevalsvariabelen

**Definitie 33.1 (Toevalsvariabele, kansverdeling).**

Een *toevalsvariabele* op een eindige [uitkomstenverzameling](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model) $\Omega$ is een [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. Haar *kansverdeling* bestaat uit haar mogelijke waarden $x_1, \dots, x_k$ en de kansen

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**Definitie 33.2 (Verwachtingswaarde, variantie, standaardafwijking).**

De *verwachtingswaarde* van $X$ is

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

haar *variantie* en haar *[standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance)* zijn

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Propositie 33.3 (Formule van König–Huygens).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**Bewijs.** Schrijf $m = \E(X)$ en werk uit:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**Propositie 33.4 (Affiene transformatie).**

Voor $a, b \in \R$ geldt

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**Bewijs.** De eerste is een herschikking van de definiërende som. Voor de tweede: $aX + b$ wijkt van zijn [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) af over $a(X - \E(X))$, en kwadrateren vermenigvuldigt met $a^2$. ∎

**Voorbeeld 33.5 (Eerlijke spelen).**

Een spel kost $2$ euro; er wordt met een dobbelsteen gegooid, en de speler ontvangt de getoonde waarde als die minstens $5$ is, en anders niets. De winst $G$ neemt de waarden $-2$ ([kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $\frac46$), $3$ ($\frac16$) en $4$ ($\frac16$) aan:

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

Gemiddeld verliest de speler $17$ cent per spel: het spel is ongunstig (zoals de meeste echte spelen).

## 33.2 Bernoulli-experimenten en de binomiale verdeling

**Definitie 33.6 (Verdeling van Bernoulli).**

Een *bernoulli-experiment* is een experiment met twee uitkomsten, *succes* ([kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p$) en *mislukking* ($q = 1 - p$). De indicator $X$ van succes ($X = 1$ bij succes, $0$ bij mislukking) volgt de *verdeling van Bernoulli* $\mathcal B(p)$:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(Inderdaad is $\E(X) = p$ en $\E(X^2) = p$, en König–Huygens geeft $\V(X) = p - p^2$.)

**Definitie 33.7 (Binomiale verdeling).**

Herhaal een [bernoulli-experiment](#def-g12-randvar-bernoulli) $n$ keer [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep), en zij $X$ het totale aantal successen. De [kansverdeling](#def-g12-randvar-rv) van $X$ is de *binomiale verdeling* $\mathcal B(n, p)$.

![Drie bernoulli-experimenten: precies 32 = 3 van de 23 paden geven twee successen (rood), elk met kans p2(1-p), dus is (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-6789ce71b273.svg)

*Drie [bernoulli-experimenten](#def-g12-randvar-bernoulli): precies $\binom{3}{2} = 3$ van de $2^3$ paden geven twee successen (rood), elk met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$, dus is $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**Stelling 33.8.**

Is $X \sim \mathcal B(n, p)$, dan geldt voor $0 \leq k \leq n$

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

en

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**Bewijs.** Een opgegeven opeenvolging van uitkomsten met $k$ successen en $n-k$ mislukkingen heeft wegens de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$; het aantal zulke opeenvolgingen is het aantal manieren om de $k$ successen onder de $n$ proeven te plaatsen, namelijk $\binom nk$ ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/27-combinatoriek-en-tellen#ch-g12-comb)). Optellen over de opeenvolgingen geeft de formule — en het binomium van Newton bevestigt dat $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

Voor de [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp), met $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([Oefening 27.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/27-combinatoriek-en-tellen#exo-g12-comb-7)):

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

De formule voor de [variantie](#def-g12-randvar-exp) bewijs je net zo met de identiteit $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, die $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ geeft, waaruit $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (Een structureel bewijs — de [variantie](#def-g12-randvar-exp) van een som van onafhankelijke variabelen — komt met [Stelling 34.4](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#thm-g12-sums-variance).) ∎

![De verdeling B(20, 0.3): gemiddelde np = 6, standaardafwijking √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*De verdeling $\mathcal B(20, 0.3)$: [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $np = 6$, [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**Methode 33.9 (Een binomiale situatie herkennen).**

Ga de drie bestanddelen na voordat je $X \sim \mathcal B(n,p)$ schrijft: een *vast aantal* $n$ proeven; *twee uitkomsten* per proef met *dezelfde* [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p$ op succes; *[onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep)* van de proeven (trekken *met* teruglegging, of uit een grote populatie). Gebruik dan

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

voor “minstens één succes”, en een rekentoestel of cumulatieve tabellen voor $\P(X \leq k)$ in het algemeen.

