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title: "Probabilidade e variáveis aleatórias"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias
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# Capítulo 18 — Probabilidade e variáveis aleatórias

A [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) modela experimentos de resultado incerto: um lançamento de dado, uma carta retirada, uma partida jogada. Este capítulo monta o vocabulário em conjuntos finitos e apresenta em seguida a personagem central de toda a teoria das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution): a *[variável aleatória](#def-g11-prob-rv)* e sua *[esperança](#def-g11-prob-expectation)*. Essas noções são revistas e aprofundadas no [Capítulo 33](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#ch-g12-randvar), e as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) condicionais vêm no [Capítulo 32](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#ch-g12-condprob).

## 18.1 Probabilidade em um conjunto finito

**Definição 18.1 (Modelo probabilístico).**

Um experimento com um número finito de resultados é modelado pelo seu *espaço amostral* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (o conjunto dos resultados) junto com uma *[probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution)* $\P$ que atribui a cada resultado $\omega_i$ um número $p_i \geq 0$, com $p_1 + \dots + p_n = 1$. Um *evento* é um subconjunto $A \subseteq \Omega$, e

$$
\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .
$$

Quando todos os resultados são igualmente prováveis ($p_i = \frac1n$: o *modelo uniforme*),

$$
\P(A) = \frac{\text{número de resultados em } A}
{\text{número de resultados em } \Omega}.
$$

**Exemplo 18.2.**

Lance dois dados distinguíveis: $\Omega$ é o conjunto dos $36$ pares ordenados $(i, j)$ com $1 \leq i, j \leq 6$, todos igualmente prováveis. O [evento](#def-g11-prob-model) $S$ = “a soma é $7$” contém os $6$ pares $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, logo $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$. O [evento](#def-g11-prob-model) “a soma é $12$” contém apenas $(6,6)$: [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{36}$. Escolher o [espaço amostral](#def-g11-prob-model) *certo* — pares ordenados, não desordenados — é o que torna o [modelo uniforme](#def-g11-prob-model) aplicável.

**Proposição 18.3 (Regras da probabilidade).**

Para [eventos](#def-g11-prob-model) $A, B \subseteq \Omega$:

$$
\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
$$

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
$$

em que $\bar A$ é o *[complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations)* de $A$ (todos os resultados que não estão em $A$). Em particular, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ quando $A$ e $B$ são *[incompatíveis](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \emptyset$).

**Demonstração.** O [evento](#def-g11-prob-model) vazio não contém resultado algum (soma vazia), e $\Omega$ contém todos eles (soma total $1$). Cada resultado está em exatamente um entre $A$ e $\bar A$, logo $\P(A) + \P(\bar A) = 1$. Para a [união](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): somar os $p_i$ sobre $A$ e depois sobre $B$ conta duas vezes os resultados de $A \cap B$; subtrair $\P(A \cap B)$ corrige a contagem dupla. ∎

**Exemplo 18.4.**

Em uma turma, $60\%$ estudam música ($M$), $45\%$ praticam um esporte ($S$) e $25\%$ fazem as duas coisas. A proporção que faz pelo menos uma é $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$, de modo que $20\%$ não fazem nenhuma ([complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations)).

## 18.2 Variáveis aleatórias

**Definição 18.5 (Variável aleatória, distribuição).**

Uma *variável aleatória* em $\Omega$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $X$ que atribui um número a cada resultado. Sua *distribuição* é a tabela de seus valores possíveis $x_1, \dots, x_k$ junto com suas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution)

$$
\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr),
\qquad
\sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .
$$

**Exemplo 18.6.**

Um jogo: pague $2$ euros, lance um dado honesto e receba o valor da face se ele for pelo menos $5$, e nada caso contrário. Seja $G$ o *ganho* (o recebido menos o pago). Os resultados $1, 2, 3, 4$ dão $G = -2$; o resultado $5$ dá $G = 3$; o resultado $6$ dá $G = 4$. A [distribuição](#def-g11-prob-rv) de $G$:

| $g$ | $-2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G = g)$ | $\dfrac46$ | $\dfrac16$ | $\dfrac16$ |

**Método 18.7 (Montar uma tabela de distribuição).**

Liste os valores possíveis de $X$; para cada valor, reúna os resultados que o produzem e some suas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution); confira que a linha das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) soma $1$.

