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title: "Funções trigonométricas"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas
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# Capítulo 24 — Funções trigonométricas

As funções $\cos$ e $\sin$ transformam a geometria do círculo em análise. Definidas enrolando a reta real em torno do círculo trigonométrico, elas são o arquétipo das funções periódicas, e suas [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) fazem delas soluções da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) das oscilações $y'' = -y$.

## 24.1 O círculo trigonométrico

**Definição 24.1 (Cosseno e seno).**

Seja $\mathcal{C}$ o círculo de raio 1 centrado na origem de um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). A cada real $t$ associe o ponto $M(t)$ obtido enrolando um comprimento $\abs{t}$ ao longo de $\mathcal{C}$ a partir do ponto $I(1,0)$, no sentido anti-horário se $t \geq 0$ e no horário caso contrário. Então *$\cos t$ e $\sin t$ são as coordenadas de $M(t)$*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

Como o círculo tem comprimento $2\pi$, o ponto $M(t)$ não muda quando $t$ aumenta de $2\pi$; e, como $M(t)$ está no círculo de raio $1$:

**Proposição 24.2 (Identidades fundamentais).**

Para todos $t \in \R$ e $k \in \Z$:

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**Demonstração.** A primeira identidade é a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo de raio $1$; as demais exprimem as simetrias do círculo: $M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$, $M(\pi - t)$ no eixo $y$, e $M(\frac\pi2 - t)$ na reta $y = x$. ∎

Os valores que se devem saber de cor:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Proposição 24.3 (Fórmulas de adição).**

Para todos $a, b \in \R$:

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

Em particular, $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ e $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**Demonstração.** Os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ e $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ são unitários e formam um ângulo $a - b$; seu [produto escalar](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-dot) vale tanto $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ ([coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)) quanto $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (geometria), o que é a terceira fórmula. Trocar $b$ por $-b$ dá a primeira; as fórmulas do [seno](#def-g12-trigo-cossin) seguem usando $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. As fórmulas do arco duplo são o caso $b = a$ combinado com $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 Estudo analítico

**Lema 24.4 (Limite fundamental).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{e}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**Demonstração.** Para $0 < t < \frac{\pi}{2}$, compare três áreas no círculo de raio $1$: o triângulo $OIM(t)$, o setor circular $OIM(t)$ e o triângulo retângulo de base $OI$ e altura $\tan t$:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![As três áreas encaixadas: o triângulo OIM (azul, área t/2), o setor circular (delimitado pelo arco vermelho, área t/2) e o triângulo retângulo de altura t (laranja, área t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*As três áreas encaixadas: o triângulo $OIM$ (azul, área $\frac{\sin t}{2}$), o setor circular (delimitado pelo arco vermelho, área $\frac{t}{2}$) e o triângulo retângulo de altura $\tan t$ (laranja, área $\frac{\tan t}{2}$).*

A primeira desigualdade dá $\frac{\sin t}{t} \leq 1$; a segunda dá $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. Quando $t \to 0^+$, $\cos t \to 1$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity)), e o teorema do confronto dá $\frac{\sin t}{t} \to 1$; a paridade estende isso a $t \to 0$. Para o segundo limite,

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**Teorema 24.5 (Derivadas do seno e do cosseno).**

As funções $\sin$ e $\cos$ são deriváveis em $\R$, com

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

Mais geralmente, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ e $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**Demonstração.** Pelas fórmulas de adição,

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

usando o [Lema 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). O cálculo para $\cos$ é idêntico, e a forma geral segue da regra da cadeia. ∎

**Proposição 24.6 (Variação).**

Em $\intcc{0}{\pi}$, $\cos$ decresce de $1$ a $-1$. Em $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, $\sin$ cresce de $-1$ a $1$. As duas funções são $2\pi$-periódicas e têm [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$; $\cos$ é par e $\sin$ é ímpar.

