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title: "Funções e equações do segundo grau"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 10
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau
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# Capítulo 10 — Funções e equações do segundo grau

As [funções quadráticas](#def-g11-quad-quadratic) são as mais simples depois das lineares, e as primeiras cujos [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) são de fato curvos. Este capítulo desenvolve a caixa de ferramentas completa para elas: a [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical), o [discriminante](#def-g11-quad-discriminant), o sinal de uma expressão do segundo grau e a geometria da [parábola](#def-g11-quad-parabola).

## 10.1 A forma canônica

**Definição 10.1 (Função quadrática).**

Uma *função quadrática* é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) da forma

$$
f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,
$$

onde $a$, $b$, $c$ são [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets). A expressão $ax^2 + bx + c$ também é chamada de *trinômio do segundo grau*.

**Teorema 10.2 (Forma canônica).**

Toda [função quadrática](#def-g11-quad-quadratic) pode ser escrita de exatamente uma maneira como

$$
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,
\qquad\text{onde } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ e } \beta = f(\alpha).
$$

Essa é a *forma canônica* de $f$.

**Demonstração.** Vamos *completar o quadrado*. Como $a \neq 0$, coloque-o em evidência nos dois primeiros termos:

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .
$$

Ora, $x^2 + \frac{b}{a}x$ é o começo do quadrado $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$, de modo que $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a^2}$. Substituindo:

$$
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
= a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,
$$

com $\alpha = -\frac{b}{2a}$ e $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$. Calcular em $x = \alpha$ anula o termo ao quadrado, logo $\beta = f(\alpha)$. Unicidade: [expandir](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand) $a(x-\alpha)^2 + \beta$ e identificar os coeficientes de $x$ obriga $\alpha = -\frac{b}{2a}$, e então $\beta$ fica determinado. ∎

**Exemplo 10.3.**

Seja $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Então $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ e $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$, logo

$$
f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .
$$

Confira expandindo: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 =
2x^2 - 8x + 3$.

**Proposição 10.4 (Extremo e variação).**

Seja $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

1. Se $a > 0$ , então $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{\alpha}$ e [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ tem um *[mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ , atingido em $x = \alpha$ .
2. Se $a < 0$ , a variação se inverte: $f$ tem um *[máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ em $x = \alpha$ .

**Demonstração.** Suponha $a > 0$ e sejam $\alpha \leq u < v$. Então

$$
f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr)
= a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).
$$

Cada fator é positivo: $a > 0$, $v - u > 0$ e $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$, pois $v > \alpha$ e $u \geq \alpha$. Logo $f(v) > f(u)$: $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{\alpha}{+\infty}$. Para $u < v \leq \alpha$ o último fator é negativo, de modo que $f(v) < f(u)$: $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) ali. Por fim, $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ para todo $x$, logo $\beta = f(\alpha)$ é o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema). O caso $a < 0$ segue aplicando o que precede a $-f$. ∎

**Exemplo 10.5.**

Um fazendeiro tem $100$ metros de cerca para delimitar um terreno retangular encostado em um muro reto (não é preciso cercar ao longo do muro). Se $x$ é a largura, a área cercada é $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. Aqui $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ e $A(25) = 25 \times 50 = 1250$: a área é máxima para uma largura de $25$ m, dando $1250$ m$^2$.

## 10.2 Raízes e fatoração

**Definição 10.6 (Raiz, discriminante).**

Uma *raiz* do trinômio $ax^2+bx+c$ é uma solução da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $ax^2 + bx + c = 0$. O *discriminante* do trinômio é o número

$$
\Delta = b^2 - 4ac .
$$

**Teorema 10.7 (Resolução de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0).**

1. Se $\Delta > 0$, a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) tem duas raízes distintas $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},  \qquad  x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$ e $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Se $\Delta = 0$ , a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) tem a única [raiz](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , e $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
3. Se $\Delta < 0$ , a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) não tem solução real, e o trinômio não pode ser fatorado com coeficientes reais.

