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title: "Funções e variação"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao
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# Capítulo 11 — Funções e variação

Este capítulo organiza o que é preciso saber sobre funções antes do cálculo: a pequena família das *[funções de referência](#def-g11-func-reference)*, cujos [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) devem ser conhecidos de cor, o sentido preciso de *[crescente](#def-g11-func-monotone)* e *[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)*, e como a variação se comporta quando funções são combinadas.

## 11.1 Funções e curvas

**Definição 11.1 (Função, domínio, curva).**

Uma *função* $f$ associa a cada número $x$ de um conjunto $D \subseteq \R$ (seu *domínio*) exatamente um número $f(x)$. Sua *curva* (ou [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph)) é o conjunto dos pontos $\bigl(x, f(x)\bigr)$ com $x \in D$.

**Exemplo 11.2.**

A fórmula $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (por causa da raiz quadrada) e $x \neq 1$ (denominador não nulo): o [domínio](#def-g11-func-function) é $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 As funções de referência

As cinco funções a seguir e suas curvas devem virar reflexo.

**Definição 11.3 (Funções de referência).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (quadrado)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (cubo)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

Seus [domínios](#def-g11-func-function) são, respectivamente, $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ e $\R$. A curva de $x \mapsto \frac1x$ é uma *hipérbole*.

![As cinco curvas de referência: a parábola x2 e o cubo x3 (à esquerda); √ x, x e a hipérbole 1x (à direita).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![As cinco curvas de referência: a parábola x2 e o cubo x3 (à esquerda); √ x, x e a hipérbole 1x (à direita).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*As cinco curvas de referência: a [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $x^2$ e o cubo $x^3$ (à esquerda); $\sqrt x$, $\abs x$ e a [hipérbole](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (à direita).*

## 11.3 Variação em um intervalo

**Definição 11.4 (Crescente, decrescente).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$. A [função](#def-g11-func-function) $f$ é *crescente* em $I$ se preserva a ordem:

$$
\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

e *[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)* se inverte a ordem ($u < v \implies f(u) \geq
f(v)$). Com desigualdades estritas à direita, $f$ é *estritamente* crescente (resp. [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)). Uma [função](#def-g11-func-function) crescente ou [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $I$ é dita *monótona* em $I$.

**Método 11.5 (Demonstrar uma variação pela definição).**

Tome dois números arbitrários $u < v$ do [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) e determine o sinal da diferença $f(v) - f(u)$, em geral *fatorando-a*. Se o sinal for constante no [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval), conclua.

**Proposição 11.6 (Variação das funções de referência).**

1. $x^2$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\R$ .
3. $\sqrt x$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{0}{+\infty}$ (mas *não* na [união](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) dos dois).
5. $\abs x$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{0}{+\infty}$ .

**Demonstração.** Sejam $u < v$. Fatoramos $f(v) - f(u)$ em cada caso.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Em $\intco{0}{+\infty}$: $v - u > 0$ e $v + u > 0$ (pois $v > u \geq 0$), logo $v^2 > u^2$. Em $\intoc{-\infty}{0}$: $v + u < 0$, logo $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, e o segundo fator vale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$, a menos que $u = v = 0$. Logo $v^3 > u^3$ sempre que $v > u$.

*3.* Para $0 \leq u < v$: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* Para $0 < u < v$: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$, pois $u - v < 0$ e $uv > 0$; mesmo cálculo para $u < v < 0$. Na [união](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) a afirmação falha: $-1 < 1$, mas $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$.

*5.* Em $\intco{0}{+\infty}$, $\abs x = x$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone); em $\intoc{-\infty}{0}$, $\abs x = -x$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). ∎

**Observação 11.7.**

O item 4 é uma armadilha clássica: “[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{0}{+\infty}$” *não* é o mesmo que “[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\R \setminus \{0\}$”. A variação só faz sentido em [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval).