**Demonstração.** Em $\intoo{0}{\pi}$, $(\cos)' = -\sin < 0$, pois o ponto $M(t)$ tem ali ordenada positiva; analogamente, $(\sin)' = \cos > 0$ em $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. A periodicidade e a paridade vêm da [Proposição 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![As curvas de (azul) e de (vermelho).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*As curvas de $\cos$ (azul) e de $\sin$ (vermelho).*

**Método 24.7 (Resolver cos⁡x=a\cos x = acosx=a e sin⁡x=a\sin x = asinx=a).**

Para $a \in \intcc{-1}{1}$, encontre uma solução particular $\alpha$ (pela tabela de valores ou por uma calculadora). Então todas as soluções são:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

Para inequações, localize os arcos solução no círculo trigonométrico e leia os [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) dentro de um período.

**Exemplo 24.8.**

Resolva $\cos x = \frac12$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$: uma solução particular é $\frac\pi3$, de modo que as soluções são $x = \frac\pi3$ e $x = -\frac\pi3$. Em todo o $\R$: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$.

## 24.3 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

Calcule $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ e $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ usando as identidades da [Proposição 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**Solução de Exercício 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**Exercício 24.2 ★.**

Derive $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ e $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

**Solução de Exercício 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (regra da cadeia).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (regras da cadeia e do produto).

Regra do quociente:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**Exercício 24.3 ★.**

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$ e depois em $\R$:

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**Solução de Exercício 24.3.**

*(a)* Uma solução particular de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ é $\frac\pi3$. Soluções gerais: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Em $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ dá $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$, logo $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. Em $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8,
\frac{7\pi}{8}\right\}$.

**Exercício 24.4 ★★.**

Usando as fórmulas de adição, calcule o valor exato de $\cos\frac{\pi}{12}$ e de $\sin\frac{\pi}{12}$. (Sugestão: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.)

**Solução de Exercício 24.4.**

Com $a = \frac\pi3$ e $b = \frac\pi4$:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**Exercício 24.5 ★★.**

Resolva em $\intcc{0}{2\pi}$ a inequação $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$. (Sugestão: fatore o trinômio em $\sin x$.)

**Solução de Exercício 24.5.**

Ponha $s = \sin x$: $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ se, e somente se, $s \leq -\frac12$ ou $s = 1$.

$\sin x = 1$ dá $x = \frac\pi2$. $\sin x \leq -\frac12$: no círculo trigonométrico, o arco abaixo da reta horizontal $y = -\frac12$, que em $\intcc{0}{2\pi}$ é $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. Logo

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**Exercício 24.6 ★★.**

Calcule os limites

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**Solução de Exercício 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (composição com $u = 3x \to 0$).

Usando $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

Substituindo $u = \frac1x \to 0^+$: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**Exercício 24.7 ★★.**

Estude a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ em $\intcc{0}{2\pi}$: variação e [extremos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-extremum). Mostre que $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) em $\R$ embora $f'$ se anule em infinitos pontos.

**Solução de Exercício 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ para todo $x$, com igualdade exatamente quando $\sin x = 1$, *isto é*, $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. Em $\intcc{0}{2\pi}$, $f$ cresce de $f(0) = 1$ até $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (o zero de $f'$ em $\frac{\pi}{2}$ é isolado, de modo que o crescimento é até estrito); [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $1$ em $0$, [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $2\pi + 1$ em $2\pi$. Em $\R$, $f' \geq 0$ em toda parte, com zeros apenas isolados, de modo que $f$ é (estritamente) [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) pelo [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#thm-g12-deriv-variations), embora $f'$ se anule em cada $\frac\pi2 + 2k\pi$.

**Exercício 24.8 ★★★.**

Seja $f(x) = A\cos x + B \sin x$ com $(A,B) \neq (0,0)$.

