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title: "Números e conjuntos numéricos"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 1
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos
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# Capítulo 1 — Números e conjuntos numéricos

A matemática começa com os números, e nem todos os números são da mesma espécie: os que servem para contar, os negativos, as frações e números como $\sqrt 2$ ou $\pi$ que nenhuma fração consegue exprimir. Este capítulo organiza-os em famílias encaixadas, apresenta os [intervalos](#def-g10-numbers-interval) para descrever pedaços da reta numérica e usa o [módulo](#def-g10-numbers-abs) para medir distâncias entre números.

## 1.1 As famílias de números

**Definição 1.1 (Conjuntos numéricos).**

- $\N$ é o conjunto dos *números naturais* : $0, 1, 2, 3, \dots$
- $\Z$ é o conjunto dos *números inteiros* : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
- $\Q$ é o conjunto dos *números racionais* : todos os quocientes $\frac{p}{q}$ com $p \in \Z$ , $q \in \N$ e $q \neq 0$ .
- $\R$ é o conjunto dos *números reais* : todos os números que podem ser colocados sobre a reta numérica.

**Notação 1.2.**

O símbolo $\in$ lê-se “pertence a”: $3 \in \N$, $-5 \in \Z$, $\frac23 \in \Q$. O símbolo $\subset$ lê-se “está contido em”: todo [número natural](#def-g10-numbers-sets) é inteiro, todo inteiro é racional (por exemplo, $-5 = \frac{-5}{1}$) e todo racional é real, de modo que

$$
\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .
$$

Uma barra nega o símbolo: $\frac12 \notin \Z$.

![As famílias encaixadas de números: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada anel contém números que não pertencem aos menores.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-ec3c7dd471c4.svg)

*As famílias encaixadas de números: $\N \subset \Z \subset \Q \subset
\R$. Cada anel contém números que não pertencem aos menores.*

**Exemplo 1.3.**

Vamos situar alguns números na menor família que os contém.

- $\frac{28}{4} = 7$ , logo $\frac{28}{4} \in \N$ mesmo estando escrito como fração: simplifique sempre primeiro.
- $-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ é racional, mas não é inteiro.
- $0.333\dots$ (o algarismo $3$ repetindo-se indefinidamente) vale $\frac13$ , um [número racional](#def-g10-numbers-sets) .
- $\sqrt 2$ e $\pi$ são reais, mas não racionais, como veremos a seguir para $\sqrt 2$ ; tais números são ditos *irracionais* .

**Teorema 1.4 (Irracionalidade de 2\sqrt 22​).**

O número $\sqrt 2$ não é racional: nenhuma fração de inteiros tem quadrado $2$.

**Demonstração.** Raciocinamos por absurdo, em pequenas etapas.

1. Suponha $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ , com $p$ e $q$ inteiros positivos e a fração totalmente simplificada, de modo que $p$ e $q$ não são ambos pares.
2. Elevando os dois lados ao quadrado, $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , isto é, $p^2 = 2q^2$ . Logo $p^2$ é par.
3. Se $p$ fosse ímpar, digamos $p = 2k+1$ , então $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ seria ímpar. Como $p^2$ é par, $p$ tem de ser par: $p = 2k$ para algum inteiro $k$ .
4. Substituindo: $(2k)^2 = 2q^2$ , logo $4k^2 = 2q^2$ , logo $q^2 = 2k^2$ . Pelo mesmo argumento da etapa 3, $q$ é par.
5. Agora $p$ e $q$ são ambos pares, o que contradiz a etapa 1. A hipótese era impossível: $\sqrt 2$ é irracional.

∎

**Observação 1.5.**

Os [números racionais](#def-g10-numbers-sets) são exatamente os números cuja representação decimal ou termina (como $\frac72 = 3.5$) ou passa a repetir indefinidamente um mesmo bloco (como $\frac13 = 0.333\dots$ ou $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$). Os [irracionais](#ex-g10-numbers-classify), como $\sqrt2 = 1.41421356\dots$, têm algarismos decimais que nunca caem em um padrão periódico. Admitimos essa caracterização neste nível.

## 1.2 A reta numérica e os intervalos

Os [números reais](#def-g10-numbers-sets) preenchem uma reta: escolhidos uma origem $0$ e uma unidade de comprimento, cada [número real](#def-g10-numbers-sets) corresponde a exatamente um ponto.