**Exemplo 11.8 (Comparar sem calcular).**

Como $\sqrt x$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone), $\sqrt{7} < \sqrt{8}$; como $x^2$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$, $(-3)^2 > (-2)^2$. A monotonicidade transforma comparações de [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) em comparações de argumentos.

## 11.4 Novas funções a partir de antigas

**Proposição 11.9 (Transformações).**

Seja $u$ uma [função](#def-g11-func-function) definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e seja $k \in \R$.

1. $u + k$ tem a *mesma* variação de $u$ em $I$ ; sua curva é a de $u$ deslocada verticalmente de $k$ .
2. Para $\lambda > 0$ , $\lambda u$ tem a mesma variação de $u$ ; para $\lambda < 0$ , a variação se inverte.
3. Se $u \geq 0$ em $I$ , então $\sqrt u$ tem a mesma variação de $u$ .
4. Se $u \neq 0$ e $u$ tem sinal constante em $I$ , então $\frac1u$ tem variação *oposta* à de $u$ .

**Demonstração.** Sejam $u < v$ em $I$ (com um abuso de notação, comparamos os valores de $x$, $u < v$; escreva $s = u(x_1)$, $t = u(x_2)$ para as [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $x_1 < x_2$).

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: a diferença das [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) não muda, logo seu sinal não muda.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: o sinal se mantém se $\lambda > 0$ e se inverte se $\lambda < 0$.

*3.* Se $u$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) e $x_1 < x_2$, então $0 \leq s \leq t$, e como $\sqrt{}$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) ([Proposição 11.6](#prop-g11-func-refvariations)), vem $\sqrt s \leq \sqrt t$. Mesmo argumento no caso [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations).

*4.* Se $u$ é [crescente](#def-g11-func-monotone), $0 < s \leq t$ (ou $s \leq t < 0$), então $\frac1s \geq \frac1t$, porque $x \mapsto \frac1x$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) de cada lado de $0$: a ordem se inverte. ∎

**Exemplo 11.10.**

Estude $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ em $\R$. A [função](#def-g11-func-function) interna $u(x) = x^2 + 1$ é positiva, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ e [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{0}{+\infty}$ (um quadrado deslocado). Pelo item 3, $f$ tem a mesma variação: [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e depois [crescente](#def-g11-func-monotone), com [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$.

![Transformações em ação: deslocar x2 uma unidade para cima (vermelho) preserva sua variação; extrair a raiz quadrada (laranja) preserva-a de novo, como no .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*Transformações em ação: deslocar $x^2$ uma unidade para cima (vermelho) preserva sua variação; extrair a raiz quadrada (laranja) preserva-a de novo, como no [Exemplo 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 Funções pares e ímpares

**Definição 11.11 (Paridade).**

Seja $f$ definida em um [domínio](#def-g11-func-function) $D$ simétrico em relação a $0$ (isto é, $-x \in D$ sempre que $x \in D$). A [função](#def-g11-func-function) $f$ é *par* se $f(-x) = f(x)$ para todo $x \in D$, e *ímpar* se $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in D$.

**Proposição 11.12 (Significado geométrico).**

A curva de uma [função par](#def-g11-func-parity) é simétrica em relação ao eixo $y$; a curva de uma [função ímpar](#def-g11-func-parity) é simétrica em relação à origem.

**Demonstração.** Se $f$ é [par](#def-g11-func-parity) e $(x, y)$ está na curva (ou seja, $y = f(x)$), então $f(-x) = f(x) = y$: o ponto espelhado $(-x, y)$ também está na curva. Se $f$ é [ímpar](#def-g11-func-parity), $f(-x) = -y$: o ponto $(-x, -y)$, simétrico de $(x,y)$ em relação à origem, está na curva. ∎

**Exemplo 11.13.**

$x^2$ e $\abs x$ são [pares](#def-g11-func-parity); $x^3$ e $\frac1x$ são [ímpares](#def-g11-func-parity); $f(x) = x^2 + x$ não é nem [par](#def-g11-func-parity) nem [ímpar](#def-g11-func-parity): $f(-1) = 0$ enquanto $f(1) = 2$, de modo que $f(-1) \neq \pm f(1)$. A paridade corta o trabalho pela metade: uma [função par](#def-g11-func-parity) ou [ímpar](#def-g11-func-parity) só precisa ser estudada em $\intco{0}{+\infty}$.

