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title: "Estatística descritiva"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva
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# Capítulo 17 — Estatística descritiva

A estatística comprime uma lista de números em alguns resumos significativos: onde os dados se situam ([média](#def-g11-stat-mean), [mediana](#def-g11-stat-median)) e o quanto eles estão dispersos (quartis, [variância](#def-g11-stat-variance), [desvio padrão](#def-g11-stat-variance)). Este capítulo faz tudo sobre um mesmo exemplo condutor. Os mesmos resumos reaparecem para variáveis aleatórias no [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#ch-g11-prob), e suas leis probabilísticas no [Capítulo 34](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-g12-sums).

Ao longo do capítulo, nosso conjunto de dados condutor são as notas (de $0$ a $20$) de uma turma de $12$ alunos:

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 Média e mediana

**Definição 17.1 (Média).**

A *média* dos valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ é

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

Se o valor $x_i$ aparece com [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) $n_i$ (com $n_1 + \dots + n_k = n$), então $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$.

**Definição 17.2 (Mediana).**

Uma *mediana* de um conjunto de dados ordenado é um valor que o divide ao meio: pelo menos metade dos valores é $\leq$ a ela e pelo menos metade é $\geq$ a ela. Na prática, ordene os $n$ valores; se $n$ é ímpar, a mediana é o valor central; se $n$ é par, tome o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) dos dois valores centrais.

**Exemplo 17.3.**

Para o conjunto condutor, a soma é $144$, logo $\bar x = \frac{144}{12} = 12$. Os dois valores centrais ($6^{\text{o}}$ e $7^{\text{o}}$ da lista ordenada) são ambos $12$, de modo que a [mediana](#def-g11-stat-median) também é $12$. [Média](#def-g11-stat-mean) e [mediana](#def-g11-stat-median) não precisam coincidir: a [mediana](#def-g11-stat-median) ignora *a que distância* estão os valores extremos, e a [média](#def-g11-stat-mean) não. Substituir a nota máxima $17$ por $20$ leva a [média](#def-g11-stat-mean) a $12.25$, mas deixa a [mediana](#def-g11-stat-median) em $12$.

## 17.2 Quartis

**Definição 17.4 (Quartis, amplitude interquartil).**

O *primeiro quartil* $Q_1$ é o menor valor tal que pelo menos um quarto dos dados seja $\leq Q_1$; o *terceiro quartil* $Q_3$ é o menor valor tal que pelo menos três quartos dos dados sejam $\leq Q_3$. A *amplitude interquartil* é $Q_3 - Q_1$: a largura da metade central dos dados.

**Exemplo 17.5.**

$n = 12$: um quarto é $3$, de modo que $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ordenado: $Q_1 = 10$. Três quartos é $9$, de modo que $Q_3$ é o $9^{\text{o}}$ valor: $Q_3 = 13$. A [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) é $3$: a metade central da turma cabe em $3$ pontos de nota.

![O conjunto condutor como diagrama de pontos, sua média (em vermelho) e o resumo de cinco números acima dele (em laranja): mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo. A caixa contém a metade central dos dados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-a05e71bdfe62.svg)

*O conjunto condutor como diagrama de pontos, sua [média](#def-g11-stat-mean) (em vermelho) e o resumo de cinco números acima dele (em laranja): [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema), $Q_1$, [mediana](#def-g11-stat-median), $Q_3$, [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema). A caixa contém a metade central dos dados.*

## 17.3 Variância e desvio padrão

**Definição 17.6 (Variância, desvio padrão).**

A *variância* do conjunto de dados é a [média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados dos desvios em relação à [média](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

e o *desvio padrão* é $\sigma = \sqrt{V}$, expresso na mesma unidade dos dados.

**Proposição 17.7 (Fórmula abreviada).**

A [variância](#def-g11-stat-variance) é a [média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados menos o quadrado da [média](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**Demonstração.** Expanda cada quadrado de desvio: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$. Somando e dividindo por $n$:

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

A mesma identidade, para variáveis aleatórias, é a [Proposição 18.13](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#prop-g11-prob-konig). ∎

**Exemplo 17.8.**

Para o conjunto condutor, os desvios em relação a $\bar x = 12$ são $-4$, $-3$, $-2$, $-2$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $2$, $4$, $5$; seus quadrados somam

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

Logo

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ pontos}.
$$

Grosso modo, uma nota típica fica a cerca de $2.6$ pontos da [média](#def-g11-stat-mean).

