---
title: "Vetores e retas no plano"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano
---

# Capítulo 15 — Vetores e retas no plano

Os [vetores](#def-g11-vect-vector) codificam deslocamentos; as retas são suas trajetórias. A principal ferramenta nova deste capítulo é o *[determinante](#def-g11-vect-det)*, um único número que decide se dois [vetores](#def-g11-vect-vector) são [colineares](#def-g11-vect-collinear) — e, a partir daí, produz [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de retas e resolve por puro cálculo as questões de colinearidade e paralelismo. As mesmas ideias se estendem ao espaço no [Capítulo 31](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/31-vetores-retas-e-planos-no-espaco#ch-g12-space).

## 15.1 Vetores: uma retomada

**Definição 15.1 (Vetor, coordenadas).**

Um *vetor* $\vec u$ representa um deslocamento: todas as setas de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. Em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), $\vec u\,(x, y)$ registra o deslocamento ($x$ na horizontal, $y$ na vertical); para pontos $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$,

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

Os vetores somam-se coordenada a coordenada, e $\lambda\vec u$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$.

**Proposição 15.2 (Ponto médio).**

O [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ do segmento $[AB]$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**Demonstração.** $M$ é caracterizado por $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$: coordenada a coordenada, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, logo $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, e analogamente para $y_M$. ∎

## 15.2 Colinearidade e o determinante

**Definição 15.3 (Vetores colineares).**

Dois [vetores](#def-g11-vect-vector) são *colineares* se um é múltiplo escalar do outro: $\vec v = \lambda \vec u$ para algum $\lambda \in \R$ (ou $\vec u = \vec 0$). Geometricamente: eles têm a mesma direção, ou um deles é nulo.

**Definição 15.4 (Determinante).**

O *determinante* de $\vec u\,(x, y)$ e $\vec v\,(x', y')$ é

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**Teorema 15.5 (Critério de colinearidade).**

Dois [vetores](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ e $\vec v$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear) se, e somente se, $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**Demonstração.** ($\Rightarrow$) Se $\vec v = \lambda\vec u$, então $x' = \lambda x$ e $y' = \lambda y$, logo $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$; se $\vec u = \vec 0$, o [determinante](#def-g11-vect-det) é trivialmente $0$.

($\Leftarrow$) Suponha $xy' - x'y = 0$ com $\vec u \neq \vec 0$, digamos $x \neq 0$ (o caso $y \neq 0$ é simétrico). Ponha $\lambda = \frac{x'}{x}$. Então $x' = \lambda x$ por construção, e a relação $xy' = x'y = \lambda x y$ dá, após dividir por $x \neq 0$, $y' = \lambda y$. Logo $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**Exemplo 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ e $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, [colineares](#def-g11-vect-collinear) (de fato, $\vec v = -2\vec u$). $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, não são [colineares](#def-g11-vect-collinear).

**Método 15.7 (Colinearidade de três pontos).**

$A$, $B$, $C$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear) se, e somente se, $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ são [vetores colineares](#def-g11-vect-collinear): calcule os dois [vetores](#def-g11-vect-vector) e verifique se $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$.

## 15.3 Equações cartesianas de retas

**Definição 15.8 (Vetor diretor).**

Um *vetor diretor* de uma reta $d$ é qualquer [vetor](#def-g11-vect-vector) não nulo $\vec u$ tal que $\vect{AB}$ seja [colinear](#def-g11-vect-collinear) com $\vec u$ para todos os pontos $A, B$ de $d$.

**Teorema 15.9 (Equação cartesiana).**

Uma reta de [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ admite uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da forma

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

Reciprocamente, toda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) desse tipo descreve uma reta de [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$.