## 11.6 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

Dê o [domínio](#def-g11-func-function) de cada [função](#def-g11-func-function):

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**Solução de Exercício 11.1.**

$f$: é preciso $3 - x \geq 0$, [domínio](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$: é preciso $x^2 - 4 \neq 0$, isto é, $x \neq \pm 2$: [domínio](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$: é preciso $x \geq 0$ e $x \neq 5$: [domínio](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**Exercício 11.2 ★.**

Usando a variação das [funções de referência](#def-g11-func-reference), compare sem calculadora:

$$
\sqrt{11} \text{ e } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ e } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ e } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ e } (-0.99)^3 .
$$

**Solução de Exercício 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$, pois $\sqrt{}$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) e $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$, pois $x^2$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ e $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$, pois $\frac1x$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{0}{+\infty}$ e $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$, pois $x^3$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) e $-1.01 < -0.99$.

**Exercício 11.3 ★.**

Determine se cada [função](#def-g11-func-function) é [par](#def-g11-func-parity), [ímpar](#def-g11-func-parity) ou nenhuma das duas:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**Solução de Exercício 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [par](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [ímpar](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ e $h(-1) = 1 - 1 = 0$, de modo que $h(-1)$ não é nem $h(1)$ nem $-h(1)$: nem [par](#def-g11-func-parity) nem [ímpar](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [ímpar](#def-g11-func-parity).

**Exercício 11.4 ★.**

Uma [função](#def-g11-func-function) $f$ tem o seguinte comportamento: [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intcc{-3}{1}$, de $f(-3) = -2$ até $f(1) = 4$, e depois [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intcc{1}{5}$ até $f(5) = 0$. Quantas soluções a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ tem em $\intcc{-3}{5}$? E $f(x) = 5$?

**Solução de Exercício 11.4.**

Leia o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table). Em $\intcc{-3}{1}$, $f$ sobe de $-2$ até $4$ e cruza o valor $1$ exatamente uma vez; em $\intcc{1}{5}$ ela desce de $4$ até $0$ e cruza $1$ mais uma vez: a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ tem $2$ soluções. O [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de $f$ é $f(1) = 4 < 5$, de modo que $f(x) = 5$ não tem solução.

**Exercício 11.5 ★★.**

Usando o [Método 11.5](#met-g11-func-variation) (sinal de $f(v) - f(u)$), prove que $f(x) = x^2 - 4x$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{2}{+\infty}$.

**Solução de Exercício 11.5.**

Sejam $2 \leq u < v$. Então

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

Os dois fatores são positivos: $v - u > 0$ e $u + v > 2 + 2 = 4$, pois $u \geq 2$ e $v > 2$. Logo $f(v) > f(u)$: $f$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{2}{+\infty}$.

**Exercício 11.6 ★★.**

Sem calcular nenhuma derivada, dê a variação de

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ em } \intoc{-\infty}{5},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ em } \intco{0}{+\infty},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ em } \intco{0}{+\infty}.
$$

**Solução de Exercício 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ com $u(x) = 5 - x$ [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e não negativa em $\intoc{-\infty}{5}$: $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) ali ([Proposição 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ com $u(x) = x^2 + 1$ [crescente](#def-g11-func-monotone) e positiva em $\intco{0}{+\infty}$: $g$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) ali.

$h = 3 - 2\sqrt x$: $\sqrt x$ é [crescente](#def-g11-func-monotone), multiplicar por $-2 < 0$ inverte, e somar $3$ nada muda: $h$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{0}{+\infty}$.

