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title: "Limites e continuidade"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade
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# Capítulo 21 — Limites e continuidade

Este capítulo estende a noção de limite das [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) para as funções de uma variável real e apresenta a [continuidade](#def-g12-limcont-continuity). O resultado central é o teorema do valor intermediário, que transforma informação qualitativa (“$f$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) e muda de sinal”) na existência de soluções de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation).

## 21.1 Limites de funções

Ao longo do capítulo, $f$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) ou em uma [união](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) de [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $D \subseteq \R$.

**Definição 21.1 (Limite no infinito).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ e seja $\ell \in \R$. Dizemos que $f$ *tende a $\ell$ em $+\infty$*, o que se escreve $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, se todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) aberto que contém $\ell$ contém todos os valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $+\infty$ se, para todo $M \in \R$, existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$. Os limites em $-\infty$ e os limites iguais a $-\infty$ definem-se de modo análogo.

**Definição 21.2 (Limite em um ponto).**

Seja $a \in \R$ e seja $f$ definida perto de $a$ (exceto, talvez, em $a$). Dizemos que $f$ tende a $\ell \in \R$ em $a$, o que se escreve $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$, se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ com $\abs{x - a} \leq \delta$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $a$ se, para todo $M$, existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ sempre que $x \in D$ e $\abs{x - a} \leq \delta$. Os limites laterais ($x \to a^+$, $x \to a^-$) restringem $x$ a $x > a$ ou $x < a$.

**Exemplo 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ não tem limite (bilateral) em $0$.

**Definição 21.4 (Assíntotas).**

A reta $y = \ell$ é uma *assíntota horizontal* da curva de $f$ em $+\infty$ (resp. $-\infty$) se $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. em $-\infty$). A reta $x = a$ é uma *assíntota vertical* se $f$ tem um limite lateral infinito em $a$.

![A curva de f(x) = 2 + 1/x-1 com sua assíntota horizontal y = 2 (em ±∈fty) e sua assíntota vertical x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*A curva de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ com sua [assíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 2$ (em $\pm\infty$) e sua [assíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = 1$.*

**Proposição 21.5 (Operações com limites).**

As regras da [Proposição 20.14](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#prop-g12-seq-operations) (somas, produtos, quocientes) valem literalmente para limites de funções, em um ponto ou no infinito, com as mesmas quatro formas indeterminadas $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.

**Demonstração.** As demonstrações são idênticas às do caso das [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence), trocando “para $n \geq N$” por “para $x \geq A$” ou “para $\abs{x-a} \leq \delta$”. ∎

**Teorema 21.6 (Limite de uma composta).**

Sejam $f, g$ funções e $a, b, c$ [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) ou $\pm\infty$. Se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ e $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$, então

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

O mesmo enunciado vale com uma [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) no lugar de $f$: se $u_n \to b$ e $\lim_{y\to b} g(y) = c$, então $g(u_n) \to c$.

**Demonstração.** Tome $b, c$ finitos (os demais casos são análogos). Seja $\varepsilon > 0$. Existe $\delta > 0$ tal que $\abs{y - b} \leq \delta$ implica $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$; e existe $\delta' > 0$ tal que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implica $\abs{f(x) - b} \leq \delta$. Encadear os dois dá $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ para $\abs{x - a} \leq \delta'$. ∎

**Teorema 21.7 (Comparação e confronto).**

Sejam $f, g, h$ funções e $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$.

1. Se $f \leq g$ perto de $a$ e $f(x) \to +\infty$ quando $x \to a$ , então $g(x) \to +\infty$ .
2. Se $f \leq g \leq h$ perto de $a$ e $f, h$ tendem ao mesmo limite finito $\ell$ em $a$ , então $g(x) \to \ell$ quando $x \to a$ .