**Demonstração.** Seja $d$ passando por $A(x_A, y_A)$ com direção $\vec u\,(-b, a)$. Um ponto $M(x, y)$ está em $d$ exatamente quando $\vect{AM}$ é [colinear](#def-g11-vect-collinear) com $\vec u$, isto é ([Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity)),

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da forma anunciada com $c = -(a x_A + b y_A)$. Reciprocamente, as soluções de $ax + by + c = 0$ com, digamos, $b \neq 0$ são os pontos $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$: subtrair duas delas mostra que toda corda é [colinear](#def-g11-vect-collinear) com $(-b, a)$, e sempre existe uma solução — trata-se da reta que passa por ela e é dirigida por $(-b, a)$. ∎

**Método 15.10 (Reta por dois pontos).**

Para achar uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da reta $(AB)$: calcule o [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$; identifique-o com $(-b, a)$, isto é, tome $a = y_B - y_A$ e $b = -(x_B - x_A)$; determine $c$ substituindo as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $A$.

**Exemplo 15.11.**

Reta por $A(1, 2)$ e $B(4, 3)$: $\vect{AB}\,(3, 1)$, logo $a = 1$, $b = -3$, e a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é $x - 3y + c = 0$. Substituindo $A$: $1 - 6 + c = 0$, logo $c = 5$. [Equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$. Confira com $B$: $4 - 9 + 5 = 0$.

**Observação 15.12.**

Quando $b \neq 0$, a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) pode ser resolvida em $y$: $y = mx + p$, com [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. A forma cartesiana $ax + by + c = 0$ é mais geral: ela cobre também as retas verticais ($b = 0$), que não têm [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine).

![A reta x - 3y + 5 = 0 do , seu vetor diretor u = AB (em vermelho, aqui reduzido pela metade) e os dois pontos usados para montar a equação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*A reta $x - 3y + 5 = 0$ do [Exemplo 15.11](#ex-g11-vect-twopoints), seu [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (em vermelho, aqui reduzido pela metade) e os dois pontos usados para montar a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation).*

## 15.4 Representação paramétrica

**Definição 15.13 (Representação paramétrica).**

A reta que passa por $A(x_A, y_A)$ com direção $\vec u\,(\alpha, \beta)$ é o conjunto dos pontos

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

O número $t$ é o *parâmetro*: cada valor de $t$ produz um ponto da reta, como se a percorrêssemos com velocidade constante $\vec u$.

**Exemplo 15.14.**

A reta do [Exemplo 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) também é $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$: $t = 0$ dá $A$ e $t = 1$ dá $B$. Eliminar $t$ ($t = y - 2$, logo $x = 1 + 3(y-2)$) recupera $x - 3y + 5 = 0$.

## 15.5 Posições relativas de duas retas

**Proposição 15.15 (Paralelas ou concorrentes).**

Duas retas de [vetores diretores](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ e $\vec v$ são paralelas se, e somente se, $\det(\vec u, \vec v) = 0$. Em forma de [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $d : ax + by + c = 0$ e $d' : a'x + b'y + c' = 0$ são paralelas se, e somente se, $ab' - a'b = 0$. Retas não paralelas se encontram em exatamente um ponto.

**Demonstração.** Paralelismo significa direções [colineares](#def-g11-vect-collinear), o que é a [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity); com $\vec u\,(-b, a)$ e $\vec v\,(-b', a')$, o [determinante](#def-g11-vect-det) é $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. Se as retas não são paralelas, resolver as duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) simultaneamente (por substituição ou combinação) leva a uma única solução: o sistema se comporta como um sistema $2 \times 2$ de [determinante](#def-g11-vect-det) não nulo. ∎

**Método 15.16 (Interseção de duas retas).**

Resolva o sistema das duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): isole uma incógnita em uma delas e substitua na outra, ou combine as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) para eliminar uma incógnita. Confira sempre o ponto obtido nas *duas* [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation).

**Exemplo 15.17.**

Intersecte $d: x - 3y + 5 = 0$ e $d': 2x + y - 4 = 0$. De $d'$: $y = 4 - 2x$. Substituindo em $d$:

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

e então $y = 2$. As retas se encontram em $(1, 2)$. Verificação em $d$: $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 Exercícios

**Exercício 15.1 ★.**

Dados $A(2, -1)$, $B(5, 3)$ e $C(-1, 1)$, calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ e $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$, e o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$.