1. Mostre que $f$ pode ser escrita como $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ com $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ e um $\varphi$ adequado.
2. Deduza o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) e o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de $f$ e resolva $\cos x + \sin x = 1$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**Solução de Exercício 24.8.**

*1.* Seja $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. O ponto $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ está no círculo de raio $1$, de modo que existe $\varphi$ com $\cos\varphi = \frac AR$ e $\sin\varphi = \frac BR$. Então

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* Como $\cos$ tem [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$, $f$ tem [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $R$ e [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $-R$. Para $\cos x + \sin x$: $A = B = 1$, $R = \sqrt2$, $\varphi = \frac\pi4$, de modo que a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) vira $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$, *isto é*, $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, o que dá $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$: em $\intoc{-\pi}{\pi}$, $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**Exercício 24.9 ★★★.**

Mostre que $\sin$ e $\cos$ satisfazem ambas a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) diferencial $y'' = -y$. Reciprocamente, seja $y$ uma solução de $y'' = -y$ com $y(0) = a$ e $y'(0) = b$; mostre que $y = a\cos + b\sin$. (Sugestão: considere $g = (y - a\cos - b\sin)$ e a “energia” $E = g^2 + (g')^2$.)

**Solução de Exercício 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ e $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: as duas resolvem $y'' = -y$.

Seja $g = y - a\cos - b\sin$. Então $g'' = -g$ (linearidade da derivação), $g(0) = y(0) - a = 0$ e $g'(0) = y'(0) - b = 0$. Ponha $E = g^2 + (g')^2$. Então

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

de modo que $E$ é constante igual a $E(0) = 0$. Uma soma de dois quadrados identicamente nula obriga $g = 0$, logo $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 Problema: O segredo do pêndulo

**Problema 24.1.**

Problema de fim de semana — um limite geométrico move as derivadas do seno e do cosseno e, a partir delas, toda a oscilação: molas, pêndulos, batimentos e o metro que quase foi

Todo relógio que já bateu, toda corda que já soou obedece à mesma matemática: uma força restauradora proporcional ao deslocamento, portanto a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$, portanto [cossenos](#def-g12-trigo-cossin). Na base de tudo está um limite de aparência inocente, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — prometido no ano 9, usado pelo [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) e demonstrado aqui com um desenho. Este problema sobe desse limite até a oscilação de um pêndulo de um metro e explica por que o metro, por um fio, não é definido por ele.

**Parte I — O limite fundamental.**

1. Aqueça numericamente: calcule $\frac{\sin x}{x}$ para $x = 0.1$ e $x = 0.01$ (em [radianos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-radian) !).
2. O sanduíche, no círculo de raio $1$ com $0 < x < \frac\pi2$ : exprima por geometria elementar as áreas (i) do triângulo de vértices $O$ , $A(1,0)$ e o ponto $M(\cos x, \sin x)$ do círculo; (ii) do setor circular $OAM$ ; (iii) do triângulo retângulo $OAT$ , com $T(1, \tan x)$ .
3. Do sanduíche de áreas deduza $\sin x < x < \tan x$ e depois $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , e conclua pelo teorema do confronto que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (a paridade trata de $x < 0$ ).
4. Deduza $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} =  \frac12$ (multiplique pelo conjugado).
5. Explique por que esse limite é o motor do [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) (quanto vale $\sin'(0)$ ?) e por que ele também salda uma dívida antiga: em que sentido os *[radianos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-radian)* são a única unidade de ângulo para a qual $\sin' = \cos$ vale sem constante?

