--- title: "Álgebra: equações e inequações" book: "Matemática do ensino médio" subject: math language: pt chapter: 2 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes --- # Capítulo 2 — Álgebra: equações e inequações A álgebra é a arte de calcular com letras. Este capítulo revê e aprimora os dois movimentos básicos — [expandir](#def-g10-algebra-expand) e [fatorar](#def-g10-algebra-expand) — e usa-os para resolver [equações](#def-g10-algebra-equation) e inequações de modo sistemático, tendo o [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable) como ferramenta central. ## 2.1 Expandir e fatorar **Definição 2.1 (Expandir, fatorar).** *Expandir* uma expressão é transformar produtos em somas; *fatorar* é o inverso, transformar uma soma em um produto. A regra básica é a distributividade: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **Exemplo 2.2.** Expanda $(2x + 3)(x - 5)$ passo a passo: $$ \begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*} $$ **Teorema 2.3 (Produtos notáveis).** Para quaisquer [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $a$ e $b$: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 . $$ **Demonstração.** Cada uma delas é uma expansão direta. Para a primeira: $$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 . $$ A segunda segue trocando $b$ por $-b$: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. E, para a terceira, $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. ∎ ![Por que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: um quadrado de lado a + b decompõe-se em um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e dois retângulos a × b.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg) *Por que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: um quadrado de lado $a + b$ decompõe-se em um quadrado de lado $a$, um quadrado de lado $b$ e dois retângulos $a \times b$.* **Exemplo 2.4.** Usados no sentido direto (expandindo) e no inverso (fatorando): $$ \begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*} $$ O cálculo mental também ganha: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$. **Método 2.5 (Fatorar uma expressão).** Tente, nesta ordem: 1. *Fator comum:* identifique um fator presente em todos os termos e coloque-o em evidência, por exemplo $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . O fator comum pode ser um parêntese inteiro: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ . 2. *Produto notável:* reconheça $a^2 - b^2$ ou $a^2 \pm 2ab + b^2$ , por exemplo $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ . 3. Combine os dois e confira o resultado expandindo-o de volta. **Exemplo 2.6.** Fatore $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$. Trata-se de uma diferença de dois quadrados $a^2 - b^2$ com $a = 2x+1$ e $b = x-3$: $$ \begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*} $$ Atenção ao segundo colchete: subtrair $x - 3$ é subtrair $x$ *e* somar $3$. ## 2.2 Equações **Definição 2.7 (Equação, solução).** Uma *equação* é uma igualdade que contém um número desconhecido $x$; uma *solução* é um valor de $x$ que torna a igualdade verdadeira. Resolver a equação é encontrar *todas* as suas soluções. Duas [equações](#def-g10-algebra-equation) são *equivalentes* quando têm exatamente as mesmas soluções. Somar o mesmo número aos dois lados, ou multiplicar os dois lados pelo mesmo número *não nulo*, produz uma [equação](#def-g10-algebra-equation) equivalente. **Exemplo 2.8 (Equação do primeiro grau).** Resolva $5x - 7 = 2x + 8$, um movimento de cada vez: $$ \begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(some $7 - 2x$ aos dois lados)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(divida os dois lados por $3$).} \end{align*} $$ A única solução é $5$. Verificação: $5 \times 5 - 7 = 18$ e $2 \times 5 + 8 = 18$. **Teorema 2.9 (Regra do produto nulo).** Um produto de [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) é nulo se, e somente se, pelo menos um dos seus fatores é nulo: $$ A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 . $$ **Demonstração.** Se $A = 0$ ou $B = 0$, o produto é claramente $0$. Reciprocamente, suponha $AB = 0$ e $A \neq 0$. Dividindo os dois lados por $A$, obtemos $B = 0$. ∎ **Método 2.10 (Resolver fatorando).** Para resolver uma [equação](#def-g10-algebra-equation) cujo lado direito é $0$ e cujo lado esquerdo pode ser fatorado: 1. passe tudo para a esquerda, de modo que a [equação](#def-g10-algebra-equation) fique $E = 0$ ; 2. fatore $E$ em um produto de fatores do primeiro grau; 3. aplique a regra do produto nulo e resolva cada [equação](#def-g10-algebra-equation) pequena; 4. reúna todas as soluções encontradas. **Exemplo 2.11.