**Demonstração.** Mesmo argumento do caso das [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) ([Teorema 20.16](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#thm-g12-seq-squeeze)). ∎

**Método 21.8 (Calcular limites na prática).**

- Polinômios e funções racionais em $\pm\infty$ : coloque em evidência a maior potência de $x$ ; o limite é o da razão dos termos dominantes.
- $\frac{0}{0}$ em um ponto $a$ : fatore $(x-a)$ no numerador e no denominador, ou reconheça uma [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ ( [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv) ).
- Raízes quadradas: multiplique pela expressão conjugada.
- Fatores oscilantes ( $\cos$ , $\sin$ ): use o teorema do confronto.

## 21.2 Continuidade

**Definição 21.9 (Continuidade).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e seja $a \in I$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f$ é *contínua em $a$* se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. Ela é *contínua em $I$* se for contínua em todo ponto de $I$.

Intuitivamente, o [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) pode ser traçado sem levantar o lápis.

**Proposição 21.10 (Continuidade das funções usuais).**

Polinômios, funções racionais, $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \abs{x}$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ e $\ln$ são [contínuas](#def-g12-limcont-continuity) em todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) contido em seu [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function). Somas, produtos, quocientes (onde definidos) e composições de funções [contínuas](#def-g12-limcont-continuity) são [contínuos](#def-g12-limcont-continuity).

**Demonstração parcial.** A estabilidade por somas, produtos, quocientes e composição segue dos teoremas correspondentes sobre limites. A [continuidade](#def-g12-limcont-continuity) de $x \mapsto x$ e das funções constantes é imediata pela definição, de modo que polinômios e funções racionais são [contínuos](#def-g12-limcont-continuity). A [continuidade](#def-g12-limcont-continuity) das demais funções usuais é demonstrada nos capítulos em que elas são construídas, ou admitida. ∎

**Exemplo 21.11.**

A *[função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) piso* $x \mapsto \floor{x}$ (o maior inteiro $\leq x$) não é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em nenhum inteiro $n$: seu limite à esquerda ali é $n - 1$, enquanto $\floor{n} = n$.

![A função piso salta em cada inteiro: o valor (bolinha cheia) difere do limite à esquerda (bolinha vazia).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) piso salta em cada inteiro: o valor (bolinha cheia) difere do limite à esquerda (bolinha vazia).*

**Proposição 21.12 (Sequências e continuidade).**

Se $u_n \to \ell$ e $f$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $\ell$, então $f(u_n) \to f(\ell)$. Em particular, se uma [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) definida por $u_{n+1} = f(u_n)$ [converge](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-limit) para $\ell$ e $f$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $\ell$, então $f(\ell) = \ell$.

**Demonstração.** A primeira afirmação é o [Teorema 21.6](#thm-g12-limcont-composition) aplicado à [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$. Para a segunda, passe ao limite nos dois lados de $u_{n+1} = f(u_n)$: o lado esquerdo tende a $\ell$, o direito a $f(\ell)$, e os limites são únicos. ∎

## 21.3 O teorema do valor intermediário

**Teorema 21.13 (Teorema do valor intermediário).**

Seja $f$ [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $\intcc{a}{b}$ e seja $k$ um número qualquer entre $f(a)$ e $f(b)$. Então existe $c \in \intcc{a}{b}$ tal que $f(c) = k$.

![O teorema do valor intermediário: uma curva contínua que liga (a, f(a)) a (b, f(b)) tem de cruzar toda reta horizontal y = k situada entre f(a) e f(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*O teorema do valor intermediário: uma curva [contínua](#def-g12-limcont-continuity) que liga $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ tem de cruzar toda reta horizontal $y = k$ situada entre $f(a)$ e $f(b)$.*

**Demonstração.** Substituindo $f$ por $f - k$ (e por $k - f$ se preciso), podemos supor $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ e procurar um zero de $f$. Construímos duas [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) por *dicotomia*: ponha $a_0 = a$, $b_0 = b$; dados $a_n \leq b_n$ com $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, seja $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ e defina

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{se } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{se } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

Nos dois casos $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$, a [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$: as [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) são adjacentes (veja o [Exercício 20.10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#exo-g12-seq-10)) e convergem para um limite comum $c \in \intcc{a}{b}$. Pela [continuidade](#def-g12-limcont-continuity), $f(a_n) \to f(c)$ e $f(b_n) \to f(c)$; passar ao limite em $f(a_n) \leq 0$ e $f(b_n) \geq 0$ dá $f(c) \leq 0 \leq f(c)$, logo $f(c) = 0$. ∎

**Observação 21.14.**

A demonstração por [dicotomia](#thm-g12-limcont-ivt) é um algoritmo: ela fornece [aproximações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) arbitrariamente precisas de uma solução, dividindo o erro pela metade a cada passo. É assim que um computador resolve $f(x) = 0$ sabendo apenas avaliar $f$.