**Definição 1.6 (Intervalo).**

Sejam $a$ e $b$ [números reais](#def-g10-numbers-sets) com $a < b$. Um *intervalo* é o conjunto de todos os [números reais](#def-g10-numbers-sets) compreendidos entre dois extremos. O colchete indica que o extremo está incluído; o parêntese, que está excluído:

| notação | descrição |
| --- | --- |
| $\intcc{a}{b}$ | $a \leq x \leq b$ (ambos os extremos incluídos) |
| $\intoo{a}{b}$ | $a < x < b$ (ambos os extremos excluídos) |
| $\intco{a}{b}$ | $a \leq x < b$ |
| $\intoc{a}{b}$ | $a < x \leq b$ |
| $\intco{a}{+\infty}$ | $x \geq a$ |
| $\intoo{-\infty}{b}$ | $x < b$ |

Os símbolos $-\infty$ e $+\infty$ (“infinito”) não são números, apenas uma forma de dizer que o intervalo prossegue indefinidamente; ao lado deles o sinal é sempre um parêntese. A reta inteira $\R$ é o intervalo $\intoo{-\infty}{+\infty}$.

![Intervalos na reta numérica: bolinha cheia para extremo incluído, bolinha vazia para extremo excluído.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-cfc1de785072.svg)

*[Intervalos](#def-g10-numbers-interval) na reta numérica: bolinha cheia para extremo incluído, bolinha vazia para extremo excluído.*

**Definição 1.7 (Interseção e união).**

Sejam $I$ e $J$ dois conjuntos de [números reais](#def-g10-numbers-sets). A *interseção* $I \cap J$ (“$I$ e $J$”) é o conjunto dos números que pertencem a ambos; a *união* $I \cup J$ (“$I$ ou $J$”) é o conjunto dos números que pertencem a pelo menos um deles.

**Exemplo 1.8.**

Tome $I = \intcc{-1}{3}$ e $J = \intoo{1}{5}$. Desenhe os dois sobre a mesma reta: eles se sobrepõem entre $1$ e $3$. Portanto

$$
I \cap J = \intoc{1}{3},
\qquad
I \cup J = \intco{-1}{5}.
$$

Repare nos extremos: $1 \notin J$, logo $1 \notin I \cap J$; mas $3 \in I$ e $3 \in J$, logo $3 \in I \cap J$.

**Método 1.9 (Trabalhar com intervalos).**

Para achar a [interseção](#def-g10-numbers-interunion) ou a [união](#def-g10-numbers-interunion) de dois [intervalos](#def-g10-numbers-interval):

1. desenhe a reta numérica e marque os quatro extremos;
2. hachure o primeiro [intervalo](#def-g10-numbers-interval) acima da reta e o segundo abaixo;
3. a [interseção](#def-g10-numbers-interunion) é onde as duas hachuras se sobrepõem; a [união](#def-g10-numbers-interunion) é onde há pelo menos uma hachura;
4. decida cada extremo testando se ele próprio pertence aos dois conjuntos ( [interseção](#def-g10-numbers-interunion) ) ou a pelo menos um ( [união](#def-g10-numbers-interunion) ).

## 1.3 Módulo e distância

**Definição 1.10 (Módulo).**

O *módulo* de um [número real](#def-g10-numbers-sets) $x$ é

$$
\abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{se } x \geq 0, \\
-x & \text{se } x < 0.
\end{cases}
$$

Por exemplo, $\abs{7} = 7$ e $\abs{-4} = 4$. Em todos os casos $\abs{x} \geq 0$.

**Proposição 1.11 (Distância na reta).**

Para quaisquer [números reais](#def-g10-numbers-sets) $a$ e $b$, a distância entre os pontos $a$ e $b$ da reta numérica é $\abs{b - a}$. Em particular, $\abs{x}$ é a distância de $x$ a $0$.

