---
title: "Continue toevalsvariabelen"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 35
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/35-continue-toevalsvariabelen
---

# Hoofdstuk 35 — Continue toevalsvariabelen

Wachttijden, natuurkundige metingen, aandelen: veel toevalsgrootheden nemen een continuüm aan waarden aan, en geen enkele afzonderlijke waarde heeft een [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) verschillend van nul. Kansen worden dan berekend door een *[kansdichtheid](#def-g12-contdist-density)* te integreren. Dit hoofdstuk bestudeert de uniforme, de exponentiële en de [normale verdeling](#def-g12-contdist-normal), en gebruikt de [normale verdeling](#def-g12-contdist-normal) om de schommelingen van peilingen en steekproeven te meten.

## 35.1 Kansdichtheden

**Definitie 35.1 (Kansdichtheid, continue toevalsvariabele).**

Een *kansdichtheid* op een [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $I$ is een continue, niet-negatieve [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $f$ op $I$ met $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (waarbij de [integraal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#def-g12-integ-area) over een onbegrensde $I$ opgevat wordt als een limiet van integralen over groeiende begrensde intervallen). Een [toevalsvariabele](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-rv) $X$ heeft dichtheid $f$ als voor alle $a \leq b$ in $I$ geldt

$$
\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .
$$

Kansen zijn *oppervlaktes onder de kromme van de dichtheid*. In het bijzonder is $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ voor elke afzonderlijke waarde $a$: alleen intervallen dragen [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution), en $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$.

**Definitie 35.2 (Verwachtingswaarde en variantie).**

Voor $X$ met dichtheid $f$ op $I$:

$$
\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad
\V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t
= \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

De regels van de hoofdstukken 14 en 15 (de lineariteit van de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp), de optelbaarheid van de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) voor onafhankelijke variabelen, Bienaymé–Chebyshev) blijven geldig; hun bewijzen, met integralen in plaats van sommen, worden op dit niveau aangenomen.

## 35.2 Uniforme verdeling

**Definitie 35.3 (Uniforme verdeling).**

$X$ volgt de *uniforme verdeling* $\mathcal U\intcc ab$ als haar dichtheid constant is, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ op $\intcc{a}{b}$. Dan geldt voor $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ dat $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$: de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) is evenredig met de lengte.

**Propositie 35.4.**

Is $X \sim \mathcal U\intcc ab$, dan is $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ en $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$.

**Bewijs.** $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} =
\frac{a+b}{2}$. Voor de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) is $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$, en

$$
\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}
= \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12}
= \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere
$$

∎

## 35.3 Exponentiële verdeling

**Definitie 35.5 (Exponentiële verdeling).**

Voor $\lambda > 0$ volgt $X$ de *exponentiële verdeling* $\mathcal E(\lambda)$ als haar dichtheid op $\intco{0}{+\infty}$ gegeven wordt door

$$
f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.
$$

Dan is $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ en $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ voor $x \geq 0$.

**Propositie 35.6.**

Is $X \sim \mathcal E(\lambda)$, dan is $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ en $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

**Bewijs.** [Partiële integratie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#thm-g12-integ-ibp) op $\intcc{0}{A}$:

$$
\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t
= \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t
= -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda}
\xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,
$$

waarbij $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ ([Stelling 23.4](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#thm-g12-exp-growth)). Een tweede [partiële integratie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#thm-g12-integ-ibp) geeft $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$, waaruit $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$. ∎

**Stelling 35.7 (Geheugenloosheid).**

Is $X \sim \mathcal E(\lambda)$, dan geldt voor alle $s, t \geq 0$:

$$
\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .
$$

De [exponentiële verdeling](#def-g12-contdist-expo) is de verdeling van levensduren *zonder veroudering* (radioactieve kernen, geen gloeilampen).

