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title: "Derivadas: um primeiro curso"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso
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# Capítulo 12 — Derivadas: um primeiro curso

Com que rapidez uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) varia? A resposta em um único ponto é a *[derivada](#def-g11-deriv-derivative)*, o número mais útil de toda a matemática aplicada. Este capítulo a constrói a partir das [taxas de variação médias](#def-g11-deriv-rate), calcula-a para as [funções de referência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-reference) e usa seu sinal para ler a variação de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function). Tudo o que está aqui é estendido e aprofundado no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv).

## 12.1 A taxa de variação média

**Definição 12.1 (Taxa de variação média).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e sejam $a \neq b$ em $I$. A *taxa de variação média* de $f$ entre $a$ e $b$ é

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

Ela é o [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) da reta *secante* que passa pelos pontos $\bigl(a, f(a)\bigr)$ e $\bigl(b, f(b)\bigr)$ da curva.

**Exemplo 12.2.**

Um carro percorre $140$ km entre 14h e 16h: sua velocidade [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-mean) é $\frac{140}{2} = 70$ km/h. O velocímetro, porém, mostra a cada instante uma velocidade *instantânea* — e é exatamente essa noção que a [derivada](#def-g11-deriv-derivative) torna precisa.

## 12.2 A derivada em um ponto

**Definição 12.3 (Derivada em um ponto).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) que contém $a$. Para $h \neq 0$, forme a [taxa de variação média](#def-g11-deriv-rate) entre $a$ e $a + h$:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

Se $r(h)$ se aproxima de um único número fixo quando $h$ fica arbitrariamente próximo de $0$, dizemos que $f$ é *derivável em $a$*; esse número é a *derivada de $f$ em $a$*, escrita $f'(a)$:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**Exemplo 12.4.**

Seja $f(x) = x^2$ e $a = 1$. Para $h \neq 0$:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

Quando $h$ se aproxima de $0$, isso se aproxima de $2$: a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $x^2$ é [derivável](#def-g11-deriv-derivative) em $1$ e $f'(1) = 2$. Note a estratégia: *simplifique o quociente até $h$ não aparecer mais em nenhum denominador* e só então faça $h \to 0$.

**Exemplo 12.5 (Um ponto sem derivada).**

Seja $f(x) = \abs{x}$ e $a = 0$. Então $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, que vale $1$ para $h > 0$ e $-1$ para $h < 0$: nenhum número único é atingido, e $\abs x$ não é [derivável](#def-g11-deriv-derivative) em $0$. Sua curva tem ali um *bico*.

## 12.3 A reta tangente

**Definição 12.6 (Tangente).**

Se $f$ é [derivável](#def-g11-deriv-derivative) em $a$, a *tangente* à curva no ponto $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ é a reta que passa por $A$ com [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$. Sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

A [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é a posição-limite das [secantes](#def-g11-deriv-rate) que passam por $A$: quando $h \to 0$, o segundo ponto $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ desliza pela curva rumo a $A$, e o [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) da [secante](#def-g11-deriv-rate), $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, se aproxima de $f'(a)$.

![A secante por A e B = (a+h, f(a+h) ) tem coeficiente angular f(a+h)-f(a)/h. Quando B desliza rumo a A, a secante tomba sobre a tangente, cujo coeficiente angular é f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-9e6981e02204.svg)

*A [secante](#def-g11-deriv-rate) por $A$ e $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Quando $B$ desliza rumo a $A$, a [secante](#def-g11-deriv-rate) tomba sobre a [tangente](#def-g11-deriv-tangent), cujo [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) é $f'(a)$.*

**Exemplo 12.7.**

Para $f(x) = x^2$ em $a = 1$: $f(1) = 1$ e $f'(1) = 2$ ([Exemplo 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), de modo que a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

É a reta $d_2$ encontrada por álgebra pura no [Exercício 10.11](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#exo-g11-quad-11).

## 12.4 Derivadas das funções de referência

**Proposição 12.8.**

Nos seus [domínios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de derivabilidade:

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

Mais geralmente, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ para todo inteiro $n \geq 1$.

**Demonstração.** Cada demonstração segue a estratégia do [Exemplo 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint): simplificar a taxa e depois fazer $h \to 0$. Fixe $a$ no [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function).

