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title: "A distribuição binomial"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 19
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial
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# Capítulo 19 — A distribuição binomial

Repita várias vezes, de forma independente, o mesmo experimento de sim/não e conte os sucessos: a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) resultante — a *binomial* — é a mais importante de todas as distribuições discretas. Este capítulo a constrói com [árvores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) e contagem de caminhos; a fórmula fechada para o número de caminhos (com fatoriais) chega com as ferramentas de contagem do [Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#ch-g12-comb), e a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) é retomada no [Capítulo 33](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#ch-g12-randvar).

## 19.1 Ensaios de Bernoulli

**Definição 19.1 (Ensaio de Bernoulli).**

Um *ensaio de Bernoulli* é um experimento com exatamente dois resultados: *sucesso*, com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p$, e *fracasso*, com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $1 - p$. Diz-se que a [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) $X$ igual a $1$ no sucesso e a $0$ no fracasso segue a *[distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) de Bernoulli* $\mathcal B(p)$; então

$$
\E(X) = p,
\qquad
\V(X) = p(1 - p).
$$

**Demonstração das duas fórmulas.** $\E(X) = p \times 1 + (1-p) \times 0 = p$; e, como $X^2 = X$ (tanto $0$ quanto $1$ são iguais aos próprios quadrados), $\E(X^2) = p$, logo, pela [Proposição 18.13](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#prop-g11-prob-konig), $\V(X) = p - p^2 = p(1-p)$. ∎

**Definição 19.2 (Ensaios independentes repetidos).**

Repetir um [ensaio de Bernoulli](#def-g11-binom-bernoulli) $n$ vezes de forma *independente* significa: o resultado de cada ensaio não influencia os demais, e a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de uma [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso#def-g11-seq-sequence) completa de resultados é o *produto* das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) ao longo do caminho correspondente da [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) — $p$ para cada sucesso, $1 - p$ para cada fracasso.

**Exemplo 19.3.**

Três ensaios independentes com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sucesso $p$. A [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso#def-g11-seq-sequence) SFS (sucesso, fracasso, sucesso) tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p(1-p)p = p^2(1-p)$ — e o mesmo vale para *toda* [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso#def-g11-seq-sequence) com exatamente dois sucessos, quaisquer que sejam as posições: só o *número* de S e de F importa.

## 19.2 Contagem de caminhos e coeficientes binomiais

**Definição 19.4 (Coeficiente binomial).**

Na [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de $n$ ensaios independentes, o *coeficiente binomial* $\binom{n}{k}$ (lê-se “$n$ escolhe $k$”) é o número de caminhos que contêm exatamente $k$ sucessos.

**Exemplo 19.5.**

$\binom{3}{2} = 3$: os caminhos SSF, SFS, FSS. Do mesmo modo, $\binom{3}{0} = 1$ (o caminho FFF), $\binom{3}{1} = 3$ e $\binom{3}{3} = 1$. Por convenção e pela [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree), $\binom n0 = \binom nn = 1$ para todo $n$.

![A árvore de n = 3 ensaios: 32 = 3 caminhos (em vermelho) carregam exatamente dois sucessos, cada um com probabilidade p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-binom/fig-e072311af7aa.svg)

*A [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de $n = 3$ ensaios: $\binom{3}{2} = 3$ caminhos (em vermelho) carregam exatamente dois sucessos, cada um com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$.*

**Proposição 19.6 (Relação de Pascal).**

Para $1 \leq k \leq n - 1$:

$$
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.
$$

**Demonstração.** Separe os caminhos da [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de $n$ ensaios com $k$ sucessos conforme o seu *último* ensaio. Os que terminam em sucesso vêm de um caminho dos primeiros $n-1$ ensaios com $k - 1$ sucessos: há $\binom{n-1}{k-1}$ deles. Os que terminam em fracasso prolongam um caminho com $k$ sucessos entre os primeiros $n-1$ ensaios: $\binom{n-1}{k}$ deles. Todo caminho é de exatamente um dos dois tipos. ∎

A relação de Pascal gera os coeficientes linha a linha — cada entrada é a soma das duas que estão acima dela:

$$
\begin{array}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\\
&&&&1&&1&&&&\\
&&&1&&2&&1&&&\\
&&1&&3&&3&&1&&\\
&1&&4&&6&&4&&1&\\
1&&5&&10&&10&&5&&1
\end{array}
$$

**Observação 19.7.**

Uma fórmula fechada, $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, junto com uma teoria sistemática de contagem, é estabelecida no [Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#ch-g12-comb). Neste nível, o [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal) calcula todos os coeficientes de que precisamos.