**Exercício 11.7 ★★.**

Seja $f(x) = (x-2)^2 - 3$ em $\R$.

1. Dê a variação de $f$ e seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) .
2. Deduza a variação de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ e seu [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) . (Note que $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**Solução de Exercício 11.7.**

*1.* $f$ já está na [forma canônica](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#thm-g11-quad-canonical): [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{2}$, [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{2}{+\infty}$, [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ com $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. O deslocamento de $4$ preserva a variação de $f$, e $u \geq 1 > 0$. Tomar o inverso a inverte: $g$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intoc{-\infty}{2}$ e [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{2}{+\infty}$, com [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**Exercício 11.8 ★★.**

A curva de uma [função](#def-g11-func-function) $f$ passa pelos pontos $(0, 1)$, $(2, 3)$ e $(4, 1)$, e $f$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intcc{0}{2}$ e [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intcc{2}{4}$. Esboce uma curva possível e depois esboce as curvas de $f + 2$, de $-f$ e de $2f$.

**Solução de Exercício 11.8.**

Qualquer curva em forma de morro passando pelos três pontos serve. Então: $f + 2$ passa por $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$, com a mesma variação (deslocamento vertical); $-f$ passa por $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ com variação *invertida* (o pico vira um vale); $2f$ passa por $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$, com a mesma variação, mas amplificada na vertical.

**Exercício 11.9 ★★.**

Mostre que a [função](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ pode ser escrita como $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ e deduza sua variação em $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solução de Exercício 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. Em $\intoo{-1}{+\infty}$, $u(x) = x + 1$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) e positiva, logo $\frac1u$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), $-\frac1u$ é [crescente](#def-g11-func-monotone), e somar $2$ nada muda: $f$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Exercício 11.10 ★★.**

Verdadeiro ou falso (justifique ou dê um contraexemplo):

1. A soma de duas funções [crescentes](#def-g11-func-monotone) em $I$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $I$ .
2. O produto de duas funções [crescentes](#def-g11-func-monotone) em $I$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $I$ .
3. Se $f$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $I$ , então $f^2$ ( $= f \times f$ ) é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $I$ .

**Solução de Exercício 11.10.**

*1. Verdadeiro.* Se $u < v$, então $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ é uma soma de dois números não negativos.

*2. Falso.* $f(x) = g(x) = x$ são [crescentes](#def-g11-func-monotone) em $\R$, mas seu produto $x^2$ não é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\R$ (decresce em $\intoc{-\infty}{0}$). (A afirmação passa a ser verdadeira se as duas funções também forem não negativas.)

*3. Falso.* Mesmo contraexemplo: $f(x) = x$ é [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\R$, mas $f^2(x) = x^2$ não é.

**Exercício 11.11 ★★★.**

Seja $f(x) = x + \frac{1}{x}$ para $x > 0$.

1. Mostre que, para $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. Deduza que $f$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{0}{1}$ e estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{1}{+\infty}$ .
3. Conclua que $x + \frac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , com igualdade somente em $x = 1$ .

**Solução de Exercício 11.11.**

*1.* Para $0 < u < v$:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* Sempre $v - u > 0$ e $uv > 0$. Se $0 < u < v \leq 1$, então $uv < 1$, logo $uv - 1 < 0$ e $f(v) < f(u)$: $f$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{0}{1}$. Se $1 \leq u < v$, então $uv > 1$ e $f(v) > f(u)$: $f$ é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* $f$ decresce antes de $1$ e cresce depois, de modo que $f(x) \geq f(1) = 2$ para todo $x > 0$, com igualdade exatamente em $x = 1$. (Essa desigualdade reaparece sob muitos disfarces; compare com o [Exemplo 10.3](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ex-g11-quad-canonical) e com as desigualdades da reta tangente do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv).)