**Demonstração.** Parta da [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical) obtida no [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical):

$$
ax^2+bx+c
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],
$$

pois $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} =
a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

*1.* Se $\Delta > 0$, então $\frac{\Delta}{4a^2} =
\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ e o colchete é uma diferença de dois quadrados:

$$
ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
= a(x - x_2)(x - x_1).
$$

Um produto é nulo exatamente quando um de seus fatores é nulo, o que dá as duas raízes, distintas porque $\sqrt\Delta \neq 0$.

*2.* Se $\Delta = 0$, o colchete é $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, que se anula apenas em $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

*3.* Se $\Delta < 0$, então $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, de modo que o colchete é um quadrado somado a um número positivo: ele nunca se anula, e a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) não tem solução real. Uma fatoração $a(x-x_1)(x-x_2)$ produziria raízes, logo não existe nenhuma. ∎

**Exemplo 10.8.**

Resolva $2x^2 - 8x + 3 = 0$. Aqui $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$, de modo que há duas raízes:

$$
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
= 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
$$

Para $x^2 + x + 1 = 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, nenhuma solução real.

**Proposição 10.9 (Soma e produto das raízes).**

Se $\Delta \geq 0$ e $x_1, x_2$ são as raízes (iguais quando $\Delta = 0$), então

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\qquad
x_1 x_2 = \frac{c}{a} .
$$

Reciprocamente, dois números de soma $s$ e produto $p$ são as soluções de $x^2 - sx + p = 0$.

**Demonstração.** Expanda a fatoração do [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots):

$$
a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .
$$

Identificar os coeficientes com $ax^2 + bx + c$ dá $-a(x_1+x_2) = b$ e $a\,x_1x_2 = c$. Para a recíproca, se $u + v = s$ e $uv = p$, então $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$, de modo que $u$ e $v$ são suas raízes. ∎

**Exemplo 10.10.**

Encontre dois números de soma $10$ e produto $21$. Eles resolvem $x^2 - 10x + 21 = 0$; $\Delta = 100 - 84 = 16$, raízes $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ e $3$. *[Raiz](#def-g11-quad-discriminant) à vista:* como os coeficientes de $x^2 - 5x + 4$ satisfazem $1 - 5 + 4 = 0$, o número $1$ é [raiz](#def-g11-quad-discriminant), e a outra é $\frac{c}{a} = 4$ (o produto delas tem de ser $\frac ca$).

## 10.3 Sinal de um trinômio

**Teorema 10.11 (Sinal de um trinômio).**

Seja $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$.

1. Se $\Delta > 0$ , com raízes $x_1 < x_2$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ fora de $\intcc{x_1}{x_2}$ e o sinal de $-a$ em $\intoo{x_1}{x_2}$ .
2. Se $\Delta = 0$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ para todo $x \neq x_0$ , e anula-se em $x_0$ .
3. Se $\Delta < 0$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ para todo $x$ .

Em resumo: *um trinômio tem o sinal de $a$, exceto entre suas raízes*.

**Demonstração.** *1.* Escreva $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ e acompanhe os sinais dos fatores. Se $x < x_1$: tanto $x - x_1$ quanto $x - x_2$ são negativos, seu produto é positivo, logo $f(x)$ tem o sinal de $a$. Se $x_1 < x < x_2$: os fatores têm sinais contrários, o produto é negativo e $f(x)$ tem o sinal de $-a$. Se $x > x_2$: os dois fatores são positivos e $f(x)$ tem novamente o sinal de $a$.

*2.* $f(x) = a(x - x_0)^2$ e $(x-x_0)^2 > 0$ para $x \neq x_0$.

*3.* Pela demonstração do [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots), $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 +
\left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$, e o colchete é sempre positivo. ∎

**Método 10.12 (Resolver inequações do segundo grau).**

Para resolver $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq$, $<$, $>$):

1. calcule $\Delta$ e as raízes, se houver;
2. monte o [quadro de sinais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-signtable) usando o [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) (sinal de $a$ fora das raízes);
3. leia o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) (ou os [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) ) solução, atento a se as próprias raízes estão incluídas (desigualdade ampla) ou não (estrita).