**Proposição 17.9 (Mudança de unidades).**

Se cada valor é transformado por $y_i = a x_i + b$, então

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**Demonstração.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$. Em seguida, $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$: cada desvio fica multiplicado por $a$ (o deslocamento $b$ se cancela), de modo que cada quadrado de desvio fica multiplicado por $a^2$, e a [média](#def-g11-stat-mean) deles também. Extraindo a raiz quadrada, $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$. ∎

**Exemplo 17.10.**

Temperaturas registradas em graus Celsius com [média](#def-g11-stat-mean) $20$ e [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $3$ convertem-se para Fahrenheit por $F = 1.8\,C + 32$: a [média](#def-g11-stat-mean) passa a $1.8 \times 20 + 32 = 68$ e o [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) a $1.8 \times 3 = 5.4$. Deslocar um conjunto de dados não muda sua dispersão; reescalá-lo reescala a dispersão.

**Método 17.11 (Resumir e comparar conjuntos de dados).**

Para comparar dois conjuntos de dados, coloque lado a lado: [média](#def-g11-stat-mean) (ou [mediana](#def-g11-stat-median)) para a *posição*, [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) (ou [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles)) para a *dispersão*. O par ([mediana](#def-g11-stat-median), [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles)) é robusto a valores extremos; o par ([média](#def-g11-stat-mean), [desvio padrão](#def-g11-stat-variance)) usa todos os valores e alimenta a teoria das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution).

**Exemplo 17.12.**

Dois arqueiros disparam $10$ flechas cada; as pontuações têm [média](#def-g11-stat-mean) $8.5$ para os dois, mas os [desvios padrão](#def-g11-stat-variance) são $0.5$ e $2.1$. Mesmo nível em [média](#def-g11-stat-mean) — mas o primeiro arqueiro é muito mais consistente.

## 17.4 Exercícios

**Exercício 17.1 ★.**

Calcule a [média](#def-g11-stat-mean), a [mediana](#def-g11-stat-median), os quartis e a [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) do conjunto de dados

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

**Solução de Exercício 17.1.**

$n = 8$, soma $71$: [média](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$. [Mediana](#def-g11-stat-median): [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) entre o $4^{\text{o}}$ e o $5^{\text{o}}$ valores, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$. Quartis: um quarto de $8$ é $2$, de modo que $Q_1$ é o $2^{\text{o}}$ valor, $7$; três quartos é $6$, de modo que $Q_3$ é o $6^{\text{o}}$ valor, $10$. [Amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles): $10 - 7 = 3$.

**Exercício 17.2 ★.**

Calcule a [variância](#def-g11-stat-variance) e o [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) do conjunto $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (primeiro a [média](#def-g11-stat-mean), depois a fórmula abreviada da [Proposição 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)).

**Solução de Exercício 17.2.**

Soma $40$, logo $\bar x = 5$. Soma dos quadrados: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$. Pela fórmula abreviada,

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**Exercício 17.3 ★.**

Um dado é lançado $50$ vezes; os resultados são resumidos por [frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series):

| resultado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

Calcule o resultado médio e a [mediana](#def-g11-stat-median).

**Solução de Exercício 17.3.**

[Média](#def-g11-stat-mean):

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[Mediana](#def-g11-stat-median): as [frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) acumuladas são $6, 15, 23, 33, \dots$, de modo que o $25^{\text{o}}$ e o $26^{\text{o}}$ resultados ordenados são ambos $4$: a [mediana](#def-g11-stat-median) é $4$.

**Exercício 17.4 ★★.**

Uma turma de $15$ alunos tem nota [média](#def-g11-stat-mean) $11.2$. Um $16^{\text{o}}$ aluno entra e tira $18$. Qual é a nova [média](#def-g11-stat-mean) da turma?

**Solução de Exercício 17.4.**

O total das $15$ notas é $15 \times 11.2 = 168$; com o recém-chegado, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$.

**Exercício 17.5 ★★.**

A [média](#def-g11-stat-mean) do conjunto $6, 8, x, 12, 14$ é $10$. Encontre $x$ e calcule em seguida o [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) do conjunto completo.

