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title: "Trigonometria: o círculo trigonométrico"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico
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# Capítulo 14 — Trigonometria: o círculo trigonométrico

A trigonometria começa nos triângulos retângulos, mas sua verdadeira casa é o *círculo trigonométrico*, onde o [cosseno](#def-g11-trigo-cossin) e o [seno](#def-g11-trigo-cossin) passam a ser funções de um [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) qualquer. Este capítulo instala o [radiano](#def-g11-trigo-radian), o enrolamento da reta real em torno do círculo, os valores exatos que se devem saber de cor e as simetrias que geram todas as identidades clássicas. O estudo de $\cos$ e $\sin$ como funções — variação, [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-derivative) — é feito no [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#ch-g12-trigo).

## 14.1 Radianos e o enrolamento

**Definição 14.1 (Radiano).**

Seja $\mathcal C$ o círculo de raio $1$ centrado na origem $O$, e seja $I(1, 0)$. A medida em *radianos* de um ângulo central de $\mathcal C$ é o comprimento do arco que ele recorta sobre $\mathcal C$. Como o círculo completo tem comprimento $2\pi$:

$$
360^\circ = 2\pi \text{ rad},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ rad},
\qquad
1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**Método 14.2 (Converter).**

Graus e [radianos](#def-g11-trigo-radian) são proporcionais: multiplique por $\frac{\pi}{180}$ para ir de graus a [radianos](#def-g11-trigo-radian) e por $\frac{180}{\pi}$ no sentido inverso. Por exemplo, $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ e $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**Definição 14.3 (Enrolar a reta no círculo).**

A cada [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $t$ associe o ponto $M(t)$ de $\mathcal C$ obtido percorrendo uma distância $\abs t$ ao longo do círculo a partir de $I$, no sentido anti-horário se $t \geq 0$ e no horário se $t < 0$. Como o comprimento do círculo é $2\pi$, os números $t$ e $t + 2k\pi$ ($k \in \Z$) chegam ao mesmo ponto: $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**Exemplo 14.4.**

$M(0) = I$; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$, o topo do círculo; $M(\pi) = (-1, 0)$; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$; e $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} +
2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 Cosseno e seno

**Definição 14.5 (Cosseno e seno).**

Para todo real $t$, o *cosseno* e o *seno* de $t$ são as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do ponto $M(t)$ do círculo trigonométrico:

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![O círculo trigonométrico: o número real t, enrolado no sentido anti-horário a partir de I, chega ao ponto M(t), cujas coordenadas definem t e t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*O círculo trigonométrico: o [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $t$, enrolado no sentido anti-horário a partir de $I$, chega ao ponto $M(t)$, cujas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *definem* $\cos t$ e $\sin t$.*

**Proposição 14.6 (Primeiras propriedades).**

Para todos $t \in \R$ e $k \in \Z$:

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**Demonstração.** $M(t)$ está no círculo de raio $1$, de modo que suas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) estão entre $-1$ e $1$ e satisfazem a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo $x^2 + y^2 = 1$, que é a identidade $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. A periodicidade reenuncia $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([Definição 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**Exemplo 14.7.**

Se $\sin t = \frac35$ e $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (segundo quadrante), então $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, logo $\cos t = \pm\frac45$; no segundo quadrante a [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) é negativa, portanto $\cos t = -\frac45$.

Os valores que se devem saber de cor:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Observação 14.8.**

Um recurso de memória: os [senos](#def-g11-trigo-cossin) se leem $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$, e os [cossenos](#def-g11-trigo-cossin) são a mesma lista ao contrário.

## 14.3 Ângulos associados

**Proposição 14.9 (Ângulos associados).**

Para todo $t \in \R$:

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**Demonstração.** Cada linha exprime uma simetria do círculo.

$M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$: a [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) não muda, a ordenada troca de sinal.

$M(\pi - t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $y$: andar para trás a partir de $\pi$ por $t$ leva ao ponto oposto (na horizontal) ao de andar para a frente a partir de $0$ por $t$. A [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) troca de sinal, a ordenada não muda.