## 18.3 Esperança

**Definição 18.8 (Esperança).**

A *esperança* (ou [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean)) de $X$ é a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) dos seus valores ponderada pelas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution):

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .
$$

**Observação 18.9.**

$\E(X)$ é o que seria a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de um número enorme de repetições independentes do experimento — a versão precisa dessa afirmação é a lei dos grandes números, demonstrada no [Capítulo 34](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-g12-sums). Note a analogia formal com a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de um conjunto de dados com [frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) ([Definição 17.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean)): as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) fazem o papel das [frequências relativas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) $\frac{n_i}{n}$.

**Exemplo 18.10.**

Para o jogo do [Exemplo 18.6](#ex-g11-prob-game):

$$
\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4
= \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .
$$

Em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), o jogador perde cerca de $17$ centavos por partida: o jogo é desfavorável. Um jogo é dito *justo* quando o ganho esperado é $0$.

**Proposição 18.11 (Linearidade).**

Para todos os reais $a, b$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .
$$

**Demonstração.** A variável $aX + b$ assume o valor $a x_i + b$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\P(X = x_i)$, logo

$$
\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b)
= a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X =
x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .
$$

∎

## 18.4 Variância e desvio padrão

**Definição 18.12 (Variância).**

A *variância* de $X$ mede a dispersão de seus valores em torno da [esperança](#def-g11-prob-expectation) $m = \E(X)$:

$$
\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr)
= \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposição 18.13 (Fórmula abreviada).**

$$
\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

**Demonstração.** Expanda $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dentro da soma:

$$
\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2
- 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i)
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,
$$

que é $\E(X^2) - m^2$. Essa é a versão, para variáveis aleatórias, da identidade demonstrada para conjuntos de dados na [Proposição 17.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#prop-g11-stat-shortcut). ∎

**Proposição 18.14 (Transformação afim).**

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ e $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$.

**Demonstração.** Por linearidade, $aX + b$ desvia-se de sua [esperança](#def-g11-prob-expectation) $a m + b$ de $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$: cada desvio fica multiplicado por $a$, logo cada quadrado de desvio por $a^2$, e a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) ponderada deles também. O deslocamento $b$ desapareceu — deslocar uma variável não muda sua dispersão. ∎

**Exemplo 18.15.**

Para o jogo do [Exemplo 18.6](#ex-g11-prob-game): $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16
= \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$, de modo que

$$
\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2
= \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad
\sigma(G) \approx 2.6 .
$$

A perda [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de $0.17$ por partida vem acompanhada de oscilações de tamanho típico $2.6$ euros — a [esperança](#def-g11-prob-expectation) sem o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) conta apenas metade da história.

![A distribuição do ganho G do e sua esperança (G) = -1/6 (tracejada): o ponto de equilíbrio das massas de probabilidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-prob/fig-10cbaf11787d.svg)

*A [distribuição](#def-g11-prob-rv) do ganho $G$ do [Exemplo 18.6](#ex-g11-prob-game) e sua [esperança](#def-g11-prob-expectation) $\E(G) = -\frac16$ (tracejada): o ponto de equilíbrio das massas de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution).*

## 18.5 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Uma carta é retirada de um baralho comum de $52$ cartas. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de retirar: uma carta de copas; um rei; uma carta de copas ou um rei; nem carta de copas nem rei.

**Solução de Exercício 18.1.**

[Modelo uniforme](#def-g11-prob-model) sobre $52$ cartas. Copas: $\frac{13}{52} = \frac14$. Reis: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. Copas ou rei: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (o rei de copas é contado uma só vez). Nenhum dos dois: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.