*Constante e identidade.* $\frac{c - c}{h} = 0$ e $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ para todo $h$: os limites são $0$ e $1$.

*Quadrado.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*Cubo.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, de modo que a taxa é $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$.

*Inverso.* Para $a \neq 0$ e $h$ pequeno o bastante para que $a + h \neq 0$:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*Raiz quadrada.* Para $a > 0$, multiplique pelo conjugado:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*Potência geral.* O padrão $2a$, $3a^2$ prossegue: ao [expandir](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand) $(a+h)^n$, todos os termos depois de $a^n + n\,a^{n-1}h$ carregam $h^2$, de modo que a taxa tende a $n\,a^{n-1}$. (Uma indução completa é dada no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv).) ∎

## 12.5 Regras de derivação

**Teorema 12.9 (Operações).**

Sejam $u$ e $v$ deriváveis em $I$ e seja $\lambda \in \R$. Então $u + v$, $\lambda u$ e $uv$ são deriváveis em $I$, assim como $\frac{u}{v}$ onde $v \neq 0$, e

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Demonstração das três primeiras regras.** Fixe $a \in I$ e abrevie $\Delta u = u(a+h) - u(a)$, $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*Soma.* A taxa de $u + v$ é $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*Múltiplo.* A taxa de $\lambda u$ é $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*Produto.* Some e subtraia o termo misto $u(a+h)\,v(a)$:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

Quando $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ e $u(a+h) \to u(a)$ (sua taxa tem limite, logo $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). A taxa, portanto, tende a $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

A regra do quociente demonstra-se nas mesmas linhas; ela é *admitida neste nível* e demonstrada no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv). ∎

**Exemplo 12.10.**

*Polinômio.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*Quociente.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: com $u = 2x + 1$, $v = x^2 + 1$,

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*Produto.* $k(x) = x\sqrt x$ para $x > 0$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 Sinal da derivada e variação

**Teorema 12.11 (Derivada e variação).**

Seja $f$ [derivável](#def-g11-deriv-derivative) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. Se $f' \geq 0$ em $I$ , então $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $I$ .
2. Se $f' \leq 0$ em $I$ , então $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $I$ .
3. Se $f' > 0$ em $I$ (a não ser, talvez, em um número finito de pontos onde se anula), então $f$ é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $I$ .

**Demonstração.** A intuição é clara — uma curva cujas [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) apontam todas para cima tem de subir —, mas uma demonstração rigorosa exige o teorema do valor médio. O resultado é *admitido neste nível*; veja o [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#thm-g12-deriv-variations). ∎

**Proposição 12.12 (Extremos).**

Se $f'$ muda de sinal em $a$, de $+$ para $-$, então $f$ tem um [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local em $a$; de $-$ para $+$, um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local. Em um ponto assim, $f'(a) = 0$ e a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é horizontal.

**Demonstração.** Se $f' \geq 0$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) que termina em $a$ e $f' \leq 0$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) que começa em $a$, então $f$ cresce até $f(a)$ e decresce em seguida ([Teorema 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): $f(a)$ é o maior valor nas proximidades. Como $f'$ muda de sinal em $a$ e está definida ali, $f'(a) = 0$. ∎

**Método 12.13 (Estudar uma função).**

1. Calcule $f'(x)$ e simplifique-a — de preferência até a forma fatorada.
2. Determine o sinal de $f'(x)$ em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) (se $f'$ for do segundo grau, use o [Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#thm-g11-quad-sign) ).
3. Registre os resultados em um *[quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table)* : uma linha para o sinal de $f'$ , uma linha de setas para $f$ e os valores de $f$ nos pontos de virada.
4. Conclua: extremos, número de soluções de $f(x) = k$ , desigualdades.

