---
title: "Sommen van toevalsvariabelen en de wet van de grote aantallen"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen
---

# Hoofdstuk 34 — Sommen van toevalsvariabelen en de wet van de grote aantallen

Waarom wint het casino op het einde altijd, en waarom werken peilingen? Omdat de [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van veel onafhankelijke toevalsgrootheden steeds minder schommelen. Dit hoofdstuk bewijst het: de lineariteit van de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp), de optelbaarheid van de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) voor onafhankelijke variabelen, de ongelijkheid van Bienaymé–Chebyshev, en de wet van de grote aantallen.

## 34.1 Sommen van toevalsvariabelen

Zijn $X$ en $Y$ twee [toevalsvariabelen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) op dezelfde eindige [uitkomstenverzameling](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model) $\Omega$, dan is de som $X + Y$ de [toevalsvariabele](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$.

**Stelling 34.1 (Lineariteit van de verwachtingswaarde).**

Voor alle [toevalsvariabelen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) $X$ en $Y$ op $\Omega$ en alle $a, b \in \R$ geldt

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*Er is geen enkele onderstelling van [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) nodig.*

**Bewijs.** Schrijf de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) als een som over de uitkomsten: omdat $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, geeft het hergroeperen van de termen $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$. Dan is

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**Definitie 34.2 (Onafhankelijke toevalsvariabelen).**

$X$ en $Y$ heten *onafhankelijk* als voor alle waarden $x$ en $y$ geldt

$$
\P(X = x \text{ en } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

Verscheidene variabelen $X_1, \dots, X_n$ heten onafhankelijk als die productregel geldt voor elke keuze van waarden van elke deelfamilie.

**Propositie 34.3.**

Zijn $X$ en $Y$ [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep), dan is $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$.

**Bewijs.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ en } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**Stelling 34.4 (Variantie van een som).**

Zijn $X$ en $Y$ *[onafhankelijk](#def-g12-sums-indep)*, dan geldt

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

Algemener geldt voor onafhankelijke $X_1, \dots, X_n$: $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$.

**Bewijs.** Met König–Huygens ([Propositie 33.3](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#prop-g12-randvar-konig)) en de lineariteit:

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

en het laatste haakje verdwijnt voor onafhankelijke variabelen ([Propositie 34.3](#prop-g12-sums-prodexp)). Het algemene geval volgt met inductie. ∎

**Voorbeeld 34.5 (De binomiale verdeling opnieuw bekeken).**

Een binomiale variabele $X \sim \mathcal B(n, p)$ is een som $X = X_1 + \dots + X_n$ van $n$ onafhankelijke variabelen van Bernoulli. Dus geldt, structureel,

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

waarmee [Stelling 33.8](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#thm-g12-randvar-binomial) zonder enige berekening teruggevonden wordt.

**Propositie 34.6 (Steekproefgemiddelde).**

Zij $X_1, \dots, X_n$ [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) met dezelfde verdeling als $X$ ([verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), en zij $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ hun *steekproefgemiddelde*. Dan geldt

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**Bewijs.** De lineariteit geeft $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$; de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) geeft $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, en delen door $n$ schaalt de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) met $\frac{1}{n^2}$ ([Propositie 33.4](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#prop-g12-randvar-affine)). ∎

De $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ is de fundamentele *vierkantswortelwet*: om de schommelingen van een [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) te halveren, moet je de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) verviervoudigen.

![De vierkantswortelwet: elke verviervoudiging van de steekproef halveert de standaardafwijking van het gemiddelde slechts.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*De vierkantswortelwet: elke verviervoudiging van de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) halveert de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) slechts.*

## 34.2 Concentratieongelijkheden

**Stelling 34.7 (Ongelijkheid van Markov).**

Geldt $X \geq 0$ en $a > 0$, dan is

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**Bewijs.** Houd in $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (alle termen zijn niet-negatief) alleen de termen met $x_i \geq a$ over: elk daarvan is minstens $a\,p_i$, dus $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$. ∎

**Stelling 34.8 (Ongelijkheid van Bienaymé–Chebyshev).**

Voor elke [toevalsvariabele](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) $X$ en elke $\varepsilon > 0$ geldt