## 19.3 A distribuição binomial

**Teorema 19.8 (Distribuição binomial).**

Seja $X$ o número de sucessos em $n$ [ensaios de Bernoulli](#def-g11-binom-bernoulli) independentes de parâmetro $p$. Então $X$ segue a *distribuição binomial* $\mathcal B(n, p)$:

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k},
\qquad k = 0, 1, \dots, n .
$$

**Demonstração.** O [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $X = k$ é o conjunto de todos os caminhos com exatamente $k$ sucessos. Cada caminho desses tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$: o produto ao longo do caminho contém $k$ fatores $p$ e $n - k$ fatores $1-p$, em alguma ordem ([Definição 19.2](#def-g11-binom-repeated)). Há $\binom nk$ caminhos assim ([Definição 19.4](#def-g11-binom-coefficient)), e suas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) se somam. ∎

**Exemplo 19.9.**

Um teste tem $5$ questões independentes, cada uma com $4$ alternativas; um aluno responde ao acaso, de modo que cada questão é um sucesso com $p = \frac14$. O número $X$ de respostas corretas segue $\mathcal B\left(5, \frac14\right)$ e, usando a linha $5$ do [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal):

$$
\P(X = 2) = \binom52 \left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^3
= 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64}
= \frac{270}{1024} \approx 0.26 .
$$

A [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de pelo menos uma resposta correta usa o [complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations): $\P(X \geq 1) = 1 - \P(X = 0) = 1 - \left(\frac34\right)^5 \approx
0.76$.

**Proposição 19.10 (Esperança e variância).**

Se $X \sim \mathcal B(n, p)$:

$$
\E(X) = np,
\qquad
\V(X) = np(1-p).
$$

**Justificativa.** Escreva $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$, em que $X_i$ vale $1$ se o $i$-ésimo ensaio é bem-sucedido: cada $X_i$ é uma variável de Bernoulli de [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-expectation) $p$ ([Definição 19.1](#def-g11-binom-bernoulli)). As [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) se somam — somar as $n$ contribuições dá $\E(X) = np$. Que as *[variâncias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-variance)* também se somam para variáveis independentes é verdade, mas mais delicado: a fórmula da [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-variance) é *admitida neste nível* e demonstrada no [Capítulo 34](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-g12-sums). ∎

![A distribuição B(10, 0.5) (dez lançamentos de uma moeda honesta): centrada em (X) = np = 5, simétrica, com quase toda a probabilidade entre 2 e 8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-binom/fig-898c61c43c64.svg)

*A [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) $\mathcal B(10, 0.5)$ (dez lançamentos de uma moeda honesta): centrada em $\E(X) = np = 5$, simétrica, com quase toda a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) entre $2$ e $8$.*

**Método 19.11 (Reconhecer uma situação binomial).**

Antes de escrever $X \sim \mathcal B(n, p)$, confira três ingredientes: um *número fixo* $n$ de ensaios, decidido de antemão; cada ensaio com *dois resultados* e a *mesma* [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sucesso $p$; e ensaios *independentes* (com reposição, ou dispositivos separados). Retirar sem reposição de uma população pequena *não* é binomial — a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) muda a cada retirada ([Exercício 18.6](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#exo-g11-prob-6)).

## 19.4 Amostragem: a observação é surpreendente?

A [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) binomial responde a uma pergunta muito prática: *se a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sucesso é mesmo $p$, que números de sucessos são plausíveis?*

**Exemplo 19.12.**

Uma máquina deveria produzir no máximo $10\%$ de peças defeituosas. Em um lote de $10$ peças, $4$ estão defeituosas. Azar ou máquina quebrada? Se a máquina estiver boa, o número de defeituosas segue $\mathcal B(10, 0.1)$, e

$$
\P(X \geq 4) = 1 - \P(X \leq 3) \approx 1 - 0.987 = 0.013 :
$$

cerca de uma chance em $80$. Observar um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) tão improvável é um sinal forte — *rejeita-se* a hipótese de que a máquina ainda trabalha a $10\%$, tendo em mente que a decisão pode estar errada com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cerca de $0.013$.

