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title: "Derivadas e convexidade"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade
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# Capítulo 22 — Derivadas e convexidade

A [derivada](#def-g12-deriv-derivative) mede a taxa de variação instantânea de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function); é o [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) da reta [tangente](#def-g12-deriv-tangent) ao seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph). Este capítulo revê e estende as regras de derivação, liga o sinal de $f'$ à variação de $f$ e apresenta a [convexidade](#def-g12-deriv-convex), governada pela segunda [derivada](#def-g12-deriv-derivative).

## 22.1 A derivada

**Definição 22.1 (Derivada em um ponto).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e seja $a \in I$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f$ é *derivável em $a$* se o quociente de diferenças

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

tem limite finito quando $h \to 0$. Esse limite chama-se *derivada de $f$ em $a$* e escreve-se $f'(a)$. Se $f$ é derivável em todo ponto de $I$, a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ é a *derivada* de $f$.

**Definição 22.2 (Reta tangente).**

Se $f$ é [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $a$, a *tangente* à curva de $f$ no ponto $(a, f(a))$ é a reta de [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![À medida que h diminui, a secante por A = (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)) (laranja) gira rumo à tangente em A (vermelha): seu coeficiente angular f(a+h)-f(a)/h tende a f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-0dc6b0817a56.svg)

*À medida que $h$ diminui, a [secante](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#def-g11-deriv-rate) por $A = (a, f(a))$ e $(a+h, f(a+h))$ (laranja) gira rumo à [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $A$ (vermelha): seu [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tende a $f'(a)$.*

**Proposição 22.3.**

Uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $a$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) em $a$. A recíproca é falsa.

**Demonstração.** Para $h \neq 0$ pequeno, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Quando $h \to 0$, o lado direito tende a $0 \times f'(a) = 0$, logo $f(a+h) \to f(a)$. Para a recíproca, $x \mapsto \abs{x}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) em $0$, mas seu quociente de diferenças em $0$ vale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ conforme o sinal de $h$, e não tem limite. ∎

### 22.1.1 Regras de derivação

**Proposição 22.4 (Operações).**

Sejam $u, v$ deriváveis em $I$ e $\lambda \in \R$. Então $u + v$, $\lambda u$ e $uv$ são deriváveis em $I$, assim como $\frac{u}{v}$ onde $v \neq 0$, e

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Demonstração da regra do produto.** Escreva o quociente de diferenças de $uv$ em $a$ como

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

Quando $h \to 0$, $v(a+h) \to v(a)$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) ([Proposição 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont)), de modo que o lado direito tende a $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. As outras regras se demonstram de modo análogo. ∎

**Teorema 22.5 (Regra da cadeia).**

Seja $u$ [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $I$ com valores em $J$, e $g$ [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $J$. Então $g \circ u$ é [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $I$ e

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

Em particular, para $u$ [derivável](#def-g12-deriv-derivative):

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**Esboço da demonstração.** Quando $u(a+h) \neq u(a)$ para $h$ pequeno, escreva

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

Quando $h \to 0$, $u(a+h) \to u(a)$, de modo que o primeiro fator tende a $g'(u(a))$ e o segundo a $u'(a)$. (Uma demonstração completa precisa tratar o caso em que $u(a+h) = u(a)$ para $h$ arbitrariamente pequeno; esse ponto técnico é tratado na graduação.) ∎

**Exemplo 22.6.**

As [derivadas](#def-g12-deriv-derivative) usuais, válidas nos [domínios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) naturais:

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

A primeira demonstra-se por indução a partir da regra do produto, e as duas últimas no [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#ch-g12-trigo).

## 22.2 Variação e extremos

**Teorema 22.7 (Sinal da derivada e variação).**

Seja $f$ [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $I$ se, e somente se, $f' \geq 0$ em $I$ .
2. $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $I$ se, e somente se, $f' \leq 0$ em $I$ .
3. Se $f' > 0$ em $I$ , exceto em um número finito de pontos onde se anula, então $f$ é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $I$ .

**Demonstração parcial.** Se $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), todo quociente de diferenças $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ é $\geq 0$, e passar ao limite dá $f'(a) \geq 0$. As implicações recíprocas apoiam-se no teorema do valor médio, demonstrado na graduação; elas são *admitidas neste nível*. ∎

**Definição 22.8 (Extremo local).**

$f$ tem um *máximo local* em $a$ se $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ perto de $a$; os [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) locais definem-se de modo simétrico.

