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title: "Sequências"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 20
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias
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# Capítulo 20 — Sequências

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) é uma lista de [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) indexada pelos naturais. As [sequências](#def-g12-seq-sequence) modelam evoluções discretas — populações contadas ano a ano, saldos de uma conta bancária, [aproximações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) sucessivas de um número — e seus limites são o primeiro encontro sério com o infinito. Este capítulo monta o vocabulário, o princípio da indução e os teoremas fundamentais de convergência.

## 20.1 Raciocínio por indução

**Teorema 20.1 (Princípio da indução).**

Seja $P(n)$ uma afirmação que depende de um inteiro $n$, e seja $n_0 \in \N$. Se

1. *(caso base)* $P(n_0)$ é verdadeira e
2. *(passo indutivo)* para todo $n \geq n_0$ , $P(n)$ implica $P(n+1)$ ,

então $P(n)$ é verdadeira para todo $n \geq n_0$.

**Demonstração.** Suponha, por absurdo, que o conjunto $A$ dos inteiros $n \geq n_0$ para os quais $P(n)$ é falsa seja não vazio. Então $A$ tem um menor elemento $m$.[1](#fn-1) Como $P(n_0)$ é verdadeira, $m > n_0$, logo $m - 1 \geq n_0$ e $m-1 \notin A$, isto é, $P(m-1)$ é verdadeira. O passo indutivo aplicado a $n = m-1$ mostra então que $P(m)$ é verdadeira, contradizendo $m \in A$. ∎

**Exemplo 20.2.**

Vamos demonstrar a *desigualdade de Bernoulli*: para todo real $a > 0$ e todo $n \in \N$,

$$
(1+a)^n \geq 1 + na.
$$

*Caso base.* Para $n = 0$, os dois lados valem $1$. *Passo indutivo.* Suponha $(1+a)^n \geq 1+na$ para algum $n \in \N$. Como $1 + a > 0$, multiplicar os dois lados por $1+a$ preserva a desigualdade:

$$
(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .
$$

Por indução, a desigualdade vale para todo $n \in \N$.

**Método 20.3 (Escrever uma demonstração por indução).**

Deixe sempre a afirmação $P(n)$ explícita antes de começar. Uma demonstração completa tem três partes visíveis: o caso base, o passo indutivo (“suponha $P(n)$; demonstramos $P(n+1)$”) e a conclusão invocando o princípio da indução. O erro mais comum é demonstrar o passo indutivo sem nunca usar a hipótese $P(n)$: se isso acontecer, ou a demonstração está errada, ou a indução não era necessária.

## 20.2 Vocabulário das sequências

**Definição 20.4 (Sequência).**

Uma *sequência* é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $u \colon \N \to \R$ (ou de $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ em $\R$). A [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $n$ escreve-se $u_n$, e a própria sequência, $(u_n)_{n\in\N}$ ou simplesmente $(u_n)$.

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) pode ser definida de forma *explícita*, por uma fórmula $u_n = f(n)$, ou por *recorrência*, pelo seu primeiro termo e uma relação $u_{n+1} = f(u_n)$.

**Definição 20.5 (Monotonicidade).**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ é *crescente* se $u_{n+1} \geq u_n$ para todo $n$, *[decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)* se $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$, e *monótona* se for crescente ou [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). Ela é *estritamente* crescente (resp. [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)) quando as desigualdades são estritas.

**Método 20.6 (Estudar a monotonicidade de uma sequência).**

Três técnicas padrão:

1. estudar o sinal de $u_{n+1} - u_n$ ;
2. se todos os termos são positivos, comparar $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ com $1$ ;
3. se $u_n = f(n)$ com $f$ definida em $\intco{0}{+\infty}$ , usar a variação de $f$ .

**Definição 20.7 (Sequência limitada).**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ é *limitada superiormente* se existe $M \in \R$ com $u_n \leq M$ para todo $n$; *limitada inferiormente* se existe $m \in \R$ com $u_n \geq m$ para todo $n$; e *limitada* se as duas coisas valem.

### 20.2.1 Progressões aritméticas e geométricas

**Definição 20.8 (Progressões aritméticas e geométricas).**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ é uma *progressão aritmética* de razão $r$ se $u_{n+1} = u_n + r$ para todo $n$, e uma *progressão geométrica* de razão $q$ se $u_{n+1} = q\,u_n$ para todo $n$.