**Voorbeeld 33.10.**

Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien om minstens $99\%$ [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) op een zes te hebben? Met $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ betekent $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ dat $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, dat wil zeggen $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: vanaf $n = 26$ worpen.

## 33.3 Oefeningen

**Oefening 33.1 ★.**

Een [toevalsvariabele](#def-g12-randvar-rv) $X$ neemt de waarden $-1, 0, 2, 5$ aan met de kansen $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. Bereken $\E(X)$, $\V(X)$ en $\sigma(X)$.

**Oplossing van Oefening 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, dus geeft König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ en $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**Oefening 33.2 ★.**

Een meerkeuzetoets heeft $10$ vragen met elk $4$ mogelijkheden, waarvan er één juist is. Een leerling antwoordt uniform willekeurig en [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep). Zij $X$ het aantal juiste antwoorden.

1. Geef de [kansverdeling](#def-g12-randvar-rv) van $X$ , $\E(X)$ en $\sigma(X)$ .
2. Bereken $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ en $\P(X \geq 1)$ .

**Oplossing van Oefening 33.2.**

*1.* De $10$ vragen zijn onafhankelijke [bernoulli-experimenten](#def-g12-randvar-bernoulli) met $p = \frac14$: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$ en $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**Oefening 33.3 ★.**

Een verzekeraar verzekert $n = 400$ klanten; elk dient in de loop van het jaar een schadeclaim in met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) van de andere. Zij $X$ het aantal claims. Bepaal de [kansverdeling](#def-g12-randvar-rv) van $X$ en bereken haar [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) en [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance).

**Oplossing van Oefening 33.3.**

Onafhankelijke identieke proeven: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, dus $\E(X) = 20$ claims en

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**Oefening 33.4 ★★.**

De organisator van het spel uit [Voorbeeld 33.5](#ex-g12-randvar-game) wil er een eerlijk spel van maken ($\E(G) = 0$) door de inzet $c$ aan te passen. Bepaal $c$. Bereken de [variantie](#def-g12-randvar-exp) van de winst voor die eerlijke versie; is “eerlijk” hetzelfde als “zonder risico”?

**Oplossing van Oefening 33.4.**

De ontvangen uitbetaling $P$ voldoet aan $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} =
\frac{11}{6}$, dus is de eerlijke prijs $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euro. De eerlijke winst $G = P - \frac{11}6$ neemt de waarden $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ aan met de kansen $\frac46, \frac16, \frac16$:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Een eerlijk spel heeft een *[gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean)* winst nul, maar zijn uitkomsten schommelen nog altijd: eerlijk is niet hetzelfde als zonder risico.

**Oefening 33.5 ★★.**

Een basketbalspeelster scoort vrijworpen met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $0.7$. Ze werpt $8$ keer (onafhankelijke worpen). Bereken de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat ze precies $6$ keer scoort, dat ze minstens $6$ keer scoort, en dat ze minstens één keer scoort. Wat is het waarschijnlijkste aantal treffers?

**Oplossing van Oefening 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. De modus: $(n+1)p = 6.3$, dus is de waarschijnlijkste waarde $k^* = 6$ ([Oefening 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**Oefening 33.6 ★★.**

Een luchtvaartmaatschappij weet dat elke geboekte passagier met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $0.9$ komt opdagen, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) van de andere. Een vlucht heeft $100$ zitplaatsen en de maatschappij verkoopt $104$ tickets. Druk met een [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) uit dat er meer passagiers komen opdagen dan er plaatsen zijn, en schat ze numeriek met een rekentoestel (geef de exacte uitdrukking).

**Oplossing van Oefening 33.6.**

Het aantal passagiers dat opdaagt is $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$; de vlucht is overboekt zodra $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

$4\%$ meer tickets verkopen dan er plaatsen zijn, veroorzaakt maar op ongeveer $0.6\%$ van de vluchten een incident — de economie achter het overboeken.