**Proposição 22.9 (Condição de primeira ordem).**

Se $f$ é [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) *aberto* $I$ e tem um [extremo](#def-g12-deriv-extremum) local em $a \in I$, então $f'(a) = 0$. A recíproca é falsa ($f(x) = x^3$ em $a = 0$).

**Demonstração.** Digamos que $a$ seja um [máximo local](#def-g12-deriv-extremum). Para $h > 0$ pequeno, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$, de modo que fazer $h \to 0^+$ dá $f'(a) \leq 0$; para $h < 0$ o quociente é $\geq 0$, o que dá $f'(a) \geq 0$. Logo $f'(a) = 0$. ∎

![Em um extremo local no interior de um intervalo aberto, a tangente (laranja) é horizontal: f'(a) = 0. Aqui f(x) = x3 - 3x, com máximo local em -1 e mínimo local em 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*Em um [extremo](#def-g12-deriv-extremum) local no interior de um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) aberto, a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (laranja) é horizontal: $f'(a) = 0$. Aqui $f(x) = x^3 - 3x$, com [máximo local](#def-g12-deriv-extremum) em $-1$ e [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local em $1$.*

**Método 22.10 (Quadro de variação).**

Para estudar uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f$: determine seu [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) e os limites na fronteira; calcule $f'$ e fatore-a; determine o sinal de $f'$ em cada subintervalo; registre tudo em um [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table), marcando os [extremos](#def-g12-deriv-extremum); deduza o número de soluções de $f(x) = k$ usando o teorema da bijeção ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 Convexidade

**Definição 22.11 (Função convexa).**

Uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ é *convexa* em $I$ se toda corda do seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) fica acima do [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph): para todos $a, b \in I$ e $t \in \intcc{0}{1}$,

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

Ela é *côncava* se vale a desigualdade contrária ($-f$ convexa).

![Uma função convexa: toda corda (vermelha) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de cada uma de suas tangentes (laranja). O segmento tracejado mostra a diferença entre f ((1-t)a+tb ) e (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-7ffbbb8466cb.svg)

*Uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex): toda corda (vermelha) fica acima do [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph), e o [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) fica acima de cada uma de suas [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) (laranja). O segmento tracejado mostra a diferença entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ e $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**Teorema 22.12 (Convexidade e derivadas).**

Seja $f$ [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$. São equivalentes:

1. $f$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex) em $I$ ;
2. $f'$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $I$ ;
3. o [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de $f$ fica acima de cada uma de suas [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) .

Se $f$ é duas vezes [derivável](#def-g12-deriv-derivative), isso também equivale a $f'' \geq 0$ em $I$.

**Demonstração de (2) $\Rightarrow$ (3).** Fixe $a \in I$ e ponha $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$, a diferença entre a curva e a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $a$. Então $g$ é [derivável](#def-g12-deriv-derivative) e $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Se $f'$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), $g' \leq 0$ em $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ e $g' \geq 0$ em $I \cap \intco{a}{+\infty}$: $g$ decresce antes de $a$ e cresce depois, de modo que $g$ atinge seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $g(a) = 0$, logo $g \geq 0$. As demais implicações são admitidas neste nível; a equivalência com $f'' \geq 0$ segue do [Teorema 22.7](#thm-g12-deriv-variations) aplicado a $f'$. ∎

**Definição 22.13 (Ponto de inflexão).**

Um ponto em que a curva de $f$ atravessa a sua [tangente](#def-g12-deriv-tangent) é um *ponto de inflexão*. Para $f$ duas vezes [derivável](#def-g12-deriv-derivative), os pontos de inflexão são os pontos em que $f''$ muda de sinal.

**Exemplo 22.14.**

$f(x) = x^3$ tem $f''(x) = 6x$: $f$ é [côncava](#def-g12-deriv-convex) em $\intoc{-\infty}{0}$, [convexa](#def-g12-deriv-convex) em $\intco{0}{+\infty}$, com [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) na origem, onde a curva atravessa sua [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (o eixo $x$).

![O ponto de inflexão de x x3 na origem: a curva atravessa sua tangente (laranja), côncava à esquerda e convexa à direita.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-3810406f8c12.svg)

*O [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) de $x \mapsto x^3$ na origem: a curva atravessa sua [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (laranja), [côncava](#def-g12-deriv-convex) à esquerda e [convexa](#def-g12-deriv-convex) à direita.*

**Exemplo 22.15 (Desigualdades de convexidade).**

A exponencial é [convexa](#def-g12-deriv-convex) em $\R$ (sua segunda [derivada](#def-g12-deriv-derivative) é ela mesma, positiva). Sua [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $0$ é $y = 1 + x$, de modo que

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .
$$

Essas *desigualdades da reta [tangente](#def-g12-deriv-tangent)* são um produto padrão da [convexidade](#def-g12-deriv-convex).