**Teorema 21.15 (Teorema da bijeção).**

Seja $f$ [contínua](#def-g12-limcont-continuity) e *estritamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic)* em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$. Então, para todo $k$ estritamente entre os limites de $f$ nos extremos de $I$, a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ tem uma *única* solução em $I$.

**Demonstração.** Existência: escolha $a, b \in I$ com $k$ entre $f(a)$ e $f(b)$ (possível, já que os valores de $f$ se aproximam dos seus limites nos extremos) e aplique o teorema do valor intermediário em $\intcc{a}{b}$. Unicidade: se $x < y$, a monotonicidade estrita dá $f(x) \neq f(y)$, de modo que dois pontos distintos não podem ser ambos soluções. ∎

**Método 21.16 (Resolver f(x)=kf(x) = kf(x)=k com o teorema da bijeção).**

Para demonstrar que $f(x) = k$ tem exatamente uma solução em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval):

1. estabeleça um [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) de $f$ (sinal de $f'$ , veja o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ch-g12-deriv) );
2. em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) em que $f$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) e estritamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) , compare $k$ com os valores ou limites nos extremos;
3. aplique o teorema da bijeção em cada um desses [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) e conte as soluções.

Uma calculadora ou a [dicotomia](#thm-g12-limcont-ivt) localizam depois cada solução com a precisão que se quiser.

**Exemplo 21.17.**

A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ tem uma única solução real. De fato, $f(x) = x^3 + x$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) e estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $\R$ (soma de funções estritamente [crescentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic)), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ e $\lim_{+\infty} f = +\infty$, de modo que o teorema da bijeção se aplica com $k = 1$. Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ e $f(0.7) = 1.043 > 1$, a solução está em $\intoo{0.6}{0.7}$.

## 21.4 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Calcule os limites seguintes:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**Solução de Exercício 21.1.**

Dividindo por $x^3$: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$.

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ quando $x \to -\infty$, pois $x^2 \to +\infty$ e o parêntese tende a $1$.

Quando $x \to 2^+$, o numerador tende a $3 > 0$ e o denominador a $0^+$, logo $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$.

Para $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$, de modo que o limite é $0$ pelo teorema do confronto.

**Exercício 21.2 ★.**

Seja $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$, definida para $x \neq 1$.

1. Mostre que $f(x) = 2x - 1$ para todo $x \neq 1$ .
2. Deduza $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . É possível estender $f$ a uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $1$ ?

**Solução de Exercício 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (a [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ salta à vista de $2 - 3 + 1 = 0$). Para $x \neq 1$, cancele $x - 1$: $f(x) = 2x - 1$.

*2.* Logo $\lim_{x\to1} f(x) = 1$. Definir $f(1) = 1$ estende $f$ à [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) polinomial $x \mapsto 2x-1$ em $\R$, que é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $1$.

**Exercício 21.3 ★.**

Determine as [assíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) da curva de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ e esboce a curva.

**Solução de Exercício 21.3.**

Escreva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$. Quando $x \to \pm\infty$, $f(x) \to 3$: a reta $y = 3$ é [assíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) nos dois infinitos. Quando $x \to (-2)^\pm$, $f(x) \to \mp\infty$: a reta $x = -2$ é [assíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote). A curva é uma [hipérbole](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-reference), abaixo de $y=3$ para $x > -2$ e acima dela para $x < -2$.

**Exercício 21.4 ★★.**

Calcule

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{e}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**Solução de Exercício 21.4.**

Multiplique pelo conjugado:

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

Do mesmo modo,

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**Exercício 21.5 ★★.**

Seja $f(x) = x + \sin x$.