## 11.7 Problema: A fábrica de simetrias

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — toda função é uma parte par mais uma parte ímpar: as regras da paridade, o jogo das transformações e mínimos conquistados sem cálculo

Algumas funções são simétricas por espelho, outras por meia volta, a maioria não é nem uma coisa nem outra — e, no entanto, um pequeno milagre algébrico afirma que *toda* [função](#def-g11-func-function) é, de exatamente uma maneira, a soma de uma parte simétrica por espelho com uma parte simétrica por meia volta. Este problema demonstra o milagre, joga o jogo das transformações sobre as curvas de referência ([Proposição 11.9](#prop-g11-func-transforms)) e encerra com a técnica de [fatorar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand) diferenças do [Exercício 11.11](#exo-g11-func-11), que ganha problemas de minimização um capítulo inteiro antes de a derivada chegar.

**Parte I — Fluência com paridade.**

1. [Par](#def-g11-func-parity) , [ímpar](#def-g11-func-parity) ou nenhuma das duas ( [Definição 11.11](#def-g11-func-parity) )? Justifique cada uma: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
2. Enuncie o significado geométrico de cada veredicto ( [Proposição 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): que simetria tem a curva de uma [função par](#def-g11-func-parity) ? E a de uma [função ímpar](#def-g11-func-parity) ?
3. A paridade se multiplica como os sinais: prove que o produto de duas [funções ímpares](#def-g11-func-parity) é [par](#def-g11-func-parity) e complete toda a tabela de multiplicação ( [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [par](#def-g11-func-parity) , [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [ímpar](#def-g11-func-parity) , [ímpar](#def-g11-func-parity) $\times$ [ímpar](#def-g11-func-parity) ).
4. Consequências rápidas: se $f$ é [ímpar](#def-g11-func-parity) e está definida em $0$ , quanto vale $f(0)$ ? Se $f$ é [par](#def-g11-func-parity) com $f(3) = 7$ , quanto vale $f(-3)$ ? E mostre que a única [função](#def-g11-func-function) ao mesmo tempo [par](#def-g11-func-parity) e [ímpar](#def-g11-func-parity) é a [função](#def-g11-func-function) nula.
5. Quanto da curva de uma [função par](#def-g11-func-parity) determina toda ela? Dê uma [função](#def-g11-func-function) que não seja nem [par](#def-g11-func-parity) nem [ímpar](#def-g11-func-parity) e explique o que falha.

**Parte II — O teorema da decomposição.** Para uma [função](#def-g11-func-function) $f$ definida em um [domínio](#def-g11-func-function) simétrico em relação a $0$, ponha

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. Calcule $E$ e $O$ para $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ e verifique: $E$ [par](#def-g11-func-parity) , $O$ [ímpar](#def-g11-func-parity) , $E + O = f$ .
7. Demonstre o enunciado geral: para qualquer $f$ , a [função](#def-g11-func-function) $E$ é [par](#def-g11-func-parity) , $O$ é [ímpar](#def-g11-func-parity) e $f = E + O$ — *toda [função](#def-g11-func-function) se decompõe em uma parte [par](#def-g11-func-parity) e uma parte [ímpar](#def-g11-func-parity)* .
8. Demonstre que a decomposição é única: se $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ com $E_i$ [par](#def-g11-func-parity) e $O_i$ [ímpar](#def-g11-func-parity) , use a questão 4 sobre $E_1 - E_2$ .
9. Decomponha $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (para $x \neq \pm 1$ ): reduza $E$ e $O$ ao denominador comum $1 - x^2$ e simplifique.
10. Um olhar adiante, uma frase para cada: as partes [par](#def-g11-func-parity) e [ímpar](#def-g11-func-parity) da [função](#def-g11-func-function) exponencial serão as funções gêmeas do ano 12 (cosseno e seno hiperbólicos); e o mesmo instinto — dividir um objeto em pedaços simétricos e tratar cada um com a sua própria simetria — move a análise de som e de sinais dos volumes de graduação. Por que uma divisão dessas é *útil* , em geral?