**Bewijs.**

$$
\pcond{X > s}{X > s+t}
= \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)}
= \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t}
= \P(X > t). \qedhere
$$

∎

![De exponentiële dichtheid - x (hier = 1): de oppervlakte van de staart voorbij t (rood) is - t, en de geheugenloosheid zegt dat elke staart eruitziet als de hele verdeling, herschaald.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-60c0c3684efd.svg)

*De exponentiële dichtheid $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (hier $\lambda = 1$): de oppervlakte van de staart voorbij $t$ (rood) is $\eu^{-\lambda t}$, en de geheugenloosheid zegt dat elke staart eruitziet als de hele verdeling, herschaald.*

## 35.4 Normale verdeling

**Definitie 35.8 (Normale verdeling).**

$X$ volgt de *standaardnormale verdeling* $\mathcal N(0, 1)$ als haar dichtheid op $\R$ gegeven wordt door

$$
\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}
$$

(de klokkromme). Algemener is $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ als $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$; dan is $\E(X) = \mu$ en $\V(X) = \sigma^2$.

![De normale dichtheid: ongeveer 68.3\% van de massa ligt binnen van het gemiddelde, 95.4\% binnen 2 en 99.7\% binnen 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-4494c7446eb1.svg)

*De normale dichtheid: ongeveer $68.3\%$ van de massa ligt binnen $\sigma$ van het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean), $95.4\%$ binnen $2\sigma$ en $99.7\%$ binnen $3\sigma$.*

**Opmerking 35.9.**

De factor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ maakt de totale oppervlakte $1$ — een beroemde berekening (de *[integraal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#def-g12-integ-area) van Gauss*) die aan de universiteit gemaakt wordt. Er is geen elementaire formule voor $\int \varphi$: normale kansen lees je af uit tabellen of van een rekentoestel.

**Stelling 35.10 (De Moivre–Laplace, aangenomen).**

Zij $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ en $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (de gestandaardiseerde binomiale variabele). Dan geldt voor alle $a \leq b$:

$$
\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{}
\int_a^b \varphi(t)\,\dd t .
$$

*Dit resultaat wordt op dit niveau aangenomen.* Het verklaart waarom de klokkromme overal opduikt: een [binomiale verdeling](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-binomial) met grote $n$ is bij [benadering](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) normaal — en (centrale limietstelling, universiteit) elke som van veel kleine onafhankelijke effecten eveneens.

**Methode 35.11 (Schommelingsinterval op 95%95\%95%).**

Omdat een normale variabele met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $0.95$ binnen $1.96$ [standaardafwijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) van haar [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) valt, voldoet voor grote $n$ een [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) $F_n = \frac{X_n}{n}$ uit een [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) $\mathcal B(n,p)$ aan

$$
\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq
p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .
$$

- *Schommelingsinterval* (toetsen): legt een beweerde $p$ de waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) buiten dit [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) , verwerp dan de bewering op het niveau $5\%$ .
- *[Betrouwbaarheidsinterval](#met-g12-contdist-fluctuation)* (schatten): het vereenvoudigde [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ bevat $p$ met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) minstens $0.95$ (met $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , zie [Oefening 34.8](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-g12-sums-8) ).

**Voorbeeld 35.12.**

Een peiling bij $n = 1000$ kiezers geeft een kandidaat $52\%$. Het [betrouwbaarheidsinterval](#met-g12-contdist-fluctuation) $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm
3.2\%$ bevat nog altijd $50\%$: de peiling alleen toont niet aan dat de kandidaat voorstaat.

## 35.5 Oefeningen

**Oefening 35.1 ★.**

Er passeert om de $15$ minuten een bus; een reiziger komt op een uniform willekeurig tijdstip aan. Zij $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ de wachttijd. Bereken $\P(X \leq 5)$, $\P(4 \leq X \leq 10)$, $\E(X)$ en $\sigma(X)$.

**Oplossing van Oefening 35.1.**

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

**Oefening 35.2 ★.**

Ga na dat $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ een dichtheid is op $\intcc{0}{2}$, en bereken $\E(X)$ en $\P(X \geq 1)$ voor een variabele $X$ met die dichtheid.

**Oplossing van Oefening 35.2.**

$f \geq 0$ en $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2
= \frac38 \times \frac83 = 1$: een dichtheid.

$$
\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32,
\qquad
\P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .
$$

**Oefening 35.3 ★.**

De levensduur (in jaren) van een elektronisch onderdeel volgt $\mathcal E(0.2)$.