**Solução de Exercício 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. O [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ é $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**Exercício 15.2 ★.**

Os [vetores](#def-g11-vect-vector) são [colineares](#def-g11-vect-collinear)?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ e } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ e } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ e } \vec v\,(0, -8).
$$

**Solução de Exercício 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: [colineares](#def-g11-vect-collinear) (de fato, $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: não são [colineares](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: [colineares](#def-g11-vect-collinear) (ambos verticais).

**Exercício 15.3 ★.**

Encontre uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana da reta que passa por $A(2, 1)$ com [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$ e, em seguida, da reta que passa por $B(0, 4)$ e $C(2, 0)$.

**Solução de Exercício 15.3.**

Por $A(2,1)$, direção $(3, -1)$: identificar $(-b, a) = (3, -1)$ dá $a = -1$, $b = -3$, logo $-x - 3y + c = 0$; substituindo $A$: $-2 - 3 + c = 0$, $c = 5$. Multiplicando por $-1$: $x + 3y - 5 = 0$.

Por $B(0,4)$ e $C(2,0)$: $\vect{BC}\,(2, -4)$, logo $a = -4$, $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$; substituindo $B$: $-8 + c = 0$, $c = 8$. Simplificando por $-2$: $2x + y - 4 = 0$. Confira com $C$: $4 + 0 - 4 = 0$.

**Exercício 15.4 ★.**

Para a reta $d: 3x - 2y + 6 = 0$, dê um [vetor diretor](#def-g11-vect-direction), as [interseções](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) com os dois eixos coordenados e decida se os pontos $P(2, 6)$ e $Q(1, 4)$ pertencem a $d$.

**Solução de Exercício 15.4.**

Um [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) é $(-b, a) = (2, 3)$. [Interseções](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): $x = 0$ dá $y = 3$, ponto $(0, 3)$; $y = 0$ dá $x = -2$, ponto $(-2, 0)$. Para $P(2,6)$: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, logo $P \in d$. Para $Q(1,4)$: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, logo $Q \notin d$.

**Exercício 15.5 ★★.**

Os pontos $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear)? Mesma pergunta para $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$.

**Solução de Exercício 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ e $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, logo $A$, $B$, $C$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear).

$\vect{DE}\,(2, 3)$ e $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: $D$, $E$, $F$ não são [colineares](#def-g11-vect-collinear).

**Exercício 15.6 ★★.**

Determine o ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion), se houver:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ e }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ e }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**Solução de Exercício 15.6.**

Primeiro par: somando as duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$, logo $x = 2$ e então $y = x + 1 = 3$: elas se encontram em $(2, 3)$ (verificação: $4 + 3 - 7 = 0$).

Segundo par: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, logo as retas são paralelas; multiplicar $e$ por $-2$ dá $-2x + 4y - 6 = 0$, que difere de $e'$ ($-6 \neq 1$): estritamente paralelas, sem [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion).

**Exercício 15.7 ★★.**

Dê uma representação paramétrica da reta $d: 2x - y + 3 = 0$ e uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana da reta $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**Solução de Exercício 15.7.**

Para $d: 2x - y + 3 = 0$: direção $(-b, a) = (1, 2)$, e o ponto $(0, 3)$ está em $d$, logo $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

Para a reta paramétrica que passa por $(1, -3)$ com direção $(2, 1)$: $a = 1$, $b = -2$, logo $x - 2y + c = 0$; substituindo $(1, -3)$: $1 + 6 + c = 0$, $c = -7$. [Equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ (confira com $t = 1$, ponto $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$).

**Exercício 15.8 ★★.**

Encontre a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da reta que passa por $P(1, -2)$ e é paralela a $d: 4x - 3y + 2 = 0$, e o valor de $m$ para o qual a reta $mx + 2y - 5 = 0$ é paralela a $d$.