**Método 19.13 (Regra de decisão a partir de um modelo binomial).**

Para julgar um número observado $k$ de sucessos contra uma hipótese $X \sim \mathcal B(n, p)$: calcule, sob a hipótese, a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de um resultado *pelo menos tão extremo* quanto $k$. Se essa [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) for muito pequena (convenção comum: abaixo de $5\%$), rejeite a hipótese; caso contrário, a observação é compatível com ela. O limiar é uma escolha, não um teorema — a estatística quantifica o risco, e o usuário o aceita.

## 19.5 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Estenda o [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal) até a linha $7$ e dê os valores de $\binom62$, $\binom{7}{3}$ e $\binom74$.

**Solução de Exercício 19.1.**

Linhas $6$ e $7$:

$$
1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1
\qquad\text{e}\qquad
1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1 .
$$

Logo $\binom62 = 15$, $\binom73 = 35$, $\binom74 = 35$ (a simetria $\binom73 = \binom74$ reflete a troca entre sucessos e fracassos).

**Exercício 19.2 ★.**

Um dado honesto é lançado $4$ vezes; $X$ conta os seis. Justifique que $X \sim \mathcal B\left(4, \frac16\right)$ e calcule $\P(X = 0)$, $\P(X = 1)$ e $\P(X \geq 2)$.

**Solução de Exercício 19.2.**

Número fixo de ensaios ($4$ lançamentos), dois resultados por lançamento (seis ou não, $p = \frac16$) e lançamentos independentes: $X \sim \mathcal B(4, \frac16)$.

$$
\P(X=0) = \left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.48,
\qquad
\P(X=1) = 4 \times \frac16\left(\frac56\right)^3 = \frac{500}{1296}
\approx 0.39,
$$

$$
\P(X \geq 2) = 1 - \frac{625 + 500}{1296} = \frac{171}{1296}
\approx 0.13 .
$$

**Exercício 19.3 ★.**

Qual das situações a seguir é binomial? Justifique.

1. Número de caras em $20$ lançamentos de uma moeda honesta.
2. Número de ases em $5$ cartas distribuídas de um mesmo baralho.
3. Número de dias de chuva na próxima semana, se cada dia é chuvoso com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.3$ , de forma independente.

**Solução de Exercício 19.3.**

*1.* Binomial $\mathcal B(20, \frac12)$: $n$ fixo, mesmo $p$, lançamentos independentes.

*2.* Não é binomial: as cartas são distribuídas *sem reposição*, de modo que a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de um ás muda de carta para carta e as retiradas não são independentes.

*3.* Binomial $\mathcal B(7, 0.3)$, pela hipótese de independência enunciada.

**Exercício 19.4 ★.**

$X \sim \mathcal B(50, 0.2)$. Dê $\E(X)$, $\V(X)$ e $\sigma(X)$.

**Solução de Exercício 19.4.**

$\E(X) = 50 \times 0.2 = 10$; $\V(X) = 50 \times 0.2 \times 0.8 = 8$; $\sigma(X) = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**Exercício 19.5 ★★.**

Um arqueiro acerta o alvo com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.7$ em cada disparo, de forma independente. Em $6$ disparos, calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de exatamente $4$ acertos e a de pelo menos $5$ acertos.

**Solução de Exercício 19.5.**

$X \sim \mathcal B(6, 0.7)$.

$$
\P(X = 4) = \binom64 (0.7)^4 (0.3)^2 = 15 \times 0.2401 \times 0.09
\approx 0.324 .
$$

$$
\P(X \geq 5) = \binom65 (0.7)^5(0.3) + (0.7)^6
= 6 \times 0.16807 \times 0.3 + 0.117649 \approx 0.420 .
$$

**Exercício 19.6 ★★.**

Uma prova de verdadeiro ou falso tem $8$ questões; um aluno chuta cada resposta. Qual é a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de ele passar (pelo menos $6$ respostas corretas)?

**Solução de Exercício 19.6.**

$X \sim \mathcal B\left(8, \frac12\right)$; todo caminho tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{256}$, logo

$$
\P(X \geq 6) = \frac{\binom86 + \binom87 + \binom88}{256}
= \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0.14 .
$$

Chutar aprova cerca de uma vez em sete.

