---
title: "Beschrijvende statistiek"
book: "Wiskunde bovenbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 8
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/8-beschrijvende-statistiek
---

# Hoofdstuk 8 — Beschrijvende statistiek

De statistiek vat een grote verzameling getallen — punten, lonen, temperaturen — samen in enkele goed gekozen kengetallen. Dit hoofdstuk voert de twee families kengetallen in: die welke het *[midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint)* van de gegevens aanwijzen ([gemiddelde](#def-g10-stats-mean), [mediaan](#def-g10-stats-median)) en die welke hun *spreiding* meten ([variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles), [kwartielen](#def-g10-stats-quartiles)). Een diepere behandeling, met de standaardafwijking, volgt in [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/17-beschrijvende-statistiek#ch-g11-stat).

## 8.1 Gegevens en frequenties

**Definitie 8.1 (Statistische reeks).**

Een *statistische reeks* is een lijst waarden $x_1, x_2, \dots, x_N$ die op een populatie van omvang $N$ waargenomen zijn. Komt een waarde $x$ $n$ keer voor, dan is $n$ haar *aantal* en is het quotiënt

$$
f = \frac{n}{N}
$$

haar *frequentie* (vaak als percentage uitgedrukt). De frequenties van alle waarden tellen op tot $1$.

**Voorbeeld 8.2.**

De punten van $20$ leerlingen op een toets van $5$ punten:

| punten $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| aantal $n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $5$ | $2$ |
| [frequentie](#def-g10-stats-series) $f$ | $0.05$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.30$ | $0.25$ | $0.10$ |

Controle: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$, en de [frequenties](#def-g10-stats-series) tellen op tot $1$.

![Het staafdiagram van de toetspunten: één staaf per waarde, met een hoogte gelijk aan het aantal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-ef965326be9a.svg)

*Het staafdiagram van de toetspunten: één staaf per waarde, met een hoogte gelijk aan het aantal.*

## 8.2 Kengetallen van het midden

**Definitie 8.3 (Gemiddelde).**

Het *gemiddelde* van de reeks is

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.
$$

Komen de waarden $v_1, \dots, v_k$ voor met aantallen $n_1, \dots, n_k$, dan bereken je hetzelfde getal als het *gewogen gemiddelde*

$$
\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.
$$

**Voorbeeld 8.4.**

Voor de toets van [Voorbeeld 8.2](#ex-g10-stats-frequencies):

$$
\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3
+ 5 \times 4 + 2 \times 5}{20}
= \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20}
= \frac{58}{20} = 2.9 .
$$

**Definitie 8.5 (Mediaan).**

De *mediaan* is een waarde die de *gesorteerde* reeks in twee helften splitst: minstens de helft van de waarden is $\leq$ de mediaan, en minstens de helft is $\geq$ de mediaan. In de praktijk sorteer je de $N$ waarden;

- is $N$ oneven, dan is de mediaan de middelste waarde, op plaats $\frac{N+1}{2}$ ;
- is $N$ even, neem dan het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de twee middelste waarden, op de plaatsen $\frac N2$ en $\frac N2 + 1$ .

**Voorbeeld 8.6.**

Een gesorteerde reeks van $7$ huizenprijzen (in duizenden): $120$, $150$, $160$, $180$, $210$, $240$, $900$. De [mediaan](#def-g10-stats-median) is de $4$de waarde, $180$. Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) is $\frac{1960}{7} = 280$ — groter dan $6$ van de $7$ prijzen! Eén extreme waarde ($900$) trekt het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) veel harder mee dan de [mediaan](#def-g10-stats-median): de [mediaan](#def-g10-stats-median) is *robuust*, het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) niet.

## 8.3 Kengetallen van de spreiding

**Definitie 8.7 (Variatiebreedte, kwartielen).**

Voor een gesorteerde reeks:

- de *variatiebreedte* is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde;
- het *eerste kwartiel* $Q_1$ is de kleinste waarde waarvoor minstens een kwart ( $25\%$ ) van de waarden $\leq Q_1$ is; het *derde kwartiel* $Q_3$ is de kleinste waarde waarvoor minstens drie kwart ( $75\%$ ) van de waarden $\leq Q_3$ is;
- de *interkwartielafstand* $Q_3 - Q_1$ meet de spreiding van de middelste helft van de gegevens.