1. Bereken de verwachte levensduur en $\P(X > 5)$ .
2. Het onderdeel heeft al $3$ jaar gewerkt. Wat is de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat het nog minstens $5$ jaar werkt?

**Oplossing van Oefening 35.3.**

*1.* $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ jaar; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$.

*2.* Wegens de geheugenloosheid ([Stelling 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless)) is $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$: de drie jaar dienst veranderen niets.

**Oefening 35.4 ★★.**

De halveringstijd van een radioactief atoom met een levensduur die $\mathcal E(\lambda)$ volgt, is de [mediaan](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-median) $m$: $\P(X > m) = \frac12$. Druk $m$ uit in [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) van $\lambda$ en vergelijk met de [verwachtingswaarde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp). Welke van beide is groter, en waarom is dat zinvol voor een scheve verdeling?

**Oplossing van Oefening 35.4.**

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ geeft $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$, kleiner dan $\E(X) = \frac1\lambda$. De exponentiële dichtheid heeft een lange rechterstaart: enkele ongewoon lange levensduren trekken het *[gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean)* boven de *[mediaan](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-median)*, de waarde die de helft van de populatie overtreft. (Dat is de halveringstijd uit [Voorbeeld 23.9](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#ex-g12-exp-halflife): de helft van de atomen overleeft ze, hoewel de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) levensduur langer is.)

**Oefening 35.5 ★★.**

De lichaamslengtes in een bevolking volgen $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (in cm). Schat met de regel $68$–$95$–$99.7$ het aandeel van de bevolking met een lengte tussen $168$ en $182$ cm, boven $189$ cm, en onder $154$ cm.

**Oplossing van Oefening 35.5.**

$168 = \mu - \sigma$ en $182 = \mu + \sigma$: ongeveer $68\%$. $189 = \mu + 2\sigma$: daarboven ligt de helft van de resterende $100 - 95.4 = 4.6\%$, dus ongeveer $2.3\%$. $154 = \mu - 3\sigma$: ongeveer $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$.

**Oefening 35.6 ★★.**

Een machine vult zakken met het opschrift $500$ g; de gevulde massa volgt $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$. De regelgeving eist dat hoogstens $2.5\%$ van de zakken minder dan $500$ g weegt. Welke minimale instelling van $\mu$ voldoet, volgens de regel van $95\%$?

**Oplossing van Oefening 35.6.**

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ betekent dat $500$ minstens twee [standaardafwijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) onder het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) moet liggen (de [normale verdeling](#def-g12-contdist-normal) laat $2.3\% \approx 2.5\%$ onder $\mu - 2\sigma$; met de gebruikelijke $1.96$ verloopt de redenering identiek):

$$
\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.
$$

De machine moet gemiddeld op $508$ g ingesteld worden — de prijs van de waarborg is $8$ g “gratis” product per zak.

**Oefening 35.7 ★★.**

Een dobbelsteen die zuiver heet te zijn, wordt $1200$ keer geworpen en toont $260$ keer een zes (zoals in [Oefening 34.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-g12-sums-7)).

1. Bereken het schommelingsinterval op $95\%$ voor de [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) van zessen van een zuivere dobbelsteen over $1200$ worpen.
2. Ligt de waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) erbinnen? Vergelijk de kracht van dit besluit met de analyse via Bienaymé–Chebyshev.

**Oplossing van Oefening 35.7.**

*1.* Met $p = \frac16$ en $n = 1200$ is $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$, dus is het schommelingsinterval op $95\%$

$$
\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.
$$

*2.* De waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ ligt er ver buiten: de zuiverheidshypothese wordt op het niveau $5\%$ verworpen. De afwijking bedraagt ongeveer $4.6$ [standaardafwijkingen](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-variance) — voor een normale [benadering](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-approx) een [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) van de orde $10^{-6}$, veel doorslaggevender dan de grens $\leq 4.6\%$ van Bienaymé–Chebyshev ([Oefening 34.7](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/34-sommen-van-toevalsvariabelen-en-de-wet-van-de-grote-aantallen#exo-g12-sums-7)).