**Proposição 20.9 (Forma explícita e somas).**

Seja $n \in \N$.

1. Se $(u_n)$ é uma [progressão aritmética](#def-g12-seq-arith-geom) de razão $r$, então $u_n = u_0 + nr$ e $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$$
2. Se $(u_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g12-seq-arith-geom) de razão $q \neq 1$, então $u_n = u_0\, q^n$ e $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$

**Demonstração.** As formas explícitas seguem de induções imediatas. Para a soma aritmética, escreva $S = u_0 + \dots + u_n$ e some a mesma soma escrita em ordem inversa: cada uma das $n+1$ somas de coluna vale $u_0 + u_n$, logo $2S = (n+1)(u_0+u_n)$. Para a soma geométrica, calcule $S - qS$: todos os termos se cancelam aos pares, exceto o primeiro e o último, de modo que $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$. ∎

## 20.3 Limite de uma sequência

**Definição 20.10 (Sequência convergente).**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *converge* para o [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) $\ell$ se todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) aberto que contém $\ell$ contém todos os termos $u_n$ a partir de um certo índice. Escrevemos então $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$.

Equivalentemente: para todo $\varepsilon > 0$, existe $N \in \N$ tal que, para todo $n \geq N$, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$.

![Convergência de u_n = 2 + (-1)n/n para = 2: dado > 0, todos os termos a partir do índice N ficam na faixa ( - , + ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-8991cce01fa0.svg)

*Convergência de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ para $\ell = 2$: dado $\varepsilon > 0$, todos os termos a partir do índice $N$ ficam na faixa $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$.*

**Definição 20.11 (Divergência para o infinito).**

A [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *tende a $+\infty$* se, para todo $A \in \R$, existe $N \in \N$ tal que $u_n \geq A$ para todo $n \geq N$. Escrevemos $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$; a definição de $\lim u_n = -\infty$ é análoga. Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) que não [converge](#def-g12-seq-limit) é dita *divergente*.

**Observação 20.12.**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) pode divergir sem tender a $\pm\infty$: a [sequência](#def-g12-seq-sequence) $u_n = (-1)^n$ só assume os valores $1$ e $-1$ e não tem limite.

**Proposição 20.13 (Unicidade do limite).**

Se $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit), seu limite é único.

**Demonstração.** Suponha $u_n \to \ell$ e $u_n \to \ell'$ com $\ell \neq \ell'$, digamos $\ell < \ell'$. Ponha $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$. A partir de um certo índice, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ e $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$, logo

$$
\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell}
\leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,
$$

uma contradição. ∎

**Proposição 20.14 (Operações com limites).**

Sejam $(u_n)$ e $(v_n)$ [sequências](#def-g12-seq-sequence) de limites $\ell$ e $\ell'$ (finitos ou infinitos). Então, sempre que o lado direito não for uma forma indeterminada,

$$
\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad
\lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad
\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.
$$

As formas indeterminadas são $(+\infty) + (-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ e $\frac{0}{0}$.

**Demonstração.** Demonstramos a regra da soma para limites finitos; os demais casos são análogos e ficam como exercício. Seja $\varepsilon > 0$. Existem $N_1, N_2$ tais que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_1$ e $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_2$. Para $n \geq \max(N_1, N_2)$, a desigualdade triangular dá

$$
\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')}
\leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere
$$

∎

**Método 20.15 (Levantar uma forma indeterminada).**

Diante de uma forma indeterminada, coloque o termo dominante em evidência. Por exemplo,

$$
n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
\qquad
\frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .
$$

## 20.4 Teoremas de convergência

**Teorema 20.16 (Teoremas de comparação e do confronto).**

Sejam $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ [sequências](#def-g12-seq-sequence).

1. Se $u_n \leq v_n$ a partir de certo índice e $u_n \to +\infty$ , então $v_n \to +\infty$ .
2. *(Teorema do confronto)* Se $u_n \leq v_n \leq w_n$ a partir de certo índice e $(u_n)$ e $(w_n)$ convergem ambas para o mesmo limite $\ell$ , então $(v_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) para $\ell$ .

**Demonstração.** *1.* Seja $A \in \R$. Como $u_n \to +\infty$, existe $N$ com $u_n \geq A$ para $n \geq N$; aumentando $N$ se preciso, $v_n \geq u_n \geq A$ para $n \geq N$.

