--- title: "Sequências: um primeiro curso" book: "Matemática do ensino médio" subject: math language: pt chapter: 13 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso --- # Capítulo 13 — Sequências: um primeiro curso Uma [sequência](#def-g11-seq-sequence) é uma lista de números produzida por uma regra: os saldos sucessivos de uma poupança, o tamanho de uma população ano após ano. Este capítulo estuda as duas famílias que dominam as aplicações — as progressões *aritméticas*, que crescem por passos iguais, e as progressões *geométricas*, que crescem por razões iguais. A teoria rigorosa dos limites é desenvolvida no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#ch-g12-seq). ## 13.1 Definir uma sequência **Definição 13.1 (Sequência).** Uma *sequência* $(u_n)$ associa a cada inteiro $n \geq 0$ (ou $n \geq 1$) um [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $u_n$, seu *termo de índice $n$*. Uma sequência pode ser dada - de forma *explícita* , por uma fórmula de $u_n$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de $n$ : por exemplo, $u_n = n^2 + 1$ ; - de forma *recursiva* , pelo primeiro termo e por uma regra para passar de cada termo ao seguinte: por exemplo, $u_0 = 3$ e $u_{n+1} = 2u_n - 1$ . **Exemplo 13.2.** Para $u_n = n^2 + 1$: $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$ e $u_{10} = 101$ diretamente. Para $u_0 = 3$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$: $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$ — cada termo precisa do anterior; chegar a $u_{10}$ exige dez passos (ou uma fórmula geral, veja o [Exercício 13.11](#exo-g11-seq-11)). ## 13.2 Progressões aritméticas **Definição 13.3 (Progressão aritmética).** Uma [sequência](#def-g11-seq-sequence) é uma *progressão aritmética* de *razão* $d$ se cada termo é obtido do anterior somando-se $d$: $$ u_{n+1} = u_n + d \quad \text{para todo } n. $$ Equivalentemente: a diferença $u_{n+1} - u_n$ é constante, igual a $d$. **Teorema 13.4 (Termo geral).** Se $(u_n)$ é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) de primeiro termo $u_0$ e razão $d$, então $$ u_n = u_0 + n\,d \quad \text{para todo } n \geq 0, \qquad\text{e, mais geralmente, } u_n = u_p + (n - p)\,d . $$ **Demonstração.** Para ir de $u_0$ a $u_n$, a regra “some $d$” é aplicada $n$ vezes: um passo dá $u_1 = u_0 + d$, dois passos dão $u_2 = u_0 + 2d$ e, após $n$ passos, cada aplicação contribuiu com um $d$, de modo que $u_n = u_0 + nd$. (Esse “e assim por diante” é tornado rigoroso por indução no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#ch-g12-seq).) A fórmula geral segue contando os $n - p$ passos de $u_p$ até $u_n$. ∎ **Teorema 13.5 (Soma de inteiros consecutivos).** Para todo inteiro $n \geq 1$: $$ 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}. $$ Mais geralmente, uma soma de termos consecutivos de uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) vale $$ (\text{número de termos}) \times \frac{\text{primeiro termo} + \text{último termo}}{2}. $$ **Demonstração.** Escreva a soma $S$ duas vezes, a segunda em ordem inversa, e some coluna a coluna: $$ \begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array} $$ Há $n$ colunas, cada uma somando $n + 1$, logo $2S = n(n+1)$. Para uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) qualquer o mesmo emparelhamento funciona: primeiro $+$ último $=$ segundo $+$ penúltimo $= \dots$, porque avançar um passo na ponta esquerda ($+d$) é compensado por recuar um passo na ponta direita ($-d$). ∎ **Exemplo 13.6.** $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$. A soma dos ímpares $1 + 3 + \dots + 99$ ($50$ termos) é $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$. ## 13.3 Progressões geométricas **Definição 13.7 (Progressão geométrica).** Uma [sequência](#def-g11-seq-sequence) é uma *progressão geométrica* de *razão* $q \neq 0$ se cada termo é obtido do anterior multiplicando-se por $q$: $$ u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{para todo } n. $$ Equivalentemente, quando nenhum termo se anula: o quociente $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ é constante, igual a $q$. **Teorema 13.8 (Termo geral).** Se $(u_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de primeiro termo $u_0$ e razão $q$, então $$ u_n = u_0\, q^n \quad \text{para todo } n \geq 0, \qquad\text{e, mais geralmente, } u_n = u_p\, q^{\,n-p} . $$ **Demonstração.** Mesma contagem de passos do [Teorema 13.4](#thm-g11-seq-arithgeneral): de $u_0$ a $u_n$, a regra “multiplique por $q$” é aplicada $n$ vezes, contribuindo com um fator $q^n$. ∎ **Teorema 13.9 (Soma geométrica).** Para todo real $q \neq 1$ e todo inteiro $n \geq 0$: $$ 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}. $$ **Demonstração.