**Exemplo 12.14.**

Estude $f(x) = x^3 - 3x + 1$ em $\R$. Primeiro, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: um [trinômio do segundo grau](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-quadratic) com raízes $-1$ e $1$, positivo fora delas. Assim, $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $\intoc{-\infty}{-1}$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intcc{-1}{1}$ e [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $\intco{1}{+\infty}$, com [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ e [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![A curva de f(x) = x3 - 3x + 1 (): tangentes horizontais (laranja) no máximo local (-1, 3) e no mínimo local (1, -1), onde f' muda de sinal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*A curva de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([Exemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study)): [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) horizontais (laranja) no [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $(-1, 3)$ e no [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $(1, -1)$, onde $f'$ muda de sinal.*

**Exemplo 12.15 (Otimização).**

Uma caixa aberta é feita a partir de uma folha $12 \times 12$ cm, cortando-se um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobrando. Seu volume é $V(x) = x(12 - 2x)^2$ para $0 < x < 6$. Expandindo, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, logo

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

Em $\intoo{0}{6}$, o fator $x - 6$ é negativo, de modo que $V'(x)$ tem o sinal de $-(x-2)$: positivo antes de $2$ e negativo depois. O volume é [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) para $x = 2$ cm, dando $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$.

## 12.7 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

Usando a definição (taxa de variação e depois $h \to 0$), calcule $f'(2)$ para $f(x) = x^2$ e depois $g'(1)$ para $g(x) = x^2 + 3x$.

**Solução de Exercício 12.1.**

Para $f(x) = x^2$ em $a = 2$:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

logo $f'(2) = 4$. Para $g(x) = x^2 + 3x$ em $a = 1$: $g(1) = 4$ e

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

logo $g'(1) = 5$.

**Exercício 12.2 ★.**

Derive:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**Solução de Exercício 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (em $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (regra do produto).

**Exercício 12.3 ★.**

Dê a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da [tangente](#def-g11-deriv-tangent) à curva de $f$ no ponto de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a$:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**Solução de Exercício 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$: $f(2) = -2$, $f'(x) = 2x - 3$, logo $f'(2) = 1$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**Exercício 12.4 ★.**

Derive os quocientes:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**Solução de Exercício 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (regra do quociente com $u = 1$).

**Exercício 12.5 ★★.**

Estude a variação de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ em $\R$ ([quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table), extremos locais).

**Solução de Exercício 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: positiva fora de $\intcc{1}{3}$ e negativa dentro. Assim, $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $\intoc{-\infty}{1}$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intcc{1}{3}$ e [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $\intco{3}{+\infty}$, com [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ e [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**Exercício 12.6 ★★.**

Estude a variação de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ em $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solução de Exercício 12.6.**

Em $\intoo{-1}{+\infty}$:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

Para $x > -1$, tanto $x + 3$ quanto $(x+1)^2$ são positivos, de modo que $f'(x)$ tem o sinal de $x - 1$: $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-1}{1}$ e [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) em $\intco{1}{+\infty}$, com [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**Exercício 12.7 ★★.**

Seja $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. Encontre o ponto da curva onde a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é horizontal.
2. Encontre o ponto (ou os pontos) onde a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é paralela à reta $y = 2x + 1$ .

**Solução de Exercício 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* [Tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontal: $f'(x) = 0$ em $x = 2$; o ponto é $(2, f(2)) = (2, 1)$ (o vértice da [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola)).

*2.* Paralela a $y = 2x + 1$ significa [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: $2x - 4 = 2$, logo $x = 3$, o que dá o ponto $(3, f(3)) = (3, 2)$.

**Exercício 12.8 ★★.**

Um cercado retangular é construído encostado em um muro com $60$ m de cerca (três lados). Exprima a área em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) da largura $x$ e use a [derivada](#def-g11-deriv-derivative) para encontrar as dimensões de área máxima. (Compare com o método do vértice do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad).)

**Solução de Exercício 12.8.**

Com largura $x$ (dois lados cercados) e comprimento $60 - 2x$: $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ em $\intoo{0}{30}$. Então $A'(x) = 60 - 4x$, positiva antes de $x = 15$ e negativa depois: a área é máxima para $x = 15$, dando um cercado $15 \times 30$ m de área $450$ m$^2$. A fórmula do vértice $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad) dá a mesma resposta sem cálculo.

**Exercício 12.9 ★★.**

Mostre que, para todo $x > 0$, $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$, estudando a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ em $\intoo{0}{+\infty}$.