**Exercício 18.2 ★.**

Dois dados honestos são lançados e sua soma $S$ é registrada. Usando o modelo de $36$ resultados do [Exemplo 18.2](#ex-g11-prob-twodice), calcule $\P(S = 6)$, $\P(S \geq 10)$ e $\P(S \text{ é par})$.

**Solução de Exercício 18.2.**

$S = 6$: os pares $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$, logo $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$.

$S \geq 10$: três pares para $10$, dois para $11$, um para $12$: $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$.

$S$ par: as somas $2, 4, 6, 8, 10, 12$ têm $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ pares: [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{36} = \frac12$.

**Exercício 18.3 ★.**

Uma [variável aleatória](#def-g11-prob-rv) tem [distribuição](#def-g11-prob-rv)

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(X=x)$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.4$ | $p$ |

Encontre $p$ e calcule em seguida $\E(X)$.

**Solução de Exercício 18.3.**

As [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) somam $1$: $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$. Então

$$
\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5
= -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .
$$

**Exercício 18.4 ★.**

$X$ satisfaz $\E(X) = 3$ e $\V(X) = 4$. Dê a [esperança](#def-g11-prob-expectation), a [variância](#def-g11-prob-variance) e o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) de $Y = 2X - 5$.

**Solução de Exercício 18.4.**

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$; $\sigma(Y) = 4$.

**Exercício 18.5 ★★.**

Uma roleta de prêmios tem $10$ setores iguais: $5$ mostram $0$ euros, $3$ mostram $2$ euros e $2$ mostram $5$ euros. Jogar custa $2$ euros. Dê a [distribuição](#def-g11-prob-rv) do ganho $G$ (prêmio menos aposta), calcule $\E(G)$ e decida se o jogo é favorável.

**Solução de Exercício 18.5.**

Os prêmios são $0$, $2$, $5$ euros com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.5$, $0.3$, $0.2$; subtraindo a aposta de $2$ euros, $G$ assume os valores $-2, 0, 3$:

| $g$ | $-2$ | $0$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $0.5$ | $0.3$ | $0.2$ |

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$: o jogador perde $40$ centavos por partida em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) — desfavorável.

**Exercício 18.6 ★★.**

Uma urna contém $3$ bolas vermelhas e $2$ azuis; duas bolas são retiradas *sem* reposição. Seja $X$ o número de bolas vermelhas retiradas. Monte a [distribuição](#def-g11-prob-rv) de $X$ (enumerando as $20$ retiradas ordenadas, ou usando uma [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree)) e calcule $\E(X)$.

**Solução de Exercício 18.6.**

Retirando em ordem: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (vermelha e depois vermelha); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (azul e depois azul); logo $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} =
\frac{6}{10}$. Então

$$
\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10}
= \frac{12}{10} = 1.2 ,
$$

coerente com a intuição: em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), $\frac35$ das duas retiradas são vermelhas.

**Exercício 18.7 ★★.**

Para a roleta do [Exercício 18.5](#exo-g11-prob-5), calcule $\V(G)$ e $\sigma(G)$.

**Solução de Exercício 18.7.**

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$, logo, pela fórmula abreviada, $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ e $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

**Exercício 18.8 ★★.**

Uma seguradora vende uma apólice por $80$ euros. Com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.05$ o cliente reclama $1000$ euros, com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.01$ reclama $5000$ euros, e não reclama nada nos demais casos. Seja $B$ o resultado da empresa em uma apólice. Dê a [distribuição](#def-g11-prob-rv) de $B$, calcule $\E(B)$ e interprete.

**Solução de Exercício 18.8.**

O resultado é $80$ menos o valor reclamado:

| $b$ | $80$ | $-920$ | $-4920$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(B=b)$ | $0.94$ | $0.05$ | $0.01$ |

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$: a esse preço, a empresa *perde* $20$ euros por apólice em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean). O prêmio é baixo demais para os riscos cobertos (ele precisaria passar de $100$ euros para dar resultado esperado positivo).

