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title: "Exponencial e logaritmo"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 23
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo
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# Capítulo 23 — Exponencial e logaritmo

A [função exponencial](#thm-g12-exp-existence) é a única [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) igual à própria [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) e que vale $1$ em $0$. Ela converte somas em produtos; sua inversa, o [logaritmo natural](#def-g12-exp-ln), converte produtos em somas. Juntas, descrevem todo fenômeno cuja taxa de variação é proporcional ao seu tamanho: decaimento radioativo, crescimento populacional, juros compostos.

## 23.1 A função exponencial

**Teorema 23.1 (Existência e unicidade).**

Existe uma única [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) $f \colon \R \to \R$ tal que

$$
f' = f \qquad\text{e}\qquad f(0) = 1 .
$$

Ela é chamada de *função exponencial* e escrita $\exp$, ou $x \mapsto \eu^x$.

**Demonstração da unicidade.** Primeiro, uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) assim nunca se anula. De fato, seja $g(x) = f(x)f(-x)$; então

$$
g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,
$$

de modo que $g$ é constante igual a $g(0) = 1$: para todo $x$, $f(x)f(-x) = 1$ e, em particular, $f(x) \neq 0$.

Agora sejam $f_1, f_2$ duas soluções e $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (legítimo, já que $f_2$ nunca se anula). Então

$$
h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,
$$

de modo que $h$ é constante igual a $h(0) = 1$, *isto é*, $f_1 = f_2$.

A *existência* é admitida neste nível (pode ser obtida pela [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) do [Exercício 20.10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#exo-g12-seq-10), ou como inversa do [logaritmo](#def-g12-exp-ln) construído por integração no [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#ch-g12-integ)). ∎

**Proposição 23.2 (Equação funcional).**

Para todos $x, y \in \R$ e $n \in \Z$:

$$
\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad
\eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad
\eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad
\bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.
$$

Além disso, $\eu^x > 0$ para todo $x$.

**Demonstração.** Fixe $y$ e considere $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. Seu numerador e seu denominador, como funções de $x$, são ambos soluções de $f' = f$ a menos da constante $\exp(y)$; derivar $\varphi$ diretamente (regra do quociente) dá $\varphi' = 0$, de modo que $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$, o que demonstra a primeira identidade. Tomar $y = -x$ dá a segunda (com o valor $\eu^0 = 1$), e a terceira segue. A quarta é uma indução a partir da primeira para $n \geq 0$, estendida a $n < 0$ pela segunda.

Positividade: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ e $\eu^x \neq 0$ (mostrado no [Teorema 23.1](#thm-g12-exp-existence)), logo $\eu^x > 0$. ∎

**Proposição 23.3 (Variação e limites).**

A exponencial é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), [convexa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-convex), e

$$
\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .
$$

**Demonstração.** $(\exp)' = \exp > 0$ dá o crescimento estrito; $(\exp)'' = \exp > 0$ dá a [convexidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-convex). Pela [convexidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-convex), $\eu^x \geq 1 + x$ ([tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) em $0$, veja o [Exemplo 22.15](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#ex-g12-deriv-ineq)), de modo que $\eu^x \to +\infty$ quando $x \to +\infty$, por comparação. Então $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ quando $x \to -\infty$. ∎

![A exponencial: estritamente crescente, convexa, com _-∈fty x = 0. Ela fica acima de sua tangente em 0: x ≥ 1 + x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-4d7aa83a2aa6.svg)

*A exponencial: estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), [convexa](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-convex), com $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$. Ela fica acima de sua [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) em $0$: $\eu^x \geq 1 + x$.*

**Teorema 23.4 (Comparação de crescimentos).**

Para todo inteiro $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty,
\qquad
\lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .
$$

Em palavras: a exponencial vence toda potência de $x$.