**Methode 8.8 (De kwartielen bepalen).**

Voor een reeks van $N$ gesorteerde waarden:

1. bereken $\frac N4$ ; is dat geen [geheel getal](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/1-getallen-en-getallenverzamelingen#def-g10-numbers-sets) , rond dan *naar boven* af tot het volgende gehele getal; $Q_1$ is de waarde op die plaats;
2. bereken $\frac{3N}{4}$ ; rond zo nodig naar boven af; $Q_3$ is de waarde op die plaats.

**Voorbeeld 8.9.**

Neem de $11$ gesorteerde waarden

$$
2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .
$$

[Mediaan](#def-g10-stats-median): plaats $\frac{11+1}{2} = 6$, dus de [mediaan](#def-g10-stats-median) is $7$. $Q_1$: $\frac{11}{4} = 2.75$, naar boven $3$; de $3$de waarde is $5$. $Q_3$: $\frac{33}{4} = 8.25$, naar boven $9$; de $9$de waarde is $9$. [Variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 2 = 10$; [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles): $9 - 5 = 4$.

![De boxplot van : de doos beslaat het interkwartielinterval (Q_1, Q_3) en bevat de middelste helft van de gegevens; de snorharen reiken tot de extreme waarden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-db2d6bda2737.svg)

*De boxplot van [Voorbeeld 8.9](#ex-g10-stats-quartiles): de doos beslaat het interkwartielinterval $\intcc{Q_1}{Q_3}$ en bevat de middelste helft van de gegevens; de snorharen reiken tot de extreme waarden.*

**Voorbeeld 8.10 (Twee groepen vergelijken).**

Twee klassen maken dezelfde toets (punten op $20$):

|  | [mediaan](#def-g10-stats-median) | $Q_1$ | $Q_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| klas A | $12$ | $10$ | $14$ |
| klas B | $12$ | $6$ | $17$ |

Dezelfde [mediaan](#def-g10-stats-median), heel verschillende spreiding: klas A is homogeen (de helft van haar punten ligt in $\intcc{10}{14}$), klas B is heterogeen (haar middelste helft loopt over $\intcc{6}{17}$). Kengetallen van het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) vertellen alleen nooit het hele verhaal.

**Opmerking 8.11.**

Noch het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) noch de [mediaan](#def-g10-stats-median) is “beter”: het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) gebruikt elke waarde (en is nodig om totalen te berekenen), de [mediaan](#def-g10-stats-median) weerstaat extreme waarden. Een ernstige samenvatting van een reeks geeft minstens één kengetal van het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) *en* één van de spreiding.

## 8.4 Oefeningen

**Oefening 8.1 ★.**

Hier staan de aantallen boeken die $15$ leerlingen in een jaar lazen:

$$
0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .
$$

Bereken het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean), de [mediaan](#def-g10-stats-median) en de [variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) van deze reeks.

**Oplossing van Oefening 8.1.**

Som: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$, dus is het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{60}{15} = 4$. De reeks staat al gesorteerd en $N = 15$ is oneven: de [mediaan](#def-g10-stats-median) is de $8$ste waarde, $3$. [Variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 0 = 12$.

**Oefening 8.2 ★.**

Er werd $50$ keer met een dobbelsteen gegooid:

| uitkomst | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| aantal | $7$ | $9$ | $8$ | $10$ | $6$ | $10$ |

Bereken de [frequentie](#def-g10-stats-series) van elke uitkomst en de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) uitkomst.

**Oplossing van Oefening 8.2.**

[Frequenties](#def-g10-stats-series): $\frac{7}{50} = 0.14$, $\frac{9}{50} = 0.18$, $\frac{8}{50} = 0.16$, $\frac{10}{50} = 0.20$, $\frac{6}{50} = 0.12$, $\frac{10}{50} = 0.20$ (som $1$). [Gemiddelde](#def-g10-stats-mean) uitkomst:

$$
\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4
+ 6 \times 5 + 10 \times 6}{50}
= \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50}
= \frac{179}{50} = 3.58 .
$$

**Oefening 8.3 ★.**

Bepaal de [mediaan](#def-g10-stats-median), $Q_1$ en $Q_3$ van de gesorteerde reeks

$$
1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),
$$

en teken de bijhorende boxplot.