**Demonstração.** Se $b \geq a$, a distância de $a$ a $b$ é $b - a \geq 0$, que é igual a $\abs{b-a}$. Se $b < a$, a distância é $a - b = -(b - a) > 0$, que é de novo $\abs{b - a}$ pela definição de [módulo](#def-g10-numbers-abs). ∎

**Proposição 1.12 (Módulo e intervalos).**

Sejam $a$ um [número real](#def-g10-numbers-sets) e $r > 0$. Então

$$
\abs{x - a} \leq r
\quad\text{exatamente quando}\quad
x \in \intcc{a - r}{a + r}.
$$

**Demonstração.** $\abs{x-a} \leq r$ diz que a distância de $x$ a $a$ é no máximo $r$, isto é, que $x$ não se afasta mais do que $r$ de $a$, para nenhum dos dois lados. Os números que cumprem isso são exatamente os que estão entre $a - r$ e $a + r$, extremos incluídos. ∎

![A desigualdade |x - a| ≤ r descreve o intervalo dos números que estão a distância no máximo r de a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-fd741c75d5ad.svg)

*A desigualdade $\abs{x - a} \leq r$ descreve o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) dos números que estão a distância no máximo $r$ de $a$.*

**Exemplo 1.13.**

Resolva $\abs{x - 3} \leq 2$. As soluções são os números que estão a distância no máximo $2$ de $3$: o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1}{5}$. Reciprocamente, o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{-1}{7}$ tem centro $\frac{-1+7}{2} = 3$ e raio $\frac{7-(-1)}{2} = 4$, logo é descrito por $\abs{x - 3} \leq 4$.

## 1.4 Aproximações

Os números [irracionais](#ex-g10-numbers-classify), e mesmo a maioria das frações, não podem ser escritos exatamente com um número finito de algarismos decimais; na prática, portanto, nós os aproximamos.

**Definição 1.14 (Aproximação com precisão dada).**

Um número $d$ é uma *aproximação* de $x$ com precisão $10^{-n}$ quando $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$. Truncar ou arredondar a representação decimal após o $n$-ésimo algarismo produz, em ambos os casos, aproximações desse tipo.

**Exemplo 1.15.**

De $\pi = 3.14159\,26\dots$: a truncatura $3.141$ e o arredondamento $3.142$ são ambos [aproximações](#def-g10-numbers-approx) de $\pi$ com precisão $10^{-3}$. O arredondamento fica a distância menor que $\frac12 \times 10^{-3}$; a truncatura garante apenas $10^{-3}$. Escrever $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ *enquadra* $\pi$ entre dois limitantes decimais.

## 1.5 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Para cada número, indique o menor dos conjuntos $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$ ao qual ele pertence:

$$
\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad
\sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .
$$

**Solução de Exercício 1.1.**

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$. $-7 \in \Z$. $\frac{22}{7} \in \Q$ (não é inteiro: $22 = 7 \times 3 + 1$). $\sqrt 9 = 3 \in \N$. $\sqrt{10} \in \R$ (irracional, pois $10$ não é o quadrado de um racional — admitido aqui, no espírito do [Teorema 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2)). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$. $0 \in \N$.

**Exercício 1.2 ★.**

Escreva cada afirmação em notação de [intervalo](#def-g10-numbers-interval) e depois represente-a na reta numérica: (a) $-2 \leq x < 5$; (b) $x > 3$; (c) $x \leq -1$; (d) a distância de $x$ a $2$ é no máximo $3$.

**Solução de Exercício 1.2.**

(a) $\intco{-2}{5}$: bolinha cheia em $-2$, bolinha vazia em $5$. (b) $\intoo{3}{+\infty}$: bolinha vazia em $3$, hachura para a direita. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$: hachura vinda da esquerda até uma bolinha cheia em $-1$. (d) “distância de $x$ a $2$ no máximo $3$” significa $\abs{x - 2} \leq 3$, isto é, $x \in \intcc{-1}{5}$: bolinhas cheias em $-1$ e $5$.

**Exercício 1.3 ★.**

Calcule $I \cap J$ e $I \cup J$ para

$$
\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4};
\qquad
\text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.
$$

**Solução de Exercício 1.3.**

(a) Os dois [intervalos](#def-g10-numbers-interval) se sobrepõem entre $0$ e $2$: $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ($0 \in J$ e $2 \in I$, e ambos pertencem também ao outro conjunto), e $I \cup J = \intco{-3}{4}$.

(b) $I \cap J$ é o conjunto dos $x$ com $-2 \leq x$ e $x < 1$: $\intco{-2}{1}$. A [união](#def-g10-numbers-interunion) cobre tudo: $I \cup J = \R$.

**Exercício 1.4 ★.**

Calcule sem calculadora:

$$
\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad
\abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.
$$

**Solução de Exercício 1.4.**

$\abs{-6} = 6$; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$; $\sqrt 2 > 1$, logo $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$; $1 - \sqrt2 < 0$, logo $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ também (um número e o seu oposto têm o mesmo [módulo](#def-g10-numbers-abs)).