$M(\pi + t)$ é diametralmente oposto a $M(t)$ (meia volta): as duas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) trocam de sinal.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ é o reflexo de $M(t)$ na reta diagonal $y = x$, que troca as duas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). ∎

![Os quatro pontos associados: M(-t) espelha M(t) no eixo x, M(π - t) no eixo y, e M(π + t) é diametralmente oposto. Toda identidade da se lê nesta figura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*Os quatro pontos associados: $M(-t)$ espelha $M(t)$ no eixo $x$, $M(\pi - t)$ no eixo $y$, e $M(\pi + t)$ é diametralmente oposto. Toda identidade da [Proposição 14.9](#prop-g11-trigo-associated) se lê nesta figura.*

**Exemplo 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right)
= -\cos\frac\pi3 = -\frac12$, e $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. A tabela de cinco valores, estendida pelas simetrias, cobre o círculo inteiro.

## 14.4 Resolver equações trigonométricas

**Teorema 14.11 (As equações cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa e sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

Para [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $t$ e $a$:

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**Demonstração.** Dois pontos do círculo trigonométrico têm a mesma [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) exatamente quando são iguais ou reflexos um do outro no eixo $x$; pela [Proposição 14.9](#prop-g11-trigo-associated), o reflexo de $M(a)$ é $M(-a)$. Assim, $\cos t = \cos a$ significa $M(t) = M(a)$ ou $M(t) = M(-a)$, isto é, $t = \pm a$ a menos de um múltiplo de $2\pi$. Analogamente, ordenadas iguais significam pontos iguais ou reflexos no eixo $y$, e o reflexo de $M(a)$ é $M(\pi - a)$. ∎

**Método 14.12 (Resolver cos⁡t=c\cos t = ccost=c em um intervalo).**

1. Encontre *um* ângulo $a$ com $\cos a = c$ , a partir da tabela de valores conhecidos.
2. Escreva as soluções gerais $t = \pm a + 2k\pi$ ( [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. Escolha os inteiros $k$ que caem dentro do [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) pedido e liste as soluções.

Proceda do mesmo modo para $\sin t = c$, com $t = a + 2k\pi$ ou $t = \pi - a + 2k\pi$.

**Exemplo 14.13.**

Resolva $\cos t = \frac12$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$. Uma solução de $\cos a = \frac12$ é $a = \frac{\pi}{3}$. As soluções gerais são $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ e $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. Dentro de $\intoc{-\pi}{\pi}$, só $k = 0$ contribui: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

Resolva $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ em $\intco{0}{2\pi}$. Um ângulo é $a = -\frac\pi4$; as soluções são $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ e $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Em $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{4}$ (de $k = 1$) e $t = \frac{5\pi}{4}$.

![Resolver t = 1/2: a reta vertical x = 1/2 (laranja) corta o círculo trigonométrico em dois pontos, simétricos em relação ao eixo x — daí as duas famílias de soluções t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*Resolver $\cos t = \frac12$: a reta vertical $x = \frac12$ (laranja) corta o círculo trigonométrico em dois pontos, simétricos em relação ao eixo $x$ — daí as duas famílias de soluções $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 Exercícios

**Exercício 14.1 ★.**

Converta para [radianos](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$, $270^\circ$. Converta para graus: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{9}$.

**Solução de Exercício 14.1.**

Para [radianos](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

Para graus: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$, $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$, $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**Exercício 14.2 ★.**

Marque no círculo trigonométrico os pontos $M(t)$ para

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

depois de reduzir cada um a um valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$ módulo $2\pi$.

**Solução de Exercício 14.2.**

$\frac{2\pi}{3}$ e $-\frac{\pi}{4}$ já estão em $\intoc{-\pi}{\pi}$: segundo quadrante e quarto quadrante, respectivamente.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$: segundo quadrante, perto do semieixo $x$ negativo.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$: o topo do círculo, $(0, 1)$.

**Exercício 14.3 ★.**

Usando a tabela e os [ângulos associados](#prop-g11-trigo-associated), dê os valores exatos de

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**Solução de Exercício 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right)
= -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right)
= \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right)
= -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right)
= \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$.

**Exercício 14.4 ★.**

Dado $\cos t = \frac{5}{13}$ com $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$, calcule $\sin t$ exatamente.