**Solução de Exercício 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ dá $40 + x = 50$, logo $x = 10$. Os desvios de $6, 8, 10, 12, 14$ em relação à [média](#def-g11-stat-mean) $10$ são $-4, -2, 0, 2, 4$, com quadrados somando $40$: $V = \frac{40}{5} = 8$ e $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**Exercício 17.6 ★.**

Notas de [média](#def-g11-stat-mean) $12.4$ e [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $2.5$ são reescaladas por $y = \frac{x}{2} + 4$. Dê a nova [média](#def-g11-stat-mean) e o novo [desvio padrão](#def-g11-stat-variance).

**Solução de Exercício 17.6.**

Pela [Proposição 17.9](#prop-g11-stat-affine) com $a = \frac12$ e $b = 4$: nova [média](#def-g11-stat-mean) $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$; novo [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $\frac{2.5}{2} = 1.25$.

**Exercício 17.7 ★★.**

O grupo A ($20$ valores) tem [média](#def-g11-stat-mean) $10$; o grupo B ($30$ valores) tem [média](#def-g11-stat-mean) $15$. Calcule a [média](#def-g11-stat-mean) dos $50$ valores reunidos. Ela é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$? Por que não?

**Solução de Exercício 17.7.**

A [média](#def-g11-stat-mean) conjunta é a [média](#def-g11-stat-mean) *ponderada*

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

e não $12.5$: o grupo B contribui com mais valores e, portanto, puxa a [média](#def-g11-stat-mean) conjunta para o seu lado.

**Exercício 17.8 ★★.**

Duas linhas de produção enchem pacotes de $1$ kg de açúcar. As [amostras](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) dão: linha 1: [média](#def-g11-stat-mean) $1.002$ kg, [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg; linha 2: [média](#def-g11-stat-mean) $1.001$ kg, [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg. Qual linha deve ser recalibrada primeiro, e por quê?

**Solução de Exercício 17.8.**

As duas linhas estão quase no alvo em [média](#def-g11-stat-mean) ($1.002$ e $1.001$ kg), mas o [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) da linha 2 é três vezes maior: seus pacotes variam muito mais, produzindo bem mais pacotes visivelmente cheios demais ou vazios demais. A linha 2 deve ser tratada primeiro — o que precisa de conserto é a consistência, não apenas a [média](#def-g11-stat-mean).

**Exercício 17.9 ★★.**

Um conjunto de $n = 10$ valores tem $\sum x_i = 70$ e $\sum x_i^2 = 540$. Calcule sua [média](#def-g11-stat-mean), sua [variância](#def-g11-stat-variance) e seu [desvio padrão](#def-g11-stat-variance).

**Solução de Exercício 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$.

**Exercício 17.10 ★★★.**

O conjunto $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contém um *valor atípico*.

1. Calcule a [média](#def-g11-stat-mean) e a [mediana](#def-g11-stat-median) com e sem o valor $23$ .
2. Calcule a [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) com e sem o $23$ .
3. Quais resumos são robustos ao valor atípico? Conclua com uma recomendação.

**Solução de Exercício 17.10.**

*1.* Com o $23$: soma $50$, [média](#def-g11-stat-mean) $5$; [mediana](#def-g11-stat-median) $=$ [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) entre o $5^{\text{o}}$ e o $6^{\text{o}}$ valores $= 3$. Sem o $23$: soma $27$, [média](#def-g11-stat-mean) $3$; [mediana](#def-g11-stat-median) ($5^{\text{o}}$ de $9$ valores) $= 3$.

*2.* Com o $23$ ($n = 10$): $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ($2$) e $Q_3$ o $8^{\text{o}}$ ($4$): [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) $2$. Sem ele ($n = 9$): $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ($2$) e $Q_3$ o $7^{\text{o}}$ ($4$): ainda $2$.

*3.* O único valor atípico arrasta a [média](#def-g11-stat-mean) de $3$ para $5$, mas deixa a [mediana](#def-g11-stat-median) e a [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) inalteradas: essas duas são *robustas*. Quando um conjunto de dados pode conter valores aberrantes, informe a [mediana](#def-g11-stat-median) e a [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles), e não a [média](#def-g11-stat-mean) e o [desvio padrão](#def-g11-stat-variance).