**Solução de Exercício 15.8.**

Uma reta paralela tem o mesmo par $(a, b)$: $4x - 3y + c = 0$; passando por $P(1, -2)$: $4 + 6 + c = 0$, logo $c = -10$ e a reta é $4x - 3y - 10 = 0$.

O paralelismo de $mx + 2y - 5 = 0$ com $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$, logo $m = -\frac83$.

**Exercício 15.9 ★★.**

Sejam $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ e $C(1, -4)$. Encontre uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana da *[mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-median)* do triângulo $ABC$ que parte de $C$ (a reta que liga $C$ ao [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$).

**Solução de Exercício 15.9.**

O [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ é $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$. A [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-median) é a reta $(CM)$ com $C(1, -4)$: os dois pontos têm [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $1$, de modo que a [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-median) é a reta vertical

$$
x - 1 = 0 .
$$

**Exercício 15.10 ★★.**

Para que valor (ou valores) do parâmetro $m$ os [vetores](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ e $\vec v\,(3, m - 1)$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear)?

**Solução de Exercício 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. Ele se anula quando $m^2 - m - 6 = 0$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, raízes $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, isto é, $m = 3$ ou $m = -2$.

**Exercício 15.11 ★★★.**

Seja $ABCD$ um paralelogramo, $I$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ e $J$ o ponto definido por $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. Trabalhando no [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) em que $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ (de modo que $C(1,1)$):

1. Calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $I$ e $J$ .
2. Mostre que $A$ , $J$ e $C$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear) . (Um fato bonito: a reta $(DI)$ corta a diagonal $(AC)$ a um terço do caminho.)

**Solução de Exercício 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. Então $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12,
-1\right)$ e $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13,
-\frac23\right)$, logo

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ e $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, logo $A$, $J$, $C$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear) — na verdade, $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: a reta $(DI)$ corta a diagonal $(AC)$ exatamente a um terço do seu comprimento a partir de $A$.

## 15.7 Problema: Rotas de colisão e coordenadas espertas

**Problema 15.1.**

Problema de fim de semana — cruzar trajetórias não é colidir: a aproximação mínima no mar e teoremas demonstrados escolhendo o referencial certo

As rotas retas de dois navios se cruzam — os navios têm de colidir? Só se chegarem ao cruzamento *ao mesmo tempo*: trajetórias são conjuntos de pontos, movimentos são paramétricos, e confundir as duas coisas já afundou navios de verdade. Este problema opera um pequeno serviço de controle de tráfego marítimo com retas paramétricas ([Definição 15.13](#def-g11-vect-parametric)) e depois volta-se para a geometria pura com o outro superpoder das [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): *escolhê-las* com esperteza, como no [Exercício 15.11](#exo-g11-vect-11), para que os teoremas clássicos se demonstrem sozinhos.

**Parte I — Retas, de três maneiras.**

1. Dê uma representação paramétrica da reta que passa por $A(1, 2)$ com [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ e depois elimine o parâmetro para obter uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana.
2. Para a reta $2x - 5y + 3 = 0$ : leia um [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) ( [Teorema 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), encontre um ponto e escreva uma representação paramétrica.
3. Calcule o ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) das duas retas das questões 1 e 2 ( [Método 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. Confirme com o [determinante](#def-g11-vect-det) ( [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) que essas duas retas tinham mesmo de se cruzar; mostre em seguida que $2x - 5y + 3 = 0$ e $-4x + 10y + 1 = 0$ são estritamente paralelas.
5. $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ são [colineares](#def-g11-vect-collinear) ( [Método 15.7](#met-g11-vect-alignment) )?

**Parte II — O controle de tráfego marítimo.** No instante $t$ (em horas), o navio $P$ está em $(2t,\ 3 + t)$ e o navio $Q$ em $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distâncias em milhas náuticas).