**Exercício 19.7 ★★.**

Cada caixa de cereal comprada contém a figurinha A ou a figurinha B, cada uma com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac12$, de forma independente. Um colecionador compra $5$ caixas. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de ele obter pelo menos uma figurinha de cada tipo. ([Complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations): todas A ou todas B.)

**Solução de Exercício 19.7.**

O [complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations) de “pelo menos uma de cada” é “as cinco iguais”: todas A ou todas B, cada caso com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^5 = \frac1{32}$. Logo

$$
\P(\text{uma de cada tipo}) = 1 - \frac{2}{32} = \frac{15}{16} .
$$

**Exercício 19.8 ★★.**

Um jogador de basquete converte lances livres com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p$, de forma independente. Seja $X \sim \mathcal B(3, p)$ o número de conversões em três lances. Exprima $\P(X = 3)$ e $\P(X \geq 1)$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de $p$ e encontre para que $p$ a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de converter os três vale $\frac{27}{64}$.

**Solução de Exercício 19.8.**

$\P(X = 3) = p^3$ e $\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^3$. Resolver $p^3 = \frac{27}{64} = \left(\frac34\right)^3$ dá $p = \frac34$ (a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) cubo é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone), [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#ch-g11-func), de modo que a solução é única).

**Exercício 19.9 ★★.**

Quantas vezes uma moeda honesta precisa ser lançada para que a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de obter pelo menos uma cara ultrapasse $0.99$? ([Complementar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations) e depois teste valores sucessivos de $n$.)

**Solução de Exercício 19.9.**

$\P(\text{pelo menos uma cara}) = 1 - \left(\frac12\right)^n$, de modo que a condição é $\left(\frac12\right)^n < 0.01$, isto é, $2^n > 100$. Como $2^6 = 64$ e $2^7 = 128$: a partir de $n = 7$ lançamentos.

**Exercício 19.10 ★★.**

Usando a relação de Pascal ([Proposição 19.6](#prop-g11-binom-pascal)) e $\binom n0 = \binom nn = 1$, demonstre que as entradas de cada linha do [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal) somam $2^n$: interprete os dois lados como contagens de todos os caminhos da [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree).

**Solução de Exercício 19.10.**

A soma da linha $n$ conta todos os caminhos da [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de $n$ ensaios, separados pelo número de sucessos. Mas a [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) dobra seus caminhos a cada ensaio (cada caminho se divide em S e F), de modo que ela tem $2^n$ caminhos ao todo. Logo $\sum_{k} \binom nk = 2^n$. Alternativamente, por indução: a linha $0$ soma $1 = 2^0$, e a relação de Pascal faz cada entrada da linha $n$ contribuir para exatamente duas entradas da linha $n+1$, de modo que as somas das linhas dobram.

**Exercício 19.11 ★★★.**

Um político afirma ter $60\%$ de aprovação. Em uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) aleatória de $10$ pessoas, apenas $3$ aprovam.

1. Sob a afirmação, que [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) segue o número $X$ de aprovações na [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) ? Calcule $\P(X \leq 3)$ .
2. Usando a regra de decisão do [Método 19.13](#met-g11-binom-decision) com um limiar de $5\%$ , a observação é compatível com a afirmação?

**Solução de Exercício 19.11.**

*1.* Sob a afirmação, $X \sim \mathcal B(10, 0.6)$. Somando os primeiros termos:

$$
\begin{align*}
\P(X \leq 3)
&= (0.4)^{10} + 10(0.6)(0.4)^9 + 45(0.6)^2(0.4)^8
+ 120(0.6)^3(0.4)^7\\
&\approx 0.0001 + 0.0016 + 0.0106 + 0.0425 = 0.0548 .
\end{align*}
$$

*2.* Um resultado pelo menos tão extremo quanto o observado ($3$ aprovações ou menos) tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cerca de $5.5\%$ — logo *acima* do limiar de $5\%$. Aplicando a regra ao pé da letra, a observação é (por pouco) compatível com a afirmação e não se rejeita a hipótese. O exemplo mostra o quanto as decisões no limite são sensíveis à escolha do limiar: com uma convenção de $6\%$ a conclusão se inverteria.