## 17.5 Problema: O escore z, uma régua universal

**Problema 17.1.**

Problema de fim de semana — os desvios padrão comparam laranjas com maçãs, a desigualdade de Chebyshev transforma $\sigma$ em garantia, e a média ganha sua própria medalha

Um $15/20$ numa prova difícil é melhor que um $13/20$ numa prova fácil? Um $23$ em uma lista de números pequenos é acidente ou valor atípico? Os números brutos não sabem dizer — mas, divididos pelo [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) certo, todos passam a falar uma única língua: a do *[escore z](#pb-g11-stat-1)*. Este problema domina a maquinaria da [variância](#def-g11-stat-variance) ([Definição 17.6](#def-g11-stat-variance), [Proposição 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)), constrói a régua universal e demonstra a notável desigualdade que transforma $\sigma$ de um número descritivo em uma garantia.

**Parte I — Mecânica da [variância](#def-g11-stat-variance).**

1. Para o conjunto $4, 8, 6, 5, 2$ : calcule a [média](#def-g11-stat-mean) , depois a [variância](#def-g11-stat-variance) diretamente da definição e depois $\sigma$ .
2. Recalcule a [variância](#def-g11-stat-variance) com a fórmula abreviada ( [Proposição 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) — [média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados menos quadrado da [média](#def-g11-stat-mean) — e confira a concordância.
3. Com [frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) : notas $8$ , $10$ , $14$ obtidas por $3$ , $5$ , $2$ alunos. Calcule a [média](#def-g11-stat-mean) , a [variância](#def-g11-stat-variance) e $\sigma$ (duas casas decimais).
4. Temperaturas têm [média](#def-g11-stat-mean) $20$ e $\sigma = 3$ (em graus Celsius). Dê a [média](#def-g11-stat-mean) e $\sigma$ em Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; [Proposição 17.9](#prop-g11-stat-affine) ).
5. Demonstre as duas regras que acabou de usar: somar uma constante $b$ a todos os valores desloca a [média](#def-g11-stat-mean) de $b$ e deixa $\sigma$ inalterado; multiplicar por $a$ multiplica a [média](#def-g11-stat-mean) por $a$ e $\sigma$ por $\abs a$ .

**Parte II — A régua universal.** O *escore z* de um valor $x$ em um conjunto de [média](#def-g11-stat-mean) $\bar x$ e [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $\sigma$ é $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$: o número de [desvios padrão](#def-g11-stat-variance) que separam $x$ da [média](#def-g11-stat-mean).

6. A prova A tem [média](#def-g11-stat-mean) $12$ e $\sigma = 2$ ; a prova B tem [média](#def-g11-stat-mean) $8$ e $\sigma = 4$ . Alice tirou $15$ em A e Bruno $13$ em B. Calcule os dois [escores z](#pb-g11-stat-1) : qual desempenho se destaca mais em relação ao grupo?
7. Calcule os cinco [escores z](#pb-g11-stat-1) do conjunto da questão 1 e verifique que eles têm [média](#def-g11-stat-mean) $0$ e [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $1$ . Explique, a partir da questão 5, por que a padronização *sempre* produz [média](#def-g11-stat-mean) $0$ e $\sigma = 1$ .
8. Um teste de aptidão tem [média](#def-g11-stat-mean) $100$ e $\sigma = 15$ . Que pontuação bruta corresponde a $z = 2$ ? Qual é o [escore z](#pb-g11-stat-1) de $76$ ?
9. Um pediatra registra o peso de um bebê como “ $z = -2.5$ ”. Diga o que isso significa e por que o crescimento é acompanhado em [escores z](#pb-g11-stat-1) , e não em quilogramas, à medida que a criança envelhece.
10. O valor atípico do [Exercício 17.10](#exo-g11-stat-10) (conjunto $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): calcule a [média](#def-g11-stat-mean) , $\sigma$ e o [escore z](#pb-g11-stat-1) de $23$ . O limiar clássico de alarme é $\abs z \geq 3$ : qual o veredicto?
11. Recalcule $\sigma$ *sem* o valor $23$ e o [escore z](#pb-g11-stat-1) que $23$ teria contra a [média](#def-g11-stat-mean) e o $\sigma$ dos dados limpos. O que o valor atípico fez com a própria régua destinada a medi-lo, e o que o [Exercício 17.10](#exo-g11-stat-10) sugere como contramedida?