**Exercício 1.5 ★.**

Resolva as equações e inequações e dê os conjuntos solução:

$$
\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad
\abs{x + 2} < 3 .
$$

(Observe que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ é uma distância a $-2$.)

**Solução de Exercício 1.5.**

$\abs{x} = 5$: distância $5$ a $0$, logo $x = 5$ ou $x = -5$.

$\abs{x - 1} = 3$: distância $3$ a $1$, logo $x = 4$ ou $x = -2$.

$\abs{x - 4} \leq 1$: distância no máximo $1$ a $4$, logo $x \in \intcc{3}{5}$.

$\abs{x + 2} < 3$: distância estritamente menor que $3$ a $-2$, logo $x \in \intoo{-5}{1}$.

**Exercício 1.6 ★★.**

Descreva cada [intervalo](#def-g10-numbers-interval) por uma desigualdade da forma $\abs{x - a} \leq r$ ou $\abs{x - a} < r$:

$$
\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.
$$

**Solução de Exercício 1.6.**

Cada [intervalo](#def-g10-numbers-interval) é descrito pelo seu centro $a$ (ponto médio dos extremos) e pelo seu raio $r$ (metade do comprimento).

$\intcc{2}{8}$: $a = 5$, $r = 3$, logo $\abs{x - 5} \leq 3$.

$\intoo{-5}{1}$: $a = -2$, $r = 3$, extremos abertos, logo $\abs{x + 2} < 3$.

$\intcc{-7}{-3}$: $a = -5$, $r = 2$, logo $\abs{x + 5} \leq 2$.

**Exercício 1.7 ★★.**

Mostre que $0.272727\dots$ (o bloco $27$ repetindo-se indefinidamente) é racional. (Sugestão: chame-o de $x$ e calcule $100x - x$.)

**Solução de Exercício 1.7.**

Seja $x = 0.272727\dots$ Então $100x = 27.2727\dots$ e, subtraindo,

$$
100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,
$$

logo $99x = 27$ e $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$, um quociente de inteiros: $x$ é racional.

**Exercício 1.8 ★★.**

Verdadeiro ou falso? Justifique cada resposta com um argumento ou um contraexemplo.

1. A soma de dois inteiros é um inteiro.
2. O quociente de dois inteiros é um inteiro.
3. A soma de dois [números racionais](#def-g10-numbers-sets) é racional.
4. A soma de um [número racional](#def-g10-numbers-sets) com um [número irracional](#ex-g10-numbers-classify) é irracional.

**Solução de Exercício 1.8.**

*1. Verdadeiro:* somar inteiros (positivos ou negativos) produz sempre um inteiro.

*2. Falso:* $\frac{1}{2}$ é o quociente dos inteiros $1$ e $2$ e não é inteiro.

*3. Verdadeiro:* $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ é de novo um quociente de inteiros (com denominador não nulo).

*4. Verdadeiro:* suponha $r$ racional, $t$ irracional e $r + t = s$ racional. Então $t = s - r$ seria uma diferença de dois racionais, logo racional (por 3, aplicado com $-r$) — contradição. Portanto $r + t$ é irracional.

**Exercício 1.9 ★★.**

Usando $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$, enquadre os números $2\sqrt2$, $\sqrt2 + 3$ e $-\sqrt2$ entre dois limitantes decimais.

**Solução de Exercício 1.9.**

Multiplicando $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ por $2 > 0$: $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$.

Somando $3$: $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$.

Multiplicar por $-1 < 0$ inverte as desigualdades: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$.

**Exercício 1.10 ★★★.**

Adapte a demonstração do [Teorema 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2) para mostrar que $\sqrt 3$ é irracional. (Troque “par” por “múltiplo de $3$”: verifique primeiro que, se $p^2$ é múltiplo de $3$, então $p$ também é, examinando os restos $0$, $1$, $2$ da divisão de $p$ por $3$.)

**Solução de Exercício 1.10.**

Primeiro o fato auxiliar. Divida $p$ por $3$: o resto é $0$, $1$ ou $2$, isto é, $p = 3k$, $p = 3k+1$ ou $p = 3k+2$. Elevando ao quadrado:

$$
(3k)^2 = 3(3k^2), \quad
(3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad
(3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .
$$

Só o primeiro é múltiplo de $3$: se $p^2$ é múltiplo de $3$, então $p$ também é.