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**Bewijs.** Pas de ongelijkheid van Markov toe op de niet-negatieve variabele $Y = (X - \E(X))^2$ met $a = \varepsilon^2$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![Concentratie: Bienaymé–Chebyshev begrenst de kans dat X in de staarten (rood) valt, op afstand minstens van zijn verwachtingswaarde, door (X)/ 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*Concentratie: Bienaymé–Chebyshev begrenst de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat $X$ in de staarten (rood) valt, op afstand minstens $\varepsilon$ van zijn [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp), door $\V(X)/\varepsilon^2$.*

**Stelling 34.9 (Wet van de grote aantallen).**

Zij $X_1, \dots, X_n$ [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) met dezelfde verdeling ([verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$) en zij $M_n$ hun [steekproefgemiddelde](#prop-g12-sums-mean). Voor elke $\varepsilon > 0$ geldt

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

Het [steekproefgemiddelde](#prop-g12-sums-mean) concentreert zich rond de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp).

**Bewijs.** Bienaymé–Chebyshev toegepast op $M_n$, waarvan de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\mu$ is en de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\frac{\sigma^2}{n}$ ([Propositie 34.6](#prop-g12-sums-mean)). ∎

**Opmerking 34.10.**

Deze stelling is de brug tussen de kansrekening en de statistiek: de *[frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series)* van een [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model) over vele onafhankelijke herhalingen nadert haar *[kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution)* (neem $X_i$ de indicator van de [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model), zodat $\mu = p$). Ze rechtvaardigt het schatten van een [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) door simulatie (de *methode van Monte Carlo*) en van een aandeel in een populatie door een peiling — kwantitatief: zie [Hoofdstuk 35](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/35-continue-toevalsvariabelen#ch-g12-contdist).

**Methode 34.11 (Bienaymé–Chebyshev gebruiken).**

Om $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ te waarborgen, volstaat $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$. De grens is grof (echte schommelingen zijn meestal veel kleiner), maar volkomen algemeen: ze vraagt niets over de verdeling behalve een eindige [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp).

## 34.3 Oefeningen

**Oefening 34.1 ★.**

Er wordt met twee zuivere dobbelstenen gegooid; zij $S$ de som. Bereken $\E(S)$ met de lineariteit (niet met de verdeling van $S$!); bereken daarna $\V(S)$ met de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep), gegeven dat één zuivere dobbelsteen [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\frac{35}{12}$ heeft.

**Oplossing van Oefening 34.1.**

Elke dobbelsteen heeft [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$, dus geeft de lineariteit $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$. De dobbelstenen zijn [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep), dus is $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$.

**Oefening 34.2 ★.**

Zij $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$. Begrens $\P(X \geq 75)$ met de ongelijkheid van Markov, en daarna $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ met Bienaymé–Chebyshev. Vergelijk.

**Oplossing van Oefening 34.2.**

$\E(X) = 50$ en $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$.

Markov ($X \geq 0$): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$.

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — en dat begrenst zelfs de *tweezijdige* [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model), waarvan $X \geq 75$ de helft is. Chebyshev is hier veel scherper omdat ze de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) uitbuit en niet alleen het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean). (De echte waarde van $\P(X \geq 75)$ is kleiner dan $10^{-6}$: beide grenzen zijn grof.)

**Oefening 34.3 ★.**

Een zuivere munt wordt $n$ keer opgeworpen en $F_n$ noteert de [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) van kruis. Hoe groot moet $n$ zijn opdat volgens de grens van Bienaymé–Chebyshev $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$?

**Oplossing van Oefening 34.3.**

$F_n$ is het [steekproefgemiddelde](#prop-g12-sums-mean) van $n$ variabelen van Bernoulli met parameter $\frac12$ en [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2 = \frac14$. De grens

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

is $\leq 0.05$ zodra $n \geq 2000$.

**Oefening 34.4 ★★.**

Een belegster verdeelt haar kapitaal gelijk over $n$ onafhankelijke beleggingen, elk met verwacht rendement $\mu = 5\%$ en [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) $\sigma = 20\%$. Bereken de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) en de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van het rendement $M_n$ van de portefeuille, en het aantal beleggingen dat nodig is om de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) onder $4\%$ te brengen. Welk financieel principe illustreert dit?