**Parte II — Movimento harmônico.**

6. Verifique pela regra da cadeia que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ satisfaz $y'' = -\omega^2 y$ .
7. Uma massa presa a uma mola obedece a $y'' = -4y$ , com $y(0) = 3$ e $y'(0) = 8$ . Admitindo (do [Exercício 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) que todas as soluções são $A\cos 2t + B\sin 2t$ , determine $A$ e $B$ .
8. Reescreva a solução como $R\cos(2t - \varphi)$ ( [Exercício 24.8](#exo-g12-trigo-8) ): dê a amplitude $R$ , o período e a fase $\varphi$ (três casas decimais).
9. Em que instante a massa passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio $y = 0$ ?
10. O pêndulo: uma massa presa a um fio de comprimento $L$ obedece *exatamente* a $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — insolúvel por funções elementares. Para oscilações pequenas, substitua $\sin\theta$ por $\theta$ (a Parte I justifica!) e deduza o período $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calcule $T$ para $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): a famosa descoberta de Galileu — de que a fórmula *não* depende?
11. O pêndulo de segundos: que comprimento dá $T = 2$ s exatamente? A Academia francesa de 1791 hesitou entre esse comprimento e a décima milionésima parte do quarto de meridiano para definir o *metro* — por quantos milímetros os dois candidatos diferem?

**Parte III — As fórmulas de adição em serviço.**

12. Mostre, com as fórmulas de adição ( [Proposição 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ), que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ e $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : derivar no círculo é dar um quarto de volta — confira a coerência com o [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) .
13. Deduza a identidade produto-em-soma $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) +  \cos(a + b)\right)$ e a linearização $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (o capítulo de integração lhe agradecerá).
14. Batimentos: deduza $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ e aplique isso a dois diapasões de $440$ e $444$ Hz: que som o ouvido escuta e quantas pulsações por segundo? (É assim que as orquestras afinam.)
15. Deduza a identidade do arco triplo $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (escreva $3x = 2x + x$ ). Fazendo $x = 20^\circ$ , que [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cúbica $\cos 20^\circ$ tem de satisfazer? (Que essa cúbica não possa ser resolvida só com raízes quadradas é precisamente a razão pela qual a trissecção do ângulo derrotou régua e compasso por dois milênios — a história completa é contada nos volumes de graduação.)
16. Uma corrente alternada vale $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Reescreva-a como $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : corrente de pico e fase?

**Parte IV — O mundo que oscila.**

17. Períodos: qual é o (menor) período de $\sin^2 t$ (use a questão 13)? E de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
18. Um pêndulo real amortece: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Descreva o movimento, calcule o valor da envoltória em $t = 10$ (aparece um velho conhecido, [Problema 23.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#pb-g12-exp-1) ) e nomeie o capítulo em que se resolvem [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) com soluções desse tipo.
19. Por que os [senos](#def-g12-trigo-cossin) e [cossenos](#def-g12-trigo-cossin) reinam sobre toda vibração? Dê o dicionário física-matemática em duas frases (força restauradora proporcional ao deslocamento $\rightarrow$ que [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ que soluções) e diga o que o [Exercício 24.9](#exo-g12-trigo-9) acrescenta a essa afirmação.
20. Final: o arco do capítulo em quatro passos — um limite geométrico, duas [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) , uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) diferencial, toda a oscilação. E o asterisco honesto: para oscilações grandes, o período verdadeiro do pêndulo envolve uma integral elíptica, calculada à velocidade da luz pela … [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica de Gauss, a sobremesa do [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#pb-g12-seq-1) . Os fios da série amarram-se sozinhos.

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ e $0.99998\ldots$: aproximando-se de $1$.