**Exercício 18.9 ★★.**

Uma questão de múltipla escolha tem $4$ respostas, uma correta. Uma resposta certa vale $+1$; para desestimular o chute, uma resposta errada vale $x < 0$. Um aluno responde ao acaso. Para que valor de $x$ a pontuação esperada do aluno é nula?

**Solução de Exercício 18.9.**

A pontuação aleatória é $+1$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ e $x$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac34$:

$$
\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .
$$

Com a penalidade $-\frac13$, chutar ao acaso não traz nada em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean).

**Exercício 18.10 ★★.**

Duas moedas honestas são lançadas. Ana propõe: “se as duas moedas coincidirem, eu lhe pago $1$ euro; se forem diferentes, você me paga $1$ euro”. Calcule o ganho esperado de cada jogador. O jogo é justo? Mesma pergunta com três moedas, em que Ana paga $2$ euros se as três coincidirem.

**Solução de Exercício 18.10.**

Duas moedas: elas coincidem (duas caras ou duas coroas) com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac24 \times 2 = \frac12$. O ganho do jogador é $+1$ ou $-1$ com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) iguais: [esperança](#def-g11-prob-expectation) $0$ para os dois jogadores — o jogo é justo.

Três moedas: as três coincidem (três caras ou três coroas) com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{2}{8} = \frac14$. O jogador recebe $2$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ e paga $1$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac34$: $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$. O jogo favorece Ana em $25$ centavos por rodada; seria justo se ela pagasse $3$ euros por uma trinca coincidente.

**Exercício 18.11 ★★★.**

Uma rifa vende $1000$ bilhetes a $5$ euros cada. Um bilhete ganha $2000$ euros, cinco bilhetes ganham $200$ euros e vinte bilhetes ganham $25$ euros.

1. Dê a [distribuição](#def-g11-prob-rv) da arrecadação total menos os prêmios, do ponto de vista do organizador, e a do ganho $G$ de um único jogador.
2. Calcule $\E(G)$ e o lucro total esperado do organizador. Verifique que as duas respostas são coerentes.

**Solução de Exercício 18.11.**

*1.* O organizador recebe $1000 \times 5 = 5000$ euros e paga $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros ao todo: o lucro é a *constante* $1500$ (nenhuma aleatoriedade, uma vez vendidos todos os bilhetes). O ganho $G$ de um único jogador (prêmio menos o bilhete de $5$ euros):

| $g$ | $1995$ | $195$ | $20$ | $-5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $\dfrac{1}{1000}$ | $\dfrac{5}{1000}$ | $\dfrac{20}{1000}$ | $\dfrac{974}{1000}$ |

*2.*

$$
\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000}
= \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .
$$

Cada jogador espera perder $1.50$ euro; em $1000$ jogadores isso dá $1500$ euros — exatamente o lucro do organizador. As contas fecham: o que os jogadores perdem em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) é precisamente o que o organizador arrecada.

## 18.6 Problema: A partida interrompida

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — Pascal, Fermat e a divisão justa de uma aposta interrompida: o nascimento da esperança, a mágica da linearidade e o que a esperança não enxerga

Em 1654, o cavaleiro de Méré — o mesmo jogador cujas apostas em dados abriram o problema de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) do volume do ensino fundamental — fez a Blaise Pascal uma pergunta mais profunda: dois jogadores igualmente hábeis têm de interromper sua série no placar de $5$ a $3$, sendo que seis vitórias levam o bolo de $64$ pistolas. *Como dividir o bolo de forma justa?* As cartas trocadas entre Pascal e Fermat para responder a isso fundaram o conceito que está no coração deste capítulo: a [esperança](#def-g11-prob-expectation) ([Definição 18.8](#def-g11-prob-expectation)). Você vai rededuzir a resposta deles pelos dois caminhos e depois conhecer o truque de festa da linearidade e o único ponto cego da [esperança](#def-g11-prob-expectation).