1. Mostre que $f(x) \to +\infty$ quando $x \to +\infty$ , embora $f$ não seja [monótona](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em nenhum [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ .
2. Mostre que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tende a $1$ em $+\infty$ .

**Solução de Exercício 21.5.**

*1.* Como $\sin x \geq -1$, $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$, e concluímos por comparação. E, no entanto, $f'(x) = 1 + \cos x$ anula-se em todo múltiplo ímpar de $\pi$, e em todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) alterna trechos de crescimento estrito; ela é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), mas não estritamente, e — o que mais importa — seu crescimento nem é necessário: a comparação basta.

*2.* Para $x > 1$, divida por $x$:

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

e $\frac{\sin x}{x} \to 0$ pelo teorema do confronto ($\abs{\sin x} \leq 1$). Logo $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$.

**Exercício 21.6 ★★.**

Mostre que a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ tem exatamente três soluções reais e dê, para cada uma, um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de comprimento $1$ que a contenha. (Sugestão: estude a variação de $f(x) = x^3 - 3x + 1$; sua [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-derivative) é $3x^2 - 3$.)

**Solução de Exercício 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity), com $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: $f$ cresce em $\intoc{-\infty}{-1}$, decresce em $\intcc{-1}{1}$ e cresce em $\intco{1}{+\infty}$, com [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = 3 > 0$ e [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = -1 < 0$, $\lim_{-\infty} f = -\infty$ e $\lim_{+\infty} f = +\infty$.

Em cada um dos três [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de monotonicidade, $f$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity), estritamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), e $0$ está estritamente entre os valores ou limites nos extremos, de modo que o teorema da bijeção dá exatamente um zero por [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval): três zeros ao todo. Verificações de sinal: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$, logo um zero em $\intoo{-2}{-1}$; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$, um zero em $\intoo{0}{1}$; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$, um zero em $\intoo{1}{2}$.

**Exercício 21.7 ★★.**

Seja $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [contínua](#def-g12-limcont-continuity). Mostre que $f$ tem um *[ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1)*: existe $c \in \intcc{0}{1}$ com $f(c) = c$. (Sugestão: aplique o teorema do valor intermediário a $g(x) = f(x) - x$.)

**Solução de Exercício 21.7.**

Seja $g(x) = f(x) - x$, [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $\intcc{0}{1}$. Como $f(0) \in \intcc{0}{1}$, $g(0) = f(0) \geq 0$; como $f(1) \in \intcc{0}{1}$, $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Pelo teorema do valor intermediário, $g$ se anula em algum $c \in \intcc{0}{1}$, isto é, $f(c) = c$.

**Exercício 21.8 ★★★.**

Uma caminhante sobe uma trilha na montanha, partindo às 8h e chegando às 20h. No dia seguinte ela desce a mesma trilha, de novo partindo às 8h e chegando às 20h. Mostre que existe um horário do dia em que ela está exatamente no mesmo ponto da trilha nos dois dias. (Sugestão: introduza a diferença das duas funções de posição.)

**Solução de Exercício 21.8.**

Sejam $u(t)$ e $d(t)$ as posições (medidas como distância desde a base da trilha) no instante $t \in \intcc{8}{20}$, na subida e na descida. As duas são [contínuas](#def-g12-limcont-continuity), com $u(8) = 0$, $u(20) = L$ (o comprimento da trilha), $d(8) = L$ e $d(20) = 0$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $g = u - d$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) com $g(8) = -L \leq 0$ e $g(20) = L \geq 0$, de modo que $g(c) = 0$ para algum instante $c$, pelo teorema do valor intermediário: no instante $c$, as posições dos dois dias coincidem.

**Exercício 21.9 ★★★.**

Seja $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$.

1. Mostre que $f$ tem um único zero real $\alpha$ e que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
2. Descreva um procedimento de [dicotomia](#thm-g12-limcont-ivt) que calcule $\alpha$ com precisão $10^{-6}$ e dê o número de iterações necessárias partindo de $\intcc{0}{1}$ .