**Demonstração.** Para $n = 1$: aplicando $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ em $t = x/2$,

$$
\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x}
\geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .
$$

Para $n$ geral, escreva

$$
\frac{\eu^x}{x^n}
= \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty
$$

pelo caso $n=1$ e por composição. O limite em $-\infty$ segue da substituição $x \mapsto -x$: $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$. ∎

![A exponencial (azul) acaba vencendo toda potência: ela ultrapassa x2 (vermelho) logo no início e x3 (laranja) em x 4.54.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-2bf938e48637.svg)

*A exponencial (azul) acaba vencendo toda potência: ela ultrapassa $x^2$ (vermelho) logo no início e $x^3$ (laranja) em $x \approx 4.54$.*

## 23.2 O logaritmo natural

**Definição 23.5 (Logaritmo natural).**

A exponencial é [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) e estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) de $\R$ sobre $\intoo{0}{+\infty}$; pelo teorema da bijeção ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#thm-g12-limcont-bijection)), para todo $y > 0$ a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = y$ tem solução única. Essa solução é o *logaritmo natural* de $y$, escrito $\ln y$. Assim,

$$
\text{para } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .
$$

Em particular, $\ln 1 = 0$, $\ln \eu = 1$, e $\eu^{\ln y} = y$, $\ln(\eu^x) = x$.

![As curvas de e de são espelhos uma da outra na reta y = x: o ponto (x, x) reflete-se em ( x, x).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-a625fce5956d.svg)

*As curvas de $\exp$ e de $\ln$ são espelhos uma da outra na reta $y = x$: o ponto $(x, \eu^x)$ reflete-se em $(\eu^x, x)$.*

**Proposição 23.6 (Propriedades algébricas).**

Para todos $a, b > 0$ e $n \in \Z$:

$$
\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad
\ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad
\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad
\ln(a^n) = n \ln a, \quad
\ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .
$$

**Demonstração.** $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$, e tomar $\ln$ dos dois lados dá a primeira identidade. As demais seguem pelo mesmo mecanismo, a partir das identidades correspondentes da [Proposição 23.2](#prop-g12-exp-funceq). ∎

**Proposição 23.7 (Propriedades analíticas).**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $\ln$ é [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) em $\intoo{0}{+\infty}$, com

$$
(\ln x)' = \frac{1}{x},
$$

estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), [côncava](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-convex), e $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$. Além disso, para todo inteiro $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad
\lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .
$$

**Demonstração.** A derivabilidade da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) inversa é admitida neste nível; admitindo-a, derive a identidade $\eu^{\ln x} = x$ pela regra da cadeia: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$, logo $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$, donde o crescimento estrito, e $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$, donde a concavidade. Os limites em $0^+$ e em $+\infty$ espelham os de $\exp$ pela bijeção. Para a [comparação de crescimentos](#thm-g12-exp-growth), substitua $x = \eu^{t}$: $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ quando $t \to +\infty$, pelo [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth), e do mesmo modo para os demais limites com $x = \eu^{-t}$, o que dá $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$. ∎

**Método 23.8 (Resolver equações com exp⁡\expexp e ln⁡\lnln).**

As duas funções são estritamente [crescentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), de modo que podem ser aplicadas aos (ou retiradas dos) dois lados de uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) ou inequação sem mudar seu sentido:

$$
\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad
\eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,
$$

e do mesmo modo para $\ln$ em quantidades positivas. *Verifique sempre os [domínios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) primeiro* ($\ln$ exige argumentos positivos). Para [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) como $a^x = b$ com $a>0$, $a \neq 1$, reescreva $a^x = \eu^{x\ln a}$ e resolva $x = \frac{\ln b}{\ln a}$.

**Exemplo 23.9.**

Uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) radioativa decai segundo $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$. Sua *meia-vida* $T$ satisfaz $N(T) = N_0/2$, *isto é*, $\eu^{-\lambda T} = \frac12$, logo $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$: a meia-vida não depende da quantidade inicial.

## 23.3 Exercícios

**Exercício 23.1 ★.**

Simplifique $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ e $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$.

**Solução de Exercício 23.1.**

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$.

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)
= 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$.

**Exercício 23.2 ★.**

Resolva em $\R$:

$$
\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0;
\qquad
\text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .
$$

**Solução de Exercício 23.2.**

*(a)* Ponha $X = \eu^x > 0$: $X^2 - 3X + 2 = 0$ dá $X = 1$ ou $X = 2$, ambos positivos, logo $x = 0$ ou $x = \ln 2$.