**Solução de Exercício 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, logo $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. Em $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (quarto quadrante) a ordenada é negativa: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**Exercício 14.5 ★★.**

Simplifique, para todo real $x$:

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**Solução de Exercício 14.5.**

Usando a [Proposição 14.9](#prop-g11-trigo-associated):

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**Exercício 14.6 ★★.**

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**Solução de Exercício 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$: uma solução é $\frac\pi6$, logo $t = \pm\frac\pi6$ (os deslocamentos de $2k\pi$ saem do [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$: $t = \frac\pi6$ ou $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$: o único ponto de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $-1$ é $M(\pi)$, logo $t = \pi$.

**Exercício 14.7 ★★.**

Resolva em $\intco{0}{2\pi}$:

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**Solução de Exercício 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$: a partir de $a = -\frac\pi3$, as famílias são $-\frac\pi3 + 2k\pi$ e $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$; em $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{4\pi}{3}$ e $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$: $t = \frac\pi2$ e $t = \frac{3\pi}{2}$.

$2\sin t + 1 = 0$ significa $\sin t = -\frac12$: a partir de $a = -\frac\pi6$, em $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{6}$ e $t = \frac{11\pi}{6}$.

**Exercício 14.8 ★★.**

Resolva em $\R$ a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$. (Use o [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) com $a = t$ e discuta as duas famílias de soluções.)

**Solução de Exercício 14.8.**

Pelo [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations), $\cos 2t = \cos t$ significa $2t = t + 2k\pi$ ou $2t = -t + 2k\pi$, isto é, $t = 2k\pi$ ou $t = \frac{2k\pi}{3}$ ($k \in \Z$). A primeira família está contida na segunda (tome $k$ múltiplo de $3$), de modo que o conjunto solução é

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

— no círculo, os três pontos $M(0)$, $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$, $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**Exercício 14.9 ★★.**

Mostre que, para todo real $x$,

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**Solução de Exercício 14.9.**

Expandindo os dois quadrados e usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**Exercício 14.10 ★★.**

Uma roda de raio $30$ cm rola sem deslizar. De que ângulo (em [radianos](#def-g11-trigo-radian) e depois em graus) ela gira quando a bicicleta avança $1.5$ m? Quanto a bicicleta avança durante uma volta completa da roda?

**Solução de Exercício 14.10.**

Rolar sem deslizar significa que o comprimento do arco é igual à distância percorrida: $r\theta = 150$ cm dá $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$. Uma volta completa faz a bicicleta avançar o comprimento do círculo, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, cerca de $1.88$ m.

**Exercício 14.11 ★★★.**

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$ a inequação $\cos t \leq \frac12$. (Esboce o círculo trigonométrico, marque a região em que a [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) é no máximo $\frac12$ e leia o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de valores de $t$.)

**Solução de Exercício 14.11.**

No círculo trigonométrico, os pontos de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) exatamente $\frac12$ são $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. Os pontos de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *no máximo* $\frac12$ formam o arco à esquerda da reta vertical $x = \frac12$, percorrido quando $t$ vai de $\frac\pi3$ até $\pi$, ou de $-\pi$ até $-\frac\pi3$. Logo, em $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(Os extremos $\pm\frac\pi3$ estão incluídos, pois a desigualdade é ampla.)

## 14.6 Problema: A roda-gigante e a maré

**Problema 14.1.**

Problema de fim de semana — o radiano como distância rolada e o círculo trigonométrico como relógio-mestre de todo fenômeno periódico

Uma roda-gigante leva você em torno de um círculo; a maré leva a água do porto para cima e para baixo pelo mesmo círculo matemático. Todo fenômeno periódico — rodas, marés, som, estações — lê seu horário no círculo trigonométrico deste capítulo ([Definição 14.5](#def-g11-trigo-cossin)), e as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do [Método 14.12](#met-g11-trigo-solve) dizem os instantes exatos. Este problema converte, enrola, modela e resolve — e decide de passagem por que os matemáticos medem ângulos em [radianos](#def-g11-trigo-radian).