*2.* Seja $\varepsilon > 0$. A partir de um certo índice valem $\ell - \varepsilon \leq u_n$ e $w_n \leq \ell + \varepsilon$, logo $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$, isto é, $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$. ∎

**Exemplo 20.17.**

Para todo $n \geq 1$, $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$, e as duas cotas tendem a $0$; logo $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$.

**Teorema 20.18 (Teorema da convergência monótona).**

Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) [crescente](#def-g12-seq-monotonic) e [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded) [converge](#def-g12-seq-limit). Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e [limitada inferiormente](#def-g12-seq-bounded) [converge](#def-g12-seq-limit). Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) [crescente](#def-g12-seq-monotonic) que não é [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded) tende a $+\infty$.

**Demonstração parcial.** Demonstramos a terceira afirmação. Seja $(u_n)$ [crescente](#def-g12-seq-monotonic) e não [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded), e seja $A \in \R$. Como $A$ não é cota superior, existe $N$ com $u_N \geq A$; pela monotonicidade, $u_n \geq u_N \geq A$ para todo $n \geq N$. Logo $u_n \to +\infty$.

As duas afirmações de convergência apoiam-se na propriedade do supremo de $\R$; elas são *admitidas neste nível* (e demonstradas no primeiro ano de graduação). ∎

**Observação 20.19.**

O teorema garante a *existência* do limite, mas não fornece seu valor. Uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) [crescente](#def-g12-seq-monotonic) e [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded) por $M$ [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $\ell \leq M$, não necessariamente para $M$.

**Teorema 20.20 (Limite de progressões geométricas).**

Seja $q \in \R$.

1. Se $q > 1$ , então $q^n \to +\infty$ .
2. Se $q = 1$ , então $q^n \to 1$ .
3. Se $\abs{q} < 1$ , então $q^n \to 0$ .
4. Se $q \leq -1$ , então $(q^n)$ diverge e não tem limite.

**Demonstração.** *1.* Escreva $q = 1 + a$ com $a > 0$. A desigualdade de Bernoulli ([Exemplo 20.2](#ex-g12-seq-bernoulli)) dá $q^n \geq 1 + na \to +\infty$, e concluímos por comparação ([Teorema 20.16](#thm-g12-seq-squeeze)).

*2.* Imediato.

*3.* Se $q = 0$ a afirmação é clara. Caso contrário, $\abs{q} < 1$ dá $1/\abs{q} > 1$, logo $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ pelo item 1, portanto $\abs{q}^n \to 0$, e $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ permite concluir pelo teorema do confronto.

*4.* Para $q \leq -1$, $(q^{2n})$ assume valores $\geq 1$, enquanto $(q^{2n+1})$ assume valores $\leq -1$: nenhum limite único pode atrair as duas subsequências. ∎

![Os três comportamentos de (qn): divergência para +∈fty quando q > 1 (vermelho), convergência para 0 quando q < 1 (azul) e oscilação amortecida — ainda convergência para 0 — quando -1 < q < 0 (laranja).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-d2621466e91a.svg)

*Os três comportamentos de $(q^n)$: divergência para $+\infty$ quando $q > 1$ (vermelho), convergência para $0$ quando $\abs q < 1$ (azul) e oscilação amortecida — ainda convergência para $0$ — quando $-1 < q < 0$ (laranja).*

**Método 20.21 (Sequências recorrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)).**

Para estudar uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) definida por $u_{n+1} = f(u_n)$:

1. demonstre por indução que $(u_n)$ permanece em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ no qual $f$ se comporta bem (e, muitas vezes, que $(u_n)$ é [monótona](#def-g12-seq-monotonic) );
2. deduza a convergência do teorema da convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic) ;
3. passe ao limite na relação $u_{n+1} = f(u_n)$ : se $f$ é contínua e $u_n \to \ell \in I$ , então $\ell$ satisfaz $f(\ell) = \ell$ (veja o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#ch-g12-limcont) ); resolva essa [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) e escolha a [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) certa.

