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title: "O produto escalar no plano"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano
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# Capítulo 16 — O produto escalar no plano

O [produto escalar](#def-g11-scal-dot) associa um *número* a um par de [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector), e esse número enxerga geometria: ele se anula exatamente em direções perpendiculares e mede ângulos e comprimentos. É o motor por trás da lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin), das [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de círculos e dos cálculos de perpendicularidade. A mesma ferramenta, no espaço, é assunto do [Capítulo 31](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/31-vetores-retas-e-planos-no-espaco#ch-g12-space).

## 16.1 Definição e primeiros cálculos

**Definição 16.1 (Produto escalar).**

O *produto escalar* de dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u$ e $\vec v$ é o número

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

onde $\norm{\vec u}$ denota o comprimento (*norma*) de $\vec u$.

**Teorema 16.2 (As quatro faces do produto escalar).**

Sejam $\vec u\,(x, y)$ e $\vec v\,(x', y')$ [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) não nulos e seja $\theta$ o ângulo entre eles. Então

1. *([coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([cosseno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(projeção)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , onde $\vec v'$ é a projeção [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) de $\vec v$ sobre a direção de $\vec u$ ; se $\vec u = \vect{OA}$ e $\vec v = \vect{OB}$ , então $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , um produto de comprimentos com sinal, em que $H$ é o pé da perpendicular baixada de $B$ à reta $(OA)$ ;
4. *([normas](#def-g11-scal-dot))* a fórmula que define o produto na [Definição 16.1](#def-g11-scal-dot) .

**Demonstração de 1 e 2.** *1.* Em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (Pitágoras) e $\vec u + \vec v$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(x + x', y + y')$, logo

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

depois de [expandir](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand) os quadrados e cancelar.

*2.* Escolha o [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de modo que $\vec u$ aponte ao longo do semieixo $x$ positivo: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ e $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#ch-g11-trigo)). A fórmula 1 dá então $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. A fórmula 3 lê-se no mesmo cálculo: a projeção de $\vec v$ sobre o eixo $x$ tem comprimento com sinal $\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}$. ∎

![A visão por projeção: u v = OA × OH, em que H é o pé da perpendicular baixada da ponta de v. O segmento laranja OH tem comprimento com sinal v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*A visão por projeção: $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times
\overline{OH}$, em que $H$ é o pé da perpendicular baixada da ponta de $\vec v$. O segmento laranja $OH$ tem comprimento com sinal $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**Exemplo 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ e $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. As [normas](#def-g11-scal-dot) são $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ e $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$, de modo que $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: o ângulo é um pouco menor que $82^\circ$.

**Proposição 16.4 (Regras algébricas).**

Para todos os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) e todo $\lambda \in \R$:

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**Demonstração.** Todas seguem da fórmula em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): por exemplo, $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. A última identidade expande $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ usando as três primeiras regras — o [produto escalar](#def-g11-scal-dot) comporta-se exatamente como um produto comum, de modo que as identidades algébricas de sempre valem para [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector). ∎

## 16.2 Ortogonalidade

**Definição 16.5 (Vetores ortogonais).**

Dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) são *ortogonais*, o que se escreve $\vec u \perp \vec v$, se $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**Observação 16.6.**

Para [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) não nulos, a fórmula 2 do [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) mostra que $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ as direções são perpendiculares. O [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) nulo é [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) a tudo.

**Exemplo 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ e $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0$: [ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal). Em geral, $\vec u\,(a, b)$ é sempre [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) a $\vec v\,(-b, a)$ — uma rotação de um quarto de volta.

## 16.3 A lei dos cossenos

**Teorema 16.8 (Lei dos cossenos).**

Em um triângulo $ABC$ de lados $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ e ângulo $\widehat A$ no vértice $A$:

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**Demonstração.** Escreva $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ e expanda com a [Proposição 16.4](#prop-g11-scal-rules):

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

Pela fórmula do [cosseno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin), $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**Observação 16.9.**

Quando $\widehat A$ é reto, $\cos\widehat A = 0$ e a lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) se reduz ao teorema de Pitágoras $a^2 = b^2 + c^2$: é Pitágoras com um termo de correção para ângulos não retos.