**Oplossing van Oefening 8.3.**

$N = 12$ (even): de [mediaan](#def-g10-stats-median) is het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de $6$de en de $7$de waarde, allebei gelijk aan $6$: [mediaan](#def-g10-stats-median) $6$.

$Q_1$: $\frac{12}{4} = 3$, dus is $Q_1$ de $3$de waarde: $4$.

$Q_3$: $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, dus is $Q_3$ de $9$de waarde: $8$.

Boxplot: doos van $4$ tot $8$ met de medianenstreep in $6$, snorharen van $1$ tot $11$.

**Oefening 8.4 ★.**

Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van $24$ toetsresultaten is $11.5$. Een $25$ste leerling maakt de toets en haalt $19$. Wat is het nieuwe klasgemiddelde?

**Oplossing van Oefening 8.4.**

De $24$ resultaten tellen op tot $24 \times 11.5 = 276$. Met het nieuwe resultaat is het totaal $276 + 19 = 295$ voor $25$ leerlingen: het nieuwe [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) is $\frac{295}{25} = 11.8$.

**Oefening 8.5 ★★.**

Een leerling heeft na $5$ toetsen, alle even zwaar, een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van $12$. Welk resultaat op de $6$de toets zou het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) naar $13$ tillen? Is een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van $14$ haalbaar (de punten staan op $20$)?

**Oplossing van Oefening 8.5.**

Huidig totaal: $5 \times 12 = 60$. Een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van $13$ over $6$ toetsen vraagt een totaal van $78$, dus moet het $6$de resultaat $78 - 60 = 18$ zijn. Een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van $14$ zou $84 - 60 = 24 > 20$ vragen: niet haalbaar.

**Oefening 8.6 ★★.**

Verzin een reeks van $7$ niet-negatieve waarden met [mediaan](#def-g10-stats-median) $10$ en een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) groter dan $20$; en daarna een met [mediaan](#def-g10-stats-median) $10$ en een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) kleiner dan $6$. Waarom kan het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van zo’n reeks nooit kleiner zijn dan $\frac{40}{7}$? Wat tonen deze voorbeelden?

**Oplossing van Oefening 8.6.**

[Gemiddelde](#def-g10-stats-mean) groter dan $20$: bijvoorbeeld $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — [mediaan](#def-g10-stats-median) $10$ (de $4$de gesorteerde waarde), [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{166}{7} \approx 23.7$.

[Gemiddelde](#def-g10-stats-mean) kleiner dan $6$: bijvoorbeeld $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — [mediaan](#def-g10-stats-median) $10$, [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{40}{7} \approx 5.7$.

Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) kan niet onder $\frac{40}{7}$ zakken: opdat de [mediaan](#def-g10-stats-median) (de $4$de gesorteerde waarde) $10$ zou zijn, moeten de waarden op de plaatsen $4$ tot $7$ alle $\geq 10$ zijn, zodat het totaal minstens $40$ is en het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) minstens $\frac{40}{7}$ — het tweede voorbeeld is extremaal.

Deze voorbeelden tonen dat het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) en de [mediaan](#def-g10-stats-median) grotendeels onafhankelijk zijn: de ene kennen zegt weinig over de andere, en daarom meldt een goede samenvatting beide.

**Oefening 8.7 ★★.**

In een bedrijf verdienen de $9$ werknemers elk $1800$ per maand en de directeur $12000$.

1. Bereken het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) en het mediane loon.
2. Welk kengetal beschrijft hier het best een “typisch” loon? Waarom?

**Oplossing van Oefening 8.7.**

*1.* [Gemiddelde](#def-g10-stats-mean): $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$. [Mediaan](#def-g10-stats-median): gesorteerd zijn de $10$ lonen negen keer $1800$ en dan $12000$; de [mediaan](#def-g10-stats-median) is het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van de $5$de en de $6$de waarde, allebei $1800$: [mediaan](#def-g10-stats-median) $1800$.