**Oplossing van Oefening 34.4.**

Volgens [Propositie 34.6](#prop-g12-sums-mean) is $\E(M_n) = 5\%$ (spreiding verandert het verwachte rendement niet) en $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$. De eis $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ geeft $\sqrt n > 5$, dat wil zeggen $n \geq 26$. Dat is het principe van de *risicospreiding*: kapitaal over onafhankelijke risico’s verdelen deelt het risico (de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance)) door $\sqrt n$ zonder het verwachte rendement te verlagen.

**Oefening 34.5 ★★.**

Zij $X$ en $Y$ [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) en allebei uniform verdeeld op $\{1, 2, 3\}$.

1. Geef de verdeling van $S = X + Y$ en bereken $\E(S)$ en $\V(S)$ rechtstreeks daaruit.
2. Vind beide waarden terug met de lineariteit en de optelbaarheid van de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) .

**Oplossing van Oefening 34.5.**

*1.* Door de $9$ even waarschijnlijke paren te tellen: $S$ neemt de waarden $2, 3, 4, 5, 6$ aan met de kansen $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$. Dus is $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ en $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, zodat $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$.

*2.* Voor één variabele: $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ en $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$. Dan is $\E(S) = 2 + 2 = 4$ en, wegens de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep), $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$. Dezelfde waarden.

**Oefening 34.6 ★★.**

Toon aan dat de optelbaarheid van de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) zonder [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) kan falen: bereken $\V(X + Y)$ voor $Y = X$ en vergelijk met $\V(X) + \V(Y)$. Voor welke variabelen $X$ geldt $\V(2X) = 2\V(X)$?

**Oplossing van Oefening 34.6.**

Met $Y = X$: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, terwijl $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$. Beide vallen alleen samen wanneer $\V(X) = 0$, dat wil zeggen wanneer $X$ constant is — de optelbaarheid vraagt dus werkelijk [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) (hier is $X$ maximaal afhankelijk van zichzelf).

**Oefening 34.7 ★★.**

Er rijst een vermoeden dat een dobbelsteen verzwaard is. Hij wordt $1200$ keer geworpen en toont $260$ keer een zes ($f = 0.2167$ in plaats van $\frac16 \approx 0.1667$). Begrens onder de hypothese dat de dobbelsteen zuiver is $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ met Bienaymé–Chebyshev, en bespreek of die hypothese aannemelijk is.

**Oplossing van Oefening 34.7.**

Onder de zuiverheidshypothese is $F_n$ het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van $n = 1200$ variabelen van Bernoulli met $p = \frac16$ en $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$:

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

De waargenomen afwijking is precies $0.05$: een [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model) die een zuivere dobbelsteen met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) hoogstens $4.6\%$ voortbrengt — en omdat Chebyshev zeer behoudend is, ligt de echte [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) veel lager. De zuiverheidshypothese is niet aannemelijk; de dobbelsteen is zeer waarschijnlijk verzwaard.

**Oefening 34.8 ★★★.**

*(Een betere ongelijkheid voor de munt.)* Zij $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ en $F_n = \frac Xn$.

1. Toon aan dat $p(1-p) \leq \frac14$ voor $p \in \intcc{0}{1}$ .
2. Leid de grens af die van de verdeling [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) is: $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
3. Hoeveel mensen moeten er bevraagd worden opdat de waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) minstens $95\%$ binnen $3$ punten van het echte aandeel ligt, volgens deze grens? (Echte peilingen gebruiken scherpere schattingen, maar de grootteorde klopt.)

**Oplossing van Oefening 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$.

*2.* $F_n$ heeft [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $p$ en [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$; Bienaymé–Chebyshev geeft

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

en dat geldt wat de onbekende $p$ ook is.

*3.* Met $\varepsilon = 0.03$ en niveau $0.05$:

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

Ongeveer $5600$ mensen volstaan volgens deze grove grens (het klassieke antwoord met de normale [benadering](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) ligt dichter bij $1100$, zie [Hoofdstuk 35](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/35-continue-toevalsvariabelen#ch-g12-contdist)).