**Exemplo 10.13.**

Resolva $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$. Aqui $\Delta = 9 + 16 = 25$, e as raízes são $\frac{-3 \pm 5}{-2}$, isto é, $x_1 = -1$ e $x_2 = 4$. Como $a = -1 < 0$, o trinômio é negativo fora das raízes e positivo entre elas. Com a desigualdade ampla, o conjunto solução é $\intcc{-1}{4}$.

## 10.4 A parábola

**Definição 10.14 (Parábola).**

O [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de uma [função quadrática](#def-g11-quad-quadratic) $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ é uma *parábola* de *vértice* $S(\alpha, \beta)$. Ela tem a concavidade voltada para cima se $a > 0$ e para baixo se $a < 0$, e é simétrica em relação à reta vertical $x = \alpha$.

**Observação 10.15.**

A simetria é fácil de verificar: para qualquer $h$, $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$, de modo que dois pontos a igual distância horizontal da reta $x = \alpha$ têm a mesma altura.

![As três posições de uma parábola com concavidade para cima (a > 0) em relação ao eixo x: duas raízes, uma raiz dupla, nenhuma raiz. O vértice S tem abscissa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-9863916135b2.svg)

![As três posições de uma parábola com concavidade para cima (a > 0) em relação ao eixo x: duas raízes, uma raiz dupla, nenhuma raiz. O vértice S tem abscissa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-5eb7a968df56.svg)

![As três posições de uma parábola com concavidade para cima (a > 0) em relação ao eixo x: duas raízes, uma raiz dupla, nenhuma raiz. O vértice S tem abscissa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-a1f1afe408b0.svg)

*As três posições de uma [parábola](#def-g11-quad-parabola) com concavidade para cima ($a > 0$) em relação ao eixo $x$: duas raízes, uma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) dupla, nenhuma [raiz](#def-g11-quad-discriminant). O vértice $S$ tem [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\alpha = -\frac{b}{2a}$.*

![Sinal de um trinômio com concavidade para baixo (a < 0) e duas raízes: o sinal de -a entre as raízes (região sombreada), o sinal de a fora delas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-159a96c2a7c7.svg)

*Sinal de um trinômio com concavidade para baixo ($a < 0$) e duas raízes: o sinal de $-a$ entre as raízes (região sombreada), o sinal de $a$ fora delas.*

**Método 10.16 (Ler uma parábola).**

Para esboçar $f(x) = ax^2+bx+c$: determine a concavidade (sinal de $a$), o vértice $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) $(0, c)$ com o eixo $y$ e as raízes, se houver. O eixo de simetria $x = -\frac{b}{2a}$ coloca então cada ponto calculado duas vezes.

**Exemplo 10.17.**

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$: concavidade para cima, vértice $(2, -1)$, corta o eixo $y$ em $(0,3)$, raízes $1$ e $3$ (vistas de imediato: $1 - 4 + 3 = 0$). Por simetria, o ponto $(4, 3)$ também está na curva, espelhando $(0, 3)$.

## 10.5 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Resolva as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)

$$
x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad
x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad
9x^2 - 6x + 1 = 0 .
$$

**Solução de Exercício 10.1.**

$x^2-5x+6$: $\Delta = 25 - 24 = 1$, raízes $\frac{5 \pm 1}{2}$, isto é, $2$ e $3$.

$2x^2+3x-2$: $\Delta = 9 + 16 = 25$, raízes $\frac{-3 \pm 5}{4}$, isto é, $\frac12$ e $-2$.

$x^2+2x+5$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, nenhuma solução real.

$9x^2-6x+1$: $\Delta = 36 - 36 = 0$, uma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) (dupla) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$.

**Exercício 10.2 ★.**

Escreva na [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical) e dê o vértice da [parábola](#def-g11-quad-parabola):

$$
f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad
g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad
h(x) = 3x^2 + 6x .
$$

**Solução de Exercício 10.2.**

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$: vértice $(3, 2)$.

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1
= -2(x-1)^2 + 3$: vértice $(1, 3)$.

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr)
= 3(x+1)^2 - 3$: vértice $(-1, -3)$.