## 19.6 Problema: O tabuleiro de Galton

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — bolinhas, pinos e o triângulo de Pascal: como nasce a forma de sino, por que as séries de playoff favorecem o time mais forte e quando gritar que houve trapaça

Deixe cair mil bolinhas por uma grade de pinos, cada quique um lançamento honesto de moeda entre esquerda e direita, e as canaletas de baixo se preenchem formando um sino liso e simétrico — todas as vezes. A máquina chama-se tabuleiro de Galton, e sua matemática é exatamente a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) binomial deste capítulo ([Teorema 19.8](#thm-g11-binom-binomial)). Este problema constrói o triângulo, opera o tabuleiro, arbitra uma série melhor de sete e termina onde a binomial ganha o seu salário: decidindo quando uma observação deve nos fazer duvidar de uma afirmação.

**Parte I — O triângulo.**

1. Construa o [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal) até a linha $6$ ( [Proposição 19.6](#prop-g11-binom-pascal) ). Enuncie e explique em uma frase a simetria $\binom nk = \binom{n}{n-k}$ (escolher $k$ objetos é o mesmo que …).
2. Verifique nas linhas $4$ e $5$ que cada linha soma $2^n$ e demonstre isso: o que todos os $\binom nk$ juntos contam?
3. Rededuza a relação de Pascal $\binom{n+1}{k} = \binom nk + \binom{n}{k-1}$ pelo argumento da comissão: fixe uma pessoa distinguida e separe as comissões conforme o destino dessa pessoa.
4. Calcule $\binom73$ de duas maneiras: pelo triângulo e pela fórmula com fatoriais.
5. Verifique a identidade da escada $\binom22 + \binom32 + \binom42 + \binom52 = \binom63$ e explique-a aplicando a relação de Pascal em cascata a partir de $\binom63$ .

**Parte II — O tabuleiro.** Uma bolinha cai por $n$ fileiras de pinos; em cada pino ela quica para a esquerda ou para a direita com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac12$, de forma independente. Numere as canaletas de $0$ a $n$ pelo número de quiques para a direita.

6. Explique, com a lista de verificação do [Método 19.11](#met-g11-binom-recognize) , por que o número da canaleta segue a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) binomial $\mathcal B\!\left(n, \frac12\right)$ .
7. Para um tabuleiro pequeno ( $n = 4$ ): dê as cinco [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de canaleta. Qual canaleta fica mais cheia?
8. Agora $n = 10$ e $1\,024$ bolinhas: quais são as quantidades *esperadas* de bolinhas na canaleta central, na canaleta $7$ e em cada canaleta da ponta? Descreva a forma da pilha.
9. Para $X \sim \mathcal B\!\left(10, \frac12\right)$ : calcule $\E(X)$ , $V(X)$ e $\sigma$ ( [Proposição 19.10](#prop-g11-binom-expectation) ); calcule em seguida a proporção de bolinhas esperada a menos de $2\sigma$ do centro (canaletas $2$ a $8$ ) e compare com a garantia de Chebyshev do [Problema 17.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) .
10. Um tabuleiro inclinado quica para a direita com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.6$ : dê $\E$ , $V$ e $\sigma$ para $n = 10$ e descreva o que acontece com a pilha.
11. Em uma ou duas frases: o que, no projeto do tabuleiro, fabrica a forma de sino — e por que tantas grandezas do mundo real (alturas, erros de medição) se empilham do mesmo jeito? (O teorema profundo por trás das duas coisas é o teorema central do limite, o cume do curso de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) dos volumes de graduação.)

**Parte III — Melhor de sete.** Dois times disputam uma série: o primeiro a $4$ vitórias leva o título; as partidas são independentes.

12. Times equivalentes ( $p = \frac12$ ): calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de a série terminar em varrida (exatamente $4$ jogos).
13. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de a série ir aos $7$ jogos completos (qual tem de ser o placar depois de $6$ ?).
14. Complete a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) da duração da série ( $4$ , $5$ , $6$ ou $7$ jogos) para times equivalentes e calcule a duração esperada. Quais durações são mais prováveis?
15. Agora um dos times vence cada jogo com $p = 0.6$ . Calcule sua [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de levar a série (vencer em $4$ , $5$ , $6$ ou $7$ jogos: em cada caso o time vence o último jogo e $3$ dos anteriores). O que a série fez com a vantagem por jogo?
16. Compare com uma final única ( $60\,\%$ ) e com uma melhor de 3 (calcule-a). Enuncie o efeito geral da duração da série sobre a disputa entre habilidade e sorte — e por que as ligas preferem finais longas.