**Solução de Exercício 12.9.**

Seja $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ em $\intoo{0}{+\infty}$. Então

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

que tem o sinal de $\sqrt x - 1$: negativa em $\intoo{0}{1}$ e positiva em $\intoo{1}{+\infty}$. Assim, $f$ decresce e depois cresce, com [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$. Logo $f(x) \geq 0$ para todo $x > 0$, isto é, $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, com igualdade somente em $x = 1$.

**Exercício 12.10 ★★.**

Uma lata cilíndrica deve conter $500$ cm$^3$. Sua área total (dois discos mais a lateral) é $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, com $\pi r^2 h = 500$. Exprima $S$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) apenas de $r$ e mostre que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$. Deduza o raio que minimiza a área, em forma exata.

**Solução de Exercício 12.10.**

De $\pi r^2 h = 500$ vem $h = \frac{500}{\pi r^2}$, logo

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$S'(r) = 0$ quando $4\pi r^3 = 1000$, isto é, $r^3 = \frac{250}{\pi}$, logo $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm). Como $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ é negativa antes desse valor e positiva depois, trata-se de um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema).

**Exercício 12.11 ★★★.**

Quantas [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) à [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ passam pelo ponto exterior $P(1, -3)$? Determine suas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation). (Chame de $a$ a [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do ponto de contato e imponha que a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $a$ passe por $P$.)

**Solução de Exercício 12.11.**

A [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a $y = x^2$ no ponto de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a$ é $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. Ela passa por $P(1, -3)$ quando $-3 = 2a - a^2$, isto é, $a^2 - 2a - 3 = 0$, cujas raízes são $a = 3$ e $a = -1$ ($\Delta = 16$). Há, portanto, *duas* [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) por $P$:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**Exercício 12.12 ★★★.**

Seja $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (veja o [Exemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study)). Usando o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table), determine o número de soluções da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ conforme o valor do [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $k$.

**Solução de Exercício 12.12.**

Pelo [Exemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study), $f$ cresce até o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = 3$, decresce até o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = -1$ e depois cresce de novo; para $x$ positivo grande (resp. negativo grande em [módulo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-abs)), $x^3$ domina e $f$ assume valores arbitrariamente grandes (resp. pequenos). Lendo as retas horizontais $y = k$ sobre o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table):

- $k > 3$ ou $k < -1$ : a reta encontra a curva uma só vez — $1$ solução;
- $k = 3$ ou $k = -1$ : a reta toca um ponto de virada e cruza um outro ramo — $2$ soluções;
- $-1 < k < 3$ : a reta cruza os três ramos — $3$ soluções.

## 12.8 Problema: Os três ofícios da tangente

**Problema 12.1.**

Problema de fim de semana — o espelho parabólico demonstrado, a máquina de achar raízes de Newton e a viga mais forte que se tira de uma tora

Uma [derivada](#def-g11-deriv-derivative) traça [tangentes](#def-g11-deriv-tangent); isso parece um talento modesto. Este problema mostra a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) exercendo três ofícios ao mesmo tempo: ela demonstra o teorema do farol deixado pendente no [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) (todo raio paralelo ao eixo de uma [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) reflete pelo [foco](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1)), move o algoritmo de resolução de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) mais rápido em uso corrente — dentro de toda calculadora e de toda rede neural — e encontra a viga retangular mais forte que uma tora redonda pode render.

**Parte I — Fluência com [tangentes](#def-g11-deriv-tangent).**

1. Derive $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $g(x) = x^3 - 12x$ ( [Teorema 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ); e reobtenha $\left(x^2\right)'$ em $x = 1$ pela definição (taxa de variação e depois $h \to 0$ ).
2. Encontre a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a $y = x^3 - 12x$ em $a = 2$ . O que ela tem de especial e o que isso sinaliza ( [Proposição 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )?
3. Estabeleça a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) geral à [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ no ponto $(a, a^2)$: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. Onde essa [tangente](#def-g11-deriv-tangent) cruza o eixo $y$ ? Deduza a receita do desenhista: para traçar a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em um ponto $P$ de altura $h$ da [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) , ligue $P$ ao ponto do eixo situado à profundidade … abaixo da origem. Enuncie-a.
5. Monte o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) completo de $g(x) = x^3 - 12x$ (sinal de $g'$ , extremos locais e seus valores, [Método 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**Parte II — O teorema do espelho.** Seja $P(a, a^2)$ um ponto da [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (tome $a \neq 0$), $F\left(0, \frac14\right)$ o [foco](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) e $T$ o ponto onde a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $P$ cruza o eixo $y$ (questão 4). Lembre-se, do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1), que $PF = a^2 + \frac14$.