**Parte I — Fluência com [esperança](#def-g11-prob-expectation).**

1. Lance um dado honesto; seu ganho é (face $- 3$ ) euros. Monte a tabela de [distribuição](#def-g11-prob-rv) do ganho $G$ ( [Método 18.7](#met-g11-prob-table) ) e calcule $\E(G)$ .
2. Calcule $V(G)$ com a fórmula abreviada ( [Proposição 18.13](#prop-g11-prob-konig) ) e $\sigma(G)$ (duas casas decimais).
3. Sem nenhuma tabela nova, dê $\E(2G - 1)$ e $V(2G - 1)$ ( [Proposição 18.14](#prop-g11-prob-affine) ).
4. Uma barraca cobra $m$ euros para você lançar dois dados e lhe paga a soma em euros. Qual é o preço *justo* $m$ ? A barraca cobra $8$ : qual é sua perda esperada por partida?
5. Um notebook de $800$ euros tem $5\,\%$ de chance de ser destruído a cada ano. Calcule o prêmio de seguro justo e o lucro esperado da seguradora por apólice se ela cobrar $60$ euros.

**Parte II — Dividir o bolo.** Placar $5$–$3$, o primeiro a $6$ leva as $64$ pistolas, e as rodadas são lançamentos de uma moeda honesta.

6. Duas respostas erradas tentadoras: dividir $5 : 3$ (proporcionalmente às rodadas ganhas) ou dar tudo a quem lidera. Diga em uma frase cada o que há de injusto nelas.
7. O método de Fermat: o jogador A precisa de $1$ vitória a mais e B precisa de $3$ ; imagine jogar exatamente mais $3$ rodadas, aconteça o que acontecer. Liste os $8$ resultados igualmente prováveis, marque quem ganha a série em cada um e deduza a divisão justa das $64$ pistolas.
8. O ponto sutil que Fermat teve de defender: a partida real poderia parar depois de uma rodada — por que é, ainda assim, legítimo raciocinar sobre as $3$ rodadas imaginárias?
9. O método de Pascal, de trás para a frente: calcule a parte justa de A nos placares (hipotéticos) $5$ – $5$ , depois $5$ – $4$ e depois $5$ – $3$ , a cada vez tirando a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) dos dois futuros igualmente prováveis. Compare com a questão 7.
10. Mesma pergunta no placar $4$ – $3$ : quantas rodadas imaginárias, quais resultados dão a série a B e qual é a divisão justa?
11. Enuncie o princípio que os dois métodos partilham — o valor justo de um futuro incerto é a sua *[esperança](#def-g11-prob-expectation)* — e nomeie duas indústrias modernas que funcionam inteiramente sobre ele (a questão 5 mostra uma).
12. Uma verificação de sanidade para qualquer placar: explique, com a linearidade da [esperança](#def-g11-prob-expectation) ( [Proposição 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), por que as partes justas dos dois jogadores têm sempre de somar exatamente o bolo de $64$ pistolas.

**Parte III — O truque de festa da linearidade.**

13. Reobtenha $\E(\text{soma de dois dados}) = 7$ em uma linha com a linearidade ( [Proposição 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), sem tabela de $36$ casas. Para a *[variância](#def-g11-prob-variance)* da soma, a regra $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ exige que os dados sejam independentes (admitido): calcule-a.
14. A festa dos chapéus: $n$ convidados jogam seus chapéus em uma pilha e cada um pega um de volta ao acaso. Seja $X$ o número de convidados que recuperam o próprio chapéu. Para um convidado fixado, qual é a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de recuperar o próprio chapéu? Somando essas $n$ chances (linearidade!), calcule $\E(X)$ . A resposta deve surpreender: ela não depende de $n$ .
15. Verifique $\E(X) = 1$ na força bruta para $n = 2$ e $n = 3$ (liste as $2$ e as $6$ distribuições de chapéus igualmente prováveis e tire a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) das contagens).
16. As recuperações dos convidados estão longe de ser independentes (se $n - 1$ convidados recuperaram o próprio chapéu, o último também tem de recuperar). Em que ponto exatamente o cálculo da questão 14 *não* exigiu independência? Enuncie o superpoder da linearidade.