**Exercício 10.3 ★.**

Resolva as inequações

$$
x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad
2x^2 + x + 3 > 0, \qquad
-x^2 + 6x - 9 \geq 0 .
$$

**Solução de Exercício 10.3.**

$x^2 - 3x - 10$: $\Delta = 9 + 40 = 49$, raízes $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ e $5$; coeficiente dominante positivo, de modo que o trinômio é negativo estritamente entre as raízes: o conjunto solução é $\intoo{-2}{5}$.

$2x^2 + x + 3$: $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ e $a = 2 > 0$: sempre positivo, e o conjunto solução é $\R$.

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$: é $\geq 0$ apenas onde $(x-3)^2 \leq 0$, isto é, em $x = 3$. O conjunto solução é $\{3\}$.

**Exercício 10.4 ★.**

Sem calcular $\Delta$, encontre uma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) evidente e depois a outra:

$$
x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad
x^2 + 4x - 5 = 0 .
$$

(Sugestão: teste $x = 1$ e $x = -1$ e use em seguida o produto das raízes.)

**Solução de Exercício 10.4.**

$x^2 - 7x + 6$: $1 - 7 + 6 = 0$, logo $1$ é [raiz](#def-g11-quad-discriminant); o produto das raízes é $6$, logo a outra [raiz](#def-g11-quad-discriminant) é $6$.

$2x^2 + 5x - 7$: $2 + 5 - 7 = 0$, logo $1$ é [raiz](#def-g11-quad-discriminant); o produto é $\frac{c}{a} = -\frac72$, logo a outra [raiz](#def-g11-quad-discriminant) é $-\frac72$.

$x^2 + 4x - 5$: $1 + 4 - 5 = 0$, logo $1$ é [raiz](#def-g11-quad-discriminant); o produto é $-5$, logo a outra [raiz](#def-g11-quad-discriminant) é $-5$.

**Exercício 10.5 ★★.**

Encontre dois números cuja soma seja $14$ e cujo produto seja $45$. Encontre em seguida as dimensões de um retângulo de perímetro $34$ e área $60$.

**Solução de Exercício 10.5.**

Os dois números resolvem $x^2 - 14x + 45 = 0$ ([Proposição 10.9](#prop-g11-quad-vieta)); $\Delta = 196 - 180 = 16$, raízes $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ e $5$.

Para o retângulo: metade do perímetro dá comprimento $+$ largura $= 17$, e a área dá o produto deles, $60$. Eles resolvem $x^2 - 17x + 60 = 0$; $\Delta = 289 - 240 = 49$, raízes $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ e $5$. O retângulo é $12 \times 5$.

**Exercício 10.6 ★★.**

Seja $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$, onde $m$ é um parâmetro real. Para quais valores de $m$ a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 0$ tem exatamente uma solução? Nenhuma solução?

**Solução de Exercício 10.6.**

$\Delta = (m-2)^2 - 4$. Exatamente uma solução quando $\Delta = 0$: $(m-2)^2 = 4$, logo $m - 2 = \pm 2$, isto é, $m = 0$ ou $m = 4$. Nenhuma solução quando $\Delta < 0$: $(m-2)^2 < 4$, isto é, $-2 < m - 2 < 2$, ou seja, $0 < m < 4$.

**Exercício 10.7 ★★.**

Uma bola é lançada para cima; sua altura após $t$ segundos é $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (em metros). Qual é a altura máxima atingida, e em que instante? Durante qual [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de tempo a bola fica a pelo menos $16$ m de altura?

**Solução de Exercício 10.7.**

O vértice está em $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$, e $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$: altura máxima $21$ m, atingida após $2$ segundos.

$h(t) \geq 16$ significa $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$, isto é (dividindo por $-5$, o que inverte a desigualdade), $t^2 - 4t + 3 \leq 0$. As raízes de $t^2-4t+3$ são $1$ e $3$ ($1 - 4 + 3 = 0$, produto $3$), de modo que $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exatamente em $\intcc{1}{3}$: a bola fica a pelo menos $16$ m de altura entre os instantes $t = 1$ s e $t = 3$ s.