6. Calcule a distância $FT$ .
7. Conclua que o triângulo $FPT$ é isósceles em $F$ . Que dois ângulos, portanto, são iguais?
8. O raio incidente que passa por $P$ , paralelo ao eixo, é paralelo à reta $(TF)$ (as duas são verticais). Usando ângulos alternos, mostre que a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $P$ faz *ângulos iguais* com o raio vertical incidente e com o segmento $[PF]$ .
9. Física: a luz reflete numa curva como refletiria na sua [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , saindo com o mesmo ângulo com que chegou (a lei da reflexão). Conclua o *teorema do espelho* : todo raio paralelo ao eixo reflete pelo [foco](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) — e, invertendo o tempo, uma lâmpada no [foco](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) emite um feixe paralelo. A antena e o farol do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) são agora teoremas.
10. Verifique numericamente o triângulo isósceles em $a = 1$ : calcule $T$ , $FP$ e $FT$ .

**Parte III — A máquina de Newton.** Para resolver $f(x) = 0$, Newton propôs: parta de um palpite $x_0$, siga a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $x_0$ até o eixo e tome o ponto onde ela o corta como palpite seguinte.

11. Deduza a fórmula do método: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. Rode-a em $f(x) = x^2 - 2$ a partir de $x_0 = 1$: calcule $x_1$, $x_2$, $x_3$ como frações exatas. Que sequência de dois mil anos — e que máquina do [Problema 3.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) — você acabou de reconstruir? Demonstre a identidade por trás da coincidência: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x +  \frac2x\right).$$
13. Resolva $x^3 = 100$ (a ultrapassagem dos planos de poupança do [Problema 4.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#pb-g10-reffunc-1) ): aplique dois passos de Newton a $f(x) = x^3 - 100$ a partir de $x_0 = 5$ (quatro casas decimais) e compare com o $\sqrt[3]{100}$ da calculadora.
14. Sabotagem: tente lançar o método em $f(x) = x^3 - 12x$ com $x_0 = 2$ . O que dá errado e por quê (questão 2)? Enuncie a ressalva prática.
15. Na questão 12 as casas decimais corretas foram mais ou menos $1 \to 3 \to 6$ . Compare com a bisseção (dividir um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) ao meio a cada passo) e diga em uma frase por que calculadoras, receptores de GPS e o treinamento de redes neurais rodam todos sobre a ideia de Newton.

**Parte IV — A viga mais forte.** Uma viga retangular de largura $w$ e altura $d$ é serrada de uma tora redonda de diâmetro $30$ cm, de modo que $w^2 + d^2 = 900$. A rigidez de uma viga é proporcional a $w d^2$ (a altura conta duas vezes: as vigas ficam de pé!).

16. Exprima a rigidez em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) apenas de $w$ : $S(w) = 900w - w^3$ , em que [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) ?
17. Derive, monte o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) e encontre os valores ótimos de $w$ e $d$ (valores exatos e depois em milímetros).
18. Mostre que as proporções ótimas satisfazem $d = w\sqrt2$ — a velha razão dos carpinteiros. (Bônus de tradição: dividir o diâmetro da tora em três partes iguais e levantar perpendiculares até o círculo constrói exatamente esse retângulo.)
19. A escolha ingênua é a viga *quadrada* ( $w = d$ ). Calcule sua rigidez e a da viga ótima, e dê o ganho do carpinteiro em porcentagem.
20. Final — os três ofícios da [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , uma frase para cada: geometria (o teorema do espelho), cálculo numérico (a máquina de Newton), otimização (a viga), todos movidos pelo mesmo objeto. E o aviso adiante: o ano 12 acrescenta a convexidade — de que lado da curva fica a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) — para aguçar os três.