** Resolva $(x - 2)(3x + 6) = 0$: ou $x - 2 = 0$, o que dá $x = 2$, ou $3x + 6 = 0$, o que dá $x = -2$. Soluções: $-2$ e $2$. Resolva $x^2 = 9x$. *Não* divida por $x$ (ele pode ser nulo!); passe tudo para um lado e fatore: $$ x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ ou } \ x = 9 . $$ **Exemplo 2.12 (Equação com quociente).** Resolva $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$. Um quociente é nulo exatamente quando o numerador é nulo *e* o denominador não é. Aqui $x - 1 = 0$ dá $x = 1$, e $1 + 2 = 3 \neq 0$: a única solução é $1$. O valor $x = -2$ é *proibido* (divisão por zero) e deve sempre ser excluído de saída. ## 2.3 Inequações e quadros de sinais **Proposição 2.13 (Regras das desigualdades).** Seja $a \leq b$. 1. Para qualquer $c$ : $a + c \leq b + c$ (somar preserva a ordem). 2. Se $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplicar por um número positivo preserva a ordem). 3. Se $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplicar por um número negativo *inverte* a ordem). **Demonstração.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$. 2. $bc - ac = (b-a)c$ é o produto de dois números não negativos, logo $bc \geq ac$. 3. Agora $(b-a)c \leq 0$, por ser o produto de um número não negativo por um número negativo, logo $bc \leq ac$. ∎ **Exemplo 2.14.** Resolva $-2x + 3 > 9$: $$ \begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(subtraia 3)} \\ x &< -3 && \text{(divida por $-2 < 0$: inverta a desigualdade).} \end{align*} $$ O conjunto solução é $\intoo{-\infty}{-3}$. **Definição 2.15 (Quadro de sinais).** Um *quadro de sinais* registra, uma linha por fator, o sinal ($+$ ou $-$) de cada fator de uma expressão quando $x$ percorre $\R$, com um $0$ em cada valor onde o fator se anula; uma linha final dá o sinal do produto, aplicando a regra dos sinais coluna a coluna. **Exemplo 2.16.** Sinal de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$. O fator $x - 2$ anula-se em $2$ e é positivo depois; o fator $3 - x$ anula-se em $3$ e é positivo antes: | $x$ | $-\infty$ | $2$ | | $3$ | $+\infty$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $3 - x$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | Assim, $P(x) > 0$ exatamente em $\intoo{2}{3}$, e $P(x) \leq 0$ em $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$. ![O gráfico de P(x) = (x-2)(3-x) confirma o quadro de sinais: positivo entre as raízes 2 e 3, negativo fora delas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg) *O gráfico de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirma o [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable): positivo entre as raízes $2$ e $3$, negativo fora delas.* **Método 2.17 (Resolver uma inequação com um quadro de sinais).** Para resolver uma inequação como $E(x) \geq 0$ ou $E(x) < 0$: 1. passe tudo para o lado esquerdo, de modo que o lado direito seja $0$ (nunca multiplique os dois lados por uma expressão de sinal desconhecido); 2. fatore o lado esquerdo, ou reduza-o a um denominador comum se for um quociente; 3. monte o [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable) com uma linha por fator (num quociente, marque os valores proibidos com uma dupla barra na última linha); 4. leia os [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) em que o sinal pedido ocorre, verificando se cada extremo está incluído. **Exemplo 2.18.** Resolva $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$. O numerador anula-se em $-1$ e o denominador em $3$ (valor proibido). O quociente é negativo quando os dois têm sinais contrários, o que ocorre para $x$ entre $-1$ e $3$. Incluindo o extremo em que o *numerador* se anula e excluindo o valor proibido: o conjunto solução é $\intco{-1}{3}$. ## 2.4 Exercícios **Exercício 2.1 ★.** Expanda e simplifique: $$ 3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x). $$ **Solução de Exercício 2.1.** $3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$. $(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$. $(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$. $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$. **Exercício 2.2 ★.** Fatore: $$ x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 . $$ **Solução de Exercício 2.2.** $x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (diferença de quadrados). $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. $7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (fator comum). $16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$. **Exercício 2.3 ★.** Resolva: $$ 4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 . $$ (Uma delas não tem solução — explique por quê.) **Solução de Exercício 2.3.