**Oefening 35.8 ★★★.**

Vóór een verkiezing zal een peiling bij $n$ mensen de score $p$ van een kandidaat schatten met de waargenomen [frequentie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek#def-g10-stats-series) $F_n$.

1. Welke omvang van de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) waarborgt met het [betrouwbaarheidsinterval](#met-g12-contdist-fluctuation) van [Methode 35.11](#met-g12-contdist-fluctuation) een marge van $\pm 2$ punten?
2. In werkelijkheid liggen de kandidaten $1$ punt uit elkaar. Leg uit waarom geen enkele realistische peiling de winnaar betrouwbaar kan aanwijzen, hoe goed ze ook uitgevoerd wordt.

**Oplossing van Oefening 35.8.**

*1.* De marge $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ vraagt $n \geq 2500$ mensen.

*2.* Om scores die $1$ punt uit elkaar liggen te onderscheiden, moet de marge ruim onder $0.5$ punt blijven, wat volgens de vereenvoudigde formule $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ vraagt — voor de meeste peilingen al onhaalbaar. Erger nog: de statistische marge verrekent alleen de fout van het *bemonsteren*; systematische vertekeningen (niet representatieve steekproeven, weigeringen, verschuivingen op het laatste ogenblik) krimpen niet naarmate $n$ groeit en overtreffen doorgaans één punt. Een race met $1$ punt [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) is werkelijk te nipt om te beslechten.

**Oefening 35.9 ★★★.**

Zij $X$ een variabele met dichtheid $f$ op $\intcc ab$ en zij $Y = \alpha X + \beta$ met $\alpha > 0$.

1. Toon aan dat $\P(c \leq Y \leq d)  = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq  \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , en leid af dat $Y$ als dichtheid $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ heeft.
2. Leid af dat $\mu + \sigma Z$ voor $Z \sim \mathcal N(0,1)$ als dichtheid $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,  \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ heeft — de algemene normale dichtheid.

**Oplossing van Oefening 35.9.**

*1.* Omdat $\alpha > 0$, geldt $c \leq \alpha X + \beta \leq d
\iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$, dus

$$
\P(c \leq Y \leq d)
= \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .
$$

De substitutie $y = \alpha t + \beta$ (dat wil zeggen: de oppervlakte in de veranderlijke $y$ lezen, met $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ en $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$) maakt hiervan $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$: de [functie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/11-functies-en-hun-verloop#def-g11-func-function) $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ is een dichtheid van $Y$.

*2.* Met $f = \varphi$, $\alpha = \sigma$ en $\beta = \mu$:

$$
g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right)
= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,
\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
$$

en dat is dus de dichtheid van $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$.

## 35.6 Opgave: wachten op de bus, de menigte meten

**Probleem 35.1.**

Weekendopgave — drie dichtheden besturen de wereld: de volslagen onwetendheid, het geheugenloze wachten en de klok van vele kleine oorzaken; plus de paradox die je bus altijd te laat maakt

Waarom lijkt je bus altijd langer op zich te laten wachten dan het uurrooster belooft? Waarom zit een [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) leerling in een grotere klas dan de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) klas? Waarom hebben je vrienden meer vrienden dan jij? Eén sluw stukje wiskunde — het naar lengte vertekende bemonsteren — beantwoordt alle drie de vragen, en het woont in dit hoofdstuk, tussen de uniforme, de exponentiële en de [normale verdeling](#def-g12-contdist-normal) ([Definitie 35.3](#def-g12-contdist-uniform), [Definitie 35.5](#def-g12-contdist-expo), [Definitie 35.8](#def-g12-contdist-normal)). Deze laatste opgave van het volume zet de drie dichtheden aan het werk en eindigt waar de hele reeks naar wijst: bij de klokkromme.