*2.* De [mediaan](#def-g10-stats-median) ($1800$) beschrijft het typische loon: dat is wat $9$ werknemers op $10$ werkelijk verdienen. Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) ($2820$) wordt door het ene hoge loon omhooggetrokken en staat op niemands loonbrief.

**Oefening 8.8 ★★.**

Een klas met $12$ jongens heeft een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) lengte van $168$ cm; de $18$ meisjes van dezelfde klas hebben een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) lengte van $163$ cm. Bereken de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) lengte van de hele klas. (Let op: dat is *niet* het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint) van $168$ en $163$ — weeg de [gemiddelden](#def-g10-stats-mean) met de groepsgroottes.)

**Oplossing van Oefening 8.8.**

Totale lengte: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm voor $30$ leerlingen, dus is het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Het ligt dichter bij het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van de meisjes, omdat zij talrijker zijn (gewogen [gemiddelde](#def-g10-stats-mean), met gewichten $12$ en $18$).

**Oefening 8.9 ★★★.**

Een reeks van $N$ waarden $x_1, \dots, x_N$ heeft [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\bar x$. Elke waarde wordt omgezet in $y_i = a x_i + b$ voor vaste getallen $a$ en $b$.

1. Toon aan dat het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van de nieuwe reeks $a \bar x + b$ is.
2. De temperaturen van een week hebben, in graden Celsius, [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $20$ . Wat is hun [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) in graden Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

**Oplossing van Oefening 8.9.**

*1.* Het nieuwe [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) is

$$
\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N}
= \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N}
= \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N}
= a \bar x + b .
$$

*2.* Met $a = 1.8$ en $b = 32$: [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ graden Fahrenheit.

## 8.5 Opgave: de gemiddelde mens bestaat niet

**Probleem 8.1.**

Weekendopgave — gemiddelde tegen mediaan: uitschieters, puntenaanpassingen, het magazijn langs de weg, en de cockpit die voor niemand ontworpen was

In 1950 mat de Amerikaanse luchtmacht $4\,000$ piloten op tien lichaamsmaten en bouwde ze de cockpit voor de *[gemiddelde](#def-g10-stats-mean) man*. Hij paste — zoals een luitenant al tellend ontdekte — vrijwel niemand. De statistiek vat menigten samen in enkele getallen, en elke samenvatting vertelt de waarheid over het ene en liegt over het andere. Deze opgave daagt het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) en de [mediaan](#def-g10-stats-median) ([Definitie 8.3](#def-g10-stats-mean), [Definitie 8.5](#def-g10-stats-median)) voor de rechtbank, laat elk tonen waar het het best in is, en sluit de zaak van de cockpit.

**Deel I — Twee samenvattingen voor de rechter.**

1. In een straat worden zeven huizen verkocht, in duizenden euro’s: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — en één landhuis van $1\,200$ . Bereken de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) en de mediane prijs. Welk getal beschrijft “een huis in deze straat”?
2. Haal het landhuis weg en bereken beide opnieuw. Hoeveel schoof elke samenvatting op? Formuleer de moraal over uitschieters.
3. Een volkstellingstabel: van $100$ gezinnen hebben er $20$ geen kind, $25$ één, $30$ twee, $15$ drie en $10$ vier. Bereken het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) aantal kinderen. Geen enkel gezin “heeft $1.7$ kinderen” — welke werkelijke grootheid legt het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) dan vast? (Vermenigvuldig het met $100$ .)
4. Zoek voor de vijftien punten $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ de [mediaan](#def-g10-stats-median) en de [kwartielen](#def-g10-stats-quartiles) $Q_1$ , $Q_3$ ( [Methode 8.8](#met-g10-stats-quartiles) ).
5. Geef voor dezelfde reeks de [variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) en de [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) . Wat meet elk van beide?