Agora suponha $\sqrt3 = \frac pq$ totalmente simplificada. Elevando ao quadrado, $p^2 = 3q^2$, logo $p^2$ é múltiplo de $3$, logo $p = 3k$. Então $9k^2 = 3q^2$, logo $q^2 = 3k^2$ e $q$ também é múltiplo de $3$ — mas então a fração $\frac pq$ não estava totalmente simplificada: contradição. Portanto $\sqrt3$ é irracional.

## 1.6 Problema: Entre dois números quaisquer

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — racionais e irracionais entrelaçam-se: todo intervalo, por menor que seja, contém uma infinidade de cada um, e nenhuma medição consegue distingui-los

Os racionais parecem uma multidão (todas as frações!) e os [irracionais](#ex-g10-numbers-classify), exceções exóticas ($\sqrt2$, $\pi$). Este problema revela o quadro verdadeiro: as duas famílias *entrelaçam-se* tão finamente que todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) da reta numérica, por microscópico que seja, contém uma infinidade de cada uma — com consequências estranhas, como esta: nenhuma medição física, por mais precisa, jamais poderá decidir se um comprimento é racional.

**Parte I — Os quatro reinos.**

1. Para cada número, nomeie o menor dos conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ que o contém ( [Definição 1.1](#def-g10-numbers-sets) ): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (lembre-se do problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental); $\sqrt8$ ; $\pi$ (admita sua irracionalidade — demonstrada apenas nos volumes de graduação).
2. Prove que $\Q$ é estável pela adição e pela multiplicação: se $x = \frac pq$ e $y = \frac rs$ são racionais, escreva $x + y$ e $xy$ como frações únicas.
3. Deduza por absurdo: (a) a soma de um racional com um irracional é irracional; (b) o produto de um racional *não nulo* por um irracional é irracional.
4. Mostre que o conjunto dos [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) não é estável por *nenhuma* das duas operações: exiba dois [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) cuja soma é racional e dois cujo produto é racional.
5. Situe $\sqrt2 + \sqrt8$ e $\sqrt2 \times \sqrt8$ nos quatro reinos (simplifique $\sqrt8$ primeiro, pelo método do volume do ensino fundamental).

**Parte II — Os racionais são densos.**

6. Encontre um racional estritamente entre $3.47$ e $3.48$ ; depois um segundo; depois descreva como produzir quantos se queira (o zoom do problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental, agora com uma demonstração à vista).
7. O teorema geral. Sejam $a < b$ dois reais quaisquer, com folga $g = b - a > 0$ . Escolha $n$ com $10^{-n} < g$ e considere os múltiplos de $10^{-n}$ (a grade decimal de passo $10^{-n}$ ). Explique por que pelo menos um ponto da grade cai estritamente entre $a$ e $b$ e conclua: *todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) de comprimento positivo contém um [número racional](#def-g10-numbers-sets)* .
8. Reforce a conclusão: todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) desses contém *uma infinidade* de racionais. (Aplique de novo a questão 7, dentro de um [intervalo](#def-g10-numbers-interval) menor.)
9. Agora os [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) : dados $a < b$ , tome um racional $r$ estritamente no interior (questão 7) e considere os números $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Usando a questão 3, mostre que eles são [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) e que, para $k$ grande o bastante, continuam dentro do [intervalo](#def-g10-numbers-interval) : *todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) também contém uma infinidade de [irracionais](#ex-g10-numbers-classify)* .
10. Dois enigmas clássicos resolvidos: existe um menor [número real](#def-g10-numbers-sets) positivo? Existe um real “logo depois de $3$ ”? Responda aos dois com o teorema da questão 7 e saúde a versão da infância (o problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental).

**Parte III — O [módulo](#def-g10-numbers-abs), a geometria de $\R$.**

11. Resolva e exprima as soluções como [intervalos](#def-g10-numbers-interval) ou [uniões](#def-g10-numbers-interunion) ( [Proposição 1.12](#prop-g10-numbers-absinterval) ): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
12. Um pistão deve ser fabricado com $80$ mm dentro de uma tolerância de $0.05$ mm. Escreva a exigência com um [módulo](#def-g10-numbers-abs) e depois como [intervalo](#def-g10-numbers-interval) . Dois pistões medem $79.97$ e $80.06$ mm: quais são os veredictos?
13. A desigualdade triangular na reta: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Verifique-a em $(a, b) = (3, -5)$ e $(-2, -7)$ , demonstre-a quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal e quando têm sinais contrários, e diga exatamente quando vale a igualdade.
14. Resolva $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ lendo-a como uma igualdade de distâncias na reta. Que ponto do problema de fim de semana sobre os dois espelhos, do volume do ensino fundamental, você acabou de calcular, uma dimensão abaixo?
15. Simplifique $\sqrt{x^2}$ — com cuidado. Teste sua fórmula em $x = 3$ e $x = -3$ e use-a em seguida para resolver $x^2 < 9$ com um [módulo](#def-g10-numbers-abs) .