**Exercício 10.8 ★★.**

Resolva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ fazendo $X = x^2$ (uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) *biquadrada*).

**Solução de Exercício 10.8.**

Com $X = x^2$: $X^2 - 13X + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, logo $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ ou $4$. De volta a $x$: $x^2 = 9$ dá $x = \pm 3$, e $x^2 = 4$ dá $x = \pm 2$. O conjunto solução é $\{-3, -2, 2, 3\}$.

**Exercício 10.9 ★★.**

Para quais valores de $x$ o ponto $M(x, x^2)$ da [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ está estritamente abaixo da reta $y = x + 2$? Interprete em um esboço.

**Solução de Exercício 10.9.**

A condição é $x^2 < x + 2$, isto é, $x^2 - x - 2 < 0$. Como $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (raízes $-1$ e $2$), a desigualdade vale estritamente entre as raízes: $x \in \intoo{-1}{2}$. Num esboço, a [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ mergulha abaixo da reta $y = x+2$ exatamente entre seus dois pontos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) $(-1, 1)$ e $(2, 4)$.

**Exercício 10.10 ★★.**

A soma de um número positivo com o seu inverso é $\frac{13}{6}$. Encontre o número. (Reduza a uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do segundo grau.)

**Solução de Exercício 10.10.**

Seja $x > 0$ satisfazendo $x + \frac1x = \frac{13}{6}$. Multiplicando por $6x > 0$: $6x^2 + 6 = 13x$, isto é, $6x^2 - 13x + 6 = 0$. Então $\Delta = 169 - 144 = 25$ e $x = \frac{13 \pm 5}{12}$, o que dá $x = \frac32$ ou $x = \frac23$. Os dois são positivos e inversos um do outro, como se esperava: o número é $\frac32$ (ou $\frac23$).

**Exercício 10.11 ★★★.**

Seja $\mathcal P$ a [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ e seja $d_m$ a reta $y = mx - 1$, onde $m$ é um parâmetro real.

1. Para quais valores de $m$ as curvas $\mathcal P$ e $d_m$ se intersectam em dois pontos? Em um ponto? Em nenhum ponto?
2. Quando se tocam em exatamente um ponto, calcule o ponto de contato. (No [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#ch-g11-deriv) você reconhecerá $d_m$ como a tangente a $\mathcal P$ nesse ponto.)

**Solução de Exercício 10.11.**

*1.* As [interseções](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) correspondem às soluções de $x^2 = mx - 1$, isto é, $x^2 - mx + 1 = 0$, cujo [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) é $\Delta = m^2 - 4$. Dois pontos quando $\abs{m} > 2$; exatamente um quando $m = \pm 2$; nenhum quando $-2 < m < 2$.

*2.* Para $m = 2$: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$, de modo que o único ponto de contato é $(1, 1)$. Para $m = -2$: $(x+1)^2 = 0$, ponto de contato $(-1, 1)$. Nos dois casos a reta encontra a [parábola](#def-g11-quad-parabola) em um único ponto sem atravessá-la — é a tangente ali, e de fato seu [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = \pm 2$ é igual ao valor em $x = \pm 1$ da derivada $2x$ de $x^2$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#ch-g11-deriv)).

## 10.6 Problema: O ponto secreto da parábola

**Problema 10.1.**

Problema de fim de semana — foco e diretriz: por que antenas parabólicas, faróis e pontes pênseis desenham todos a mesma curva, da qual existe essencialmente só uma

Toda antena parabólica de toda varanda aponta seu receptor para um ponto interior preciso; todo farol esconde sua lâmpada no mesmo lugar especial. Esse ponto — o *[foco](#pb-g11-quad-1)* — é um segredo que a [parábola](#def-g11-quad-parabola) guarda desde a geometria grega, e a fórmula da distância basta para extraí-lo. Pelo caminho, este problema treina o [discriminante](#def-g11-quad-discriminant), lança projéteis por cima de muros, suspende uma ponte e demonstra um fato final espantoso: a menos de ampliação, *só existe uma [parábola](#def-g11-quad-parabola) no mundo*.