**Parte III — O jogo das transformações.**

11. Partindo da curva de $x \mapsto x^2$ , descreva com precisão as curvas de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ ( [Proposição 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. Reduza $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ a uma fórmula por partes nos três [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) delimitados por $-2$ e $2$ e descreva sua curva (ela tem um fundo plano famoso).
13. Quais transformações respeitam a paridade [par](#def-g11-func-parity) ? Decida, com demonstração ou contraexemplo: deslocamento horizontal $f(x - 3)$ ; deslocamento vertical $f(x) + 2$ ; dilatação vertical $2 f(x)$ (todos aplicados a uma $f$ [par](#def-g11-func-parity) ).
14. Resolva $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ usando a fórmula por partes da questão 12.
15. Engenharia reversa: uma [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) tem vértice $(2, -3)$ e passa por $(0, 1)$ . Reconstrua sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) na [forma canônica](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#thm-g11-quad-canonical) .

**Parte IV — [Mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) sem cálculo.**

16. Espelhe o [Exercício 11.11](#exo-g11-func-11) para $g(x) = x + \dfrac4x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : mostre que $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localize o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) e dê seu valor.
17. Aplique: entre todos os retângulos de área $16$ , qual tem o menor perímetro? (Escreva $P = 2\left(x +  \frac{16}{x}\right)$ e use a máquina da questão 16.) Um velho conhecido conclui.
18. Determine a variação de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ em todo o $\R$ , combinando um argumento de composição em $\intco{0}{+\infty}$ com um argumento de paridade para o resto.
19. O ponto mais próximo: encontre o ponto da curva $y = \sqrt x$ mais próximo de $(3, 0)$ . (Minimize o *quadrado* da distância — um [trinômio do segundo grau](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-quadratic) em $x$ — e explique por que minimizar o quadrado é legítimo.)
20. Final, a visita à fábrica: as curvas de referência são a matéria-prima; as transformações, as máquinas; a paridade e a decomposição, o controle de qualidade; a fatoração da diferença, a bancada de medição. Uma frase sobre cada — e nomeie a ferramenta elétrica que o próximo capítulo entrega.

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [par](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 -
3x^2$). $x^3 - x$: [ímpar](#def-g11-func-parity). $x^2 + x$: nenhuma das duas ($f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ e $\neq -f(1)$). $\abs x$: [par](#def-g11-func-parity). $\frac1x$: [ímpar](#def-g11-func-parity).

**2.** [Par](#def-g11-func-parity): a curva é simétrica em relação ao eixo $y$ (espelho). [Ímpar](#def-g11-func-parity): simétrica em relação à origem (meia volta).

**3.** Se $f$ e $g$ são [ímpares](#def-g11-func-parity): $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: [par](#def-g11-func-parity). Tabela: [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [par](#def-g11-func-parity) $=$ [par](#def-g11-func-parity); [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [ímpar](#def-g11-func-parity) $=$ [ímpar](#def-g11-func-parity); [ímpar](#def-g11-func-parity) $\times$ [ímpar](#def-g11-func-parity) $=$ [par](#def-g11-func-parity) — a regra dos sinais com paridades.

**4.** [Ímpar](#def-g11-func-parity) em $0$: $f(0) = -f(0)$, logo $f(0) = 0$. [Par](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$. [Par](#def-g11-func-parity) e [ímpar](#def-g11-func-parity) ao mesmo tempo: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, logo $2f(x) = 0$: $f$ é a [função](#def-g11-func-function) nula.

**5.** A metade direita ($x \geq 0$) determina completamente uma [função par](#def-g11-func-parity): a metade esquerda é seu espelho. Nem [par](#def-g11-func-parity) nem [ímpar](#def-g11-func-parity): $x^2 + x$ (questão 1) — suas duas simetrias falham em $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 +
1)}{2} = x^2 + 1$ ([par](#def-g11-func-parity)), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) -
(-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([ímpar](#def-g11-func-parity)); sua soma é $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [par](#def-g11-func-parity). $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [ímpar](#def-g11-func-parity). E $E(x) + O(x) = f(x)$ por soma direta: toda [função](#def-g11-func-function) se decompõe.