**Deel I — Drie personages.**

1. Een bus komt op een uniform willekeurig tijdstip in de komende $30$ minuten aan. Bereken $\P(\text{wachttijd} \leq 10)$ , de verwachte wachttijd en $\sigma$ ( [Propositie 35.4](#prop-g12-contdist-uniformmoments) ).
2. Ga na dat $f(x) = 2x$ op $\intcc{0}{1}$ een dichtheid is, en bereken $\E(X)$ en $\P\left(X > \frac12\right)$ .
3. Telefoonoproepen bereiken een hulplijn als een geheugenloze stroom: de wachttijd tot de volgende oproep is exponentieel met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$ minuten. Bereken $\P(T > 15)$ en de mediane wachttijd — waarom is de [mediaan](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-median) *kleiner* dan het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) ?
4. Je hebt al $20$ minuten gewacht. Wat is $\P(T > 35 \mid T > 20)$ ( [Stelling 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless) )? Duid het in één zin.
5. Koppel elke wachttijd aan haar juiste model — uniform, exponentieel of geen van beide: (a) de klik van een geigerteller; (b) een metro die om de $8$ minuten rijdt, waarbij je aankomst niet gelijkloopt; (c) de volgende oproep op de hulplijn; (d) het doorbranden van een gloeilamp die *verslijt* . Verantwoord (d) met de stelling over de geheugenloosheid.

**Deel II — De klok aan het werk.** (Gebruik de normale ijkpunten: $68\,\%$ binnen $\sigma$, $95\,\%$ binnen $2\sigma$, $99.7\,\%$ binnen $3\sigma$.)

6. De lengtes van volwassenen volgen ruwweg $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). Welke aandelen liggen in $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ en $\intcc{148}{196}$ ?
7. Schat het aandeel groter dan $190$ cm (eerst de [z-score](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#pb-g11-stat-1) ; daarna tabel of rekentoestel).
8. IQ-scores worden geijkt op $\mathcal N(100, 15)$ . Welk aandeel scoort boven $130$ — en ruwweg één persoon op hoeveel?
9. Een machine snijdt bouten met lengtes $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm en de specificatie is $\intcc{49.8}{50.2}$ . Welk aandeel wordt afgekeurd? De industrie viert processen “op zes sigma”, waarvan de specificaties op $\pm 6\sigma$ liggen: wat levert dat op, en waarom jagen fabrieken erop?
10. De Moivre–Laplace ( [Stelling 35.10](#thm-g12-contdist-tcl) ): benader voor $100$ worpen met een zuivere munt $\P(45 \leq \text{aantal kruis} \leq 55)$ (continuïteitscorrectie: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Welke houten machine uit [Probleem 19.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/19-de-binomiale-verdeling#pb-g11-binom-1) maakt deze stelling glad tot een kromme?
11. Uit [Oefening 35.8](#exo-g12-contdist-8) : een marge van $\pm 2$ punten vraagt ongeveer $n = 2\,400$ . Bereken de [steekproef](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-sample) die nodig is voor $\pm 0.5$ punten — en besluit, in één zin, waarom geen enkele peiling een race met één punt [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) eerlijk kan beslechten.

**Deel III — De busparadox.**

12. Bussen komen aan als een geheugenloze stroom met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tussentijd $10$ minuten. Je bereikt de halte op een willekeurig ogenblik. De intuïtie zegt dat de verwachte wachttijd $5$ minuten is (een halve tussentijd). Wat zegt de stelling over de geheugenloosheid in de plaats?
13. Stel de intuïtie op de proef met een speelgoeduurrooster: de tussentijden wisselen af tussen $5$ en $15$ minuten ( [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tussentijd $10$ ). Bereken de [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) dat een uniform willekeurige aankomst in een lange tussentijd valt, en daarna de echte verwachte wachttijd — en noem de schuldige: aankomsten bemonsteren de tussentijden met een [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) evenredig met hun *lengte* .
14. In de geheugenloze stroom heeft de tussentijd waarin je terechtkomt een verwachte lengte van $20$ minuten — het dubbele van de typische tussentijd (de tijd terug naar de vorige bus en die vooruit naar de volgende zijn *allebei* exponentieel met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$ ). Breng dit in overeenstemming met vraag 12 en formuleer de *inspectieparadox* in één zin.
15. Dezelfde angel aan land: een universiteit heeft negen klassen van $10$ studenten en één van $110$ . Bereken de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) klasgrootte, en daarna de klasgrootte die de *[gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) student* beleeft. Welk getal zal de brochure vermelden, en welk getal is de geleefde werkelijkheid van de studenten?
16. De vriendschapsparadox — “je vrienden hebben gemiddeld meer vrienden dan jij” — is dezelfde wiskunde. Zeg in één zin wat er de rol van de lange tussentijd speelt.