**Deel II — Punten aanpassen en klassen samenvoegen.**

6. Uit [Oefening 8.9](#exo-g10-stats-9) : elke waarde met $+b$ verschuiven verschuift [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) , [mediaan](#def-g10-stats-median) en [kwartielen](#def-g10-stats-quartiles) met $+b$ ; met $a$ schalen schaalt ze met $a$ . Wat gebeurt er met de [variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) en de [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) bij een verschuiving? En bij een schaling? Verantwoord.
7. Een toets heeft [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $9$ (op $20$ ) en de leerkracht wil [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $12$ . Er worden twee aanpassingen voorgesteld: iedereen $3$ punten erbij, of elk resultaat met $\frac43$ vermenigvuldigen. Bereken het lot van een leerling met $6$ en van een met $18$ onder elke aanpassing. Welke aanpassing begunstigt wie — en welke stoot haar hoofd tegen het plafond?
8. Klas A ( $20$ leerlingen) heeft [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $12$ ; klas B ( $30$ leerlingen) heeft [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $10$ . Bereken het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van de $50$ leerlingen samen, en leg uit waarom het geen $11$ is (de les over gewogen [gemiddelden](#def-g10-stats-mean) uit de weekendopgave over het harmonisch [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) in het onderbouwvolume, nu in de klas).
9. Toon aan dat medianen dit spel weigeren: bereken de medianen van $A = \{1, 2, 3\}$ en $B = \{0, 10\}$ , daarna de [mediaan](#def-g10-stats-median) van de samengevoegde lijst, en vergelijk met het naar omvang gewogen [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van de twee medianen.
10. Kunstschaatsen: vijf juryleden geven $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Bereken het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) , de [mediaan](#def-g10-stats-median) en het *getrimde [gemiddelde](#def-g10-stats-mean)* (laat de laagste en de hoogste vallen en middel de rest). Waarom trimmen de meeste beoordeelde sporten?

**Deel III — Verdelingen lezen.**

11. Twee fabrieken maken allebei bouten met een [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) lengte van $50$ mm. Fabriek A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fabriek B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Je hebt onderling verwisselbare bouten nodig: welke fabriek, en welk kengetal besliste?
12. In een kliniek is de mediane wachttijd $10$ minuten, maar de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) wachttijd $25$ . Welke vorm van de gegevens verraadt dat paar? Maak een reeks van vijf waarden met precies deze [mediaan](#def-g10-stats-median) en dit [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) .
13. “Je baby zit op het 75ste percentiel voor lengte” — wat betekent die zin? En kan elk kind van een stad “boven het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) ” zijn? Boven de [mediaan](#def-g10-stats-median) ? Leg het verschil uit.
14. Klas A: min $4$ , $Q_1\,8$ , [mediaan](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,13$ , max $17$ . Klas B: min $2$ , $Q_1\,9$ , [mediaan](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,12$ , max $19$ . Vergelijk: typisch punt, homogeniteit van de middelste helft, wildheid van de uitersten.
15. Het lijstje van de journalist: een kop zegt “gemiddeld loon bij TechCorp: $5\,000$ euro”. Noem de drie vragen die deze opgave je geleerd heeft te stellen voordat je gelooft dat de kop iets zegt over een typische werknemer.

**Deel IV — De zaak van de cockpit.**

16. Maak je eigen bewijsstuk: verzin vijf huizenprijzen met [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $300$ en [mediaan](#def-g10-stats-median) $200$ (in duizenden euro’s).
17. Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) is het evenwichtspunt: bewijs uit de definitie dat de afwijkingen van het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) elkaar altijd opheffen, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , en ga het na op je reeks uit vraag 16.
18. De [mediaan](#def-g10-stats-median) bespaart boodschappen: langs een weg staan winkels op kilometer $1$ , $3$ , $4$ , $9$ en $13$ , en een magazijn moet de *totale afstand* tot de vijf winkels zo klein mogelijk maken. Bereken die totale afstand voor een magazijn op de [mediaan](#def-g10-stats-median) ( $4$ ), op het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) ( $6$ ) en op $5$ . Wie wint? (Dit geldt algemeen: de [mediaan](#def-g10-stats-median) maakt de totale absolute afstand minimaal — toets gerust een andere plek.)
19. De cockpit, opgelost: stel dat een piloot $30\,\%$ kans heeft om op één lichaamsmaat “dicht bij het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) ” te zitten, onafhankelijk over $10$ maten. Schat de kans om op *alle tien* dicht bij het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) te zitten — en breng het resultaat in overeenstemming met wat de luitenant bij $4\,000$ piloten vond. Wat bouwde de luchtmacht in plaats van de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) cockpit?
20. Slotstuk — de handleiding, telkens één regel: gaat het om totalen (een begroting, een oogst), gebruik dan het …; gaat het om het typische individu (lonen, wachttijden), gebruik dan de …; gaat het om eerlijkheid van de spreiding, meld dan de …; dreigt er besmetting, gebruik dan het …. Sluit de zaak met de titel van deze opgave.