**Oefening 33.7 ★★.**

Zij $X \sim \mathcal B(n, p)$. Toon aan dat

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

en leid af dat de verdeling stijgt tot $k^* = \floor{(n+1)p}$ en daarna daalt (de *modus* van de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial)).

**Oplossing van Oefening 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

met $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. Die verhouding is $\geq 1$ als en slechts als $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$, dat wil zeggen $np - k p \geq k - kp + 1 - p$, dus $k \leq (n+1)p - 1$. De kansen stijgen dus strikt zolang $k + 1 \leq (n+1)p$ en dalen daarna: het [maximum](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/3-functies#def-g10-functions-extrema) wordt bereikt in $k^* = \floor{(n+1)p}$ (gedeeld met $k^* - 1$ wanneer $(n+1)p$ een [geheel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) is).

**Oefening 33.8 ★★★.**

*(Sint-Petersburg, getemd.)* Een zuivere munt wordt opgeworpen tot er kruis valt, maar hoogstens $10$ keer. Zij $N$ het aantal gebruikte worpen; de speler ontvangt $2^N$ euro als er kruis viel, en anders niets.

1. Geef de verdeling van $N$ beperkt tot de winnende uitkomsten: $\P(\text{eerste kruis bij worp } k) = 2^{-k}$ voor $1 \leq k \leq 10$ , en ga de totale [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) om te winnen na.
2. Bereken de verwachte uitbetaling. Wat zou ze worden zonder de grens van $10$ worpen?

**Oplossing van Oefening 33.8.**

*1.* Het eerste kruis bij worp $k$ betekent $k-1$ keer munt en dan kruis: [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, voor $1 \leq k \leq 10$. Totale [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) om te winnen: $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (het spel gaat alleen verloren bij tien keer munt na elkaar).

*2.* Verwachte uitbetaling:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euro}.
$$

Zonder de grens divergeert de som $\sum_{k\geq1} 1$: de verwachte uitbetaling is oneindig, hoewel het spel bijna altijd een klein bedrag uitkeert — de beroemde *paradox van Sint-Petersburg*, die toont dat de [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) alleen de waarde van een spel niet meet.

## 33.4 Opgave: de overboekte vlucht

**Probleem 33.1.**

Weekendopgave — luchtvaartmaatschappijen verkopen meer plaatsen dan ze hebben, fabrieken aanvaarden partijen die ze amper gecontroleerd hebben, en de binomiale verdeling is in beide gevallen scheidsrechter

Een luchtvaartmaatschappij met $100$ zitplaatsen verkoopt vrolijk $105$ tickets: ongeveer $10\,\%$ van de passagiers komt nooit opdagen, en lege stoelen brengen niets op. Hoe ver kan de maatschappij gaan voordat de geweigerde passagiers de winst opeten? De [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) ([Stelling 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) antwoordt tot op de komma — en dezelfde machinerie keurt fabriekspartijen, prijst tombola’s en houdt verzekeraars solvabel. Beslissen onder herhaling: dat is het dagelijkse werk van de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial).

**Deel I — Vlotheid.**

1. Geef de volledige tabel van de [kansverdeling](#def-g12-randvar-rv) van het aantal zessen $X$ in drie worpen met een dobbelsteen.
2. Bereken $\E(X)$ en $V(X)$ ( [Definitie 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. Een kraam vraagt $1$ euro voor drie worpen en betaalt $2$ euro per behaalde zes. Bereken de verwachte winst: een eerlijk spel?
4. Oefening met de checklist ( [Methode 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): is het aantal harten in $5$ kaarten die *zonder* teruglegging getrokken worden binomiaal verdeeld? En met teruglegging? Verantwoord.
5. Geef voor $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ de waarden $\E(X)$ en $\sigma(X)$ , en daarna $\E(S)$ en $\sigma(S)$ voor de score $S = 5X - 10$ ( [Propositie 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**Deel II — De overboekte vlucht.** Zitplaatsen: $100$. Verkochte tickets: $105$. Elke tickethouder komt met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $0.9$ opdagen, [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) van de andere; zij $X$ het aantal dat opdaagt.