**Deel IV — Het volume afsluiten.**

17. Simulatie, de brug van de praktijk: is $U$ uniform op $\intoo{0}{1}$ , toon dan aan dat $T = -10\ln U$ exponentieel is met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$ (bereken $\P(T > t)$ ). Elke simulatie van willekeurig wachten in de industrie draait op deze truc van één regel.
18. Een oud recept van spelprogrammeurs bouwt een klok: tel twaalf onafhankelijke uniforme variabelen op $\intcc{0}{1}$ op en trek er $6$ van af. Geef het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) en de [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) van de som, en leg uit — met de bord van Galton in de hand — waarom het resultaat bijna normaal is.
19. Markten storten harder in dan de klok toelaat: de crash van 1987 werd omschreven als een “ [gebeurtenis](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/18-kansrekening-en-toevalsvariabelen#def-g11-prob-model) op $25\sigma$ ”, wat onder normaliteit een [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) van ongeveer $10^{-137}$ heeft. Wat is het juiste besluit — over de wereld, of over het model? (Eén zin, de catechismus van de statisticus.)
20. Slotstuk, en afscheid van het volume: de drie personages in telkens één regel — uniform (onwetendheid binnen grenzen), exponentieel (risico zonder geheugen), normaal (de som van vele kleine oorzaken); de inspectieparadox als de angel van het hoofdstuk; en de boog van de hele reeks — van het tellen van pakjes sap tot de klokkromme die elke menigte meet — met de universitaire volumes die wachten waar de limieten, de integralen en de centrale limietstelling het overnemen.

**Oplossing van Probleem 35.1.**

**1.** $\P(\text{wachttijd} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$; $\E = 15$ min; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

**2.** $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$: een dichtheid. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 =
\frac34$.

**3.** $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$. De [mediaan](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-median): $\eu^{-m/10} = \frac12$, dus $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — minder dan het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$, omdat de lange rechterstaart van de [exponentiële verdeling](#def-g12-contdist-expo) (zeldzame reusachtige wachttijden) het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) omhoogtrekt terwijl de [mediaan](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-median) bij de “typische” wachttijd blijft.

**4.** Wegens de geheugenloosheid is $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$: de twintig reeds uitgezeten minuten kopen niets — de stroom veroudert niet.

**5.** (a) exponentieel (het radioactief verval is het model waarvoor de geheugenloosheid uitgevonden werd); (b) uniform op $\intcc{0}{8}$ (een uurrooster met een willekeurige verschuiving); (c) exponentieel; (d) geen van beide: een versleten lamp brandt in het volgende uur *waarschijnlijker* door dan een nieuwe, dus $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$: veroudering is in strijd met de stelling over de geheugenloosheid.

**6.** $68\,\%$, $95\,\%$, $99.7\,\%$: de drie ijkintervallen.

**7.** $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$: bovenstaart $\approx 1.2\,\%$.

**8.** $z = 2$: ongeveer $2.3\,\%$ — ruwweg één persoon op $44$.

**9.** De specificatie ligt op $\pm 2\sigma$: ongeveer $95.4\,\%$ komt erdoor en $4.6\,\%$ wordt afgekeurd — op grote schaal rampzalig. Op $\pm 6\sigma$ zakt het uitvalpercentage tot ongeveer twee op een *miljard*: zes sigma koopt het recht om massaal te produceren zonder massaal te keuren.

**10.** $\sigma = 5$; met continuïteitscorrectie is $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1)
\approx 0.73$. De stelling maakt de bord van Galton uit [Probleem 19.1](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/19-de-binomiale-verdeling#pb-g11-binom-1) glad: de trap van vakjes wordt de continue klok.