![A lei dos cossenos: conhecer dois lados b, c e o ângulo entre eles determina o terceiro lado a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*A lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin): conhecer dois lados $b$, $c$ e o ângulo entre eles determina o terceiro lado $a$.*

**Exemplo 16.10.**

Dois lados de um triângulo medem $b = 5$ e $c = 8$ e formam um ângulo $\widehat A = \frac\pi3$. Então

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

logo $a = 7$.

## 16.4 Aplicações: círculos e retas perpendiculares

**Proposição 16.11 (Círculo de diâmetro dado).**

Um ponto $M$ está no círculo de diâmetro $[AB]$ se, e somente se,

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**Demonstração.** Se $M \neq A, B$, a condição diz que o ângulo em $M$ no triângulo $AMB$ é reto, e os pontos que veem um segmento sob ângulo reto são exatamente os do círculo que tem esse segmento como diâmetro. Eis uma demonstração direta: seja $O$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ e $r = \frac{AB}{2}$. Então $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ e $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, logo

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

que se anula exatamente quando $MO = r$, isto é, quando $M$ está no círculo de centro $O$ e raio $r$. ∎

**Proposição 16.12 (Vetor normal de uma reta).**

O [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ é [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) a todo [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) da reta $d : ax + by + c = 0$; diz-se que $\vec n$ é um *vetor normal* de $d$. Duas retas são perpendiculares exatamente quando seus [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) normais (ou diretores) são [ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal).

**Demonstração.** Um [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) de $d$ é $\vec u\,(-b, a)$ ([Teorema 15.9](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#thm-g11-vect-cartesian)), e $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**Método 16.13 (Usar vetores normais).**

- Reta por $A$ com normal $\vec n\,(a,b)$ : escreva $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ , o que se expande em $ax + by + c = 0$ , com $c$ determinado por $A$ .
- Perpendicularidade de $d: ax+by+c = 0$ e $d': a'x+b'y+c' = 0$ : verifique $aa' + bb' = 0$ .

**Exemplo 16.14.**

A reta por $P(2, -1)$ perpendicular a $d : 3x - y + 4 = 0$: um [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) de $d$ é $(1, 3)$, que serve como [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) *normal* da perpendicular. [Equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$ com $2 - 3 + c = 0$, logo $c = 1$: a reta é $x + 3y + 1 = 0$.

**Exemplo 16.15 (Equação de um círculo).**

O círculo de centro $\Omega(1, 2)$ e raio $3$ é o conjunto dos pontos $M(x,y)$ com $\Omega M^2 = 9$:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

Reciprocamente, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ reescreve-se, completando os quadrados ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad)), como $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$: o mesmo círculo.

## 16.5 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

Calcule $\vec u \cdot \vec v$ para

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**Solução de Exercício 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([vetores ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**Exercício 16.2 ★.**

$ABC$ é um triângulo equilátero de lado $6$. Calcule $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ e $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**Solução de Exercício 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

Os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ e $\vect{BC}$ formam um ângulo de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (coloque-os com a mesma origem em $B$), logo $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**Exercício 16.3 ★.**

Para que valor de $t$ os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(3, t)$ e $\vec v\,(t - 8, 1)$ são [ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal)? E para que valor (ou valores) de $t$ o [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(t, 2)$ é [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) a ele mesmo menos $\vec v\,(4, 2)$, isto é, $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$?

**Solução de Exercício 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ dá $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, logo $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, que se anula para $t = 0$ ou $t = 4$.

**Exercício 16.4 ★.**

Calcule o ângulo $\theta$ entre $\vec u\,(1, 2)$ e $\vec v\,(3, 1)$ (dê $\cos\theta$ exatamente e depois $\theta$ com precisão de um grau).