6. Model: verantwoord $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ met de checklist — en beken het zwakste punt van het model (zijn de afwezigen werkelijk [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) ? denk aan groepen en aan stormen).
7. Bereken $\E(X)$ en $\sigma(X)$ .
8. Er worden passagiers geweigerd zodra $X \geq 101$ : schrijf $\P(X \geq 101)$ als een expliciete som van vijf binomiale termen.
9. Bereken die som (met het rekentoestel): bij welk aandeel van de vluchten wordt er minstens één passagier geweigerd?
10. Geld: de vijf extra tickets brengen $5 \times 200 = 1\,000$ euro op; elke geweigerde passagier kost $800$ euro aan vergoeding. Bereken het verwachte aantal geweigerde passagiers, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , de verwachte vergoeding, en het oordeel over dit beleid.
11. Ontwerp: de toezichthouder aanvaardt $\P(\text{weigering}) < 5\,\%$ . Zoek door $n = 105, 106, 107, \dots$ tickets te toetsen de grootste toegelaten $n$ .
12. De sluipweg via de klok: bereken voor $n = 105$ de [z-score](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#pb-g11-stat-1) van de weigeringsdrempel, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , en vergelijk de ruwe schatting “ongeveer $2\sigma$ , dus zowat $2$ à $3\,\%$ in de bovenstaart” met je exacte antwoord. (De kromme achter die sluipweg is de ster van de volgende hoofdstukken.)

**Deel III — De fabriekspoort.** Een partij onderdelen wordt aanvaard als een [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) van $20$ hoogstens één defect stuk bevat.

13. Bereken de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) op aanvaarding als het werkelijke uitvalpercentage $2\,\%$ is (een eerlijke partij).
14. Bereken ze opnieuw als het percentage $10\,\%$ is (een slechte partij).
15. Noem de twee risico’s van deze procedure (de eerlijke partij wordt geweigerd; de slechte partij wordt aanvaard), lees hun waarden af uit de vragen 13 en 14, en zeg welke ene aanpassing beide tegelijk verbetert — en tegen welke prijs.
16. Achter die verbetering: toon aan dat de waargenomen uitvalfrequentie $\frac Xn$ in een [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) van omvang $n$ [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ heeft, en besluit hoe de precisie met de omvang van de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) schaalt (een oude bekende: de $\frac{1}{\sqrt n}$ uit het eerste jaar van dit volume).

**Deel IV — Spelen, tombola’s, reserves.**

17. Het begrensde spel van Sint-Petersburg uit [Oefening 33.8](#exo-g12-randvar-8) heeft $10$ euro als verwachte uitbetaling. Zet dat in één alinea af tegen de onbegrensde paradox uit [Probleem 18.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#pb-g11-prob-1) : wat temt de grens precies, en welke prijs zou nu eerlijk zijn?
18. Een tombola voor het goede doel verkoopt $200$ tickets aan $2$ euro; de prijzen zijn één mand van $100$ euro en twee manden van $50$ euro. Bereken de verwachte winst per ticket en de marge van de tombola; vergelijk met de huismarge van $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ bij het Europese roulettespel. Waarom komt de tombola ermee weg?
19. Een verzekeraar heeft $1\,000$ onafhankelijke polissen: [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) op een claim $0.01$ per polis, schadebedrag $10\,000$ euro, premie $130$ euro. Bereken de verwachte jaarwinst *en* de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van de totale schade. Vergelijk beide getallen: wat dwingt die [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) echte verzekeraars aan te houden?
20. Slotstuk — de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) als scheidsrechter van beslissingen: de checklist om ze te herkennen; het kompas $\E \pm \sigma$ ; staartkansen als de prijs van het risico; en de twee blijvende voorbehouden ( [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) is een bewering over het model, en zeldzame staarten, niet [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) , veroorzaken het bankroet). Telkens één zin, met de blik vooruit: de wet van de grote aantallen en de klokkromme, de volgende hoofdstukken, vervolledigen het reglement van de scheidsrechter.

**Oplossing van Probleem 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** Verwachte uitbetaling $2\,\E(X) = 1$ euro tegenover een inzet van $1$ euro: winst $0$ — precies eerlijk (een zeldzaamheid).

**4.** Zonder teruglegging zijn de trekkingen afhankelijk (de kansen van de tweede kaart hangen van de eerste af): niet binomiaal — het vakje “[onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep)” van de checklist blijft leeg. Met teruglegging: vast $n = 5$, constante $p = \frac14$, onafhankelijke trekkingen: binomiaal.