**Parte I — [Radianos](#def-g11-trigo-radian), a distância rolada.**

1. Converta para [radianos](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; e para graus: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ ( [Método 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. A razão de ser dos [radianos](#def-g11-trigo-radian) : um arco de ângulo $t$ (em [radianos](#def-g11-trigo-radian) ) num círculo de raio $r$ tem comprimento exatamente $r\,t$ . Que arco um ângulo de $2$ [radianos](#def-g11-trigo-radian) recorta num círculo de raio $3$ m? (Nenhum $\pi$ em lugar algum — é exatamente esse o ponto.)
3. Uma roda de raio $30$ cm rola $1$ km sem deslizar. De quantos *[radianos](#def-g11-trigo-radian)* ela girou, e quantas voltas completas isso representa?
4. Marque no círculo trigonométrico e calcule exatamente: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ e $\cos\frac{19\pi}{6}$ (reduza módulo $2\pi$ primeiro; [Proposição 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. Um ângulo $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ satisfaz $\sin t = \frac35$ . Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ e o quadrante, encontre $\cos t$ e $\tan t$ .

**Parte II — A roda-gigante.** Uma roda-gigante tem raio $60$ m, o eixo a $65$ m do chão, e dá uma volta a cada $30$ minutos. Você embarca no ponto mais baixo no instante $t = 0$ (em minutos), de modo que sua altura obedece a

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. Justifique a fórmula: confira o ângulo girado após $t$ minutos, a altura em $t = 0$ e explique o sinal de menos.
7. Calcule sua altura em $t = 7.5$ , $t = 15$ e $t = 20$ minutos (valores exatos).
8. Em que instante você chega *pela primeira vez* a $95$ m? (Resolva $h(t) = 95$ com o [Método 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. Em que [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de tempo do passeio você fica a pelo menos $95$ m de altura — e por quanto tempo ao todo? (Compare com o [Exercício 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. Onde a altura muda *mais depressa* ? Compare a subida durante o primeiro minuto ( $h(1) - h(0)$ ) com a subida entre os minutos $7$ e $8$ , e formule a observação (a ferramenta que a torna exata — a [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-derivative) da senoide — chega no ano 12).
11. Vez do engenheiro: projete a fórmula da altura de uma roda com altura máxima $40$ m, altura mínima $4$ m e período $12$ minutos, embarcando embaixo em $t = 0$ .

**Parte III — A maré e as simetrias do círculo.** Em um porto, a profundidade da água em metros, $t$ horas após a meia-noite, é

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. Dê as profundidades máxima e mínima, os instantes em que elas ocorrem pela primeira vez e o período da maré.
13. Um navio cargueiro precisa de $8.5$ m de água. Resolva $d(t) \geq 8.5$ em $\intco{0}{12}$ : em que janela ele pode entrar e qual é a duração dessa janela? Quando a janela seguinte se abre?
14. Rededuza duas identidades de [ângulos associados](#prop-g11-trigo-associated) diretamente das simetrias do círculo — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (espelho no eixo vertical) e $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (meia volta) — e enuncie a identidade complementar $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. Paridade (vocabulário do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#pb-g11-func-1) ): classifique $\sin$ , $\cos$ e $t \mapsto \sin t + t^3$ como pares ou ímpares, com demonstrações de uma linha a partir do círculo.
16. Resolva em $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 =  0$ . (Um [trinômio do segundo grau](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-quadratic) disfarçado: fatore-o como no [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) e depois leia o círculo.)

**Parte IV — O ângulo do matemático.**

17. Quantos graus tem $1$ [radiano](#def-g11-trigo-radian) ? E uma armadilha da calculadora: qual é maior, $\sin(1)$ (modo [radiano](#def-g11-trigo-radian) ) ou $\sin(1^\circ)$ — e por que fator, mais ou menos? Que moral fica para a configuração da calculadora?
18. Resolva $\cos t = \sin t$ em $\intco{0}{2\pi}$ , usando o círculo (onde [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) e ordenada são iguais?).
19. Para ângulos pequenos, o arco e seu [seno](#def-g11-trigo-cossin) quase coincidem: compare $\sin(0.1)$ com $0.1$ (cinco casas decimais) e dê o erro relativo. Essa “ [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) de ângulos pequenos” governa navios e pêndulos; o teorema por trás dela ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) é uma estrela do capítulo de limites do ano 12.
20. Final — o círculo trigonométrico como relógio-mestre, uma frase por item: os [radianos](#def-g11-trigo-radian) transformam ângulos em números honestos (arco $=$ raio $\times$ ângulo); [cosseno](#def-g11-trigo-cossin) e [seno](#def-g11-trigo-cossin) são a sombra e a altura do ponteiro do relógio; as simetrias do círculo são as identidades; resolver $\cos t = c$ lê horários no relógio; e todo fenômeno periódico — roda, maré, som — é esse relógio fantasiado.