**Oplossing van Probleem 8.1.**

**1.** [Gemiddelde](#def-g10-stats-mean): $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ duizend euro; [mediaan](#def-g10-stats-median): de vierde van de zeven gerangschikte prijzen, $230$. De [mediaan](#def-g10-stats-median) beschrijft de straat — zes van de zeven huizen kosten lang geen $364$.

**2.** Zonder het landhuis: [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,350}{6} = 225$, [mediaan](#def-g10-stats-median) $\frac{220 + 230}{2} = 225$. Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) zakte met ongeveer $139$; de [mediaan](#def-g10-stats-median) met $5$. Eén extreme waarde kan het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) overal heen sleuren; de [mediaan](#def-g10-stats-median) merkt het nauwelijks — ze is *robuust*.

**3.** [Gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 +
3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$. Geen enkel gezin heeft $1.7$ kinderen, maar $1.7 \times 100 = 170$ *is* het exacte totale aantal kinderen: het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) legt het totaal vast, gelijk herverdeeld — zijn ware talent.

**4.** $N = 15$: [mediaan](#def-g10-stats-median) $=$ 8ste waarde $= 11$; $Q_1 =$ 4de waarde $= 8$; $Q_3 =$ 12de waarde $= 14$.

**5.** [Variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) $19 - 4 = 15$: de volledige spreiding, uitersten inbegrepen. [Interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) $14 - 8 = 6$: de breedte van de middelste helft — spreiding zonder de ruis van de uitersten.

**6.** Een verschuiving met $+b$ verplaatst *elke* waarde, dus blijven verschillen van waarden — [variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) en [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) — onveranderd: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$. Een schaling met $a$ vermenigvuldigt alle verschillen met $a$: [variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) en [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) worden met $\abs a$ geschaald.

**7.** Optellende aanpassing: $6 \to 9$ en $18 \to 21$ — de zwakke leerling wint $50\,\%$, de sterke $17\,\%$, en $21$ doet de schaal op $20$ maar net barsten. Vermenigvuldigende aanpassing: $6 \to 8$ en $18 \to 24$ — de verhoudingen blijven, maar $24$ kan niet op een schaal van $20$: het plafondprobleem. Optellende aanpassingen vleien de onderkant; vermenigvuldigende laten de bovenkant ontploffen.

**8.** Totaal aantal punten: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$, dus is het samengevoegde [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{540}{50} = 10.8$: de dertig leerlingen van klas B wegen zwaarder dan de twintig van klas A — [gemiddelden](#def-g10-stats-mean) voeg je *gewogen* samen, nooit met een gewoon [gemiddelde](#def-g10-stats-mean).

**9.** [Mediaan](#def-g10-stats-median) van $A$: $2$; van $B$: $5$. Samengevoegde lijst $\{0, 1, 2, 3, 10\}$: [mediaan](#def-g10-stats-median) $2$. Het naar omvang gewogen [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) van de medianen zou $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ zijn: medianen dragen geen totaal, dus bestaat er geen formule om ze samen te voegen — je moet de hele lijst opnieuw sorteren.

**10.** [Gemiddelde](#def-g10-stats-mean): $\frac{31.3}{5} = 6.26$. [Mediaan](#def-g10-stats-median): $5.4$. Getrimd [gemiddelde](#def-g10-stats-mean): $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$. Eén geestdriftig (of omgekocht) jurylid verschoof het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) met bijna een punt; de [mediaan](#def-g10-stats-median) en het getrimde [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) haalden hun schouders op — vandaar de trimregels in beoordeelde sporten.