**Parte IV — O que nenhuma medição decide.**

16. Um físico mede uma barra: $1.41421 \pm 0.00001$ m. Alguma medição desse tipo — esta ou uma futura, mais precisa — poderá algum dia *provar* que o comprimento da barra é irracional? Ou que é racional? Use as questões 7 e 9 sobre o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) de tolerância e explique por que só uma *demonstração* (como a da diagonal, no problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental) pode decidir a irracionalidade.
17. As truncaturas $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ de $\sqrt2$ são todas racionais. O que elas mostram sobre o quanto $\Q$ se comprime contra cada irracional? Formule o fato geral.
18. Aritmética de [intervalos](#def-g10-numbers-interval) : valores medidos $a = 2.5 \pm 0.1$ e $b = 1.2 \pm 0.1$ . Enquadre $a + b$ e $a \times b$ entre limitantes seguros. Qual das duas operações degrada mais a precisão?
19. Uma regra de engenheiro diz que os erros de medições independentes “somam-se” nas somas: exprima com a desigualdade triangular (questão 13) por que o erro de $a + b$ é no máximo a soma dos erros — a desigualdade *é* a regra de engenharia.
20. Final, em um parágrafo curto: reúna o retrato da reta real estabelecido por este problema e por seus antecessores — nenhum número seguinte (o problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental), racionais $=$ decimais que param ou se repetem (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do mesmo volume), as duas famílias densas (questões 8 e 9), a medição para sempre indecisa (questão 16). Termine com a provocação que este capítulo ainda não pode demonstrar: num sentido preciso há *muitíssimo mais* [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) do que racionais — os volumes de graduação contam os infinitos.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $-7 \in \Z$; $\frac{13}{4} \in \Q$; $\sqrt{16} = 4 \in \N$; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} =
\frac{4}{33} \in \Q$ (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ é irracional: menor conjunto $\R$; $\pi$: $\R$.

**2.** $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ e $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$: quocientes de inteiros com denominadores não nulos — racionais.

**3.** (a) Se $r$ é racional, $x$ é irracional e $r + x = q$ fosse racional, então $x = q - r$ seria uma diferença de racionais, logo racional (questão 2): contradição. (b) Se $r \neq 0$ e $r x = q$ fosse racional, então $x = \frac qr$ seria racional: contradição.

**4.** $\sqrt2$ e $-\sqrt2$ são [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) e têm soma $0$; $\sqrt2$ e $\sqrt2$ têm produto $2$. Resultados racionais a partir de ingredientes [irracionais](#ex-g10-numbers-classify): os [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) não formam um reino estável.

**5.** $\sqrt8 = 2\sqrt2$, logo $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$: irracional (questão 3b, com multiplicador $3$). E $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in
\N$: o produto de dois [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) cai no menor reino de todos.

**6.** $3.475$, depois $3.471$ (ou $3.4701$, $3.47001$, …): acrescentar algarismos decimais produz indefinidamente novos racionais entre os dois.

**7.** Os múltiplos de $10^{-n}$ avançam pela reta em passos de $10^{-n} < g$. O primeiro múltiplo estritamente maior que $a$ — ele existe, pois os múltiplos acabam ultrapassando $a$ — fica no máximo um passo adiante de $a$, portanto antes de $a + g = b$: estritamente entre $a$ e $b$. Um ponto da grade é um decimal, logo um racional: todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) de comprimento positivo contém um.

**8.** Entre $a$ e o racional $r_1$ obtido na questão 7 há (de novo pela questão 7) um racional $r_2$; entre $a$ e $r_2$, um racional $r_3$; e assim por diante: uma infinidade deles, todos distintos, todos no [intervalo](#def-g10-numbers-interval) inicial.