**11.** $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ mensen — en bij die omvang overheersen de fouten die *niet* van het bemonsteren komen (het steekproefkader, weigeringen, leugens) de marge: een race met één punt [verschil](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/13-rijen-een-eerste-kennismaking#def-g11-seq-arithmetic) ligt buiten het bereik van eerlijk peilen, en daarom zeggen ernstige bureaus dan “te nipt om te beslechten”.

**12.** Geheugenloosheid: vanaf het ogenblik dat je aankomt, is de resterende wachttijd exponentieel met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$ — de volle $10$ minuten, niet $5$. De “[gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tussentijd $10$” van het uurrooster misleidt: jouw wachttijd heeft dezelfde verdeling als een hele tussentijd.

**13.** Willekeurige aankomsten vallen evenredig met de lengte van de tussentijd, dus met [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) $\frac{15}{20} = \frac34$ in een lange. Verwachte wachttijd: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 =
5.625 + 0.625 = 6.25$ min — meer dan de naïeve $5$, hoewel de [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) tussentijd $10$ is. De schuldige: het *naar lengte vertekende bemonsteren* — lange tussentijden vangen meer reizigers.

**14.** De wachttijd achterwaarts en die voorwaarts zijn elk exponentieel met [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $10$ (de geheugenloosheid werkt vanaf je aankomst in beide richtingen): de tussentijd waarin je zit, duurt gemiddeld $20$ minuten — het dubbele van de typische tussentijd. De inspectieparadox in één zin: *het [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval) dat je toevallig inspecteert, is geen typisch [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval), want je viel met grotere [kans](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/9-kansrekening-en-steekproeven#def-g10-proba-distribution) in een groot [interval](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-interval).*

**15.** [Gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) klas: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ studenten. Het [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) dat de studenten beleven: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}{200} = 65$ studenten. De brochure drukt $20$ af; drie op vijf studenten zitten in de klas van $110$ en beleven de $65$.

**16.** Populaire mensen staan op vele vriendenlijsten, dus “een vriend” bemonsteren is naar lengte vertekend in het voordeel van de gezelligen — jouw vrienden worden getrokken uit de lange tussentijden van het sociale uurrooster.

**17.** Voor $t \geq 0$: $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) =
\eu^{-t/10}$: precies de overlevingsfunctie van de [exponentiële verdeling](#def-g12-contdist-expo) — één [logaritme](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/23-exponentiele-functie-en-logaritme#def-g12-exp-ln) zet de uniforme ruis van de computer om in eender welke wachttijd.

**18.** Elke uniforme variabele heeft [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $\frac12$ en [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $\frac{1}{12}$: de som van twaalf heeft [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $6$ en [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $1$ — dus levert het recept [gemiddelde](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean) $0$ en [variantie](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/33-toevalsvariabelen-en-de-binomiale-verdeling#def-g12-randvar-exp) $1$ op. Twaalf onafhankelijke kleine duwtjes opgeteld: het mechanisme van Galton, en met de zegen van De Moivre–Laplace is het histogram voor het oog al klokvormig.

**19.** Over het model: markten zijn geen sommen van vele *onafhankelijke* kleine oorzaken — paniek correleert alles (de les van 2008 uit de vorige opgave) en brengt dikke staarten voort die geen enkele normale dichtheid bezit. Wanneer de gegevens $10^{-137}$ fluisteren, antwoordt de catechismus van de statisticus: *het model wordt verworpen, niet de dag*.

**20.** Uniform: alle posities gelijk, het eerlijke “ik ken alleen de grenzen”. Exponentieel: het risico dat nooit veroudert — verval, aankomsten, klikken. Normaal: de democratische klok van vele kleine onafhankelijke oorzaken — lengtes, fouten, [gemiddelden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#def-g11-stat-mean). De angel: wat je bemonstert, is vertekend door de manier waarop je erop botste — bussen, klassen, vrienden. En de boog: het kind dat pakjes sap telde, heeft tien volumes vol opgaven later de menigte met een kromme gemeten; de epsilon, de [integraal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/25-integreren#def-g12-integ-area) en de centrale limietstelling wachten in de universitaire volumes om uit te leggen *waarom* de klok voor alles luidt.