**Solução de Exercício 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$, $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, logo

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

e portanto $\theta = 45^\circ$ exatamente.

**Exercício 16.5 ★★.**

Um triângulo tem lados $b = 4$ e $c = 6$ formando um ângulo $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$. Calcule o terceiro lado $a$. Em seguida, em um triângulo de lados $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$, calcule $\cos\widehat A$ e decida se $\widehat A$ é agudo ou obtuso.

**Solução de Exercício 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, logo $a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7$.

Para o segundo triângulo, a lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) resolvida em relação ao ângulo dá

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

negativo: $\widehat A$ é obtuso.

**Exercício 16.6 ★★.**

Sejam $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ e $C(3, 5)$. Calcule $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$; o ângulo $\widehat A$ é reto? Calcule os comprimentos dos três lados e confira sua resposta com a lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin).

**Solução de Exercício 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ e $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, de modo que o ângulo em $A$ é reto. Lados: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$, e $\vect{BC}\,(-2, 6)$ dá $BC = \sqrt{40}$. Coerência: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, a lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) com $\cos\widehat A = 0$ (Pitágoras).

**Exercício 16.7 ★★.**

Dê uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo de centro $\Omega(-2, 3)$ e raio $5$. Determine em seguida o centro e o raio do círculo

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**Solução de Exercício 16.7.**

Forma centro–raio: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Para o segundo círculo, complete os quadrados:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

centro $(3, -1)$, raio $4$.

**Exercício 16.8 ★★.**

Sejam $A(-3, 0)$ e $B(0, 2)$. Usando a [Proposição 16.11](#prop-g11-scal-diameter), encontre uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo de diâmetro $[AB]$ e verifique que a origem $O(0,0)$ está nele.

**Solução de Exercício 16.8.**

$M(x,y)$ está no círculo quando $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$, com $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ e $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

Para a origem: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, logo $O$ está no círculo — geometricamente, $\vect{OA}\,(-3,0)$ e $\vect{OB}\,(0,2)$ são [ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal), de modo que $O$ vê $[AB]$ sob ângulo reto. (Completando os quadrados: centro $\left(-\frac32, 1\right)$, raio $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**Exercício 16.9 ★★.**

Encontre uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da reta por $P(1, 3)$ perpendicular a $d : 2x + y - 7 = 0$ e as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do pé $H$ da perpendicular (a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) das duas retas). Deduza a distância de $P$ a $d$.

**Solução de Exercício 16.9.**

A perpendicular por $P$ tem como [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) normal o [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) de $d$, a saber $(-1, 2)$: [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$; passando por $P(1,3)$: $-1 + 6 + c = 0$, $c = -5$, logo $x - 2y + 5 = 0$.

[Interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) com $d$: de $2x + y = 7$ vem $y = 7 - 2x$; substituindo, $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, logo $x = \frac95$, $y = \frac{17}5$: $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. Então $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ e

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**Exercício 16.10 ★★.**

Usando $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ e seu análogo para $\vec u - \vec v$, demonstre a *identidade do paralelogramo*:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

e interprete-a em um paralelogramo (diagonais contra lados).

**Solução de Exercício 16.10.**

Somando

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{e}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

os termos cruzados se cancelam e $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 =
2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2$. Em um paralelogramo de lados $\vec u$ e $\vec v$, as diagonais são $\vec u + \vec v$ e $\vec u - \vec v$: a soma dos quadrados das duas diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.

**Exercício 16.11 ★★★.**

Sejam $A$ e $B$ dois pontos com $AB = 4$, e $I$ o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$.

1. Mostre que, para todo ponto $M$ , $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (Insira $I$ : $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. Deduza o conjunto dos pontos $M$ tais que $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**Solução de Exercício 16.11.**

*1.* Como $I$ é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint), $\vect{IB} = -\vect{IA}$ e $IA = 2$. Então

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* A condição $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ vira $MI^2 = 16$, isto é, $MI = 4$: o conjunto é o círculo de centro $I$ e raio $4$.