**Método 22.16 (Usar a convexidade).**

- Para demonstrar uma desigualdade $f(x) \geq ax + b$ : identifique a reta como [tangente](#def-g12-deriv-tangent) de uma $f$ [convexa](#def-g12-deriv-convex) e invoque o [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3).
- Para localizar [pontos de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) : resolva $f''(x) = 0$ *e* verifique que $f''$ muda de sinal ali.
- Em um [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) , a [convexidade](#def-g12-deriv-convex) refina o esboço da curva (para que lado ela se curva).

## 22.4 Exercícios

**Exercício 22.1 ★.**

Derive as funções seguintes em seus [domínios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function):

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**Solução de Exercício 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

Regra do quociente: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

Regra da cadeia com $u = 2x+1$: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$.

Regra da cadeia com $u = x^2 + 1$: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**Exercício 22.2 ★.**

Dê a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da [tangente](#def-g12-deriv-tangent) à curva de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ no ponto de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a = 2$ e determine a posição da curva em relação a essa [tangente](#def-g12-deriv-tangent).

**Solução de Exercício 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$, logo $f(2) = -1$ e $f'(2) = 1$: a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) é $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. A diferença é

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

de modo que a curva fica acima da [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em toda parte, tocando-a apenas em $x = 2$ (como se esperava: $f$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex)).

**Exercício 22.3 ★.**

Usando a definição de [derivada](#def-g12-deriv-derivative), calcule

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{e}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**Solução de Exercício 22.3.**

Os dois são quocientes de diferenças. Com $f(x) = (1+x)^{100}$ em $0$: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$, de modo que o limite é $f'(0) = 100$. Com $g(x) = \sqrt{x}$ em $4$: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, de modo que o limite é $g'(4) = \frac14$.

**Exercício 22.4 ★★.**

Estude a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ em seu [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function): limites, [derivada](#def-g12-deriv-derivative), [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table), [extremos](#def-g12-deriv-extremum) locais.

**Solução de Exercício 22.4.**

[Domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. Limites: em $\pm\infty$, $f(x) \sim x \to \pm\infty$; em $1^\pm$, o numerador $\to 4 > 0$ e o denominador $\to 0^\pm$, de modo que $f \to \pm\infty$; a reta $x = 1$ é [assíntota vertical](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-asymptote).

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

Logo $f' > 0$ em $\intoo{-\infty}{-1}$ e $\intoo{3}{+\infty}$, e $f' < 0$ em $\intoo{-1}{1}$ e $\intoo{1}{3}$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) cresce até um [máximo local](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$, decresce até $-\infty$, salta para $+\infty$ depois da [assíntota](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-asymptote), decresce até um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $f(3) = 6$ e depois cresce.

**Exercício 22.5 ★★.**

Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha quadrada de papelão de lado $30\,$cm, recortando-se quadrados iguais de lado $x$ nos cantos e dobrando as laterais. Determine o $x$ que maximiza o volume da caixa.

**Solução de Exercício 22.5.**

Para $x \in \intoo{0}{15}$, a caixa tem base quadrada de lado $30 - 2x$ e altura $x$, de modo que

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. Em $\intoo{0}{15}$, $30 - 2x > 0$, de modo que $V'$ tem o sinal de $30 - 6x$: positiva antes de $x = 5$ e negativa depois. O volume é [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) para $x = 5$ cm, dando $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$.

**Exercício 22.6 ★★.**

Seja $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. Calcule $f''$ e determine os [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de [convexidade](#def-g12-deriv-convex) e os [pontos de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) de $f$ .
2. Mostre que a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) no [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) de [abscissa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $2$ atravessa a curva ali.

**Solução de Exercício 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ e $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. Assim, $f'' > 0$ em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{2}{+\infty}$ ([convexa](#def-g12-deriv-convex)), e $f'' < 0$ em $\intoo{0}{2}$ ([côncava](#def-g12-deriv-convex)). $f''$ muda de sinal em $0$ e em $2$: os dois são [pontos de inflexão](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* Em $a = 2$: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$, $f'(2) = 32 - 48 = -16$, [tangente](#def-g12-deriv-tangent) $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. A diferença é

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

Como $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$, $(x-2)^3$ divide $g$; a divisão dá $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. Perto de $x = 2$, $x + 2 > 0$, de modo que $g$ tem o sinal de $(x-2)^3$: negativo antes de $2$ e positivo depois. A curva atravessa a [tangente](#def-g12-deriv-tangent): $2$ é de fato um [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection).