![Construção em escada para u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 (): cada passo vertical lê f(u_n) na curva e cada passo horizontal o traz de volta pela reta y = x. A sequência sobe até o ponto fixo = 2, onde a curva encontra a reta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-fce72bb54caf.svg)

*Construção em escada para $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, $u_0 = 0$ ([Exercício 20.6](#exo-g12-seq-6)): cada passo vertical lê $f(u_n)$ na curva e cada passo horizontal o traz de volta pela reta $y = x$. A [sequência](#def-g12-seq-sequence) sobe até o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) $\ell = 2$, onde a curva encontra a reta.*

**Exemplo 20.22.**

Sejam $u_0 = 2$ e $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n +
\frac{2}{u_n}\right)$. Verifica-se por indução que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (a desigualdade $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$) e, em seguida, que $(u_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), pois

$$
u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .
$$

[Decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e [limitada inferiormente](#def-g12-seq-bounded), $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $\ell \geq \sqrt{2}$, que deve satisfazer $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, isto é, $\ell^2 = 2$. Logo $u_n \to \sqrt{2}$. Esse é o algoritmo de Heron, já usado pelos babilônios; sua convergência é extremamente rápida ($u_3$ já dá $\sqrt 2$ com oito casas decimais corretas).

## 20.5 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Demonstre por indução que, para todo $n \in \N$,

$$
1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$

**Solução de Exercício 20.1.**

Seja $P(n)$ a afirmação $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. *Caso base:* para $n = 0$ os dois lados valem $0$ (soma vazia). *Passo indutivo:* suponha $P(n)$. Então

$$
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2
= \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6}
= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.
$$

Como $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$, isso é $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$, que é $P(n+1)$. Por indução, $P(n)$ vale para todo $n$.

**Exercício 20.2 ★.**

Estude a monotonicidade das [sequências](#def-g12-seq-sequence) definidas, para $n \geq 1$, por

$$
a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad
b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad
c_n = n^2 - 10n .
$$

**Solução de Exercício 20.2.**

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}
= \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$: $(a_n)$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations).

$(b_n)$ tem termos positivos e $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} =
\frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$: $(b_n)$ é [crescente](#def-g12-seq-monotonic) (estritamente para $n \geq 2$).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$, negativo para $n \leq 4$ e positivo para $n \geq 5$: $(c_n)$ decresce até $c_5 = -25$, seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema), e depois cresce. Não é [monótona](#def-g12-seq-monotonic).

**Exercício 20.3 ★.**

Calcule os limites das [sequências](#def-g12-seq-sequence) de termos gerais

$$
u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad
v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad
w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.
$$

**Solução de Exercício 20.3.**

Coloque os termos dominantes em evidência:

$$
u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.
$$

Multiplique pelo conjugado:

$$
v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$

Divida numerador e denominador por $3^n$:

$$
w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,
$$

usando $\lim q^n = 0$ para $\abs{q} < 1$.

**Exercício 20.4 ★.**

Seja $(u_n)$ a [progressão aritmética](#def-g12-seq-arith-geom) com $u_0 = 5$ e razão $r = 3$, e $(v_n)$ a [progressão geométrica](#def-g12-seq-arith-geom) com $v_0 = 8$ e razão $q = \frac{1}{2}$. Calcule $u_n$, $v_n$, $\sum_{k=0}^{n} u_k$ e $\sum_{k=0}^{n} v_k$, e os limites das quatro expressões quando $n \to +\infty$.

**Solução de Exercício 20.4.**

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ e $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$. As somas são

$$
\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
$$

$$
\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2}
= 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .
$$

**Exercício 20.5 ★★.**

Usando o teorema do confronto, calcule

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1}
\qquad\text{e}\qquad
\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},
$$

em que $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. Para o segundo limite, limite $\frac{n!}{n^n}$ por um termo de uma [progressão geométrica](#def-g12-seq-arith-geom).

**Solução de Exercício 20.5.**

Como $-1 \leq \cos n \leq 1$,

$$
\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,
$$

e $\frac{n-1}{n+1} \to 1$, de modo que o limite é $1$ pelo teorema do confronto.

Para o segundo limite, escreva

$$
0 \leq \frac{n!}{n^n}
= \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}
\leq \frac{1}{n},
$$

porque todo fator $\frac{k}{n}$ com $2 \leq k \leq n$ é no máximo $1$. Como $\frac1n \to 0$, o teorema do confronto dá $\frac{n!}{n^n} \to 0$. (A cota geométrica sugerida também funciona: cada fator com $k \leq n/2$ é no máximo $\frac12$, o que dá a cota mais forte $(1/2)^{\floor{n/2}}$.)