*(b)* [Domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function): $x - 1 > 0$ e $x + 2 > 0$, logo $x > 1$. A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) vira $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$, portanto $(x-1)(x+2) = 4$, *isto é*, $x^2 + x - 6 = 0$, logo $x = 2$ ou $x = -3$. Só $x = 2$ está no [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function): $S = \{2\}$.

**Exercício 23.3 ★.**

Calcule os limites:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad
\lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).
$$

**Solução de Exercício 23.3.**

Divida por $\eu^x$: $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$, usando $x^2 \eu^{-x} \to 0$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ pela [Proposição 23.7](#prop-g12-exp-lnanalytic) (caso $n = 2$).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$.

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$, pois $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

**Exercício 23.4 ★★.**

Estude a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = x\,\eu^{-x}$ em $\R$: variação, limites, [extremo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-extremum); mostre que sua curva tem um [ponto de inflexão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-inflection) e dê suas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system).

**Solução de Exercício 23.4.**

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$, com o sinal de $1 - x$: $f$ cresce em $\intoc{-\infty}{1}$ e decresce em $\intco{1}{+\infty}$, com [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) global $f(1) = \eu^{-1}$.

Limites: quando $x \to +\infty$, $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)); quando $x \to -\infty$, $x \to -\infty$ e $\eu^{-x} \to +\infty$, logo $f(x) \to -\infty$.

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$, que muda de sinal em $x = 2$: [ponto de inflexão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-inflection) em $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$.

**Exercício 23.5 ★★.**

Mostre que, para todo $x > -1$, $\ln(1 + x) \leq x$, com igualdade somente em $x = 0$. Deduza que, para todo $n \geq 1$,

$$
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .
$$

**Solução de Exercício 23.5.**

Seja $g(x) = x - \ln(1+x)$ em $\intoo{-1}{+\infty}$. Então $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$, negativa em $\intoo{-1}{0}$ e positiva em $\intoo{0}{+\infty}$: $g$ atinge seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $g(0) = 0$, logo $g \geq 0$, com igualdade só em $0$. Portanto $\ln(1+x) \leq x$.

Aplique isso com $x = \frac1n$: $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$, logo $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$. Aplique com $x = -\frac{1}{n+1} > -1$: $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$, logo $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ e $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$.

**Exercício 23.6 ★★.**

Um capital $C_0$ é aplicado a uma taxa anual de $3\%$, com juros capitalizados a cada ano.

1. Exprima o capital $C_n$ após $n$ anos.
2. Depois de quantos anos o capital dobra? Dê a resposta exata usando $\ln$ e depois um valor numérico.
3. Compare com a [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) “ $70$ dividido pela taxa em porcentagem”, usada pelos banqueiros.

**Solução de Exercício 23.6.**

*1.* Cada ano multiplica o capital por $1.03$: $C_n = C_0 (1.03)^n$.

*2.* $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$: o capital dobra após $24$ anos.

*3.* $\frac{70}{3} \approx 23.3$, próximo do valor exato $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$. A regra funciona porque $\ln(1 + r) \approx r$ para $r$ pequeno, de modo que $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$.

**Exercício 23.7 ★★.**

Resolva a inequação $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ e depois a inequação $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$.

**Solução de Exercício 23.7.**

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (a exponencial é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic)): $S = \intoo{1}{+\infty}$.

[Domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) da segunda inequação: $x^2 - 1 > 0$ e $x + 5 > 0$, *isto é*, $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$. Nesse [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function), sendo $\ln$ estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic),

$$
\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0
\iff x \in \intcc{-2}{3}.
$$

Intersectando com o [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function): $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$.

**Exercício 23.8 ★★★.**

Seja $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ para $x > 0$.

1. Estude a variação de $f$ em $\intoo{0}{+\infty}$ e dê seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) .
2. Para quais valores de $k$ a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ tem $0$ , $1$ ou $2$ soluções em $\intoo{0}{+\infty}$ ?

**Solução de Exercício 23.8.**

*1.* $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} =
\dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$, negativa em $\intoo{0}{1}$ e positiva em $\intoo{1}{+\infty}$: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu$. Limites: $f \to +\infty$ em $0^+$ (numerador $\to 1$, denominador $\to 0^+$) e em $+\infty$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

*2.* Para $x > 0$, $\eu^x = kx \iff f(x) = k$. Pelo [quadro de variação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-table) ($+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$, [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) e estritamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) de cada lado): nenhuma solução para $k < \eu$; exatamente uma ($x = 1$) para $k = \eu$; exatamente duas para $k > \eu$ (uma em $\intoo{0}{1}$ e outra em $\intoo{1}{+\infty}$, pelo teorema da bijeção em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval)).