**11.** Fabriek A: middelste helft binnen $0.2$ mm; fabriek B: binnen $4$ mm. Hetzelfde [gemiddelde](#def-g10-stats-mean), tegengestelde betrouwbaarheid: koop bij A. De [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) besliste — [gemiddelden](#def-g10-stats-mean) alleen vergelijken [middens](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint), nooit regelmaat.

**12.** Een [mediaan](#def-g10-stats-median) ver onder het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) verraadt een *lange rechterstaart*: de meeste wachttijden kort, enkele rampzalig. Voorbeeld: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — [mediaan](#def-g10-stats-median) $10$, [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{125}{5} = 25$.

**13.** Het betekent dat $75\,\%$ van de baby’s van die leeftijd korter is (en $25\,\%$ langer): een rangorde, geen maat. “Elk kind boven het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean)” is onmogelijk — overtroffen alle waarden het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean), dan zou hun [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) overtreffen, en dat is het zelf: tegenspraak. Maar *bijna* alle kan: één heel klein kind kan het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) onder alle andere houden. Boven de *[mediaan](#def-g10-stats-median)*: nooit meer dan de helft, per definitie. Rangordes laten zich niet vleien, [gemiddelden](#def-g10-stats-mean) wel.

**14.** Typisch punt: gelijk, [mediaan](#def-g10-stats-median) $11$ voor allebei. Homogeniteit van het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint): B strakker ([interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles) $3$ tegen $5$). Uitersten: B wilder ([variatiebreedte](#def-g10-stats-quartiles) $17$ tegen $13$). B is een klas van gelijkaardige leerlingen plus enkele uitschieters; A is gelijkmatig gespreid.

**15.** (1) Is $5\,000$ het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) of de [mediaan](#def-g10-stats-median) — en mag ik de [mediaan](#def-g10-stats-median)? (2) Wat is de spreiding ([kwartielen](#def-g10-stats-quartiles)), zodat ik weet hoe typisch “typisch” is? (3) Wie werd geteld — steekproefgrootte en selectie (de les over enquêtes uit de weekendopgave over hoe gegevens liegen in het onderbouwvolume)?

**16.** Bijvoorbeeld $100, 150, 200, 250, 800$: [mediaan](#def-g10-stats-median) $200$, [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,500}{5} = 300$.

**17.** $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x
= 0$. Controle: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$. Het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) is het punt waar de afwijkingen elkaar in evenwicht houden — het zwaartepunt van de gegevens (de $G$ uit de weekendopgave over het zwaartepunt in het onderbouwvolume, in één dimensie).

**18.** Op de [mediaan](#def-g10-stats-median) $4$: $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Op het [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) $6$: $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Op $5$: $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. De [mediaan](#def-g10-stats-median) wint — je ervan verwijderen passeert altijd meer winkels dan het er nadert, zodat het totaal alleen maar kan groeien.

**19.** $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$: ongeveer zes piloten *per miljoen*. Bij $4\,000$ piloten is het verwachte aantal $0.02$ — nul, zoals luitenant Daniels vaststelde. De luchtmacht stopte met ontwerpen voor de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) man en maakte alles regelbaar: stoelen, pedalen, riemen — ontwerp voor de *spreiding*, niet voor het [midden](https://one-course.com/books/math/2/nl/chapter/5-analytische-meetkunde#prop-g10-coordgeom-midpoint).

**20.** Totalen: het *[gemiddelde](#def-g10-stats-mean)*. Typisch individu: de *[mediaan](#def-g10-stats-median)*. Eerlijkheid van de spreiding: de *[kwartielen](#def-g10-stats-quartiles)* (en de [interkwartielafstand](#def-g10-stats-quartiles)). Besmetting: het *getrimde [gemiddelde](#def-g10-stats-mean)*. En de slotregel: de [gemiddelde](#def-g10-stats-mean) mens bestaat niet — maar de mediane mens bijna wel.