**Parte I — Fluência com trinômios.**

1. Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ , depois $2x^2 + x - 6 = 0$ , e depois $x^2 + x + 1 = 0$ ( [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots) ).
2. Escreva $2x^2 - 4x - 6$ na forma fatorada e na [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical) ( [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical) ). Junto com a forma expandida, você tem agora três trajes de uma mesma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) : diga qual característica cada um exibe à primeira vista (raízes, vértice, [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) com o eixo $y$ ).
3. Resolva $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ com a regra dos sinais ( [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) ).
4. Viète como detetive ( [Proposição 10.9](#prop-g11-quad-vieta) , continuando a Babilônia do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1) ): encontre dois números de soma $7$ e produto $12$ escrevendo a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) deles. Depois: uma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c = 0$ vale $2$ ; encontre $c$ e a outra [raiz](#def-g11-quad-discriminant) sem resolver nada.
5. Para quais valores de $m$ a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^2 + mx + 9 = 0$ tem [raiz](#def-g11-quad-discriminant) dupla? Nenhuma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) ? Duas raízes?

**Parte II — O [foco](#pb-g11-quad-1) revelado.** Trabalhe com a [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$, o ponto $F\left(0, \frac14\right)$ e a reta horizontal $\delta$ de [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y = -\frac14$.

6. Para um ponto $P(x, x^2)$ da [parábola](#def-g11-quad-parabola) , expanda $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ e mostre que ele é o quadrado perfeito $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Deduza $PF$ .
7. Calcule a distância de $P$ à reta $\delta$ e conclua: *todo ponto da [parábola](#def-g11-quad-parabola) está exatamente tão longe de $F$ quanto de $\delta$* . ( $F$ é o *foco* , e $\delta$ a *diretriz* .)
8. Demonstre a recíproca: um ponto $P(x, y)$ com $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ tem necessariamente $y = x^2$ . (Eleve as duas distâncias ao quadrado e simplifique.) A [parábola](#def-g11-quad-parabola) é, assim, um *lugar geométrico* , exatamente como o círculo foi no [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1) : equidistância de um ponto e de uma reta, em vez de distância a um único ponto.
9. Para a [parábola](#def-g11-quad-parabola) mais aberta $y = \frac{x^2}{4f}$ (com $f > 0$ ), adapte a questão 6 para mostrar que o [foco](#pb-g11-quad-1) é $(0, f)$ e a [diretriz](#pb-g11-quad-1) é $y = -f$ . Aplicação: uma antena parabólica tem $60$ cm de largura e $9$ cm de profundidade — sua borda passa por $(30, 9)$ . Encontre $f$ : a que altura acima do vértice o receptor deve ser colocado?
10. A razão pela qual as antenas funcionam: os raios que chegam paralelos ao eixo refletem todos *pelo [foco](#pb-g11-quad-1)* (e uma lâmpada no [foco](#pb-g11-quad-1) lança um feixe paralelo — faróis são antenas ao contrário). Explique por que a equidistância da questão 7 torna isso plausível (pense nos raios como frentes de onda que avançam) e diga qual ferramenta, a chegar no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#ch-g11-deriv) (veja o [Exercício 10.11](#exo-g11-quad-11) ), transforma plausibilidade em demonstração.

**Parte III — [Parábolas](#def-g11-quad-parabola) em serviço.**

11. Uma bola segue a trajetória $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ e $y$ em metros). Encontre onde ela cai, a posição horizontal do seu ponto mais alto e a altura máxima ( [Proposição 10.4](#prop-g11-quad-variations) ).
12. Na mesma trajetória, há um muro em $x = 4$ . Calcule a altura da bola ali: ela passa por cima de um muro de $3$ m? E de um muro de $4$ m?
13. Um arco parabólico vence $40$ m de vão com altura máxima de $10$ m: em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) centradas, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Um caminhão de $7$ m de altura pode passar a $10$ m do centro? E a $15$ m?
14. A receita de um teatro com ingresso a $p$ euros é $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (a demanda cai quando o preço sobe). Encontre o preço que maximiza a receita e o valor [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) .
15. Os cabos principais da ponte Golden Gate são parabólicos com excelente precisão (uma carga uniforme no tabuleiro produz uma [parábola](#def-g11-quad-parabola) — uma corrente pendurada livremente *não* : sua curva, a catenária, precisa da exponencial do ano 12). Com vão de $1\,280$ m e flecha de $143$ m, o cabo segue $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ a partir do centro. A que altura acima do seu ponto mais baixo está o cabo em $x = 320$ m?