**Exercício 20.6 ★★.**

Sejam $u_0 = 0$ e $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ para todo $n \in \N$.

1. Demonstre por indução que $0 \leq u_n \leq 2$ para todo $n$ .
2. Mostre que $(u_n)$ é [crescente](#def-g12-seq-monotonic) .
3. Deduza que $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) e determine seu limite.

**Solução de Exercício 20.6.**

*1.* $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$. Se $0 \leq u_n \leq 2$, então $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, logo $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$; em particular, $0 \leq u_{n+1} \leq 2$. Por indução, a propriedade vale para todo $n$.

*2.* $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. Para $x \in \intcc{0}{2}$, $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$, o que é verdadeiro. Logo $(u_n)$ é [crescente](#def-g12-seq-monotonic).

*3.* [Crescente](#def-g12-seq-monotonic) e [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded) por $2$, $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $\ell \in \intcc{0}{2}$. Passando ao limite em $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (a aplicação $x \mapsto \sqrt{x+2}$ é contínua), vem $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, logo $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, isto é, $\ell \in \{-1, 2\}$. Como $\ell \geq 0$, $\lim u_n = 2$.

**Exercício 20.7 ★★.**

Um paciente toma uma dose de $1$ unidade de um medicamento toda manhã. A cada período de 24 horas, o organismo elimina $40\%$ do medicamento presente. Seja $u_n$ a quantidade de medicamento no organismo logo após a dose do dia $n$, de modo que $u_0 = 1$.

1. Justifique que $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
2. Seja $v_n = u_n - 2.5$ . Mostre que $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g12-seq-arith-geom) e deduza uma fórmula explícita para $u_n$ .
3. Determine a quantidade de medicamento no organismo a longo prazo.

**Solução de Exercício 20.7.**

*1.* Entre duas doses, $40\%$ do medicamento é eliminado, de modo que a quantidade $u_n$ vira $0.6\,u_n$; a dose seguinte acrescenta $1$ unidade: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$.

*2.* $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5)
= 0.6\,v_n$: $(v_n)$ é uma [progressão geométrica](#def-g12-seq-arith-geom) de razão $0.6$ e primeiro termo $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$. Logo $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ e

$$
u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .
$$

*3.* Como $0.6^n \to 0$, $u_n \to 2.5$: a quantidade de medicamento se estabiliza em $2.5$ unidades.

**Exercício 20.8 ★★.**

Seja $(u_n)$ definida por $u_0 = 3$ e $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$.

1. Mostre por indução que $u_n > 1$ para todo $n \in \N$ .
2. Mostre que $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ define uma [progressão aritmética](#def-g12-seq-arith-geom) .
3. Deduza fórmulas explícitas para $v_n$ e $u_n$ , e o limite de $(u_n)$ .

**Solução de Exercício 20.8.**

*1.* $u_0 = 3 > 1$. Se $u_n > 1$, então $u_n + 2 > 0$ e

$$
u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .
$$

Por indução, $u_n > 1$ para todo $n$ (e, em particular, $u_n + 2 \neq 0$, de modo que a [sequência](#def-g12-seq-sequence) está bem definida).

*2.* Usando a identidade acima,

$$
v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}
= \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .
$$

Logo $(v_n)$ é uma [progressão aritmética](#def-g12-seq-arith-geom) de razão $\frac13$ com $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$.

*3.* $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$, portanto $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$. Como $v_n \to +\infty$, $u_n \to 1$.

**Exercício 20.9 ★★★.**

Para $n \geq 1$, seja $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$.

1. Mostre que, para todo $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
2. Deduza que $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ para todo $k \in \N$ e conclua que $H_n \to +\infty$ .

**Solução de Exercício 20.9.**

*1.* $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ é uma soma de $n$ termos, cada um pelo menos $\frac{1}{2n}$; logo $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$.

*2.* Por indução em $k$: $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$. Se $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$, então, aplicando o item 1 com $n = 2^k$,

$$
H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.
$$

A [sequência](#def-g12-seq-sequence) $(H_n)$ é [crescente](#def-g12-seq-monotonic) (cada passo soma $\frac{1}{n+1} > 0$) e a subsequência $H_{2^k}$ é ilimitada, de modo que $(H_n)$ não é [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded). [Crescente](#def-g12-seq-monotonic) e ilimitada, ela tende a $+\infty$ ([Teorema 20.18](#thm-g12-seq-monotone)).