**9.** $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ é a soma de um racional com um irracional ($\frac{\sqrt2}{10^k}$ é irracional pela questão 3b), logo é irracional. Como $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ fica abaixo de qualquer limite, para $k$ grande o bastante $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ ainda está antes de $b$: um irracional dentro do [intervalo](#def-g10-numbers-interval) — e variar $k$ dá uma infinidade deles.

**10.** Não há menor real positivo: se $s > 0$ o fosse, o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) $(0, s)$ ainda conteria um racional (questão 7), positivo e menor que $s$. Não há número logo depois de $3$: qualquer candidato $c > 3$ deixa de fora o [intervalo](#def-g10-numbers-interval) $(3, c)$, que não é vazio — a brincadeira do problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental, agora um teorema sobre $\R$.

**11.** $\abs{x - 5} = 2$: $x = 3$ ou $x = 7$. $\abs{x - 5} < 2$: $x \in \intoo{3}{7}$. $\abs{x + 1} \geq 3$: distância a $-1$ pelo menos $3$: $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$.

**12.** $\abs{d - 80} \leq 0.05$, isto é, $d \in \intcc{79.95}{80.05}$. O pistão de $79.97$ passa; o de $80.06$ é reprovado por um centésimo de milímetro.

**13.** $(3, -5)$: $\abs{-2} = 2 \leq 8$. $(-2, -7)$: $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$: igualdade. Sinais iguais: $\abs{a + b}$ é a soma das distâncias, igual a $\abs a + \abs b$. Sinais contrários: o percurso volta sobre si mesmo, e $\abs{a + b}$ é a *diferença* das distâncias, estritamente menor que a soma (a menos que um deles seja $0$). Há igualdade exatamente quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal ou um deles é nulo.

**14.** As soluções são os pontos equidistantes de $2$ e $-4$: o ponto médio, $x = -1$. É a mediatriz do problema de fim de semana sobre os dois espelhos, do volume do ensino fundamental, reduzida a uma dimensão: um único ponto.

**15.** $\sqrt{x^2} = \abs{x}$, e não $x$: para $x = -3$, $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$. Então $x^2 < 9$ lê-se $\sqrt{x^2} < 3$, isto é, $\abs x < 3$: $x \in \intoo{-3}{3}$.

**16.** A medição afirma apenas que o comprimento está no [intervalo](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — e, pelas questões 7 e 9, *esse [intervalo](#def-g10-numbers-interval) contém uma infinidade de racionais e uma infinidade de [irracionais](#ex-g10-numbers-classify)*. O mesmo vale para toda tolerância futura, por menor que seja. Nenhuma medição consegue separar as duas famílias; só uma demonstração sobre o comprimento exato — como a da diagonal do quadrado de lado $1$ (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental) — consegue.

**17.** Elas se aproximam de $\sqrt2$ com erros abaixo de $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$: os racionais comprimem-se contra $\sqrt2$ em toda escala. O fato geral: todo [número real](#def-g10-numbers-sets) é aproximado tão bem quanto se queira por racionais (suas truncaturas decimais) — a densidade outra vez, vista do lado do alvo.

**18.** $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} =
\intcc{3.5}{3.9}$: incerteza $\pm 0.2$ (os erros somaram-se). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} =
\intcc{2.64}{3.38}$: uma incerteza de cerca de $\pm 0.37$ em torno de $3$ — nos produtos são os erros relativos que se somam, de modo que a precisão se degrada mais depressa.

**19.** Escreva os valores verdadeiros $a = 2.5 + e_1$, $b = 1.2 + e_2$ com $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$. Então o erro da soma é $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2}
\leq 0.2$: a regra do engenheiro *é* a desigualdade triangular da questão 13.

**20.** A reta real não tem buracos nem vizinhos: depois de um número não vem um “seguinte” (questão 10). Seus pontos dividem-se nos racionais — exatamente os decimais que param ou se repetem (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental) — e nos [irracionais](#ex-g10-numbers-classify), e as duas famílias estão tão entrelaçadas que todo [intervalo](#def-g10-numbers-interval) contém uma infinidade de cada uma (questões 8 e 9), razão pela qual nenhuma medição, e sim apenas uma demonstração, consegue distingui-las (questão 16). E a surpresa final, deixada como promessa: os [irracionais](#ex-g10-numbers-classify) superam em número os racionais — não contando um a um, mas no sentido preciso de comparar infinitos, uma teoria construída nos volumes de graduação.