**Solução de Problema 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$; $135^\circ =
\frac{3\pi}{4}$; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. E $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** Comprimento $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Os [radianos](#def-g11-trigo-radian) fazem do comprimento do arco um produto simples — os graus arrastariam um $\frac{\pi}{180}$ para dentro de cada fórmula.

**3.** [Radianos](#def-g11-trigo-radian) girados $= \frac{\text{distância}}
{\text{raio}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; divididos por $2\pi$: cerca de $530$ voltas completas.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, logo $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$; no segundo quadrante o [cosseno](#def-g11-trigo-cossin) é negativo: $\cos t = -\frac45$, e $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** Em $t$ minutos a roda gira $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. Em $t = 0$: $h = 65 - 60 = 5$ m — a plataforma de embarque, embaixo (altura do eixo menos o raio). O sinal de menos coloca você *abaixo* do eixo quando o ângulo girado é $0$.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (altura do eixo); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (o topo); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

**8.** $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ dá $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$: primeira solução $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$, isto é, $t = 10$ minutos.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ para $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$, isto é, $t \in \intcc{10}{20}$: dez minutos do passeio acima de $95$ m, simétricos em torno do cume em $t = 15$.

**10.** Primeiro minuto:

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ m}.
$$

Entre os minutos $7$ e $8$:

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ m}
$$

— quase dez vezes mais. A altura muda mais depressa ao passar pelo nível do eixo e quase estagna perto do fundo e do topo: a senoide é íngreme no meio e plana nos extremos.

**11.** Raio $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, eixo a $4 + 18 = 22$ m, período $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [Máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ m quando $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$: pela primeira vez em $t = 3$ (3h); [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $4$ m pela primeira vez em $t = 9$; período $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ para $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$: $t \in \intcc{1}{5}$ — uma janela de quatro horas, de 1h às 5h, reabrindo um período depois, $t \in \intcc{13}{17}$ (das 13h às 17h).

**14.** O espelho no eixo vertical leva o ponto de ângulo $t$ ao ponto de ângulo $\pi - t$, preservando a ordenada: $\sin(\pi - t) = \sin t$. A meia volta em torno do centro leva $t$ a $\pi + t$, trocando o sinal das duas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $\cos(\pi + t) = -\cos t$. E o espelho na diagonal troca [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) e ordenada: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — o “co” dos ângulos [complementares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations).

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$: ímpar (simetria do [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) por meia volta); $\cos(-t) = \cos t$: par (espelho). E $\sin t + t^3$ é uma soma de duas [funções ímpares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-parity): ímpar.

**16.** Fatorando: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$: $\sin t = 1$ dá $t = \frac\pi2$; $\sin t = -\frac12$ dá $t = \frac{7\pi}{6}$ e $t = \frac{11\pi}{6}$. Três soluções no círculo.

**17.** $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. Assim, $\sin(1) \approx 0.841$, enquanto $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$: um fator de quase $50$. Moral: confira a indicação de modo antes de confiar em qualquer resultado trigonométrico da calculadora.

**18.** [Abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) igual a ordenada na diagonal: $t = \frac\pi4$ e $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ contra $0.1$: erro relativo de cerca de $0.17\,\%$. Para ângulos pequenos a corda abraça o arco — e o limite $\frac{\sin t}{t} \to 1$ do ano 12 é exatamente essa observação transformada em teorema.

**20.** [Radianos](#def-g11-trigo-radian): ângulo $=$ arco no círculo de raio $1$, de modo que ângulos se calculam como comprimentos. [Cosseno](#def-g11-trigo-cossin) e [seno](#def-g11-trigo-cossin): as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do ponteiro do relógio — a sombra no chão e a altura na parede. Simetrias do círculo: o catálogo inteiro de identidades, lido em espelhos e meias voltas. [Equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\cos t = c$: a tabela de horários do relógio, com o círculo exibindo todas as soluções de uma vez. Fantasias: a roda vestiu $65 - 60\cos$, a maré vestiu $7 + 3\sin$ — mesmo relógio, mesma matemática.