6. Encontre as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesianas das duas *trajetórias* e calcule onde elas se cruzam.
7. Em que instante cada navio passa pelo ponto de cruzamento? Os navios colidem? Enuncie o aviso geral em uma frase: trajetórias que se cruzam contra movimentos que se encontram.
8. Calcule o quadrado da distância $D^2(t)$ entre os navios no instante $t$ e reduza-o a um [trinômio do segundo grau](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-quadratic) em $t$ . Em que instante os navios ficam mais próximos, e a que distância chegam a estar (a tecnologia do vértice do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#pb-g11-quad-1) )?
9. O regulamento exige uma separação de pelo menos $1$ milha. Ela é violada? Se for, resolva $D^2(t) < 1$ e dê a duração da violação.
10. Explique por que, para *quaisquer* dois navios em rotas retas com velocidades constantes, $D^2(t)$ é sempre uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) do segundo grau em $t$ — de modo que o “ponto de [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) mínima” é sempre um cálculo de vértice.
11. Interceptação: uma lancha de patrulha parte da origem em $t = 0$ com velocidade constante $(a, b)$ e deve encontrar o navio $P$ exatamente em $t = 3$ . Calcule o $(a, b)$ necessário e a velocidade da lancha.

**Parte III — [Coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) espertas.** Trabalhe no referencial do [Exercício 15.11](#exo-g11-vect-11): o paralelogramo $ABCD$ vira $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$; seja $I$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ e $K$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[CD]$.

12. Calcule uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana da reta $(DI)$ .
13. Intersecte $(DI)$ com a diagonal $(AC)$ : recupere o fato do [Exercício 15.11](#exo-g11-vect-11) — o corte fica exatamente a um terço do caminho ao longo da diagonal.
14. Agora a reta $(BK)$ : encontre sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) , intersecte-a com $(AC)$ e conclua o teorema clássico completo: *as cevianas $(DI)$ e $(BK)$ dividem a diagonal $(AC)$ em três partes iguais* .
15. Por que foi legítimo demonstrar o teorema nesse referencial particular? (O que a escolha de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) preserva e do que o enunciado trata?) Responda em duas ou três frases.
16. Mais uma trissecção para praticar: seja $E$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ . Onde a reta $(AE)$ corta a *outra* diagonal, $(DB)$ ?

**Parte IV — Enigmas de posição.**

17. As três retas $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ são concorrentes? (Intersecte duas e teste a terceira.)
18. Para cada real $m$ , seja $d_m$ a reta $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Mostre que *toda* $d_m$ passa por um mesmo [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) . (Agrupe os termos em $m$ .)
19. Na família $(d_m)$ : qual membro é paralelo a $y = 2x + 7$ ? Qual passa pela origem?
20. Final — os três trajes de uma reta: cartesiano (teste de pertinência em uma substituição), reduzido ( [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) e [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) à vista), paramétrico (movimento, horários, interceptação); o [determinante](#def-g11-vect-det) como oráculo do paralelismo; e o referencial bem escolhido como fábrica de teoremas. Uma frase para cada.

**Solução de Problema 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$. Da segunda, $t = 2 - y$; substituindo: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** Para $ax + by + c = 0$, um [vetor diretor](#def-g11-vect-direction) é $(-b, a)$: aqui $(5, 2)$. Um ponto: $y = 1$ dá $x = 1$: $(1, 1)$. Paramétrica: $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$.

**3.** De $x = 7 - 3y$ em $2x - 5y + 3 = 0$: $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, logo $y = \frac{17}{11}$ e $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: o ponto $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** Direções $(5, 2)$ e $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: concorrentes, como se encontrou. Para o segundo par: as direções $(5, 2)$ e $(10, 4)$ têm $\det = 0$ (paralelas), e dobrar $2x - 5y + 3 = 0$ dá $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$: estritamente paralelas.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: [colineares](#def-g11-vect-collinear).