**5.** $\E(X) = 6$ en $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$. $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** Een vast aantal $n = 105$ proeven (de tickets), elk een komen/niet-komen met dezelfde $p = 0.9$, verondersteld [onafhankelijk](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep): binomiaal. De bekentenis: gezinnen missen een vlucht *samen* en stormen maken hele vliegtuigen leeg — de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) is de geloofssprong van het model, en gecorreleerde afwezigheden maken de staarten dikker dan de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) belooft.

**7.** $\E(X) = 94.5$; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} =
\sqrt{9.45} \approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** $\approx 0.0167$: ongeveer één vlucht op zestig weigert iemand.

**10.** $\E(\text{geweigerd}) \approx 0.023$ passagiers per vlucht: verwachte vergoeding $\approx 19$ euro — tegenover $1\,000$ euro extra inkomsten. Met vijf overboeken is overweldigend winstgevend; vandaar dat elke maatschappij het doet.

**11.** Uit de tabel van de staartkansen: $n = 105$: $1.7\,\%$; $n = 106$: $4.0\,\%$; $n = 107$: $8.1\,\%$. De grootste toegelaten verkoop is $n = 106$ tickets.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: de drempel ligt twee [standaardafwijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) boven het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean), en de vuistregel van de klokkromme (“bovenstaart voorbij $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$”) komt dicht bij het exacte $1.7\,\%$ — de gladde kromme die de [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial) schaduwt, is de hoofdrolspeler van de komende hoofdstukken.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19} \approx 0.94$: de eerlijke partij raakt in $94\,\%$ van de gevallen door de keuring.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19} \approx 0.39$: de slechte partij glipt er nog altijd in $39\,\%$ van de gevallen door.

**15.** Het risico van de producent: een goede partij wordt geweigerd ($\approx 6\,\%$); het risico van de klant: een slechte partij wordt aanvaard ($\approx 39\,\%$). Een grotere [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) (met een evenredige aanvaardingsdrempel) verkleint beide — ten koste van meer controle: kwaliteit heeft een begrotingslijn.

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$: [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Verviervoudig de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) en je halveert de ruis: de wet in $\frac{1}{\sqrt n}$ van de schommelingsintervallen uit het eerste jaar van dit volume, nu afgeleid.

**17.** De grens beperkt de uitbetaling tot $2^{10} = 1024$ euro, zodat elk van de tien ronden precies $1$ euro aan [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) bijdraagt: $\E = 10$. De oneindige [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) van het onbegrensde spel kwam volledig van astronomisch zeldzame, astronomisch grote uitbetalingen; de grens bekent dat geen enkele bank $2^{50}$ euro uitkeert. Een eerlijke ticketprijs voor het begrensde spel: $10$ euro — en plots is niemand nog in de war.

**18.** Verwacht prijzengeld per ticket: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro tegenover een ticket van $2$ euro: marge $50\,\%$ — achttien keer de $2.7\,\%$ van de roulette. De tombola komt ermee weg omdat haar spelers welbewust schenken: het “verlies” is de bedoeling.

**19.** Verwachte schade: $1\,000 \times 0.01 \times 10\,000 =
100\,000$; premies $130\,000$: verwachte winst $30\,000$ euro. [Standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van de totale schade: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99} \approx 31\,500$ euro — één gewoon slecht jaar verslindt de hele verwachte winst. Vandaar kapitaalreserves, herverzekering en portefeuilles die veel groter zijn dan duizend polissen: verzekeraars leven van de wet van de grote aantallen en houden reserves aan tegen haar traagheid.

**20.** Eerst de checklist — vast $n$, dezelfde $p$, [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) *beweerd* — of er is helemaal geen [binomiale verdeling](#def-g12-randvar-binomial). Navigeer daarna op $\E \pm \sigma$: [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) situeren, afwijkingen waarschuwen. Prijs vervolgens de staarten: geweigerde passagiers, slechte partijen en rampjaren wonen allemaal voorbij $2\sigma$. Voorbehouden: de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) is de belofte van wie het model maakt, niet die van de wereld; en de [verwachtingswaarde](#def-g12-randvar-exp) negeert precies wat je ondergang wordt. De ontbrekende bladzijden van het reglement — hoe snel [frequenties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) tot rust komen, en welke vorm de schommelingen aannemen — zijn de volgende twee hoofdstukken.