**Exercício 23.9 ★★★.**

Para $n \geq 1$, seja $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$.

1. Usando o [Exercício 23.5](#exo-g12-exp-5) , mostre que $(u_n)$ é [limitada superiormente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-bounded) por $\eu$ .
2. Mostre que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ e deduza que $u_n \to \eu$ . (Sugestão: reconheça um quociente de diferenças de $\ln$ em $1$ .)

**Solução de Exercício 23.9.**

*1.* Direto da primeira desigualdade do [Exercício 23.5](#exo-g12-exp-5): $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$.

*2.* Escreva

$$
\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right)
= \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},
$$

um quociente de diferenças de $\ln$ no ponto $1$ com incremento $h = \frac1n \to 0$. Como $\ln$ é [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) em $1$ com [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) $1$, $\ln u_n \to 1$. Pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) de $\exp$ ([Proposição 21.12](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#prop-g12-limcont-seqcont)), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$.

## 23.4 Problema: O logaritmo domestica o mundo

**Problema 23.1.**

Problema de fim de semana — tempos de duplicação e a regra de 72, as escalas de terremotos, ácidos e pianos, e a constante $\eu$ deixando digitais em toda parte

Tudo o que cresce por uma *porcentagem* fixa cresce exponencialmente — poupanças, bactérias, epidemias — e tudo o que abrange potências de dez demais para se apreender — energias de terremotos, acidez, intensidades sonoras — é domesticado por um [logaritmo](#def-g12-exp-ln). Este problema calcula tempos de duplicação e desmonta a regra de 72 dos banqueiros, lê as escalas logarítmicas do mundo e recolhe as digitais que o número $\eu$ deixa em cada cena de crime ([Proposição 23.2](#prop-g12-exp-funceq), [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth), [Método 23.8](#met-g12-exp-equations)).

**Parte I — Fluência.**

1. Resolva: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (um [trinômio do segundo grau](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-quadratic) disfarçado).
2. Simplifique: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
3. Demonstre a desigualdade-mãe: $\eu^x \geq 1 + x$ para todo real $x$ (estude $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ) e deduza $\ln(1 + u) \leq u$ para $u > -1$ .
4. Calcule $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ ( [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth) ) e $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (reconheça uma [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) ).
5. Estude $f(x) = x \ln x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : variação, [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) e o limite em $0^+$ (admitido: $x \ln x \to 0$ ). Essa pequena [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) mede informação e entropia ao longo dos volumes de graduação.

**Parte II — Tempos de duplicação e a regra de 72.**

6. Uma poupança rende $3\,\%$ ao ano. Resolva $1.03^n = 2$ : quanto tempo para dobrar o capital?
7. Os banqueiros estimam o tempo de duplicação como $\frac{72}{\text{taxa em }\%}$ . Teste a regra a $3\,\%$ , $6\,\%$ e $9\,\%$ contra o valor exato $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ e explique-a: para $r$ pequeno, $\ln(1 + r) \approx r$ (a desigualdade da questão 3 é metade da história), de modo que a constante exata é $100 \ln 2 \approx 69.3$ — por que os banqueiros preferem $72$ ?
8. Uma bactéria se divide a cada $20$ minutos: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ em minutos). Reescreva isso como $\eu^{\lambda t}$ e calcule $p$ após $24$ horas. A resposta (mais de $10^{21}$ ) prova o quê sobre o modelo — e o que detém as colônias reais?
9. A cafeína deixa o organismo com meia-vida de cerca de $5$ horas. Após um café de $100$ mg às 15h, quanto resta às 23h? A que horas o valor cai abaixo de $10$ mg? (A insônia tem um [logaritmo](#def-g12-exp-ln) .)
10. Um euro a $100\,\%$ de juros anuais: calcule o capital no fim do ano com capitalização anual, mensal e diária, e dê o teto que o [Exercício 23.9](#exo-g12-exp-9) demonstrou ser inquebrável. Que constante famosa é o limite da pura ganância?
11. Por que os cientistas plotam $\ln(\text{casos})$ contra o tempo na fase inicial de uma epidemia? O que uma reta nesse [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) revela, e o que seu [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) mede?