**Solução de Exercício 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$, de modo que $f$ é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $\R$; com $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ e [continuidade](#def-g12-limcont-continuity), o teorema da bijeção dá um único zero real $\alpha$. Como $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 2 > 0$, $\alpha \in \intoo{0}{1}$.

*2.* Mantenha um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ com $f(a_n) < 0 < f(b_n)$, partindo de $\intcc{0}{1}$; a cada passo avalie $f$ no [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ e conserve a metade em que a mudança de sinal persiste. Após $n$ passos o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) tem comprimento $2^{-n}$, de modo que o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) aproxima $\alpha$ com erro $2^{-(n+1)}$. Precisamos de $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$, isto é, $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$: $n = 20$ iterações bastam.

## 21.5 Problema: Não se atravessa um rio sem se molhar

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — o teorema do valor intermediário força pontos fixos, antípodas de mesma temperatura e mesas firmes: três teoremas de aparência impossível a partir de uma única ideia

Amasse um mapa do Brasil e deixe-o cair em qualquer ponto do território brasileiro: algum ponto do mapa fica *exatamente* acima do lugar que representa. A cada instante, dois pontos diametralmente opostos do equador têm *exatamente* a mesma temperatura. E uma mesa quadrada bamba, em chão irregular, sempre pode ser firmada *girando-a*. Três truques de festa, um teorema: uma grandeza [contínua](#def-g12-limcont-continuity) não passa de negativa a positiva sem se anular ([Teorema 21.13](#thm-g12-limcont-ivt)). Este problema treina limites, constrói em seguida as três maravilhas — e sabe exatamente o que o teorema não promete.

**Parte I — Fluência com limites.**

1. Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ e $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ ( [Método 21.8](#met-g12-limcont-limits) ).
2. Dê as [assíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ( [Definição 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) ), calculando os limites relevantes.
3. Calcule $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (fatore) e $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (conjugado).
4. Pelo teorema do confronto ( [Teorema 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ): calcule $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
5. Por composição e termos dominantes: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

**Parte II — Raízes, certificadas.**

6. Mostre que a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ tem pelo menos uma solução em $\intcc{1}{2}$ .
7. Mostre que a solução é única em $\R$ ( [Teorema 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) ).
8. Demonstre o clássico: *todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) real* . (Escreva o argumento para $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calcule os dois limites infinitos pelo termo dominante e aplique em seguida o teorema do valor intermediário em um intervalo grande.)
9. Localizando a [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) da questão 6 por [dicotomia](#thm-g12-limcont-ivt) : quantas divisões ao meio de $\intcc{1}{2}$ garantem um erro abaixo de $10^{-6}$ ( [Exercício 21.9](#exo-g12-limcont-9) )? Compare com a duplicação de dígitos do método de Newton ( [Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#pb-g11-deriv-1) ): de quantos passos ele precisaria, aproximadamente?
10. O contraexemplo que guarda o teorema: $g(x) = \frac1x$ satisfaz $g(-1) = -1 < 0$ e $g(1) = 1 > 0$ e, no entanto, nunca se anula. Que hipótese do teorema falha — e o que o exemplo ensina sobre conferir hipóteses?