**Parte III — A garantia de Chebyshev.**

12. Demonstre a desigualdade de Bienaymé–Chebyshev para um conjunto de dados: se uma proporção $p$ dos valores satisfaz $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$, então, mantendo apenas esses termos na soma da [variância](#def-g11-stat-variance), $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{logo}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. O que a desigualdade garante sobre a proporção de qualquer conjunto de dados além de $2\sigma$ da sua [média](#def-g11-stat-mean) ? E além de $3\sigma$ ? Verifique a afirmação sobre $2\sigma$ no conjunto da questão 1.
14. Uma fábrica produz parafusos de [média](#def-g11-stat-mean) $50$ mm e $\sigma = 0.1$ mm. O que Chebyshev garante sobre a proporção de parafusos fora de $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (A produção real se sai muito melhor — a curva em sino do ano 12 transforma esse cauteloso $\frac19$ em uma fração de por cento.)
15. Dois fundos rendem em [média](#def-g11-stat-mean) $5\,\%$ ao ano, com $\sigma = 2\,\%$ para o fundo A e $\sigma = 12\,\%$ para o fundo B. Para cada fundo, o que Chebyshev diz sobre a proporção de anos com rendimento abaixo de $-19\,\%$ ? Qual é o nome financeiro de $\sigma$ ?

**Parte IV — A medalha da [média](#def-g11-stat-mean), e um aviso.**

16. Seja $f(c)$ a [média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados dos desvios $(x_i - c)^2$ em relação a um centro arbitrário $c$. Demonstre a identidade $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ e conclua: a [média](#def-g11-stat-mean) é o único ponto que minimiza o desvio quadrático médio — sua medalha, correspondente à minimização dos desvios absolutos pela [mediana](#def-g11-stat-median) no [Problema 8.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#pb-g10-stats-1).
17. Verifique a identidade no conjunto da questão 1 com $c = 6$ : calcule $f(6)$ diretamente e pela fórmula.
18. Mesmos resumos, dados diferentes: verifique que $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ e $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ têm a mesma [média](#def-g11-stat-mean) , mas não a mesma [variância](#def-g11-stat-variance) ; construa em seguida um conjunto da forma $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ com exatamente a [média](#def-g11-stat-mean) e a [variância](#def-g11-stat-variance) de $P$ — e ainda assim com uma forma toda sua.
19. Demonstre que $\sigma = 0$ obriga todos os valores a serem iguais. (O que tem de ser cada termo de uma soma nula de quadrados?)
20. Final — a escada do estatístico, uma linha por degrau: centros ( [média](#def-g11-stat-mean) , [mediana](#def-g11-stat-median) ), dispersões ( $\sigma$ , [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles) ), a régua universal ( $z$ ), a garantia (Chebyshev) e o aviso da questão 18: os resumos comprimem, e comprimir perde — com a curva em sino do ano 12 à espera para transformar [escores z](#pb-g11-stat-1) em [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) exatas.

**Solução de Problema 17.1.**

**1.** [Média](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. Quadrados dos desvios: $1, 9, 1, 0, 9$: [variância](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$, logo $\sigma = 2$.

**2.** [Média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$; menos $\bar x^2 = 25$: [variância](#def-g11-stat-variance) $4$. Mesma resposta, metade do trabalho.

**3.** [Média](#def-g11-stat-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times
14}{10} = 10.2$; [variância](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 +
2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$; $\sigma \approx 2.09$.

**4.** [Média](#def-g11-stat-mean): $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F; $\sigma$: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — o deslocamento $+32$ não espalha nada.

**5.** Somando $b$: cada desvio $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ fica inalterado, e a [variância](#def-g11-stat-variance) também. Multiplicando por $a$: os desvios ficam multiplicados por $a$, seus quadrados por $a^2$, a [variância](#def-g11-stat-variance) por $a^2$ e $\sigma$ por $\sqrt{a^2} = \abs a$.

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$. Alice se destaca mais em relação ao seu grupo: o $15$ da prova difícil vence o $13$ da prova fácil.

**7.** Escores $z$: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: [média](#def-g11-stat-mean) $0$, [desvio padrão](#def-g11-stat-variance) $1$. Em geral, padronizar subtrai $\bar x$ (o que zera a [média](#def-g11-stat-mean) sem tocar em $\sigma$) e depois divide por $\sigma$ (o que torna o novo $\sigma$ igual a $1$): a questão 5 aplicada duas vezes.

**8.** $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$. E $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

**9.** O bebê está $2.5$ [desvios padrão](#def-g11-stat-variance) abaixo do peso médio *dos bebês da sua idade* — preocupantemente leve para a sua faixa. Quilogramas brutos não podem ser comparados entre idades (todos os bebês ganham peso); os [escores z](#pb-g11-stat-1) medem cada criança contra o próprio grupo etário, uma régua só para todas as idades.