**Parte III — As escalas logarítmicas do mundo.** (Escreva $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.)

12. Nível sonoro em decibéis: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Uma conversa mede $60$ dB e um show de rock, $120$ dB: por que fator as intensidades sonoras diferem?
13. As magnitudes de terremotos sobem $1$ quando a amplitude sísmica é multiplicada por $10$ , e a energia liberada escala como amplitude $^{3/2}$ . Compare terremotos de magnitude $5$ e $7$ : razão das amplitudes e depois razão das energias.
14. Química: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . O suco de limão tem pH $2$ e o leite, pH $6.5$ : qual é a razão entre suas concentrações de ácido?
15. Música: cada oitava dobra a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) . Do lá mais grave do piano ( $27.5$ Hz) ao dó mais agudo ( $4\,186$ Hz), quantas oitavas o teclado abrange? E por que nossos sentidos — audição, visão, percepção de tremores — preferem escalas logarítmicas? (Uma frase.)
16. A régua de cálculo, a calculadora dos engenheiros por $350$ anos: duas réguas graduadas de modo que o *comprimento* até a marca $x$ seja proporcional a $\ln x$ . Explique como deslizar uma régua sobre a outra multiplica números e nomeie a identidade da [Proposição 23.6](#prop-g12-exp-lnalg) que faz o trabalho.

**Parte IV — As digitais de $\eu$.**

17. Do [Exercício 23.8](#exo-g12-exp-8) : a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) tem $0$ , $1$ ou $2$ soluções conforme a posição de $k$ em relação a um limiar. Reenuncie o resultado — e verifique o fato geométrico por trás dele: a reta $y = \eu x$ é exatamente a [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) à exponencial que passa pela origem.
18. A constante do quase: com $n$ bilhetes de loteria de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de vitória $\frac1n$ cada, $\P(\text{nenhuma vitória}) = \left(1 -  \frac1n\right)^n$ . Calcule seu limite via $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (use o limite padrão $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ) e reconcilie com o misterioso $0.368$ do [Problema 19.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial#pb-g11-binom-1) .
19. A regra dos $37\,\%$ : para escolher o melhor entre $n$ candidatos entrevistados em ordem aleatória (sem voltar atrás), a estratégia ótima rejeita os primeiros $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ e depois aceita o primeiro candidato melhor que todos os anteriores — tendo sucesso com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cerca de $\frac1\eu$ . De onde vêm os dois $\frac1\eu$ das questões 18 e 19 — enuncie o mecanismo comum (muitos [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) independentes de pequena chance) — e calcule $\frac1\eu$ com três casas decimais.
20. Final — o retrato de $\eu$ : o teto da capitalização (questão 10); a base cuja [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) em $0$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) exatamente $1$ (questões 3 e 4); o crescimento que nenhum polinômio alcança (questão 4); a constante dos quases e da parada ótima (questões 18–19); e sua inversa, o $\ln$ , que transforma produtos em somas (questão 16) e décadas de grandeza em centímetros (Parte III). Uma frase para cada.

**Solução de Problema 23.1.**

**1.** $x = \frac{\ln 5}{2}$. $3x - 1 = \eu^2$: $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$. Com $u = \eu^x$: $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$: $x = 0$ ou $x = \ln 2$.

**2.** $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$; $3 + \frac12 = \frac72$; $\frac52$.

**3.** $f'(x) = \eu^x - 1$: negativa antes de $0$ e positiva depois: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 0$, de modo que $f \geq 0$ em toda parte: $\eu^x \geq 1 + x$. Substituindo $x = \ln(1 + u)$: $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$, isto é, $\ln(1 + u) \leq u$.

**4.** $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ e $\frac{\ln x}{x} \to 0$: as exponenciais esmagam as potências, e as potências esmagam os [logaritmos](#def-g12-exp-ln). E $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to
\exp'(0) = 1$.