**2.** Triângulo $OAM$: base $1$, altura $\sin x$: área $\frac{\sin x}{2}$. Setor $OAM$: fração $\frac{x}{2\pi}$ do disco de raio $1$: área $\frac x2$. Triângulo $OAT$: base $1$, altura $\tan x$: área $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** O triângulo está dentro do setor, que está dentro do triângulo grande: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, isto é, $\sin x < x < \tan x$. De $\sin x < x$ vem $\frac{\sin x}{x} < 1$; e de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, multiplicando por $\frac{\cos x}{x} > 0$, vem $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. Quando $x \to 0^+$, $\cos x \to 1$: espremido, $\frac{\sin x}{x} \to 1$; e $\frac{\sin x}{x}$ é par, de modo que o limite bilateral é $1$.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} =
\frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x}
\to 1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} =
1$: toda a derivação do [seno](#def-g12-trigo-cossin) e do [cosseno](#def-g12-trigo-cossin) decorre desse único limite. Medido em graus, o limite seria $\frac{\pi}{180}$, e cada [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) arrastaria essa constante: os [radianos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/14-trigonometria-o-circulo-trigonometrico#def-g11-trigo-radian) são exatamente a unidade que deixa limpo o cálculo da oscilação.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$, $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. $y(0) = A = 3$; $y'(0) = 2B = 8$: $B = 4$: $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$; período $\frac{2\pi}{2} = \pi$; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$: $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ pela primeira vez quando $2t - \varphi = \frac\pi2$: $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

**10.** Com $\sin\theta \approx \theta$: $\theta'' = -\frac gL \theta$: harmônico com $\omega = \sqrt{\frac gL}$, período $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Para $L = 1$: $T \approx 2.006$ s. O período não depende da amplitude (para oscilações pequenas) — o isocronismo de Galileu, o fato que torna possíveis os relógios de pêndulo.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =
\frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: o pêndulo de segundos é cerca de $6$ mm mais curto que o metro do meridiano. A Academia escolheu o meridiano (a gravidade varia de lugar para lugar, traindo o pêndulo); se $g$ fosse um fio maior, nosso metro faria tique-taque.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. Assim, derivar o [seno](#def-g12-trigo-cossin) o desloca um quarto de volta ($\cos$), e de novo ($-\sin$), e de novo, e volta para casa em quatro passos: a derivação gira o círculo.

**13.** Somando as duas expansões de $\cos(a \mp b)$: $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. Com $a = b = x$: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, isto é, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** Com $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ e $q$ seu espelho, expandindo e somando: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. Para $440$ e $444$ Hz: um som de $442$ Hz cuja intensidade é modulada por $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — a intensidade tem pico $4$ vezes por segundo (o valor absoluto da envoltória): quatro batimentos por segundo, que somem quando os diapasões concordam.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x -
3\cos x$. Em $x = 20^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac12$, de modo que $c = \cos 20^\circ$ satisfaz $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — uma cúbica sem solução por raízes quadradas: construir $20^\circ$, isto é, trissectar $60^\circ$, está além da régua e do compasso.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$: $\varphi = \frac\pi3$: $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$: pico de $6$ ampères, defasagem de $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$: período $\pi$. $\sin 2t$ tem período $\pi$ e $\sin 3t$ tem $\frac{2\pi}{3}$: a soma se repete após o menor múltiplo comum, $2\pi$.

**18.** Uma oscilação de período $1$ dentro da envoltória que encolhe, $\pm\eu^{-t/10}$: cada oscilação cerca de $10\,\%$ mais baixa. Em $t = 10$ a envoltória vale $\eu^{-1} \approx 0.368$ — de novo a constante do [Problema 23.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#pb-g12-exp-1). [Equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) com essas soluções amortecidas ($y'' + a y' + b y = 0$) são resolvidas no capítulo de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) diferenciais.

**19.** Uma força que puxa de volta proporcionalmente ao deslocamento dá $y'' = -\omega^2 y$; e o [Exercício 24.9](#exo-g12-trigo-9) mostra que as soluções dessa [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) são *exatamente* as combinações de $\cos$ e $\sin$ — existência por exibição, unicidade pelo exercício: a vibração não tem escolha senão ser senoidal.

**20.** Um limite ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, por áreas ensanduichadas), duas [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$) e um mundo de relógios, cordas, correntes e marés. Asterisco: para oscilações amplas, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot
\frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica do [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#pb-g12-seq-1) calcula a integral elíptica em um punhado de iterações: a anotação do diário de Gauss e o pêndulo de Galileu, a uma fórmula de distância.