## 34.4 Opgave: de bank wint altijd

**Probleem 34.1.**

Weekendopgave — de wet van de grote aantallen verklaart casino’s, peilingen en verzekeringen, en sloopt onderweg de denkfout van de speler

Een roulettespeler staat na $100$ draaien bijna even vaak wel als niet *voor*. Het casino dat een miljoen draaien laat lopen, staat voor met een zekerheid die geen enkele rechtbank in twijfel zou trekken. Hetzelfde spel, hetzelfde piepkleine voordeel — het [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) is $\sqrt n$, en dat is het onderwerp van dit hoofdstuk ([Propositie 34.6](#prop-g12-sums-mean), [Stelling 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [Stelling 34.9](#thm-g12-sums-lln)). Deze opgave doet de boekhouding van het casino, bepaalt de omvang van een verkiezingspeiling, prijst de spreiding van risico — en ontmantelt de duurste denkfout uit de geschiedenis van het gokken.

**Deel I — Vlotheid.**

1. Twee onafhankelijke dobbelstenen: bereken $V(X + Y)$ ( [Stelling 34.4](#thm-g12-sums-variance) ).
2. Gooi $100$ onafhankelijke dobbelstenen en middel de uitkomsten: geef de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) en de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van het [steekproefgemiddelde](#prop-g12-sums-mean) ( [Propositie 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; voor één dobbelsteen is $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
3. Een niet-negatieve [toevalsvariabele](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) heeft [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $2$ . Wat zegt de ongelijkheid van Markov ( [Stelling 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) over $\P(X \geq 10)$ ?
4. Begrens $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ voor het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van de dobbelstenen uit vraag 2 met Bienaymé–Chebyshev.
5. [Verwachtingswaarden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) tellen altijd op, [varianties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) alleen onder [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) : geef afhankelijke $X$ en $Y$ (tip: $Y = -X$ ) waarvoor $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

**Deel II — De boeken van de bank.** Europese roulette, inzet van $1$ euro op rood: winst $+1$ met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{37}$, verlies $-1$ met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $\frac{19}{37}$.

6. Bereken de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) en de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van de winst op één inzet.
7. Een speler zet $100$ keer [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) in; zij $G$ de totale winst. Bereken $\E(G)$ en $\sigma(G)$ , en daarna de verhouding $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . Wat betekent een afdrijving van een kwart [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) voor de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat de speler vanavond voorstaat?
8. Het casino ziet $1\,000\,000$ inzetten. Bereken de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) en de [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van zijn totale opbrengst, en dezelfde verhouding. Duid het getal $27$ .
9. Bevestig met Chebyshev: begrens de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat het casino over die miljoen inzetten *verlies* lijdt.
10. Speelsystemen: verdubbelen na verlies, stoppen zodra je voorstaat … Leg met de lineariteit van de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) ( [Stelling 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) over de (eventueel toevallige) opeenvolging van inzetten uit waarom *elke* strategie in een spel met negatief voordeel een negatieve verwachte winst heeft — wat zou een winnend systeem schenden?
11. Formuleer wat de wet van de grote aantallen ( [Stelling 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) belooft over de [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) van rood — en wat ze *niet* belooft over het volgende draaien na tien keer rood na elkaar. Noem de denkfout.
12. Het subtielste punt: de wet werkt door *verdunning* , niet door vereffening. Lopen de rode uitkomsten na een avond $100$ voor op de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) , dan wordt dat overschot nooit “terugbetaald” — bereken wat er in de plaats met het *aandeel* $\frac{100}{n}$ gebeurt tegen $n = 10^6$ , en herschrijf de vergissing van de speler in één zin.