** $4x + 9 = x - 3$: $3x = -12$, logo $x = -4$. $\frac{2x-1}{3} = 5$: $2x - 1 = 15$, logo $x = 8$. $2(x-3) = 2x + 1$ expande para $2x - 6 = 2x + 1$, isto é, $-6 = 1$: falso para todo $x$. Não há solução — os dois lados definem retas paralelas que nunca se encontram. **Exercício 2.4 ★.** Resolva usando a regra do produto nulo: $$ (x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 . $$ **Solução de Exercício 2.4.** $(x+5)(2x-8) = 0$: $x = -5$ ou $x = 4$. $x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$: $x = 4$ ou $x = -4$. $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$: a única solução $x = -3$. **Exercício 2.5 ★.** Resolva as inequações e escreva os conjuntos solução como [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval): $$ 3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 . $$ **Solução de Exercício 2.5.** $3x - 5 \leq 7$: $3x \leq 12$, logo $x \leq 4$: conjunto solução $\intoc{-\infty}{4}$. $-4x + 1 > 9$: $-4x > 8$, e dividir por $-4$ inverte a desigualdade: $x < -2$: conjunto solução $\intoo{-\infty}{-2}$. $2(x-1) \geq 5x + 4$: $2x - 2 \geq 5x + 4$, logo $-3x \geq 6$, logo $x \leq -2$: conjunto solução $\intoc{-\infty}{-2}$. **Exercício 2.6 ★★.** Fatore $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ e resolva em seguida $E = 0$. **Solução de Exercício 2.6.** O fator comum é $(x-1)$: $$ E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x). $$ Então $E = 0$ quando $x = 1$ ou $x = 8$ (regra do produto nulo). **Exercício 2.7 ★★.** Resolva $x^2 = 5x$ e depois $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$. (Na segunda, passe tudo para a esquerda e fatore a diferença de quadrados.) **Solução de Exercício 2.7.** $x^2 = 5x$: $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$, logo $x = 0$ ou $x = 5$ (nunca divida por $x$: a solução $0$ se perderia). $(2x+1)^2 = (x-4)^2$: passe para a esquerda e fatore a diferença de quadrados: $$ (2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5). $$ Regra do produto nulo: $x = 1$ ou $x = -5$. **Exercício 2.8 ★★.** Usando um [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable), resolva $$ (x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 . $$ **Solução de Exercício 2.8.** $(x+2)(4-x) > 0$: o fator $x + 2$ anula-se em $-2$ (positivo depois) e $4 - x$ anula-se em $4$ (positivo antes). O produto é positivo exatamente quando os dois fatores são positivos, isto é, em $\intoo{-2}{4}$. $\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$: numerador nulo em $3$, denominador nulo em $-1$ (proibido). [Quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable): o quociente é positivo quando as duas partes têm o mesmo sinal, isto é, para $x < -1$ ou $x > 3$; ele se anula em $x = 3$. Conjunto solução: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$. **Exercício 2.9 ★★.** Um serviço de streaming custa $9$ por mês, mais uma taxa única de adesão de $15$; um concorrente custa $12$ por mês, sem taxa. A partir de quantos meses o primeiro serviço passa a ser a escolha mais barata no total? Monte e resolva uma inequação. **Solução de Exercício 2.9.** Depois de $x$ meses, o primeiro serviço custa $9x + 15$ e o segundo $12x$. O primeiro sai mais barato quando $$ 9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 . $$ A partir do $6^{\text{o}}$ mês, o primeiro serviço é a escolha mais barata no total. **Exercício 2.10 ★★.** Resolva $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$. (Multiplique os dois lados por $x - 1$ depois de excluir o valor proibido, ou passe tudo para a esquerda com denominador comum.) **Solução de Exercício 2.10.** Valor proibido: $x = 1$. Para $x \neq 1$, multiplique os dois lados por $x - 1$: $$ x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 . $$ Como $5 \neq 1$, a solução é $x = 5$. Verificação: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$. **Exercício 2.11 ★★★.** Seja $n$ um inteiro. Mostre que $(n + 1)^2 - n^2$ é sempre ímpar e que a diferença entre os quadrados de dois ímpares consecutivos é sempre múltiplo de $8$. **Solução de Exercício 2.11.** $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, que é ímpar para todo inteiro $n$. Dois ímpares consecutivos podem ser escritos como $2n - 1$ e $2n + 1$. Então $$ (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n, $$ um múltiplo de $8$. ## 2.5 Problema: Da Babilônia à razão áurea **Problema 2.1.