**Parte IV — O que a [esperança](#def-g11-prob-expectation) não enxerga.**

17. Duas raspadinhas de $5$ euros: a raspadinha A paga $10$ euros com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac12$ ; a B paga $1\,000$ euros com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.005$ . Verifique que os dois ganhos têm a mesma [esperança](#def-g11-prob-expectation) e calcule as duas [variâncias](#def-g11-prob-variance) . Que raspadinha as pessoas de fato compram, e o que elas estão comprando?
18. O jogo de São Petersburgo: lance uma moeda até sair a primeira coroa; se a primeira coroa sair no lançamento $n$ , você recebe $2^n$ euros. Calcule a contribuição de cada $n$ à [esperança](#def-g11-prob-expectation) e a própria [esperança](#def-g11-prob-expectation) . Você pagaria $1\,000$ euros para jogar uma única vez? O que esse conflito ensina sobre a [esperança](#def-g11-prob-expectation) ?
19. O seguro visto pelo cliente: pagar $20$ euros ou correr um risco de $1\,\%$ de perder $1\,000$ ? Compare as duas [esperanças](#def-g11-prob-expectation) e explique por que comprar o seguro pode ainda assim ser racional (sobre o que uma única família não consegue “tirar [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) ”?).
20. Final — a biografia da [esperança](#def-g11-prob-expectation) , uma frase por capítulo: nascida em 1654 para dividir um bolo; seu superpoder, a linearidade, que soma [esperanças](#def-g11-prob-expectation) sem pedir licença à independência (os chapéus); seu ponto cego, o risco, que a [variância](#def-g11-prob-variance) mede (raspadinhas, São Petersburgo, seguro); e sua coroação no ano que vem, quando a lei dos grandes números explicar exatamente por que a banca sempre ganha.

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $G$ assume $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, cada um com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac16$: $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 +
3}{6} = \frac12$ euro.

**2.** $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} =
\frac{19}{6}$; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12}
\approx 2.92$; $\sigma(G) \approx 1.71$.

**3.** $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$.

**4.** $\E(\text{soma}) = 7$: preço justo $7$ euros. A $8$, a perda esperada é de $1$ euro por partida.

**5.** Prêmio justo: $0.05 \times 800 = 40$ euros. Cobrando $60$: lucro esperado de $20$ euros por apólice.

**6.** Dividir $5:3$ premia o *passado* — mas o bolo pertence a quem ganhar o *futuro*, e B ainda poderia vencer. Dar tudo a A trata uma vitória provável como certa — a pequena chance de B vale alguma coisa.

**7.** Rodadas a jogar: $3$; resultados (vitória de A ou de B por rodada): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. O jogador B leva a série apenas ganhando as três: só BBB. A ganha a série em $7$ dos $8$ casos: divisão justa de $64 \times \frac78 = 56$ pistolas para A e $8$ para B.

**8.** Jogar as rodadas extras e inúteis não muda a vitória de ninguém: uma vez que A tenha sua sexta vitória, as rodadas seguintes são cerimônia. Mas fixar o horizonte em exatamente $3$ rodadas torna os $8$ resultados igualmente prováveis — uma contagem honesta precisa de histórias do mesmo comprimento, e preenchê-las não custa nada.

**9.** Em $5$–$5$: uma rodada decisiva, $32$ para cada um. Em $5$–$4$: A recebe $\frac{64 + 32}{2} = 48$. Em $5$–$3$: a rodada seguinte leva a $64$ (se A a vencer) ou à posição $5$–$4$, que vale $48$: a parte de A é $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — o $56 : 8$ de Fermat, rededuzido caminhando de trás para a frente.