**Exercício 20.10 ★★★.**

*([Sequências](#def-g12-seq-sequence) adjacentes.)* Duas [sequências](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ e $(b_n)$ são *adjacentes* se $(a_n)$ é [crescente](#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e $b_n - a_n \to 0$.

1. Mostre que, para todo $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Sugestão: estude a monotonicidade de $(b_n - a_n)$ .)
2. Mostre que [sequências](#def-g12-seq-sequence) adjacentes convergem ambas para o mesmo limite.
3. Aplicação: mostre que as [sequências](#def-g12-seq-sequence) $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ e $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) são adjacentes. (Seu limite comum é o número $\eu$ , estudado no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#ch-g12-exp) .)

**Solução de Exercício 20.10.**

*1.* A [sequência](#def-g12-seq-sequence) $d_n = b_n - a_n$ satisfaz $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$, de modo que $(d_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations); como $d_n \to 0$, obtemos $d_n \geq 0$ para todo $n$ (uma [sequência](#def-g12-seq-sequence) [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) com um termo negativo permaneceria abaixo dele para sempre, impedindo o limite $0$). Logo $a_n \leq b_n$.

*2.* De $a_n \leq b_n \leq b_0$, a [sequência](#def-g12-seq-sequence) [crescente](#def-g12-seq-monotonic) $(a_n)$ é [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded) e, portanto, [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $\ell$. Do mesmo modo, $(b_n)$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e [limitada inferiormente](#def-g12-seq-bounded) por $a_0$, [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $\ell'$. Então $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$, logo $\ell = \ell'$.

*3.* $(a_n)$ é (estritamente) [crescente](#def-g12-seq-monotonic), pois $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$. Para $(b_n)$,

$$
b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!}
= \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}
= \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,
$$

de modo que $(b_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). Por fim, $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$. As duas [sequências](#def-g12-seq-sequence) são adjacentes e, portanto, convergem para um limite comum.

## 20.6 Problema: A sequência de Heron, enfim julgada

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — a indução certifica, a convergência monótona sentencia, e a receita de dois mil anos para $\sqrt2$ finalmente ganha sua demonstração (com a maravilhosa média de Gauss de sobremesa)

Três vezes esta série encontrou a receita de Heron — tire a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) entre o palpite e $2/\text{palpite}$ — e três vezes só pôde *observar* que a receita funciona. Este capítulo enfim possui os instrumentos do julgamento: a indução ([Teorema 20.1](#thm-g12-seq-induction)), o teorema da convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic) ([Teorema 20.18](#thm-g12-seq-monotone)) e os limites de recorrências. O veredicto, e a velocidade certificada, ocupam o coração deste problema; em volta dele, as armadilhas clássicas da indução, a divergência mais lenta da matemática e a convergência mais rápida que Gauss encontrou.

**Parte I — Aquecimentos de indução.**

1. Demonstre por indução: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (a escada dos números ímpares, desenhada no volume do ensino fundamental, agora certificada).
2. Demonstre por indução que $2^n > n$ para todo $n \in \N$ .
3. Demonstre a desigualdade de Bernoulli por indução: para $x \geq 0$ e $n \in \N$ , $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
4. A armadilha clássica: “todas as bolinhas de gude têm a mesma cor — verdade para uma bolinha; e, se quaisquer $n$ bolinhas são sempre monocromáticas, então entre $n + 1$ bolinhas as $n$ primeiras partilham uma cor, as $n$ últimas partilham uma cor, logo todas as $n + 1$ partilham”. Toda criança sabe que a conclusão é absurda: encontre o passo exato em que a indução quebra.
5. Demonstre por indução que $4^n - 1$ é divisível por $3$ para todo $n \in \N$ .

**Parte II — O julgamento de Heron.** Sejam $x_0 = 2$ e $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n +
\dfrac{2}{x_n}\right)$.