**Parte III — Três teoremas de aparência impossível.**

11. O teorema do [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) no segmento: se $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) , demonstre que algum $c$ satisfaz $f(c) = c$ . (Estude $g(x) = f(x) - x$ nas duas extremidades.)
12. Traduza a questão 11 para o mapa amassado: o que faz o papel de $f$ , por que ele cai em $\intcc{0}{1}$ (figurativamente: dentro do país) e qual é o ponto que fica exatamente acima da própria localização? (Uma dimensão é admitida em silêncio — o enunciado honesto em duas dimensões é o teorema de Brouwer, dos volumes de graduação.)
13. O equador: seja $T$ uma temperatura [contínua](#def-g12-limcont-continuity) sobre um círculo, vista como uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $2\pi$ -periódica com $T(0) = T(2\pi)$ . Ponha $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calcule $g(0) + g(\pi)$ , deduza que $g$ se anula em algum ponto de $\intcc{0}{\pi}$ e enuncie o teorema sobre pontos antípodas.
14. A mesa bamba: uma mesa quadrada perfeitamente rígida apoia-se em um chão irregular [contínuo](#def-g12-limcont-continuity) (sem degraus!); três pés sempre tocam o chão e um fica no ar a uma altura $h(\theta)$ que depende continuamente do ângulo de rotação $\theta$ da mesa. Explique por que girar um quarto de volta força a folga do pé suspenso a mudar de sinal — e conclua que algum ângulo $\theta^*$ firma os quatro pés. (Esse argumento foi publicado como teorema legítimo em 2005; os donos de café já conheciam o truque antes.)
15. A caminhante do [Exercício 21.8](#exo-g12-limcont-8) usou o mesmo esquema. Enuncie em três linhas o modelo comum às questões 11, 13, 14 e à caminhante — construir que [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) , verificar o quê nas extremidades, invocar o quê.
16. O que o teorema do valor intermediário *não* dá: a existência veio de graça, mas que duas perguntas ele deixa em aberto, e quais ferramentas deste problema as respondem (questões 7 e 9)?

**Parte IV — Retratos com [assíntotas](#def-g12-limcont-asymptote).**

17. Reescreva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ como $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ e use isso para descrever a curva por completo: [assíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) , variação de cada lado, esboço. (Uma [hipérbole](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-reference) deslocada — a curva do custo médio do [Problema 4.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#pb-g10-reffunc-1) também era uma.)
18. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ não está definida em $1$ . Que valor atribuído a $f(1)$ a torna [contínua](#def-g12-limcont-continuity) ali — e por que os analistas chamam um ponto assim de descontinuidade *removível* ?
19. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) piso $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (o maior inteiro $\leq x$ ): onde ela é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) , onde salta, e por que a conclusão do teorema do valor intermediário falha para ela (encontre $a < b$ com $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ e, no entanto, sem solução de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
20. Final — as duas faces da [continuidade](#def-g12-limcont-continuity) : a promessa local (valor $=$ limite: nada de teletransporte) e o poder global (o teorema do valor intermediário: todo valor intermediário é visitado). Classifique as quatro maravilhas da Parte III na face certa e dê ao lema da travessia do rio seu nome matemático preciso.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** Termos dominantes: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$.

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$: [assíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$: [assíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$.

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$. E $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$.

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, logo o limite é $0$. E $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$: limite $0$.

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} =
\sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ ([continuidade](#def-g12-limcont-continuity) da raiz quadrada, composição).

**6.** $f(x) = x^3 + x$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) com $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$: pelo teorema do valor intermediário, $f(c) = 5$ para algum $c \in \intoo{1}{2}$.

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $\R$, [contínua](#def-g12-limcont-continuity), com limites $\mp\infty$: pelo teorema da bijeção, todo valor — em particular $5$ — é atingido exatamente uma vez.

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$: quando $x \to +\infty$, $p \to +\infty$; quando $x \to -\infty$, $p \to -\infty$. Assim, em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) enorme $\intcc{-M}{M}$ vale $p(-M) < 0 < p(M)$: o teorema do valor intermediário entrega uma [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant). O mesmo argumento de termo dominante funciona literalmente para qualquer grau ímpar — as potências ímpares mantêm sinais opostos nos dois infinitos.

**9.** Dividir ao meio $n$ vezes deixa um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de comprimento $2^{-n}$; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} <
10^{-6}$: vinte passos. Newton dobra os dígitos corretos a cada passo: partindo de um dígito correto, cerca de $3$ a $4$ passos chegam a seis — a tartaruga e o galgo da busca de raízes.

**10.** $g$ não é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) em $\intcc{-1}{1}$: ela explode em $0$, que o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) contém. A conclusão do teorema evapora junto com sua hipótese — confira sempre a [continuidade](#def-g12-limcont-continuity) *no [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) inteiro*, e não só nos extremos.