**Exercício 22.7 ★★.**

Usando uma desigualdade da reta [tangente](#def-g12-deriv-tangent), mostre que, para todo $x > 0$,

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

e identifique quando vale a igualdade. (Sugestão: a raiz quadrada é [côncava](#def-g12-deriv-convex).)

**Solução de Exercício 22.7.**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ satisfaz $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ em $\intoo{0}{+\infty}$: ela é [côncava](#def-g12-deriv-convex), de modo que seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) fica *abaixo* de cada [tangente](#def-g12-deriv-tangent). A [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $a = 1$ é

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

donde $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ para todo $x > 0$. A igualdade significa que a curva toca a [tangente](#def-g12-deriv-tangent), o que só acontece no ponto de tangência $x = 1$. (Equivalentemente: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**Exercício 22.8 ★★★.**

Seja $f$ [convexa](#def-g12-deriv-convex) e [derivável](#def-g12-deriv-derivative) em $\R$, e suponha que $f'$ se anule em algum ponto $a$. Mostre que $f(a)$ é o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) *global* de $f$ em $\R$.

**Solução de Exercício 22.8.**

Pelo [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity), o [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) e [derivável](#def-g12-deriv-derivative) fica acima de cada uma de suas [tangentes](#def-g12-deriv-tangent). A [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $a$ é horizontal ($f'(a) = 0$), de [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y = f(a)$. Logo $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in \R$: $f(a)$ é o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) global.

**Exercício 22.9 ★★★.**

Mostre que, entre todos os retângulos de perímetro fixo $p$, o quadrado tem a maior área. Mostre em seguida que, entre todos os retângulos de área fixa $A$, o quadrado tem o menor perímetro, e explique como as duas afirmações se relacionam.

**Solução de Exercício 22.9.**

*Perímetro fixo.* Um retângulo de lados $x$ e $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) tem área $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. Então $S'(x) = \frac p2 - 2x$ anula-se em $x = \frac p4$, sendo positiva antes e negativa depois: o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) está em $x = \frac{p}{4}$, onde os dois lados valem $\frac p4$ — um quadrado.

*Área fixa.* Lados $x$ e $\frac Ax$ dão perímetro $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$, com $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$, negativa para $x < \sqrt A$ e positiva depois: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) em $x = \sqrt{A}$, de novo um quadrado.

*Relação.* As duas afirmações são duais. Suponha que um retângulo não quadrado minimizasse o perímetro com área fixa $A$; o quadrado de mesmo perímetro teria área $> A$ pela primeira afirmação, e reduzi-lo por homotetia até a área $A$ diminuiria estritamente seu perímetro — contradizendo a minimalidade. Cada afirmação, portanto, implica a outra.

## 22.5 Problema: O cálculo do salva-vidas

**Problema 22.1.**

Problema de fim de semana — o caminho de resgate mais rápido obedece à lei de Snell da luz, a convexidade certifica todo ótimo, e a lata de refrigerante ideal é exatamente tão alta quanto larga

Uma salva-vidas avista um banhista em apuros — na diagonal ao longo da praia, dentro d’água. Correr é mais rápido que nadar: a linha reta *não* é o caminho mais rápido. O trajeto que minimiza o tempo se dobra na beira d’água, e sua lei de refração é precisamente a lei pela qual a luz se refrata ao entrar na água: a natureza também deriva. Este problema treina a regra da cadeia ([Teorema 22.5](#thm-g12-deriv-chain)), executa o resgate, colhe as desigualdades da [convexidade](#def-g12-deriv-convex) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)) e projeta uma lata.

**Parte I — Fluência com a regra da cadeia.**

1. Derive: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. Dê a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $y = \sqrt{x^2 + 9}$ em $x = 4$ .
3. Monte o [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ em $\R$ ( [extremos](#def-g12-deriv-extremum) incluídos).
4. Para $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) *e* quadro de [convexidade](#def-g12-deriv-convex) ( $g''$ ), com o [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) ( [Definição 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. Calcule a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $g$ em seu [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) e mostre que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : o que a mudança de sinal diz sobre o modo como a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) encontra a curva em uma inflexão?