** Seja $S = 1 + q + \dots + q^n$. Multiplique por $q$: $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. Subtraia: $$ S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1}, $$ porque cada termo intermediário aparece uma vez em cada soma e se cancela. Logo $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ e, dividindo por $1 - q \neq 0$, obtém-se a fórmula. ∎ **Exemplo 13.10.** $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$: dobrar grãos de arroz nas casas de um tabuleiro de xadrez esgota qualquer celeiro muito antes da $64^{\text{a}}$ casa, em que o total é $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$. ![Passos iguais contra razões iguais: uma progressão aritmética (u_n+1 = u_n + 0.9, em azul) segue uma reta; uma progressão geométrica (u_n+1 = 1.2\,u_n, em vermelho) segue uma curva exponencial que acaba ultrapassando-a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-seq/fig-4746cbc49984.svg) *Passos iguais contra razões iguais: uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) ($u_{n+1} = u_n + 0.9$, em azul) segue uma reta; uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) ($u_{n+1} = 1.2\,u_n$, em vermelho) segue uma curva exponencial que acaba ultrapassando-a.* **Método 13.11 (Reconhecer o tipo de uma sequência).** Calcule $u_{n+1} - u_n$ e simplifique. Se o resultado for uma constante $d$, a [sequência](#def-g11-seq-sequence) é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic). Caso contrário, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (termos não nulos) e simplifique: uma constante $q$ indica [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric). Se nenhum dos dois for constante, a [sequência](#def-g11-seq-sequence) não é de nenhum dos dois tipos — nunca conclua apenas a partir dos primeiros termos. **Exemplo 13.12.** Para $u_n = 3 \times 5^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ para todo $n$: [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $5$. Para $u_n = n^2$: $u_1 - u_0 = 1$, mas $u_2 - u_1 = 3$, e $\frac{u_1}{u_0}$ nem sequer está definido — não é aritmética nem geométrica. ## 13.4 Monotonicidade **Definição 13.13 (Sequência monótona).** Uma [sequência](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ é *[crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone)* se $u_{n+1} \geq u_n$ para todo $n$, e *[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)* se $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$. **Método 13.14 (Estudar a monotonicidade).** Estude o sinal de $u_{n+1} - u_n$. Para [sequências](#def-g11-seq-sequence) de termos positivos, pode-se, em vez disso, comparar $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ com $1$. **Exemplo 13.15.** Uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) quando $d \geq 0$ ($u_{n+1} - u_n = d$) e [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) quando $d \leq 0$. Uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) com $u_0 > 0$ e $q > 1$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone): $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$; com $u_0 > 0$ e $0 < q < 1$ ela é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). ## 13.5 Comportamento a longo prazo, informalmente O que acontece com $u_n$ quando $n$ fica muito grande? Para uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $d > 0$, os termos $u_0 + nd$ acabam ultrapassando qualquer número fixado. Para uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) com $0 < q < 1$, os termos $u_0 q^n$ encolhem rumo a $0$: multiplicar repetidamente por $0.9$, digamos, corrói qualquer valor inicial. E, para $q > 1$, os termos explodem, como no [Exemplo 13.10](#ex-g11-seq-chessboard). **Observação 13.16.** Essas afirmações podem ser tornadas perfeitamente precisas — “os termos acabam ficando a qualquer distância dada de $0$” — e demonstradas. Essa é a teoria dos *limites*, o tema de abertura do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#ch-g12-seq). ## 13.6 Exercícios **Exercício 13.1 ★.** Para cada [sequência](#def-g11-seq-sequence), calcule $u_1$, $u_2$, $u_3$: $$ u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n . $$ **Solução de Exercício 13.1.** $u_n = \frac{n}{n+1}$: $u_1 = \frac12$, $u_2 = \frac23$, $u_3 = \frac34$. $u_0 = 5$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$: $u_1 = 13$, $u_2 = 37$, $u_3 = 109$. $u_n = (-1)^n n$: $u_1 = -1$, $u_2 = 2$, $u_3 = -3$. **Exercício 13.2 ★.** $(u_n)$ é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $u_0 = 7$ e $d = -3$. Calcule $u_{10}$ e $u_{25}$. $(v_n)$ é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $v_3 = 11$ e $v_8 = 26$. Encontre a razão e $v_0$. **Solução de Exercício 13.2.