**5.** $f'(x) = \ln x + 1$: nula em $\eu^{-1}$, negativa antes e positiva depois: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$; e $x \ln x \to 0$ em $0^+$: a curva sai da origem, mergulha até $-\frac1\eu$ e sobe.

**6.** $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ anos.

**7.** Exato: $23.4$, $11.9$, $8.0$ anos; regra de 72: $24$, $12$, $8$. Como $\ln(1+r) \approx r$, $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$, isto é, $\frac{69.3}{\text{taxa em }\%}$; os banqueiros arredondam para $72$ porque ele se divide lindamente por $2, 3, 4, 6, 8, 9,
12$ — a aritmética mental vale mais que uma casa decimal de precisão.

**8.** $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$: $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ por minuto. Após $24 \times 60 = 1440$ minutos: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bactérias — mais que os grãos de areia da Terra, a partir de uma célula em um dia. O modelo só é honesto enquanto houver comida e espaço: o crescimento real se dobra na curva logística em S (a curva do epidemiologista do [Problema 22.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#pb-g12-deriv-1)).

**9.** Às 23h ($8$ horas): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Abaixo de $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ dá $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx
16.6$ h: por volta das 7h40 da manhã seguinte — o cafezinho das três tem cauda longa.

**10.** Anual: $2$. Mensal: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$. Diária: $\approx 2.715$. O teto: $\eu = 2.71828\ldots$ ([Exercício 23.9](#exo-g12-exp-9)) — capitalizando continuamente, a ganância [converge](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-limit).

**11.** Se os casos crescem exponencialmente, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$, então $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$: uma reta de [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\lambda$ — a taxa de crescimento. Um trecho retilíneo no [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) logarítmico *é* a fase exponencial, e sua inclinação é o compasso da epidemia.

**12.** $120 - 60 = 60$ dB significa $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$: o show é $10^6$ — um milhão de vezes — mais intenso que a conversa.

**13.** Amplitude: $10^{7-5} = 100$. Energia: $100^{3/2} = 1000$: dois pontos de magnitude escondem três ordens de grandeza em energia.

**14.** $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$: o suco de limão é trinta mil vezes mais ácido que o leite — o pH comprime os abismos da química em uma escala de bolso.

**15.** $\log_2\!\frac{4186}{27.5} =
\frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$: um piano abrange pouco mais de sete oitavas. Os sentidos respondem a *razões* de estímulo — dobrar a intensidade parece um degrau, seja qual for o ponto de partida —, de modo que a percepção é construída sobre uma escala logarítmica, e as unidades que inventamos para ela também.

**16.** Encostar a régua de $a$ na posição de $b$ soma os comprimentos $\ln a + \ln b$, e a graduação que se encontra nesse comprimento total marca $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$: a régua de cálculo faz produtos somando [logaritmos](#def-g12-exp-ln) — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ([Proposição 23.6](#prop-g12-exp-lnalg)) entalhado em madeira.

**17.** O [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de $\frac{\eu^x}{x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$ é $\eu$, em $x = 1$: nenhuma solução para $k < \eu$, exatamente uma para $k = \eu$ e duas para $k > \eu$. Verificação da [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent): em $a = 1$ a [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) a $\eu^x$ é $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$: ela passa pela origem — a reta do limiar, tocando a curva em $(1, \eu)$.

**18.** $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) =
\frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$, logo $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$: o $0.999^{1000} \approx 0.368$ do [Problema 19.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial#pb-g11-binom-1), explicado — a constante do quase da loteria é $\frac1\eu$.

**19.** Os dois são a forma-limite de “muitos [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) independentes, cada um individualmente improvável”: a chance de que *nenhuma* de $n$ oportunidades de tamanho $\frac1n$ se realize tende a $\eu^{-1}$, e a regra da secretária ajusta sua janela de rejeição para que o sucesso se concentre nessa mesma constante. $\frac1\eu \approx 0.368$.

**20.** O teto da capitalização; a única base cuja [tangente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-tangent) em $0$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $1$ (razão pela qual o cálculo a adora); o crescimento que ultrapassa toda potência; a constante em que os quases e a parada ótima se acomodam; e o [logaritmo](#def-g12-exp-ln) — a multiplicação virada adição, e as faixas mais selvagens do mundo dobradas sobre uma régua.