## 16.6 Problema: Dois presentes do produto escalar

**Problema 16.1.**

Problema de fim de semana — as fórmulas de adição caem de um produto escalar, a distância a uma reta de outro, e as três alturas se encontram de brinde

O [produto escalar](#def-g11-scal-dot) parece contabilidade — multiplique, some — e, no entanto, entrega quase de graça dois tesouros que resistiram a séculos de caça a ângulos: as *fórmulas de adição* da trigonometria (calcule $\cos 15^\circ$ exatamente!) e a *distância de um ponto a uma reta* em uma fração limpa. De presente de despedida, ele demonstra que as três alturas de todo triângulo passam por um mesmo ponto. As quatro faces do [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) vão se apresentar ao serviço.

**Parte I — Fluência.**

1. Para $\vec u(3, 4)$ e $\vec v(-1, 2)$ : calcule $\vec u \cdot \vec v$ , as duas [normas](#def-g11-scal-dot) e o ângulo entre os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) (com precisão de um décimo de grau).
2. Encontre $k$ para que $(2, k)$ e $(3, -4)$ sejam [ortogonais](#def-g11-scal-orthogonal) ( [Definição 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. Face física: um trenó é puxado por $10$ m por uma força de $50$ N a $60^\circ$ do solo. Calcule o trabalho $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. Lei dos [cossenos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) ( [Teorema 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): dois lados de $5$ e $7$ formam um ângulo de $60^\circ$ ; encontre o terceiro lado exatamente.
5. Ao contrário: um triângulo tem lados $4$ , $6$ , $8$ . Calcule o [cosseno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) do ângulo oposto ao lado $8$ , classifique o ângulo e dê-o com precisão de um décimo de grau.

**Parte II — Primeiro presente: as fórmulas de adição.** Sejam $\vec u = (\cos a, \sin a)$ e $\vec v = (\cos b, \sin b)$: dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) unitários nos ângulos $a$ e $b$.

6. Calcule $\vec u \cdot \vec v$ duas vezes — uma com [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), outra com [normas](#def-g11-scal-dot) e o ângulo entre os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) — e conclua a fórmula-mãe: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. Troque $b$ por $-b$ (paridades do [seno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) e do [cosseno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) !) para obter $\cos(a + b)$ .
8. Obtenha $\sin(a + b)$ pela identidade complementar $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ aplicada a $x = a + b$ .
9. Valores exatos, enfim: calcule $\cos 15^\circ$ (como $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) e $\sin 75^\circ$ . Confira os dois numericamente.
10. Faça $b = a$ para deduzir as fórmulas do arco duplo: $\cos 2a$ (nas suas três formas) e $\sin 2a$ .
11. De $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ , calcule $\sin^2 15^\circ$ e depois $\sin 15^\circ$ como um radical encaixado — e verifique que seu quadrado coincide com o valor $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ que o método da questão 9 fornece.

**Parte III — Segundo presente: a distância a uma reta.**

12. Seja $d$ a reta $ax + by + c = 0$, com [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) normal $\vec n(a, b)$ ([Proposição 16.12](#prop-g11-scal-normal)), e seja $P(x_0, y_0)$ um ponto. Tomando um ponto $A$ qualquer de $d$, explique por que a distância de $P$ a $d$ é $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$ e deduza a fórmula $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ Calcule a distância de $P(5, 6)$ a $3x + 4y - 12 = 0$.
13. Escreva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo de centro $(5, 6)$ [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-tangent) a essa reta.
14. Contraprova da fórmula: calcule a distância da origem a $3x + 4y - 12 = 0$ e verifique-a calculando explicitamente o pé da perpendicular baixada da origem.
15. Triângulo $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : calcule sua área usando a base $[AB]$ ; depois calcule a distância de $B$ à reta $(AC)$ e verifique que ela reproduz a mesma área.
16. O círculo de centro $(2, 1)$ e raio $2$ , contra a reta $x + y - 6 = 0$ : calcule a distância do centro à reta e classifique a posição relativa ( [secante](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-rate) , [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-tangent) , exterior).