**Deel III — Peilingen.**

13. Uit [Oefening 34.8](#exo-g12-sums-8) : hoeveel mensen moeten er bevraagd worden opdat de waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) minstens $95\,\%$ binnen $3$ punten van de waarheid valt, volgens de grens van Chebyshev die van de verdeling [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) is?
14. Echte peilingsbureaus gebruiken ongeveer $1\,100$ mensen voor een marge van $\pm 3$ punten op $95\,\%$ : hun formule is $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{\varepsilon^2}$ met $p(1-p) \leq \frac14$ . Bereken ze, en verklaar de kloof met vraag 13 (wat weet Chebyshev niet over de vorm van de schommelingen?).
15. Hoe moet de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) groeien om de foutenmarge te halveren? Welke [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) geeft, vertrekkend van $\pm 3$ punten bij $1\,100$ , een marge van $\pm 1.5$ punten?
16. De klassieke tegenintuïtie: de vereiste omvang van de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) gebruikte nooit de omvang van de populatie — $1\,100$ mensen volstaan voor een stad of voor een werelddeel. Wijs de plaats in het model aan waar de omvang van de populatie ontbreekt, en geef de keukenvergelijking die peilers gebruiken.

**Deel IV — Spreiding van risico.**

17. De verzekeraar uit [Probleem 33.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#pb-g12-randvar-1) verdient in [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $30n$ euro op $n$ polissen, met een [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van de schade van ongeveer $315\sqrt n$ . Voor welke $n$ overtreft de verwachte winst eindelijk één [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van de schade? Wat doet de $\sqrt n$ voor de verzekeraar?
18. Het jaarrendement van één aandeel schommelt met $\sigma = 20\,\%$ . Verdeel het geld gelijk over $25$ *onafhankelijke* zulke aandelen: bereken de $\sigma$ van de portefeuille. De financiële wereld noemt spreiding het enige gratis maal — wat is dat maal precies?
19. Laat de $25$ aandelen nu volmaakt gecorreleerd zijn (ze bewegen allemaal samen): wat is dan de $\sigma$ van de portefeuille? Vergelijk de twee uitersten en zeg welke onderstelling elk pleidooi voor spreiding stiekem huurt — en wat er gebeurde toen die in 2008 systeembreed faalde.
20. Slotstuk — de symfonie van de $\sqrt n$ : sommen schommelen als $\sqrt n$ terwijl hun [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tot rust komen als $\frac{1}{\sqrt n}$ ; speel het thema door de vier bedrijfstakken van deze opgave (casino, peiling, verzekering, portefeuille), noem de twee vaste misbruikers (de denkfout van de speler en de valse [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) ), en kijk vooruit: de *vorm* van de schommelingen — de klok — is de continue ster van het volgende hoofdstuk, en haar volledige stelling bekroont de universitaire volumes.

**Oplossing van Probleem 34.1.**

**1.** $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} =
\frac{35}{6}$ ([onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep)).

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}}
\approx 0.17$: het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) van honderd dobbelstenen kleeft op een vijfde van een punt tegen $3.5$ aan.

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$.

**4.** $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx
0.117$: hoogstens ongeveer $12\,\%$.

**5.** Met $Y = -X$: $V(X + Y) = V(0) = 0$, terwijl $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$: volmaakt tegengesteld gecorreleerde variabelen heffen elkaar op — het optellen van [varianties](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) is een voorrecht van de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep).

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx
-0.027$; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$.

**7.** $\E(G) = -2.70$ en $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$: de afdrijving bedraagt slechts $0.27\sigma$. De ruis van de avond overstemt het voordeel — een grote minderheid van de spelers (ruwweg $40\,\%$, zegt de klok) stapt met winst naar buiten, en precies dat doet hen terugkomen.

**8.** De opbrengst van het casino: [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $+27\,027$ euro, [standaardafwijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) $\approx 1\,000$: de winst ligt $27$ [standaardafwijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) boven nul. Op $27\sigma$ is “het casino zou dit jaar kunnen verliezen” geen risico, maar een afrondingsfout.

**9.** $\P(\text{verlies}) = \P(G \geq 27\,027$ voor de spelers$)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$: zelfs de botste ongelijkheid uit het boek waarborgt de bank op $99.86\,\%$ — de waarheid is astronomisch sterker.

**10.** Elke ingezette euro heeft, wanneer en hoe ook gekozen, verwacht rendement $-\frac{1}{37}$ van zichzelf; door de lineariteit is de verwachte totale winst $-\frac{1}{37} \times (\text{totale inzet})$, negatief voor elke strategie die iets inzet. Een winnend systeem zou de lineariteit van de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) schenden — geen enkele slimme volgorde van slechte inzetten maakt er een goede van. (Verdubbelingssystemen ruilen alleen vele kleine winsten in voor zeldzame catastrofale verliezen.)