**Parte IV — Quando gritar que houve trapaça.**

17. Uma moeda é lançada $100$ vezes e mostra $62$ caras. Para uma moeda honesta, dê $\E$ , $\sigma$ e o [escore z](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) ( [Problema 17.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) ) da observação. Qual o veredicto sob a convenção de $2\sigma$ ?
18. Um fornecedor afirma ter $2\,\%$ de peças defeituosas. Em um lote de $50$ você encontra $3$ defeituosas. Calcule $\P(X \geq 3)$ sob a afirmação ( $X \sim \mathcal B(50, 0.02)$ ; passe por $\P(X = 0), \P(X = 1), \P(X = 2)$ ). Alarmante ao limiar de $5\,\%$ ( [Método 19.13](#met-g11-binom-decision) , [Exercício 19.11](#exo-g11-binom-11) )?
19. Persistência na loteria: cada bilhete ganha (alguma coisa) com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{1000}$ . Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de pelo menos uma vitória com $1\,000$ bilhetes. A resposta ( $\approx 63\,\%$ , e não $100\,\%$ !) esconde uma constante famosa: calcule $0.999^{1000}$ e guarde o número $0.368$ para o ano 12.
20. Final — o retrato da binomial: a lista de reconhecimento ( $n$ fixo, independência, $p$ constante); o [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal) como sua tabela; o sino como sua forma; $np$ e $np(1-p)$ como sua bússola; e seus dois herdeiros à espera no ano 12 — a curva em sino contínua e a lei dos grandes números. Uma frase para cada.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** Linhas: $1$; $1\,1$; $1\,2\,1$; $1\,3\,3\,1$; $1\,4\,6\,4\,1$; $1\,5\,10\,10\,5\,1$; $1\,6\,15\,20\,15\,6\,1$. Simetria: escolher quais $k$ objetos levar é o mesmo ato que escolher quais $n - k$ deixar para trás.

**2.** $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$; $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$. Demonstração: os $\binom nk$ contam os subconjuntos de cada tamanho de um conjunto de $n$ elementos, e os subconjuntos ao todo são $2^n$ (cada elemento entra ou não, de forma independente).

**3.** Comissões de $k$ pessoas escolhidas entre $n + 1$, uma das quais é Zoé: as sem Zoé são $\binom nk$ (escolher as $k$ entre as outras); as com Zoé são $\binom{n}{k-1}$ (escolher os $k - 1$ colegas dela). Total: $\binom nk + \binom{n}{k-1}$.

**4.** Linha $7$ do triângulo: $1\,7\,21\,35\,\dots$: $35$. Fórmula: $\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} =
35$.

**5.** $1 + 3 + 6 + 10 = 20 = \binom63$. Cascata: $\binom63 = \binom52 + \binom53 = \binom52 + \binom42 +
\binom43 = \binom52 + \binom42 + \binom32 + \binom33$ — cada aplicação da relação de Pascal descasca um degrau da escada.

**6.** Número fixo $n$ de quiques; cada quique um [ensaio de Bernoulli](#def-g11-binom-bernoulli) independente com o mesmo $p = \frac12$; o número da canaleta conta os sucessos (quiques para a direita): as três caixas do [Método 19.11](#met-g11-binom-recognize) marcadas: $\mathcal B\!\left(n, \frac12\right)$.

**7.** [Probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{16}, \frac{4}{16},
\frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}$ para as canaletas $0, \dots, 4$: a canaleta central $2$ é a mais cheia.

**8.** Quantidades esperadas $= 1024 \times
\binom{10}{k}/1024 = \binom{10}{k}$: canaleta central, $\binom{10}{5} = 252$ bolinhas; canaleta $7$: $\binom{10}{7} = 120$; cada canaleta da ponta: $1$ bolinha. Um centro alto que decai simetricamente até pontas finíssimas: o sino.

**9.** $\E = np = 5$; $V = np(1 - p) = 2.5$; $\sigma \approx 1.58$. A menos de $2\sigma$: as canaletas $2$ a $8$ carregam

$$
\frac{45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45}{1024}
= \frac{1002}{1024} \approx 98\,\%
$$

das bolinhas — muito melhor do que os $75\,\%$ genéricos de Chebyshev ([Problema 17.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1)): as formas de sino se concentram com força.