6. Calcule $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ como frações exatas (velhos conhecidos).
7. Demonstre a identidade-chave $$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2}  \geq 0,$$ e deduza por indução que $x_n > 0$ e $x_n^2 > 2$ para todo $n$.
8. Mostre que $(x_n)$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) (calcule $x_{n+1} - x_n$ e use a questão 7).
9. Invoque o teorema da convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic) : por que $(x_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) para algum limite $L \geq 1$ ?
10. Identifique o limite: passe a recorrência ao limite ( [Proposição 20.14](#prop-g12-seq-operations) ) e conclua que $L = \sqrt2$ . Enuncie o veredicto histórico: depois de dois mil anos de serviço fiel, está *demonstrado* que a receita de Heron [converge](#def-g12-seq-limit) .
11. A velocidade certificada: com $e_n = x_n - \sqrt2$, demonstre que $$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$$ e deduza $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$: o erro é elevado ao quadrado a cada passo — a duplicação de dígitos observada desde o volume do ensino fundamental, agora um teorema.
12. Confirme numericamente: calcule $e_0, e_1, e_2, e_3$ (a partir da questão 6) e verifique que cada $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ está próximo de $\frac{1}{2x_n}$ .

**Parte III — A divergência mais lenta.**

13. O [Exercício 20.9](#exo-g12-seq-9) demonstrou $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ para as somas harmônicas. Quantos termos garantem $H_n > 10$ ? (Uma potência de dois resolve; espante-se com o tamanho dela.)
14. Em contraste, as somas geométricas $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} =  2 - \frac{1}{2^n}$ convergem para $2$ ( [Teorema 20.20](#thm-g12-seq-geometric) ): a intuição da barra de chocolate do volume do ensino fundamental, enfim como afirmação sobre limites. Escreva a demonstração de duas linhas.
15. Entre as duas: mostre que as somas $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots +  \frac{1}{n^2}$ convergem, limitando $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} =  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (para $k \geq 2$ ), telescopando e aplicando a convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic) . (O limite, $\frac{\pi^2}{6}$ , é um dos milagres de Euler, demonstrado nos volumes de graduação.)
16. Enuncie em duas frases a moral das questões 13–15: o que “os termos tendem a $0$ ” decide sobre a convergência das somas — e o que não decide?

**Parte IV — A [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica de Gauss.** Sejam $a_0 = 1$, $b_0 = 2$ e

$$
a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},
\qquad
b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .
$$

17. Calcule $a_1, b_1, a_2, b_2$ (cinco casas decimais). O que você observa quanto à velocidade?
18. Mostre que $a_n \leq b_n$ para todo $n$ (a desigualdade entre as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmética e geométrica, encontrada ao longo de toda esta série), que $(a_n)$ cresce e que $(b_n)$ decresce.
19. Mostre que $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (fatore $b_{n+1} - a_{n+1} =  \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ e compare) e conclua, com o [Exercício 20.10](#exo-g12-seq-10) , que as duas [sequências](#def-g12-seq-sequence) são adjacentes: elas partilham um limite comum $M(1, 2)$ , a *[média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica* .
20. Calcule $M(1, 2)$ com seis casas decimais (de quantas iterações você precisou?). Em 30 de maio de 1799, Gauss calculou $M(1, \sqrt2)$ com onze casas decimais, reconheceu $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ como uma integral conhecida e escreveu que se abrira um “novo campo da análise” — e de fato se abrira: as integrais elípticas, contadas nos volumes de graduação. Encerre com as velocidades de convergência observadas neste problema, da mais lenta à mais rápida.

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** Verdadeiro para $n = 1$ ($1 = 1^2$). Se $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$, então, somando o ímpar seguinte: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$: hereditariedade. Por indução, vale para todo $n \geq 1$.

**2.** $2^0 = 1 > 0$. Se $2^n > n$, então $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ para $n \geq 1$ (e $n = 0$ se verifica diretamente): hereditariedade, pronto.

**3.** $n = 0$: $1 \geq 1$. Se $(1 + x)^n \geq 1 + nx$, multiplique por $1 + x \geq 1 > 0$: $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2
\geq 1 + (n + 1)x$.

**4.** O passo de $n = 1$ para $n = 2$: entre duas bolinhas, “as $n$ primeiras” e “as $n$ últimas” são duas bolinhas isoladas e *disjuntas* — nenhuma bolinha comum faz a ponte entre os dois grupos, de modo que nada obriga as cores a coincidirem. O argumento de hereditariedade exige em silêncio que os dois grupos se sobreponham, o que só é verdade a partir de $n \geq 2$; com o caso base $n = 1$, a corrente nunca começa.