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$; $g'(x) = 3x^2 - 12$. Pela definição: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: a [derivada](#def-g11-deriv-derivative) de $x^2$ em $1$ é $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ e $g'(2) = 12 - 12 = 0$: a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é a reta horizontal $y = -16$. Uma [tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontal sinaliza um ponto crítico — aqui um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local, como o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) da questão 5 confirma.

**3.** [Coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2a$ em $(a, a^2)$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** Em $x = 0$: $y = -a^2$: a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) corta o eixo à profundidade $a^2$ abaixo da origem — exatamente tão *abaixo* de zero quanto $P$ está acima dele. Receita: para traçar a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em um ponto de altura $h$, ligue-o ao ponto do eixo situado à profundidade $h$ abaixo da origem. (Nenhuma [derivada](#def-g11-deriv-derivative) é necessária na prancheta.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: positiva em $\intoo{-\infty}{-2}$, negativa em $\intoo{-2}{2}$ e positiva adiante. $g$ cresce até um [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $g(-2) = 16$, cai até um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $g(2) = -16$ e depois cresce.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ e $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: isósceles em $F$, logo os ângulos da base são iguais: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** O raio incidente em $P$ é vertical, portanto paralelo à reta $(TF)$ (o eixo $y$). A [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ corta as duas paralelas, de modo que o ângulo entre o raio e a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) é igual a $\widehat{FTP}$ (ângulos alternos) — que é igual a $\widehat{FPT}$, o ângulo entre $[PF]$ e a [tangente](#def-g11-deriv-tangent). Ângulos iguais dos dois lados da [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $P$.

**9.** Pela lei da reflexão, o raio que chega verticalmente a $P$ sai pela reta que faz o ângulo igual do outro lado — pela questão 8, ao longo de $[PF]$: pelo [foco](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1), qualquer que seja $a$. Ao contrário, a luz nascida em $F$ sai de cada ponto do espelho paralela ao eixo. As antenas coletam, os faróis iluminam: demonstrado.

**10.** $a = 1$: [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} =
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: isósceles, como prometido.

**11.** A [tangente](#def-g11-deriv-tangent) em $x_n$ é $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$; ela cruza $y = 0$ onde $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$; $x_3 = \frac{577}{408}$: as [aproximações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) de $\sqrt2$ de Heron, isto é, a máquina de [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) do [Problema 3.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1). Identidade: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — a receita de Heron *é* o método de Newton aplicado a $x^2 - 2$, dois milênios antes.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3}
\approx 4.6667$; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33}
\approx 4.6417$. Calculadora: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — quatro casas decimais corretas em dois passos.

**14.** $f'(2) = 0$: a [tangente](#def-g11-deriv-tangent) no ponto de partida é horizontal (questão 2) e nunca cruza o eixo — a fórmula divide por zero. Ressalva: comece Newton longe dos pontos críticos (e, mais geralmente, perto o bastante da [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) que se procura).

**15.** A bisseção ganha um dígito binário por passo; Newton praticamente *dobra* o número de dígitos corretos a cada passo ($1 \to 3 \to 6$ aqui). Quando cada passo é caro — milhões de parâmetros, navegação em tempo real —, dobrar vence avançar a passinhos, e é por isso que a reta [tangente](#def-g11-deriv-tangent) roda dentro de tanto silício.

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, logo $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$, para $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ em $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ($S' > 0$ antes e $< 0$ depois: um [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema)). Então $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, logo $d = w\sqrt2$: a altura é a largura vezes $\sqrt2$ — a razão do carpinteiro (e a construção do diâmetro dividido em terços a entrega com um compasso, sem álgebra na obra).

**19.** Viga quadrada: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, rigidez $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. Viga ótima: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. Ganho: cerca de $8.9\,\%$ mais rígida a partir da mesma tora — a [derivada](#def-g11-deriv-derivative) paga a serraria.

**20.** Geometria: os ângulos iguais da [tangente](#def-g11-deriv-tangent) transformaram um paraboloide em coletor de luz. Cálculo numérico: escorregar pelas [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) resolve [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) dobrando os dígitos. Otimização: uma [derivada](#def-g11-deriv-derivative) nula encontrou o retângulo mais forte da tora. Um objeto, três ofícios — e a convexidade do ano 12 dirá, além disso, de que lado de cada [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a curva se encontra.