**10.** A precisa de $2$ e B de $3$: jogue $4$ rodadas imaginárias ($16$ resultados). B leva a série com $3$ ou $4$ vitórias: $4 + 1 = 5$ resultados. Divisão: para B, $64 \times \frac{5}{16} = 20$; para A, $44$.

**11.** O valor presente justo de um pagamento futuro incerto é a sua [esperança](#def-g11-prob-expectation) — a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) ponderada pelas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) do que pode acontecer. Os seguros (questão 5) e as finanças (precificação de pagamentos incertos) são essa frase transformada em indústria; os cassinos também, do outro lado da mesa.

**12.** O bolo sempre vai parar em algum lugar: as duas partes são variáveis aleatórias que somam a constante $64$, logo, por linearidade, $\E_A + \E_B = 64$ — as partes justas esgotam o bolo, em qualquer placar.

**13.** Linearidade: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$, sem tabela — verdadeiro até para dados colados um no outro. [Variância](#def-g11-prob-variance) de um dado: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} -
\frac{49}{4} = \frac{35}{12}$; para dados independentes, $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

**14.** Cada convidado fixado recupera o próprio chapéu com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ (o chapéu dele é um entre $n$). Somando sobre os $n$ convidados: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — um convidado de sorte em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), tenha a festa dois chapéus ou dois mil.

**15.** $n = 2$: as distribuições são ambos certos ($X = 2$) ou trocados ($X = 0$): $\E = 1$. $n = 3$: as seis distribuições dão $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$: $\E = \frac{6}{6} = 1$.

**16.** O cálculo somou as [esperanças](#def-g11-prob-expectation) dos $n$ indicadores individuais (“o convidado $i$ pegou o próprio chapéu”), e a linearidade soma [esperanças](#def-g11-prob-expectation) *sem condições* — a dependência arruinaria um produto ou uma [variância](#def-g11-prob-variance), mas nunca uma soma de [esperanças](#def-g11-prob-expectation). Esse é o superpoder da linearidade: nenhuma pergunta sobre independência.

**17.** Os dois ganhos: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ e $0.005 \times 1000 - 5 = 0$. [Variâncias](#def-g11-prob-variance) (do ganho): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$: $\sigma_A = 5$ e $\sigma_B \approx 70.5$. As pessoas compram a B: o que elas adquirem não é [esperança](#def-g11-prob-expectation) (nula nas duas), e sim a *dispersão* — uma pequena chance de uma cauda direita que muda a vida.

**18.** A primeira coroa no lançamento $n$ tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $2^{-n}$ e paga $2^n$: cada $n$ contribui $2^{-n} \times 2^n = 1$ para a [esperança](#def-g11-prob-expectation), que é, portanto, $1 + 1 + 1 + \dots$: infinita. E, no entanto, ninguém em sã consciência paga $1\,000$ para jogar uma vez: com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{15}{16}$ o pagamento é no máximo $16$. A [esperança](#def-g11-prob-expectation) resume o longo prazo de apostas *repetíveis*; um jogo único com uma cauda selvagem não se precifica pela [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean).

**19.** [Esperanças](#def-g11-prob-expectation): com seguro, $-20$; sem seguro, $-0.01 \times 1000 = -10$. A estratégia descoberta vence em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) — para quem consegue absorver a perda e repetir a aposta muitas vezes. Uma família que não sobrevive ao $-1\,000$ não está no ramo das [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean): ela paga $10$ a mais para apagar a [variância](#def-g11-prob-variance). As seguradoras tiram [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean); as famílias compram certeza.

**20.** Nascida da divisão de um bolo entre dois jogadores impacientes; fortalecida pela linearidade, que soma [esperanças](#def-g11-prob-expectation) sem pedir licença à dependência (os chapéus); cega ao risco, que a [variância](#def-g11-prob-variance) — as raspadinhas, o jogo de São Petersburgo, a apólice da família — tem de medir em seu lugar; e coroada no ano que vem pela lei dos grandes números, que explica por que as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) sempre acabam sendo cobradas.