**10.** [Média](#def-g11-stat-mean) $5$; [média](#def-g11-stat-mean) dos quadrados $\frac{622}{10} = 62.2$, [variância](#def-g11-stat-variance) $37.2$, $\sigma \approx 6.10$; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: pouco abaixo do limiar de alarme — o teste mal pisca.

**11.** Sem o $23$: [média](#def-g11-stat-mean) $3$, [variância](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$; contra a régua limpa, o $23$ marca $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$: um monstro. O valor atípico inflou tanto a [média](#def-g11-stat-mean) quanto $\sigma$, camuflando-se — e é por isso que o [Exercício 17.10](#exo-g11-stat-10) recomenda resumos robustos ([mediana](#def-g11-stat-median), [amplitude interquartil](#def-g11-stat-quartiles)) quando há risco de contaminação.

**12.** Na soma da [variância](#def-g11-stat-variance) $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$, mantenha apenas os termos com $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$: há $pN$ deles, cada um pelo menos $(k\sigma)^2$, logo $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$: divida por $k^2 \sigma^2$ (dispersão não nula): $p \leq \frac{1}{k^2}$.

**13.** Além de $2\sigma$: no máximo $\frac14 = 25\,\%$ de qualquer conjunto de dados que seja; além de $3\sigma$: no máximo $\frac19 \approx 11\,\%$. Os dados da questão 1: além de $2\sigma = 4$ da [média](#def-g11-stat-mean) $5$ significa $\leq 1$ ou $\geq 9$: nenhum dos cinco valores — $0\,\% \leq 25\,\%$, como prometido.

**14.** Fora de $\intcc{49.7}{50.3}$ significa além de $3\sigma$: no máximo $\frac19$ da produção, *qualquer que seja* a forma da distribuição — Chebyshev não pede nada além de uma [média](#def-g11-stat-mean) e um $\sigma$. A produção em forma de sino se concentra muito melhor (cerca de $0.3\,\%$ além de $3\sigma$): a lei normal, no ano 12.

**15.** $-19\,\%$ fica $24$ pontos abaixo da [média](#def-g11-stat-mean) $5$. Fundo B: $24 = 2\sigma_B$: Chebyshev permite até $\frac14$ de anos assim ruins. Fundo A: $24 = 12\sigma_A$: no máximo $\frac{1}{144}$. Mesma [média](#def-g11-stat-mean), perigos incomparáveis — $\sigma$ é o que as finanças chamam de *risco* (ou volatilidade).

**16.** Expanda em torno de $\bar x$: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) +
(\bar x - c)^2$. Tirando a [média](#def-g11-stat-mean): o termo do meio morre (os desvios em relação à [média](#def-g11-stat-mean) somam zero), restando $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) exatamente em $c = \bar x$, com valor [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $\sigma^2$. A [média](#def-g11-stat-mean) é o centro de [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) quadrados, como a [mediana](#def-g11-stat-median) é o centro de [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) desvios absolutos ([Problema 8.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#pb-g10-stats-1)).

**17.** Diretamente: os desvios em relação a $6$ são $-2, 2, 0, -1, -4$, com quadrados $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. Pela fórmula: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. Concordam.

**18.** Os dois têm [média](#def-g11-stat-mean) $7$; [variâncias](#def-g11-stat-variance): $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$; $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: dispersões diferentes por trás de uma só [média](#def-g11-stat-mean). Para $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$: a [variância](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ dá $a = \sqrt{20} \approx 4.47$: o conjunto $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ carrega exatamente a [média](#def-g11-stat-mean) e a [variância](#def-g11-stat-variance) de $P$ com um perfil completamente diferente — os resumos comprimem, e comprimir perde.

**19.** $\sigma^2 = 0$ significa que uma soma de quadrados $(x_i - \bar x)^2$ se anula; quadrados são $\geq 0$, de modo que uma soma nula obriga cada termo a ser nulo: $x_i = \bar x$ para todo $i$ — todos os valores iguais.

**20.** Os centros dizem onde os dados moram; as dispersões dizem com que folga; o [escore z](#pb-g11-stat-1) estende uma única régua sobre todos os conjuntos, provas, idades e moedas; Chebyshev converte $\sigma$ em garantia incondicional; e a questão 18 nos mantém honestos — nenhum punhado de números jamais contém a história inteira. No ano que vem, a curva em sino afia a régua até transformá-la em [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) exatas.