** $u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ e $u_{25} = 7 - 75 = -68$. Para $(v_n)$: $v_8 = v_3 + 5d$ dá $26 = 11 + 5d$, logo $d = 3$; então $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$. **Exercício 13.3 ★.** $(u_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) com $u_0 = 5$ e $q = 2$. Calcule $u_8$. $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de termos positivos, com $v_2 = 12$ e $v_4 = 48$. Encontre a razão e $v_0$. **Solução de Exercício 13.3.** $u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$. Para $(v_n)$: $v_4 = v_2\, q^2$ dá $48 = 12 q^2$, logo $q^2 = 4$ e $q = 2$ (os termos são positivos). Então $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$. **Exercício 13.4 ★.** Calcule $$ 1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} . $$ **Solução de Exercício 13.4.** $1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$. $4 + 7 + \dots + 61$ é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $d = 3$ e $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ termos: soma $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$. $1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ é geométrica com $q = \frac12$ e $11$ termos: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$. **Exercício 13.5 ★.** Determine se cada [sequência](#def-g11-seq-sequence) é uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic), uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) ou nenhuma das duas: $$ u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n . $$ **Solução de Exercício 13.5.** $u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$: [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $d = 4$. $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$: [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) com $q = \frac23$. $w_0 = 0$, $w_1 = 2$, $w_2 = 6$: as diferenças $2$ e $4$ são distintas, logo não é aritmética; $\frac{w_1}{w_0}$ nem sequer está definido, e os quocientes $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$: nenhuma das duas. **Exercício 13.6 ★★.** Um teatro tem $20$ fileiras: $16$ poltronas na primeira fileira, e cada fileira tem $2$ poltronas a mais que a anterior. Quantas poltronas há na última fileira? E no teatro inteiro? **Solução de Exercício 13.6.** Os números de poltronas por fileira formam uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic): primeiro termo $16$, razão $2$. A última ($20^{\text{a}}$) fileira tem $16 + 19 \times 2 = 54$ poltronas. O total é $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ poltronas. **Exercício 13.7 ★★.** Uma população de bactérias dobra a cada hora; ao meio-dia há $500$ bactérias. Quantas há às 20h? Depois de quantas horas inteiras a população ultrapassa um milhão pela primeira vez? (Resolva testando potências sucessivas de $2$.) **Solução de Exercício 13.7.** Após $n$ horas a população é $500 \times 2^n$. Às 20h, $n = 8$: $500 \times 256 = 128\,000$ bactérias. Precisamos de $500 \times 2^n > 10^6$, isto é, $2^n > 2000$: como $2^{10} = 1024$ e $2^{11} = 2048$, a população ultrapassa um milhão pela primeira vez após $11$ horas inteiras, às 23h. **Exercício 13.8 ★★.** Todo mês, um poupador deposita $100$ euros em uma conta que paga $0.2\%$ de juros mensais sobre o saldo existente (os juros são creditados logo antes do depósito). Seja $c_n$ o saldo imediatamente após o $n$-ésimo depósito, de modo que $c_1 = 100$ e $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$. Calcule $c_2$ e $c_3$ e explique por que $(c_n)$ não é [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) nem geométrica. **Solução de Exercício 13.8.** $c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ e $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$. As diferenças $c_2 - c_1 = 100.20$ e $c_3 - c_2 \approx 100.40$ não são iguais, logo $(c_n)$ não é aritmética; os quocientes $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ e $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ também não são iguais, logo não é geométrica. (Recorrências mistas do tipo “multiplique e some”, como esta, resolvem-se com o truque da [sequência](#def-g11-seq-sequence) auxiliar do [Exercício 13.11](#exo-g11-seq-11).) **Exercício 13.9 ★★.** Estude a monotonicidade das [sequências](#def-g11-seq-sequence) $$ u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1), $$ em que $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. (Para $(v_n)$, compare $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ com $1$.) **Solução de Exercício 13.9.