**10.** $\E = 6$, $V = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4$, $\sigma \approx 1.55$: a pilha mantém a forma de sino, mas desliza o cume para a canaleta $6$ — um tabuleiro inclinado é uma moeda viciada tornada visível.

**11.** O número da canaleta é uma *soma* de muitos empurrões aleatórios pequenos, independentes e do mesmo tamanho — e somas assim sempre se organizam em sino: a maioria dos empurrões se cancela, e os extremos exigem unanimidade. Alturas, erros de medição e inúmeras grandezas naturais são igualmente somas de muitos efeitos pequenos e independentes, e é por isso que a mesma silhueta aparece em toda parte; o teorema que certifica isso é o teorema central do limite.

**12.** Uma varrida: um time vence os $4$: $2 \times \left(\frac12\right)^4 = \frac18$.

**13.** Sete jogos exigem $3$–$3$ depois de seis: $\binom63 \left(\frac12\right)^6 = \frac{20}{64} =
\frac{5}{16}$.

**14.** Termina em $5$: o vencedor leva o jogo 5 e $3$ dos $4$ primeiros: $2 \times \binom43 \left(\frac12\right)^5 =
\frac14$. Termina em $6$: $2 \times \binom53 \left(\frac12\right)^6 = \frac{5}{16}$. [Distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) sobre $4, 5, 6, 7$: $\frac18, \frac14, \frac{5}{16}, \frac{5}{16}$ (soma $1$). Duração esperada: $4 \cdot \frac18 + 5 \cdot \frac14 + 6 \cdot
\frac{5}{16} + 7 \cdot \frac{5}{16} = 5.8125$ jogos. As séries de seis e sete jogos são as mais prováveis — o drama já vem embutido no formato.

**15.** Vitória em $4$: $0.6^4 = 0.1296$; em $5$: $\binom43\,0.6^3 \times 0.4 \times 0.6 = 0.2074$; em $6$: $\binom53\,0.6^3 \times 0.4^2 \times 0.6 = 0.2074$; em $7$: $\binom63\,0.6^3 \times 0.4^3 \times 0.6 = 0.1659$. Total: cerca de $0.710$: um time de $60\,\%$ por jogo vence $71\,\%$ das séries — a série amplifica a vantagem.

**16.** Final única: $60\,\%$. Melhor de 3: $p^2 + 2p^2 q = 0.36 + 0.288 = 0.648$. A escada $60\,\% \to 65\,\% \to 71\,\%$ continua com o comprimento: mais jogos tiram a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) da sorte (a lei dos grandes números em miniatura), de modo que finais longas coroam a habilidade — que é precisamente o que as ligas vendem.

**17.** Moeda honesta: $\E = 50$, $\sigma = \sqrt{25} = 5$; $z = \frac{62 - 50}{5} = 2.4$: além da convenção de $2\sigma$ — a moeda merece uma investigação.

**18.** $\P(X = 0) = 0.98^{50} \approx 0.364$; $\P(X = 1) = 50 \times 0.02 \times 0.98^{49} \approx 0.372$; $\P(X = 2) = \binom{50}{2} 0.02^2 \times 0.98^{48} \approx
0.186$. Logo $\P(X \geq 3) \approx 1 - 0.922 = 0.078$: cerca de $7.8\,\%$ — acima do limiar de $5\,\%$, portanto ainda não basta para rejeitar a afirmação; um segundo lote ruim mudaria a história.

**19.** $\P(\text{pelo menos uma vitória}) = 1 -
0.999^{1000} \approx 1 - 0.368 = 0.632$: mil bilhetes a um em mil não dão certeza, e sim $63\,\%$. O recorrente $0.368$ é $\frac1e$ disfarçado — a constante $e$ faz sua entrada oficial no ano 12.

**20.** Reconhecimento: $n$ fixo, independência, $p$ constante — só então, binomial. Tabela: o [triângulo de Pascal](#prop-g11-binom-pascal), linha $n$. Forma: o sino, simétrico para $p = \frac12$ e deslocado nos demais casos. Bússola: centro $np$, dispersão $\sqrt{np(1-p)}$ — os [escores z](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) das decisões. Herdeiros: a curva em sino contínua de que as pilhas se aproximam e a lei dos grandes números, que explica por que tabuleiros grandes nunca mentem.