**Parte II — O resgate.** Beira d’água ao longo do eixo $x$; a salva-vidas está na areia, em $A(0, 30)$, e o banhista espera em $B(40, -20)$ (em metros). Ela corre a $5$ m/s na areia, nada a $2$ m/s e entra na água em um ponto $(x, 0)$ à sua escolha.

6. Modelagem: exprima o tempo total de resgate $T(x)$ e diga por que só $x \in \intcc{0}{40}$ merece consideração.
7. Derive $T$ (a regra da cadeia em ação — duas vezes).
8. Seja $\theta_1$ o ângulo do trecho de corrida com a *perpendicular* à beira d’água, e $\theta_2$ o do trecho de natação. Mostre que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ e que a condição $T'(x) = 0$ se lê $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — a *lei de Snell*, com as duas velocidades no lugar das velocidades da luz no ar e na água.
9. O segmento reto $[AB]$ cruza a beira d’água em $x = 24$ . Calcule $T(24)$ , $T(40)$ (correr pela praia e depois nadar em linha reta) e $T(0)$ : a reta geométrica é a mais rápida? Alguma das estratégias extremas é?
10. Localize o ponto ótimo de entrada por [dicotomia](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#thm-g12-limcont-ivt) em $T'$ (ele é $\approx 33.7$ m): dê $x^*$ com precisão de metros e o tempo recorde $T(x^*)$ com precisão de décimos de segundo. Quanto a curvatura ótima economiza em relação à linha reta?
11. Por que o ponto crítico é um [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) *global* ? (Cada parcela de $T$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex) — admita que uma soma de funções [convexas](#def-g12-deriv-convex) é [convexa](#def-g12-deriv-convex) — e aplique o [Exercício 22.8](#exo-g12-deriv-8) .)
12. O princípio de Fermat afirma que a luz percorre sempre o caminho de menor *tempo* . Deduza por que um raio de luz se dobra exatamente na superfície ao entrar na água (onde a luz é mais lenta) e nomeie a observação cotidiana que isso explica sobre um lápis dentro de um copo com água.

**Parte III — A colheita da [convexidade](#def-g12-deriv-convex).**

13. Mostre que $x \mapsto x^2$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex) e demonstre duas vezes a desigualdade do [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq  \frac{a^2 + b^2}{2}$ : uma vez pela [convexidade](#def-g12-deriv-convex) , outra expandindo $(a - b)^2 \geq 0$ .
14. Deduza que a *[média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) quadrática* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domina a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmética e monte a cadeia completa da série — harmônica $\leq$ geométrica $\leq$ aritmética $\leq$ quadrática —, verificando as quatro em $a = 2$ , $b = 8$ .
15. [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) por baixo da curva: $x \mapsto \frac1x$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex) em $\intoo{0}{+\infty}$ ; escreva sua [tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $1$ e deduza a desigualdade $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ . Onde ela é igualdade?
16. Inflexão em campo: durante uma epidemia, o número acumulado de casos segue uma curva em S. O que acontece no seu [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection) , e por que essa data é a que os epidemiologistas aguardam? Relacione com o sinal da segunda [derivada](#def-g12-deriv-derivative) de cada lado.

**Parte IV — A lata ideal.** Uma lata cilíndrica deve conter $V = 330$ cm$^3$ com o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de metal: superfície $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, com a restrição $\pi r^2 h = V$.

17. Exprima $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , derive e calcule o raio e a altura ótimos para $V = 330$ (com precisão de milímetros).
18. Demonstre a elegante lei geral: no ótimo, $h = 2r$ — a lata ideal é exatamente tão alta quanto larga.
19. Verifique que $S''(r) > 0$ e conclua (de novo pelo [Exercício 22.8](#exo-g12-deriv-8) ) que o ótimo é global. As latas de refrigerante reais são visivelmente mais altas que largas: aponte uma razão não matemática.
20. Final — a linha de montagem da otimização: modelar, perguntar à [derivada](#def-g12-deriv-derivative) , resolver os pontos críticos, certificar com [convexidade](#def-g12-deriv-convex) ou com um quadro, interpretar. Percorra a lista para a salva-vidas, para a lata e para a viga mais forte do ano 11 ( [Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#pb-g11-deriv-1) ) — e diga o que o princípio de Fermat afirma sobre quem mais percorre essa mesma linha de montagem.

**Solução de Problema 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$, [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$: [tangente](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$, isto é, $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$: negativa, positiva, negativa ao atravessar $-1$ e $1$: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$, [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$, com [assíntota horizontal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-asymptote) $0$ dos dois lados.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$: [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) ao atravessar $0$ e $2$; [máximo local](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$, [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) local $g(2) = 0$. $g''(x) = 6x - 6$: [côncava](#def-g12-deriv-convex) antes de $1$ e [convexa](#def-g12-deriv-convex) depois: inflexão em $(1, 2)$.