**8.** De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ vem $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. O lado esquerdo é [par](#def-g11-func-parity), o direito é [ímpar](#def-g11-func-parity) — logo essa [função](#def-g11-func-function) é as duas coisas e, portanto, nula (questão 4): $E_1 = E_2$ e $O_1 = O_2$. Uma só decomposição.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$, e $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$. Verificação: $E$ é [par](#def-g11-func-parity), $O$ é [ímpar](#def-g11-func-parity) e a soma delas é $\frac{1 + x}{1 - x^2} =
\frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$.

**10.** Porque cada parte obedece a uma simetria, metade do trabalho (e metade dos dados) basta para cada uma: resolva de um lado e espelhe para o outro — e muitas operações (integração, séries, análise de sinais) tratam pedaços simétricos de modo muito mais simples do que funções brutas.

**11.** $(x-3)^2$: deslocada $3$ para a direita. $x^2 + 2$: deslocada $2$ para cima. $(x-3)^2 + 2$: as duas coisas. $-x^2$: virada de cabeça para baixo. $2x^2$: dilatada verticalmente por $2$ (concha mais estreita).

**12.** Para $x \geq 2$: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. Para $-2 \leq x \leq 2$: $(2 - x) + (x + 2) = 4$. Para $x \leq -2$: $-2x$. A curva desce com [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-2$, segue plana na altura $4$ entre $-2$ e $2$ e depois sobe com [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: um vale de fundo plano.

**13.** Deslocamento vertical: $f(x) + 2$ continua [par](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). Dilatação vertical: $2f(x)$ continua [par](#def-g11-func-parity). Deslocamento horizontal: $(x - 3)^2$ não é [par](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): escorregar para o lado destrói o espelho.

**14.** No fundo plano o valor é $4 \neq 6$. Para $x \geq 2$: $2x = 6$, $x = 3$. Para $x \leq -2$: $-2x = 6$, $x = -3$. Soluções: $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ com $f(0) = 4a - 3 = 1$: $a = 1$, logo $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: negativo para $u < v$ com $uv < 4$, positivo com $uv > 4$: [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{0}{2}$, [crescente](#def-g11-func-monotone) em $\intco{2}{+\infty}$; [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) em $x = 2$, de valor $g(2) = 4$.

**17.** Lados $x$ e $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, minimizado (a máquina da questão 16 com $4 \to 16$, ponto de virada $\sqrt{16} = 4$) em $x = 4$: o *quadrado* $4 \times 4$, de perímetro $16$ — a resposta de Dido, agora demonstrada para todo comprimento real de lado.

**18.** Em $\intco{0}{+\infty}$: $x \mapsto x^2 + 1$ cresce, e $\sqrt{\phantom{x}}$ cresce, de modo que a composta cresce. E $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: $h$ é [par](#def-g11-func-parity), logo, por simetria especular, decresce em $\intoc{-\infty}{0}$. [Mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** Quadrado da distância de $(x, \sqrt x)$ a $(3, 0)$: $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) em $x = \frac52$: ponto mais próximo $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, distância $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Minimizar $d^2$ é legítimo porque elevar ao quadrado é estritamente [crescente](#def-g11-func-monotone) nos números positivos: $d$ e $d^2$ atingem o fundo no mesmo ponto.

**20.** Matéria-prima: as curvas de referência, sabidas de cor. Máquinas: deslocamentos, reflexões e dilatações que montam [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) novos a partir dos antigos. Controle de qualidade: a paridade e a decomposição par–ímpar, que reduzem todo estudo pela metade. Bancada de medição: [fatorar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand) $f(v) - f(u)$, o que lê variação e [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) diretamente. A ferramenta elétrica do próximo capítulo: a *derivada*, que os lê de relance.