**Parte IV — Retas, tangentes e a última surpresa.**

16. Complete o [Exercício 10.11](#exo-g11-quad-11) : as retas $y = mx - 1$ que passam pelo ponto exterior $(0, -1)$ encontram $y = x^2$ conforme o sinal de um [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) . Encontre as duas retas tangentes tiradas de $(0, -1)$ e seus pontos de contato.
17. Agora as retas $y = mx + 1$ que passam pelo ponto *interior* $(0, 1)$ : calcule o [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) e mostre que toda reta desse tipo corta a [parábola](#def-g11-quad-parabola) duas vezes. Moral: de dentro, não há tangentes — exatamente como num círculo.
18. A corda focal: intersecte $y = x^2$ com a reta horizontal que passa pelo [foco](#pb-g11-quad-1) , $y = \frac14$ . Qual é o comprimento da corda? Verifique a regra geral (que vale a pena guardar para antenas): para $y = \frac{x^2}{4f}$ , a corda que passa pelo [foco](#pb-g11-quad-1) e é paralela à [diretriz](#pb-g11-quad-1) tem comprimento $4f$ .
19. A última surpresa: aplique a ampliação $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ à [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ e mostre que a [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) é exatamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Conclua: toda [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ é uma ampliação da [parábola](#def-g11-quad-parabola) unitária — ao contrário de círculos e elipses de proporções diferentes, *todas as [parábolas](#def-g11-quad-parabola) são semelhantes* .
20. Final: o retrato da [parábola](#def-g11-quad-parabola) em cinco linhas — uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) com três trajes (questão 2), um lugar geométrico (questões 7–8), o refletor do engenheiro (questões 9 e 10), a trajetória de um projétil e o cabo de uma ponte (questões 11–15) e uma única curva a menos de ampliação (questão 19). Uma frase para cada.

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** $x^2 - 5x + 6$: $\Delta = 1$, raízes $2$ e $3$. $2x^2 + x - 6$: $\Delta = 1 + 48 = 49$, raízes $\frac{-1 \pm 7}{4}$: $\frac32$ e $-2$. $x^2 + x + 1$: $\Delta = -3 < 0$: nenhuma solução real.

**2.** $\Delta = 16 + 48 = 64$: raízes $3$ e $-1$, logo $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$; [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical) $2(x - 1)^2 - 8$. A forma fatorada mostra as raízes, a [forma canônica](#thm-g11-quad-canonical) o vértice $(1, -8)$ e a forma expandida a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) $-6$ com o eixo $y$.

**3.** Raízes $1$ e $3$, coeficiente dominante negativo: o trinômio é $\geq 0$ *entre* as raízes: $x \in \intcc{1}{3}$.

**4.** Os números são as raízes de $x^2 - 7x + 12 = 0$: $3$ e $4$. Se $2$ é [raiz](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c$, a outra [raiz](#def-g11-quad-discriminant) $r$ satisfaz $2 + r = 5$ (soma), logo $r = 3$, e $c = 2 \times 3 = 6$ (produto): Viète lê tudo de imediato.

**5.** $\Delta = m^2 - 36$: [raiz](#def-g11-quad-discriminant) dupla para $m = \pm 6$ ([raiz](#def-g11-quad-discriminant) $\mp 3$); nenhuma [raiz](#def-g11-quad-discriminant) para $-6 < m < 6$; duas raízes para $\abs m > 6$.

**6.** $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2
= x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= \left(x^2 + \frac14\right)^2$. Portanto $PF = x^2 + \frac14$ (os dois fatores são positivos).