**5.** $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$. Se $4^n - 1 = 3k$, então $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$: hereditariedade.

**6.** $x_1 = \frac32$, $x_2 = \frac{17}{12}$, $x_3 = \frac{577}{408}$.

**7.** $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2}
{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$: um quadrado dividido por um positivo, logo $\geq 0$, e $> 0$ sempre que $x_n^2 \neq 2$. Indução: $x_0 = 2 > 0$ com $x_0^2 = 4 > 2$; se $x_n > 0$ e $x_n^2 > 2$, então $x_{n+1}$ (uma [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de positivos) é positivo e $x_{n+1}^2 - 2 > 0$.

**8.** $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ pela questão 7: estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations).

**9.** [Decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e [limitada inferiormente](#def-g12-seq-bounded) (por $1$, já que $x_n^2 > 2 > 1$ e $x_n > 0$): pelo teorema da convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic), $(x_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) para algum $L \geq 1$.

**10.** Os limites respeitam a álgebra: de $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ e $x_n \to L \geq 1 > 0$ vem $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$, logo $L^2 = 2$ e, sendo $L$ positivo, $L = \sqrt2$. Veredicto: convergência demonstrada, limite identificado — Heron absolvido com honras.

**11.** $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n +
2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$: exatamente $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$, e $x_n > \sqrt2$ dá $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$. Erro elevado ao quadrado: cada passo dobra o número de casas decimais corretas, como se observava desde o ano 9.

**12.** $e_0 \approx 0.5858$, $e_1 \approx 0.0858$, $e_2 \approx 0.00245$, $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$. Razões: $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$: o teorema em ação.

**13.** $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$: cerca de $260\,000$ termos ($2^{18} = 262\,144$) apenas para passar de $10$ — divergência a passo de tartaruga (e $H_n > 100$ exigiria mais termos do que átomos em qualquer biblioteca).

**14.** $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (soma geométrica), e $\frac{1}{2^n} \to 0$ ([Teorema 20.20](#thm-g12-seq-geometric)), logo $S_n \to 2$: a barra de chocolate mordida sem fim tende ao inteiro sem nunca alcançá-lo — agora na linguagem oficial dos limites.

**15.** Para $k \geq 2$: $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} -
\frac1k$, de modo que $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$: [crescente](#def-g12-seq-monotonic) e [limitada superiormente](#def-g12-seq-bounded), logo convergente (convergência [monótona](#def-g12-seq-monotonic)). Euler mais tarde nomeou o limite: $\frac{\pi^2}{6}$.

**16.** Os termos tenderem a $0$ é *necessário* para que as somas se acomodem, mas não decide nada: os termos harmônicos $\frac1n \to 0$ e, ainda assim, as somas explodem; os termos $\frac{1}{n^2} \to 0$ e as somas convergem. A questão toda é o quão *depressa* os termos morrem — a teoria das séries, construída nos volumes de graduação.

**17.** $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$, $b_1 = 1.5$; $a_2 \approx 1.45648$, $b_2 \approx 1.45711$: duas iterações já concordam em três casas decimais — velocidade impressionante.

**18.** $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} -
\sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq
0$: as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) mantêm a ordem. $(a_n)$ cresce: $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$; e $(b_n)$ decresce de modo simétrico.

**19.** $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} =
\frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}
{2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
= \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
\leq \frac12$: a diferença pelo menos se reduz à metade, logo $b_n - a_n \to 0$; com a questão 18, as [sequências](#def-g12-seq-sequence) são adjacentes e partilham um limite $M(1, 2)$.

**20.** A terceira iteração dá $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$: $M(1, 2) \approx
1.456791$ em três voltas de manivela (a diferença praticamente *se eleva ao quadrado*, como em Heron). Ranking de velocidade das [sequências](#def-g12-seq-sequence) deste problema, da mais lenta à mais rápida: as somas harmônicas (divergência glacial), as somas geométricas (erro reduzido à metade a cada passo), Heron e a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica (erro elevado ao quadrado a cada passo) — e foi a velocidade sobrenatural dessa [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) que disse a Gauss que ele havia encontrado um novo veio da análise.

1. Todo subconjunto não vazio de $\N$ tem um menor elemento; essa propriedade de $\N$ é tomada como axioma. [↩](#fnref-1)