** $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$: negativa para $n \leq 3$ e positiva para $n \geq 4$. Assim, $(u_n)$ decresce até $u_4 = 16 - 32 = -16$ e depois cresce: não é monótona. $(v_n)$ tem termos positivos e $$ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}, $$ que é $> 1$ para $n \leq 1$, $= 1$ para $n = 2$ e $< 1$ para $n \geq 3$: a [sequência](#def-g11-seq-sequence) cresce até $v_2 = v_3 = \frac92$ e depois decresce. **Exercício 13.10 ★★.** A soma dos $n$ primeiros termos de uma [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) com $u_0 = 3$ e $d = 4$ vale $903$. Encontre $n$. (Monte uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do segundo grau em $n$ e use o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad).) **Solução de Exercício 13.10.** Os $n$ primeiros termos são $u_0, \dots, u_{n-1}$, com $u_0 = 3$ e $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. Sua soma é $$ n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903, $$ logo $2n^2 + n - 903 = 0$. Aqui $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$, e $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (a [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) negativa é descartada). Verificação: $21 \times 43 = 903$. **Exercício 13.11 ★★★.** Sejam $u_0 = 3$ e $u_{n+1} = 2u_n - 1$. 1. Calcule $u_1, u_2, u_3$ e conjecture uma fórmula para $u_n$ . 2. Seja $v_n = u_n - 1$ . Mostre que $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) e dê sua razão e seu primeiro termo. 3. Deduza uma fórmula explícita para $u_n$ e verifique sua conjectura. **Solução de Exercício 13.11.** *1.* $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$: cada termo é uma unidade a mais que $4, 8, 16$, o que sugere $u_n = 2^{n+1} + 1$. *2.* Com $v_n = u_n - 1$: $$ v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n, $$ de modo que $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $2$ e primeiro termo $v_0 = u_0 - 1 = 2$. *3.* Logo $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ e $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$, o que confirma a conjectura. (O $1$ subtraído em $v_n$ é o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) de $x \mapsto 2x - 1$; a mesma ideia reaparece para $u_{n+1} = au_n + b$ no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#ch-g12-seq).) ## 13.7 Problema: A torre de Brama e os coelhos de Fibonacci **Problema 13.1.** Problema de fim de semana — duas recorrências lendárias: a torre que acaba com o mundo, a sequência que cresce como ouro e o truque auxiliar que domestica empréstimos Duas [sequências](#def-g11-seq-sequence) reinam no folclore da matemática. Uma conta os movimentos da torre de Brama — sessenta e quatro discos de ouro cuja transferência, diz a lenda, acabará com o mundo. A outra conta os coelhos de Fibonacci e esconde a razão áurea. Nenhuma das duas é aritmética, nenhuma é geométrica — e ambas se rendem às armas deste capítulo: recorrências, somas geométricas ([Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum)) e o truque da [sequência](#def-g11-seq-sequence) auxiliar do [Exercício 13.11](#exo-g11-seq-11), que também calcula o seu financiamento. **Parte I — A torre de Brama.** O quebra-cabeça: $n$ discos de tamanhos [decrescentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) estão empilhados no pino A; leve a pilha inteira para o pino C, um disco por vez, sem nunca colocar um disco maior sobre um menor (o pino B pode ajudar). Seja $h_n$ o número [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de movimentos. 1. Jogue (com moedas) e registre $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ . 2. Explique a estratégia por trás da recorrência $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : o que precisa acontecer antes e depois de o maior disco se mover? 3. Resolva a recorrência com o truque do [Exercício 13.11](#exo-g11-seq-11) : ponha $v_n = h_n + 1$ , mostre que $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) e conclua que $h_n = 2^n - 1$ . 4. A torre da lenda tem $64$ discos, e os monges movem um disco por segundo. Usando $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estime o tempo de transferência em anos (um ano tem cerca de $3 \times 10^7$ segundos; compare com o [Exemplo 13.10](#ex-g11-seq-chessboard) , o mesmo gigante em outra história). Devemos nos preocupar? 5. Por que nenhuma estratégia consegue menos que $2^n - 1$ movimentos? Argumente que *qualquer* solução satisfaz $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : o que tem de ser verdade sobre os $n$ discos de cima logo antes e logo depois do movimento do disco de baixo? **Parte II — Fibonacci.