**11.** $g(x) = f(x) - x$ é [contínua](#def-g12-limcont-continuity); $g(0) = f(0) \geq 0$ (os valores estão em $\intcc{0}{1}$) e $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Pelo teorema do valor intermediário, $g(c) = 0$ para algum $c$: $f(c) = c$.

**12.** Idealizando o país como o segmento $\intcc{0}{1}$: $f$ leva cada lugar ao lugar mostrado diretamente abaixo dele no mapa amassado; amassar mantém o mapa sobre o país, de modo que $f$ cai em $\intcc{0}{1}$, e ela é [contínua](#def-g12-limcont-continuity) (o papel não se rasga). O [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) $c$ é o ponto que fica precisamente acima da própria [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) — o teorema de Brouwer trata do mapa honesto, em duas dimensões.

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$. Assim, $g(0)$ e $g(\pi)$ são opostos (ou ambos nulos): de qualquer modo $g$, [contínua](#def-g12-limcont-continuity), anula-se em algum $t^* \in \intcc{0}{\pi}$: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — em algum lugar do equador, dois pontos antípodas concordam na temperatura, a cada instante.

**14.** Girar a mesa um quarto de volta troca os papéis das duas diagonais: o par de pés que pressionava o chão e o par em que um pé pairava trocam de situação, de modo que a altura suspensa — contada com sinal, como “folga da diagonal distinguida” — assume sinais opostos em $\theta$ e em $\theta + \frac\pi2$. Um chão [contínuo](#def-g12-limcont-continuity) torna $h$ [contínua](#def-g12-limcont-continuity), e o teorema do valor intermediário entrega um ângulo $\theta^*$ com $h(\theta^*) = 0$: quatro pés no chão. (Nada dessa sorte com uma mesa retangular ou com chão em degraus.)

**15.** Modelo: construa a *diferença* das duas grandezas que você quer fazer coincidir ($f(x) - x$; $T(t) - T(t + \pi)$; posição na subida menos posição na descida, para a caminhante; a folga com sinal, para a mesa); verifique que ela assume valores dos dois sinais (muitas vezes por uma simetria entre as extremidades); invoque o teorema do valor intermediário sobre uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [contínua](#def-g12-limcont-continuity). A coincidência fica forçada.

**16.** Perguntas em aberto: *quantas* soluções (respondida pela monotonicidade estrita e pelo teorema da bijeção, questão 7) e *onde* elas estão (respondida pela [dicotomia](#thm-g12-limcont-ivt) ou por Newton, questão 9). O teorema do valor intermediário é um oráculo puro de existência.

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$: [assíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$, horizontal $y = 3$; de cada lado de $-2$ a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) ($-\frac{7}{x+2}$ cresce onde está definida); a curva é a [hipérbole](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-reference) de referência $-\frac7x$ deslocada $2$ para a esquerda e $3$ para cima — dois ramos abraçando o cruzamento das [assíntotas](#def-g12-limcont-asymptote).

**18.** Para $x \neq 1$: $f(x) = x + 1$, logo $\lim_{x \to 1} f = 2$: definir $f(1) = 2$ restaura a [continuidade](#def-g12-limcont-continuity). A descontinuidade era um furo, não um salto — preencha o único ponto que falta e a curva cicatriza: *removível*.

**19.** [Contínua](#def-g12-limcont-continuity) em todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) entre inteiros consecutivos; em cada inteiro $n$ ela salta de $n - 1$ para $n$. Com $a = 0.9$ e $b = 1.1$: $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ e, ainda assim, $\lfloor x \rfloor = \frac12$ não tem solução — o salto se teletransporta por cima de $\frac12$, que é precisamente o que o teorema proíbe às funções [contínuas](#def-g12-limcont-continuity).

**20.** Face local: valor $=$ limite em cada ponto — o furo removível (questão 18) a violou de modo curável, e os saltos da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) piso (questão 19), de modo incurável. Face global: em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval), todos os valores intermediários são visitados — os certificados de [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) (6–8), o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1), o equador, a mesa e a caminhante moram todos aqui. O nome oficial do lema: o *teorema do valor intermediário*.