**6.** $P$: de $x = 2t$ e $y = 3 + t$ vem $y = 3 + \frac x2$. $Q$: de $x = 10 - t$ vem $t = 10 - x$, logo $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. Cruzamento: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ dá $x = 6.4$, $y = 6.2$: as trajetórias se cruzam em $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** $P$ passa ali quando $2t = 6.4$: $t = 3.2$ h. $Q$, quando $10 - t = 6.4$: $t = 3.6$ h. Vinte e quatro minutos de diferença: nenhuma colisão. Aviso: uma carta mostra *trajetórias*; só os relógios paramétricos dizem se dois movimentos ocupam o mesmo ponto no mesmo instante.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 =
10t^2 - 68t + 116$: vértice em $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, onde $D^2 = 0.4$: [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) mínima $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ milha em $t = 3.4$.

**9.** Violada: $0.63 < 1$. $D^2(t) < 1$ lê-se $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, raízes $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: os navios ficam próximos demais de $t \approx 3.16$ a $t \approx 3.64$ — cerca de $29$ minutos de infração. Um deles precisa mudar de rota.

**10.** Cada coordenada de cada navio é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) *afim* de $t$, de modo que cada diferença de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) é afim, e $D^2$ — uma soma de dois quadrados de [funções afins](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) — é do segundo grau (com coeficiente dominante não negativo). A [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) mínima, portanto, é sempre lida em um vértice.

**11.** Encontrar $P$ em $t = 3$, isto é, em $(6, 6)$: $(3a, 3b) = (6, 6)$ dá $(a, b) = (2, 2)$, velocidade $\sqrt{8} \approx 2.8$ nós.

**12.** $D(0, 1)$, $I\left(\frac12, 0\right)$: direção $\left(\frac12, -1\right)$, isto é, $(1, -2)$: [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** $(AC)$: $y = x$. Então $2x + x = 1$: $x = \frac13$: o ponto $\left(\frac13, \frac13\right)$, a um terço do caminho de $A$ até $C$.

**14.** $B(1, 0)$, $K\left(\frac12, 1\right)$: direção $\left(-\frac12, 1\right)$, [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. Com $y = x$: $x = \frac23$: o ponto $\left(\frac23, \frac23\right)$. As duas cevianas cortam $(AC)$ em seus dois pontos de trissecção: teorema demonstrado, duas vezes três linhas de aritmética.

**15.** Todo paralelogramo é levado ao quadrado unitário escolhendo-se $A$ como origem e $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ como unidades dos dois eixos. Essa escolha preserva tudo aquilo de que o teorema fala — [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint), colinearidade e razões ao longo de uma mesma reta (tudo exprimível com [vetores](#def-g11-vect-vector) e escalares) —, de modo que demonstrar o enunciado no quadrado o demonstra para todo paralelogramo. (Ela *não* transportaria comprimentos nem ângulos: esses o referencial distorce.)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: reta $(AE)$: $y = \frac x2$. Diagonal $(DB)$: de $(0,1)$ a $(1,0)$: $y = 1 - x$. [Interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): $\frac x2 = 1 - x$: $x = \frac23$: o ponto $\left(\frac23, \frac13\right)$ — de novo um ponto de trissecção, agora da outra diagonal. As cevianas dos [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) adoram terços.

**17.** As duas primeiras: $x + y = 4$ e $2x - y = 2$ dão $3x = 6$: $(2, 2)$. A terceira: $2 - 4 = -2$: satisfeita. Concorrentes em $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: para a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) valer para *todo* $m$, tome $x = 3$, $y = 2$ — e, de fato, toda $d_m$ contém $(3, 2)$. Um feixe de retas por um único ponto, uma reta para cada [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** Paralela a $y = 2x + 7$: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, a reta $2x - y - 4 = 0$. Passando pela origem: $2 - 3m = 0$: $m = \frac23$.

**20.** Cartesiana: substitua um ponto e a pertinência está respondida. Reduzida: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) e [coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) à vista, [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) imediato. Paramétrica: o relógio já embutido — colisões, [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) mínima, interceptação. O [determinante](#def-g11-vect-det): uma multiplicação em cruz e o paralelismo está decidido. O referencial escolhido: um paralelogramo vira um quadrado unitário, e um teorema clássico de trissecção vira três [interseções](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) de retas.