** Defina $F_1 = F_2 = 1$ e $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (cada termo é a soma dos dois anteriores — a regra de contagem de ritmos do volume do ensino fundamental, agora com seu nome europeu). 6. Liste $F_1$ até $F_{12}$ . 7. Mostre que $(F_n)$ não é [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) nem geométrica, mas que é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone) a partir de $n = 2$ ( [Método 13.14](#met-g11-seq-monotonicity) e a recorrência). 8. Demonstre a identidade das somas $$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$ por telescopagem: escreva cada $F_k$ como $F_{k+2} - F_{k+1}$ e veja a soma desabar. Verifique-a para $n = 6$. 9. Demonstre a identidade dos quadrados $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , telescopando com $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Verifique para $n = 4$ . ( [Imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) : quadrados de lados $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ ladrilham um retângulo — o esqueleto da famosa espiral de Fibonacci.) 10. A identidade de Cassini afirma que $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Verifique-a para $n = 4, 5, 6$ — e reconheça o motor do truque do quadrado que some, jogado no problema sobre áreas do volume do ensino fundamental. 11. Mostre, a partir da recorrência, que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci pelo menos dobra a cada dois passos — ela cresce pelo menos tão depressa quanto uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $\sqrt2$ . 12. Calcule as razões $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ para $n = 3$ até $10$ (três casas decimais). Admitindo que elas se acomodem em um limite $L$ , passe a relação $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ ao limite e resolva: que número do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1) os coelhos veneram? **Parte III — O truque auxiliar, no banco.** 13. Generalize o [Exercício 13.11](#exo-g11-seq-11) : para $u_{n+1} = a\,u_n + b$ com $a \neq 1$ , ponha $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) ). Mostre que $v_n = u_n - \ell$ é uma [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $a$ e conclua que $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ . 14. Um empréstimo: $10\,000$ euros a $1\,\%$ de juros ao mês, pagos $300$ euros por mês, de modo que a dívida obedece a $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Aplique a questão 13 (o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) primeiro!) para obter uma fórmula explícita de $d_n$ . 15. Com uma calculadora, encontre o primeiro mês em que a dívida se extingue e o total pago. Quanto custou o empréstimo em si? 16. Uma cidade de $50\,000$ habitantes cresce $2\,\%$ ao ano e ainda recebe $1\,000$ recém-chegados: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Dê a fórmula explícita e a população após $10$ anos. **Parte IV — As duas famílias reais.** 17. Calcule $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ ( [Teorema 13.5](#thm-g11-seq-intsum) — a soma do pequeno Gauss, do volume do ensino fundamental, agora oficial) e $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ ( [Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum) ). 18. Calcule a soma da [progressão aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) $7, 12, 17, \dots, 502$ (quantos termos?). 19. Plano de poupança: $100$ euros depositados por mês, rendendo $0.5\,\%$ ao mês; após o $n$ -ésimo depósito o saldo é $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calcule o saldo após $5$ anos ( $n = 60$ ). 20. Final — o kit do domador de [sequências](#def-g11-seq-sequence) : descrições explícitas contra recursivas; as duas famílias reais e suas fórmulas de soma; a [sequência](#def-g11-seq-sequence) auxiliar que transforma recorrências afins em geométricas; e Fibonacci, primeira cidadã fora das duas famílias, domada hoje por identidades e à espera das matrizes (ano 12) e dos limites para a captura completa. Uma frase para cada. **Solução de Problema 13.1.** **1.** $h_1 = 1$, $h_2 = 3$, $h_3 = 7$. **2.** Para mover o maior disco, os $n$ discos que estão sobre ele precisam antes migrar para o pino livre ($h_n$ movimentos); o disco grande atravessa ($1$ movimento); os $n$ discos precisam então subir de volta sobre ele ($h_n$ movimentos): $h_{n+1} = 2h_n + 1$. **3.** $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$: [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $2$ com $v_1 = 2$, logo $v_n = 2^n$ e $h_n = 2^n - 1$. **4.** $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ segundos; dividindo por $3 \times 10^7$ segundos por ano: cerca de $6 \times 10^{11}$ anos — seiscentos bilhões de anos, quarenta vezes a idade do universo. Os monges podem fazer pausas para o café. **5.