**5.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) em $1$: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$: $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. Diferença: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 =
(x - 1)^3$, que muda de sinal em $1$: a [tangente](#def-g12-deriv-tangent) *atravessa* a curva — o comportamento característico de um [ponto de inflexão](#def-g12-deriv-inflection), em que a curva troca de lado.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. Entrar antes de $0$ ou depois de $40$ alonga *os dois* trechos: não faz sentido.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** No triângulo da corrida, o lado ao longo da praia mede $x$ e a hipotenusa $\sqrt{x^2 + 900}$: o [seno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-cossin) do ângulo com a perpendicular é exatamente o quociente deles (cateto oposto sobre hipotenusa); do mesmo modo, $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. Então $T'(x) = 0$ lê-se $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — a lei de Snell com velocidades $5$ e $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. A linha reta perde até para “correr o caminho todo e depois nadar em linha reta” — e as duas perdem para o trajeto refratado.

**10.** A [dicotomia](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#thm-g12-limcont-ivt) em $T'$ (negativa em $24$, positiva em $40$) [converge](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-limit) para $x^* \approx 34$ m, com $T(x^*) \approx 19.5$ s: cerca de um segundo mais rápido que a linha reta — a diferença entre um resgate e uma tragédia.

**11.** O tempo de cada trecho é [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) de $x$ (um ramo de $\sqrt{\text{trinômio}}$), de modo que $T$ é [convexa](#def-g12-deriv-convex), e um ponto crítico de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) e [derivável](#def-g12-deriv-derivative) é seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) global ([Exercício 22.8](#exo-g12-deriv-8)): $x^*$ não é apenas estacionário, é imbatível.

**12.** A luz é mais lenta na água; pelo princípio de Fermat, o caminho ar-água mais rápido se dobra na superfície exatamente segundo a lei de Snell — assim, os raios de um lápis submerso chegam ao olho dobrados e o cérebro, que extrapola em linha reta, vê o lápis quebrado na linha d’água.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$: [convexa](#def-g12-deriv-convex). [Convexidade](#def-g12-deriv-convex) no [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint): $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq
\frac{f(a) + f(b)}{2}$, que é a afirmação. Na mão: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =
\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$.

**14.** Extraindo raízes quadradas ([função crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-monotone)) na questão 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. Cadeia completa em $2, 8$: harmônica $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$; geométrica $\sqrt{16} = 4$; aritmética $5$; quadrática $\sqrt{34} \approx 5.83$: cada [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) se curva diante da seguinte.

**15.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $\frac1x$ em $1$: valor $1$, [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-1$: $y = 2 - x$. Curvas [convexas](#def-g12-deriv-convex) ficam acima de suas [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)): $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$, com igualdade exatamente no ponto de contato $x = 1$.

**16.** Na inflexão, o número *diário* de casos (a [derivada](#def-g12-deriv-derivative)) atinge o pico: o crescimento deixa de acelerar e começa a desacelerar — o primeiro sinal matemático de que a onda está virando, muito antes de os próprios números caírem. Antes dela, $f'' > 0$ (cada dia pior que o anterior); depois dela, $f'' < 0$ (ainda crescendo, mas mais devagar).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ dá $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$: $r \approx 3.74$ cm, e $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2}
= 2r$ no ótimo: a altura é igual ao diâmetro, qualquer que seja o volume.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$: [convexa](#def-g12-deriv-convex), de modo que o raio crítico é o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) global. As latas reais são mais altas para a pegada, o empilhamento, a presença na prateleira e o metal mais grosso do topo e do fundo — a otimização sempre minimiza exatamente o que se escreveu, e não o que se quis dizer.

**20.** Salva-vidas: modelar $T(x)$, derivar, Snell, [convexidade](#def-g12-deriv-convex), um segundo economizado. Lata: modelar $S(r)$, derivar, $h = 2r$, [convexidade](#def-g12-deriv-convex), metal economizado. Viga ([Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/12-derivadas-um-primeiro-curso#pb-g11-deriv-1)): modelar $S(w)$, derivar, $d = w\sqrt2$, quadro, rigidez conquistada. E, pelo princípio de Fermat, a própria luz percorre essa linha de montagem em cada superfície que encontra — a natureza foi a primeira otimizadora.