**Parte IV — O brinde: as alturas concorrem.**

17. Generalize o [Exercício 16.11](#exo-g11-scal-11): para dois pontos quaisquer $A$, $B$ de [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$, demonstre que $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{para todo ponto } M .$$
18. Deduza a [Proposição 16.11](#prop-g11-scal-diameter) em uma linha: o conjunto dos pontos $M$ com $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ é o círculo de diâmetro $[AB]$ .
19. As alturas: seja $H$ a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) das alturas relativas a $A$ e a $B$ em um triângulo $ABC$ (de modo que $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ e $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). Demonstre a identidade $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ — expanda tudo a partir de $H$ com Chasles — e conclua que $H$ também está na altura relativa a $C$: as três alturas são concorrentes (no *ortocentro*).
20. Final: quatro faces, três troféus. Qual face do [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) carregou as fórmulas de adição, qual a fórmula da distância, qual o [ortocentro](#pb-g11-scal-1) — e por que “calcular a mesma quantidade duas vezes” é o lema do capítulo inteiro?

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}$: $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$: $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ joules: só a componente ao longo do movimento realiza trabalho.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4
\times 6} = -\frac14$: negativo, o ângulo é obtuso: $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** Em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b
+ \sin a \sin b$. Em geometria: dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) unitários, $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. Igualando os dois cálculos do mesmo número: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. E $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: mesmo valor.

**10.** Com $b = a$ nas questões 7 e 8: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (usando $\cos^2 + \sin^2 = 1$), e $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$, logo $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. Elevando $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ ao quadrado: $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: o mesmo número em dois trajes.

**12.** $\vect{AP}$ decompõe-se em uma parte ao longo de $d$ (invisível para $\vec n$) e uma parte perpendicular a $d$, cujo comprimento é a distância procurada; fazer o [produto escalar](#def-g11-scal-dot) com o normal unitário $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ mata a primeira parte e mede a segunda. Com $A$ em $d$: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$, donde a fórmula. Exemplo: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** Raio $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** Distância $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. Pé da perpendicular: a perpendicular pela origem é $(3t, 4t)$; sobre a reta: $9t + 16t = 12$, $t = \frac{12}{25}$: pé $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, a distância $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. A fórmula e a conta honesta concordam.

**15.** Base $AB = 6$, altura $=$ distância de $C$ a $(AB)$ (o eixo $y = 0$): $5$; área $15$. Reta $(AC)$: $5x - 2y = 0$, e $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$; então $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: mesma área, por qualquer das alturas.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}
{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: a reta passa longe do círculo — exterior.

**17.** Insira $I$: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$. O termo do meio morre ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$), e $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ ([vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) opostos de comprimento $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 =
\frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$: o círculo de centro $I$ e raio $\frac{AB}2$ — o círculo de diâmetro $[AB]$.

**19.** Expandindo cada par a partir de $H$ ($\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}$ etc.):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

tudo se cancela aos pares — a identidade vale para *quaisquer* quatro pontos. Para o nosso $H$, os dois primeiros [produtos escalares](#def-g11-scal-dot) se anulam por hipótese, logo $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: $H$ está na altura relativa a $C$. Três alturas, um só ponto.

**20.** As fórmulas de adição vieram de calcular um mesmo [produto escalar](#def-g11-scal-dot) pela face das *[coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)* e pela face das *[normas](#def-g11-scal-dot) e do ângulo*; a fórmula da distância, da face da *projeção*; o [ortocentro](#pb-g11-scal-1), da face da *bilinearidade* (Chasles e [expandir](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-expand)). Calcule a mesma quantidade duas vezes, iguale, e um teorema cai — é esse todo o ofício do [produto escalar](#def-g11-scal-dot).