**11.** De stelling: de *[frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series)* van rood over $n$ draaien [convergeert](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/20-rijen#def-g12-seq-limit) (in [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution)) naar $\frac{18}{37}$. Ze zegt niets over draai $n + 1$: het wiel heeft geen geheugen, en na tien keer rood is de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) op rood nog altijd $\frac{18}{37}$. Het tegendeel geloven is de *denkfout van de speler*, en vraag 12 toont wat er werkelijk met reeksen gebeurt.

**12.** Het overschot van $100$ keer rood wordt niet terugbetaald — toekomstige draaien zijn eerlijke kopieën, en het verwachte overschot blijft $100$. Maar $\frac{100}{10^6} = 0.0001$: een honderdste van een punt. De vergissing in één zin: *de wet van de grote aantallen verdunt voorbije toevalligheden in een oceaan van nieuwe proeven; ze stuurt het wiel nooit op schuldinvordering uit.*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ mensen.

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$: vijf keer minder. Chebyshev geldt voor *elke* verdeling en betaalt haar algemeenheid met speling; de constante $1.96$ van de peilers komt van de werkelijke klokvorm van de schommelingen, die veel harder concentreert.

**15.** De marge is evenredig met $\frac{1}{\sqrt n}$: ze halveren verviervoudigt de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) — ongeveer $4\,400$ mensen voor $\pm 1.5$ punten. Precisie wordt tegen kwadratische prijzen gekocht.

**16.** Het model bestaat uit $n$ onafhankelijke trekkingen met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $p$ op succes — de omvang $N$ van de populatie komt er nooit in voor (een minuscule fractie van een grote, goed gemengde populatie trekken is precies wat de [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) codeert). De [vergelijking](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/2-algebra-vergelijkingen-en-ongelijkheden#def-g10-algebra-equation) van de peilers: om de soep te proeven volstaat één goed geroerde lepel — of de pot nu tien of tienduizend mensen bedient. Het addertje zit in het roeren — een vertekend steekproefkader, zoals bij de peiling uit het onderbouwvolume die een heel land beetnam — niet in de pot.

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$: voorbij honderd polissen loopt de afdrijving de ruis voorbij, en elke bijkomende polis vergroot de kloof volgens de wet in $\sqrt n$ — het bundelen *is* het bedrijfsmodel.

**18.** Onafhankelijke gelijke delen: $\sigma_{\text{pf}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$: hetzelfde verwachte rendement en een vijfde van de schommeling. Het maal: risicovermindering zonder enige kost aan [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) — [onafhankelijk](#def-g12-sums-indep) toeval uitmiddelen.

**19.** Volmaakt gecorreleerd: de portefeuille is één aandeel in $25$ kostuums: $\sigma = 20\,\%$, geen enkele vermindering. Spreiding huurt de *[onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep)*; wanneer een crisis alles correleert (2008: alle weddenschappen op vastgoed waren één weddenschap), verdampt de bescherming in $\sqrt n$ precies wanneer ze nodig is.

**20.** Sommen drijven af als $n$ en schommelen als $\sqrt n$, zodat de [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tot rust komen als $\frac{1}{\sqrt n}$: het casino int de afdrijving over een miljoen draaien; het peilingsbureau koopt $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ ruis voor een telefoonbudget; de verzekeraar groeit vanaf $n > 110$ boven zijn eigen schade uit; de belegger [deelt](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/29-getaltheorie#def-g12-arith-divides) zijn risico door $\sqrt{25}$. De misbruikers: de speler die in schulden gelooft (er is alleen verdunning), en de financier die in [onafhankelijkheid](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/32-voorwaardelijke-kansen-en-onafhankelijkheid#def-g12-condprob-indep) gelooft (soms is er maar één weddenschap). De universele vorm van de schommelingen — de klok — is de ster van het continue hoofdstuk, en haar stelling, de centrale limietstelling, bekroont de kansrekening van de universitaire volumes.