** Em qualquer solução válida, considere o primeiro movimento do disco de baixo: nesse instante os outros $n$ discos têm de estar todos no único pino restante (no mínimo $h_n$ movimentos para levá-los até lá) e, depois do último movimento do disco de baixo, todos precisam voltar sobre ele (no mínimo mais $h_n$): qualquer solução precisa de pelo menos $2h_n + 1$ movimentos. A recorrência é piso e teto ao mesmo tempo: $2^n - 1$ é ótimo. **6.** $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$. **7.** Não é aritmética ($2 - 1 = 1$, mas $3 - 2 = 1$ e $5 - 3 = 2$: as diferenças mudam); não é geométrica ($\frac21 = 2$, mas $\frac32 = 1.5$). [Crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone): para $n \geq 2$, $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$. **8.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, logo $$ \sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 . $$ Para $n = 6$: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$. **9.** $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$; a soma telescopa até $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (com $F_0 = 0$): a soma dos quadrados é $F_n F_{n+1}$. Para $n = 4$: $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$. **10.** $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$: alternando $\pm 1$. Essa diferença de uma unidade entre $F_{n+1} F_{n-1}$ e $F_n^2$ é exatamente o quadradinho ganho ou perdido do mágico: recortar um quadrado $F_n \times F_n$ em peças remontadas como um retângulo $F_{n+1} \times F_{n-1}$ tem de criar ou engolir uma unidade — a fresta. **11.** $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (a [sequência](#def-g11-seq-sequence) é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone)): a cada dois índices, pelo menos uma duplicação — crescimento pelo menos geométrico, de razão $\sqrt2$ por índice. **12.** $1.5$; $1.667$; $1.6$; $1.625$; $1.615$; $1.619$; $1.618$; $1.618$. Se $r_n \to L$: de $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, dividindo por $F_{n+1}$, $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$, logo $L = 1 + \frac1L$, isto é, $L^2 = L + 1$: $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$, a razão áurea do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1). Os coelhos multiplicam-se em ouro. **13.** $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$; como $\ell = a\ell + b$, isso é $a(u_n - \ell) = a v_n$: [progressão geométrica](#def-g11-seq-geometric) de razão $a$. Logo $v_n = a^n v_0$ e $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$. **14.** [Ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1): $\ell = 1.01\ell - 300$ dá $\ell = 30\,000$. Assim, $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$. **15.** $d_n \leq 0$ exige $1.01^n \geq 1.5$: $1.01^{40} \approx 1.489$ e $1.01^{41} \approx 1.504$: a $41^{\text{a}}$ prestação liquida a dívida (e é um pouco menor que $300$). Total pago: pouco menos de $41 \times 300 = 12\,300$ euros — os $10\,000$ emprestados custaram cerca de $2\,300$ euros de juros. **16.** [Ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$, logo $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$. Após $10$ anos: $1.02^{10} \approx 1.219$: $p_{10} \approx 71\,900$ habitantes. **17.** $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$; e $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$. **18.** De $7$ até $502$ em passos de $5$: $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ termos; soma $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$. **19.** Saldo $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1} {1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euros — dos quais $6\,000$ depositados e cerca de $977$ rendidos: as somas geométricas são a língua materna do banco. **20.** As fórmulas explícitas respondem na hora “quanto vale $u_{1000}$”; as recorrências descrevem como os sistemas de fato evoluem — a arte é converter as segundas nas primeiras. As progressões aritméticas somam, as geométricas multiplicam, e cada família tem sua fórmula de soma (o emparelhamento de Gauss; o truque da duplicação). O truque do [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) com [sequência](#def-g11-seq-sequence) auxiliar converte toda recorrência afim em uma geométrica — empréstimos, populações e a torre caíram todos diante dele. Fibonacci não obedece a nenhuma das famílias e, no entanto, identidades telescópicas capturaram suas somas e seus quadrados; seu retrato completo (uma fórmula exata, o limite áureo) aguarda ferramentas mais fortes.