**7.** A distância de $P(x, x^2)$ à reta horizontal $y = -\frac14$ é $x^2 + \frac14$ — exatamente $PF$. Todo ponto da [parábola](#def-g11-quad-parabola) é equidistante do [foco](#pb-g11-quad-1) e da [diretriz](#pb-g11-quad-1).

**8.** $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ e $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$. A igualdade dá $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 +
\frac y2 + \frac1{16}$, logo $x^2 = y$: o lugar geométrico é exatamente a [parábola](#def-g11-quad-parabola). Um ponto e uma reta geram a curva, como um ponto e uma distância geraram o círculo.

**9.** Para $y = \frac{x^2}{4f}$, a mesma expansão com $F(0, f)$ dá $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2
= \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$: a distância a $F$ é igual à distância a $y = -f$. Antena: $9 = \frac{30^2}{4f}$ dá $4f = 100$, $f = 25$ cm: o receptor fica um quarto de metro acima do vértice — fora da concha de $9$ cm, como se vê nas antenas reais.

**10.** Uma frente de onda que chega paralela ao eixo percorreu distâncias iguais até atingir o nível da [diretriz](#pb-g11-quad-1); a equidistância converte “mesma distância à [diretriz](#pb-g11-quad-1)” em “mesma distância a $F$”: todos os sinais refletidos chegam a $F$ *em fase*, reforçando-se — é ali que se deve escutar. A demonstração honesta precisa do [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) da tangente em cada ponto — a derivada do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#ch-g11-deriv), entrevista no [Exercício 10.11](#exo-g11-quad-11).

**11.** $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$: cai em $x = 20$ m. Vértice na metade: $x = 10$, altura $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

**12.** $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: passa sobre um muro de $3$ m com folga e bate num muro de $4$ m.

**13.** $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$: o caminhão passa a $10$ m do centro. $y(15) = 10 -
\frac{225}{40} = 4.375$ m: não passa a $15$ m.

**14.** $R(p) = -2p^2 + 120p$: vértice em $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, receita $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

**15.** $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2
= \frac{143}{4} \approx 36$ m acima do ponto mais baixo.

**16.** $x^2 = mx - 1$ dá $x^2 - mx + 1 = 0$, $\Delta = m^2 - 4$: dois pontos para $\abs m > 2$, nenhum para $\abs m < 2$, tangência para $m = \pm 2$ com contato em $x = \frac m2 = \pm 1$: tangentes $y = 2x - 1$ em $(1, 1)$ e $y = -2x - 1$ em $(-1, 1)$.

**17.** $x^2 = mx + 1$ dá $\Delta = m^2 + 4 > 0$ para todo $m$: sempre duas [interseções](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion). De um ponto interior, toda reta atravessa a curva duas vezes — tangentes só se traçam de fora, exatamente como nos círculos.

**18.** $y = \frac14$ encontra $y = x^2$ em $x = \pm\frac12$: corda de comprimento $1$. Para $y = \frac{x^2}{4f}$: $y = f$ dá $x^2 = 4f^2$, $x = \pm 2f$: comprimento $4f$ — a largura focal é quatro vezes a distância focal (os projetistas de antenas a chamam de latus rectum).

**19.** Um ponto de $y = x^2$ é $(a, a^2)$; sua [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) é $(X, Y) = (ka, ka^2)$, e $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} =
ka^2 = Y$: a curva [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) é exatamente $y = \frac{x^2}{k}$. Escolhendo $k = 4f$ alcança-se toda [parábola](#def-g11-quad-parabola): todas são ampliações de uma única curva-mestra. (Os círculos também são todos semelhantes — mas as elipses não: o achatamento importa, a ampliação não.)

**20.** Uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) com três trajes legíveis; o lugar geométrico da equidistância entre um ponto e uma reta; o refletor que reúne no [foco](#pb-g11-quad-1) os raios paralelos e o cabo que sustenta um tabuleiro uniforme; a trajetória de toda bola lançada; e, a menos de ampliação, uma única curva — uma só [parábola](#def-g11-quad-parabola), em toda parte.