** Problema de fim de semana — problemas de soma e produto, completar o quadrado como al-Khwarizmi o desenhou, e a equação $x^2 = x + 1$ Há quatro mil anos, escribas babilônios resolviam isto em argila: *achar dois números conhecendo sua soma e seu produto*. O truque deles — procurar os números simetricamente em torno da metade da soma — ainda hoje resolve toda [equação](#def-g10-algebra-equation) do segundo grau, sob o nome moderno de *completar o quadrado*. Este problema aprende o truque, vê al-Khwarizmi completar literalmente um quadrado e põe o método a trabalhar na mais célebre de todas as proporções. **Parte I — O problema babilônico.** 1. Aquecimento ( [Teorema 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ): fatore $x^2 - 10x + 25$ , depois $9x^2 - 49$ , depois — combinando um produto notável com uma diferença de quadrados — $x^2 + 6x + 9 - 4$ . 2. Resolva $(x + 1)(x + 5) = 0$ e $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ ( [Teorema 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) ). 3. O problema do escriba: dois números têm soma $10$ e produto $21$ . Seguindo a Babilônia, escreva-os como $5 - t$ e $5 + t$ (simétricos em torno da metade da soma) e encontre $t$ , depois os dois números. 4. Mesmo método: soma $14$ , produto $33$ . 5. A receita geral: para soma $s$ e produto $p$, mostre que os dois números são $$\frac s2 - t \quad\text{e}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{onde}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ e enuncie a condição sobre $s$ e $p$ para que o problema tenha solução. **Parte II — Completar o quadrado.** 6. Expanda $(x - a)(x - b)$ e conclua: as soluções de $x^2 - sx + p = 0$ são exatamente os pares de números com soma $s$ e produto $p$ . (Os escribas resolviam [equações](#def-g10-algebra-equation) do segundo grau sem o saber.) 7. Verifique que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ e resolva $x^2 - 10x + 21 = 0$ fatorando o lado direito como uma diferença de quadrados. Compare com a questão 3. 8. Resolva $x^2 + 6x - 7 = 0$ completando o quadrado. 9. Complete o quadrado em $x^2 + 4x + 5$ e explique por que a [equação](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ *não* tem solução real. Enuncie o critério geral: uma vez escrita na forma $(x + h)^2 + k$ , quando uma expressão do segundo grau se anula? 10. O nome é literal. Na Bagdá do século IX, al-Khwarizmi desenhou $x^2 + 6x = 7$ como um quadrado de lado $x$ com dois retângulos $3 \times x$ colados a dois de seus lados e *completou o quadrado* com o canto $3 \times 3$ que faltava. Faça a figura e explique como ela transforma a [equação](#def-g10-algebra-equation) em $(x + 3)^2 = 16$ — e resolva. **Parte III — Sinais, quadros e duas promessas antigas.** 11. Monte o [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable) de $(x - 3)(x + 2)$ ( [Definição 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) e resolva $(x - 3)(x + 2) < 0$ . 12. Resolva $x^2 \leq 10x - 21$ (passe tudo para um lado e reaproveite a questão 7). 13. Resolva $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ com um [quadro de sinais](#def-g10-algebra-signtable) , atento ao valor proibido. 14. Uma promessa antiga cumprida: para o fazendeiro do problema de fim de semana sobre a cerca da rainha Dido, no volume do ensino fundamental, com $20$ m de cerca, a área de um curral $x \times (10 - x)$ satisfaz $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ Verifique a identidade e leia nela uma *demonstração* do que o ano 6 só podia conjecturar: a área máxima e o único $x$ que a atinge. 15. Outra: prove que $x + \dfrac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , com igualdade só em $x = 1$ . (Multiplique por $x$ , agrupe, reconheça um quadrado — a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica do problema de fim de semana sobre as relações de Euclides, no volume do ensino fundamental, com nova roupagem.) **Parte IV — A seção áurea.** Divida um segmento de comprimento $1$ em uma parte grande $x$ e uma parte pequena $1 - x$ de modo que *o todo esteja para a parte grande assim como a grande está para a pequena*: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$. 16. Mostre que a condição se escreve $x^2 + x - 1 = 0$ . 17. Resolva completando o quadrado e fique com a raiz que é um comprimento: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ . 18. A *razão áurea* é $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Racionalize o denominador (multiplique numerador e denominador por $\sqrt5 + 1$ , um produto notável em ação) e mostre que $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ . 19. Verifique *exatamente* as duas identidades mágicas de $\varphi$: $$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$ 20. Final: explique por que $\varphi$ é irracional (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental fornece o fato-chave sobre $\sqrt5$ ) e calcule com três casas decimais as razões $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de números de Hemachandra–Fibonacci consecutivos (o problema de fim de semana sobre contagem de ritmos, no mesmo volume). O que elas parecem perseguir? (A demonstração de que alcançam o alvo pertence aos capítulos sobre sequências.) **Solução de Problema 2.1.** **1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$. **2.** $x = -1$ ou $x = -5$; $x = \frac73$ ou $x = -\frac73$. **3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ dá $t^2 = 4$, $t = 2$: os números são $3$ e $7$ (soma $10$, produto $21$: confere). **4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: $t = 4$, números $3$ e $11$. **5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ obriga $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. Existe solução exatamente quando isso é $\geq 0$, isto é, quando $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — o produto de dois números de soma dada nunca supera o quadrado da metade da soma (como já sabia o problema de fim de semana sobre a cerca da rainha Dido, no volume do ensino fundamental). **6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: a [equação](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ diz exatamente “$x$ é um de dois números de soma $s$ e produto $p$”. **7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$. Diferença de quadrados: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: soluções $3$ e $7$ — os números do escriba da questão 3. **8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ dá $(x + 3)^2 = 16$, $x + 3 = \pm 4$: $x = 1$ ou $x = -7$. **9.** $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$: nenhuma solução real. Na forma $(x + h)^2 + k$: há soluções exatamente quando $k \leq 0$ (então $(x+h)^2 = -k$ tem as duas raízes $-h \pm \sqrt{-k}$); quando $k > 0$ a expressão permanece positiva. **10.** O quadrado de lado $x$ (área $x^2$) com dois retângulos $3 \times x$ (ao todo $6x$) forma um L de área $x^2 + 6x = 7$; o canto $3 \times 3$ que falta (área $9$) completa um quadrado grande de lado $x + 3$. Somando $9$ aos dois lados: $(x + 3)^2 = 16$, logo $x + 3 = 4$ (comprimentos são positivos) e $x = 1$. A álgebra e o desenho são o mesmo gesto. **11.** $(x-3)(x+2)$: negativo entre as raízes. Solução de $< 0$: $x \in \intoo{-2}{3}$. **12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$, isto é, $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: entre as raízes, extremos incluídos: $x \in \intcc{3}{7}$. **13.** Zero em $x = 1$, proibido em $x = -2$; o quociente é positivo fora das raízes: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$. **14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$: identidade verificada. Como $(x-5)^2 \geq 0$ sempre, $A(x) \leq 25$, com igualdade exatamente em $x = 5$: o curral quadrado $5 \times 5$, máximo de $25$ m$^2$ — a tabela do ano 6, agora uma demonstração de duas linhas. **15.** Para $x > 0$, multiplique a afirmação por $x$: $x^2 + 1 \geq 2x$, isto é, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — verdadeiro, com igualdade só em $x = 1$. Dividir de volta por $x > 0$ preserva tudo ([Proposição 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules)). **16.** Multiplicando em cruz $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (todos os comprimentos positivos): $x^2 = 1 - x$, isto é, $x^2 + x - 1 = 0$. **17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ dá $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. A raiz positiva: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$. **18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$. **19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$, e $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: iguais. E $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (foi assim que $\varphi$ se definiu). A razão áurea é o número cujo quadrado soma um e cujo inverso subtrai um. **20.** $\sqrt5$ é irracional (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental: $5$ não é quadrado perfeito), e somar $1$ e depois dividir por dois preserva a irracionalidade (operações racionais, [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#pb-g10-numbers-1)). Razões: $\frac53 \approx 1.667$, $\frac85 = 1.600$, $\frac{13}{8} = 1.625$, $\frac{21}{13} \approx 1.615$: alternadamente acima e abaixo, fechando-se sobre $\varphi = 1.618\ldots$ — os números de contagem de ritmos do problema de fim de semana correspondente, no volume do ensino fundamental, perseguem em segredo a seção áurea; os capítulos sobre sequências vão pegá-los em flagrante.