--- title: "Integração" book: "Matemática do ensino médio" subject: math language: pt chapter: 25 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao --- # Capítulo 25 — Integração A integração responde a duas perguntas ao mesmo tempo: qual é a área sob uma curva e como se recupera uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) a partir da sua taxa de variação? O teorema fundamental do cálculo afirma que essas são a mesma pergunta — a descoberta mais profunda e mais útil da matemática do século XVII. ## 25.1 A integral de uma função contínua **Definição 25.1 (Integral de uma função positiva).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) e positiva em $\intcc{a}{b}$. A *integral* $$ \int_a^b f(x)\,\dd x $$ é a área, em unidades de área, da região delimitada pela curva de $f$, pelo eixo $x$ e pelas retas verticais $x = a$ e $x = b$. ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-be957e4dcae1.svg) Para uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de sinal qualquer, as áreas abaixo do eixo $x$ são contadas negativamente; e define-se $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$. ![Áreas com sinal: ∈t_02π x\, x = 0, com a região abaixo do eixo (vermelha) cancelando a região acima (azul).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-49f37058cc51.svg) *Áreas com sinal: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$, com a região abaixo do eixo (vermelha) cancelando a região acima (azul).* **Proposição 25.2 (Propriedades da integral).** Sejam $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) que contém $a, b, c$, e seja $\lambda \in \R$. 1. *Linearidade:* $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ . 2. *Relação de Chasles:* $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . 3. *Positividade:* se $a \leq b$ e $f \geq 0$ em $\intcc{a}{b}$ , então $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; se $f \leq g$ , então $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . **Demonstração.** Chasles e a positividade são imediatas pela interpretação como área (as áreas se somam quando as regiões são justapostas; uma região de altura positiva tem área positiva). A comparação segue aplicando a positividade a $g - f$. A linearidade é intuitivamente clara para a soma de funções positivas (empilhe as áreas) e é demonstrada com rigor na graduação; *ela é admitida aqui*. ∎ ## 25.2 O teorema fundamental do cálculo **Definição 25.3 (Primitiva).** Uma *primitiva* (ou antiderivada) de $f$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) $F$ em $I$ tal que $F' = f$. **Proposição 25.4.** Se $F$ é uma [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $f$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$, as [primitivas](#def-g12-integ-primitive) de $f$ em $I$ são exatamente as funções $F + c$, $c \in \R$. Dados $x_0 \in I$ e $y_0 \in \R$, existe uma única [primitiva](#def-g12-integ-primitive) com $F(x_0) = y_0$. **Demonstração.** Se $G' = F' = f$, então $(G - F)' = 0$ no [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$, de modo que $G - F$ é constante.[1](#fn-1) Reciprocamente, toda $F + c$ é [primitiva](#def-g12-integ-primitive). A condição $F(x_0) = y_0$ fixa a constante. ∎ **Teorema 25.5 (Teorema fundamental do cálculo).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e seja $a \in I$. A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t $$ é a [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $f$ em $I$ que se anula em $a$. Por consequência, para qualquer [primitiva](#def-g12-integ-primitive) $G$ de $f$ e $a, b \in I$: $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a). $$ ![A ideia da demonstração: o acréscimo F(x+h) - F(x) é a área da faixa estreita (laranja), espremida entre os retângulos de alturas f(x) e f(x+h) sobre uma base de comprimento h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-fc94b388b117.svg) *A ideia da demonstração: o acréscimo $F(x+h) - F(x)$ é a área da faixa estreita (laranja), espremida entre os retângulos de alturas $f(x)$ e $f(x+h)$ sobre uma base de comprimento $h$.* **Demonstração no caso em que $f$ é crescente.** Fixe $x \in I$ e $h > 0$ com $x + h \in I$. Por Chasles, $$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t . $$ Como $f$ é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic), $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ para $t \in \intcc{x}{x+h}$ e, por comparação de [integrais](#def-g12-integ-area) (a [integral](#def-g12-integ-area) de uma constante $c$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de comprimento $h$ vale $ch$): $$ h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h), $$ de modo que $$ f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h). $$ Quando $h \to 0^+$, $f(x+h) \to f(x)$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity), e o teorema do confronto dá que o quociente de diferenças tende a $f(x)$; o caso $h < 0$ é simétrico. Logo $F' = f$, e $F(a) = 0$. O caso [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) geral (não [monótono](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic)) é demonstrado na graduação. Por fim, se $G$ é uma [primitiva](#def-g12-integ-primitive) qualquer, $G = F + c$ ([Proposição 25.4](#prop-g12-integ-primunique)), de modo que $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎ **Exemplo 25.6.** $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: a área sob a [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) é um terço do quadrado unitário, como Arquimedes sabia. A tabela de [primitivas](#def-g12-integ-primitive) se lê na tabela de [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) ($u$ denota uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) e $c$ uma constante arbitrária): | $f(x)$ | [primitiva](#def-g12-integ-primitive) | $f$ | [primitiva](#def-g12-integ-primitive) | | --- | --- | --- | --- | | $x^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | $u'u^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$ | | $\dfrac1x \ (x > 0)$ | $\ln x + c$ | $\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$ | $\ln u + c$ | | $\eu^x$ | $\eu^x + c$ | $u'\eu^u$ | $\eu^u + c$ | | $\cos x$ | $\sin x + c$ | $\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$ | $2\sqrt u + c$ | | $\sin x$ | $-\cos x + c$ | | | **Método 25.7 (Reconhecer a forma u′×(algo em u)u' \times (\text{algo em } u)u′×(algo em u)).** Para integrar um produto, procure um fator que seja a [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) interna $u$, a menos de uma constante multiplicativa. Por exemplo, em $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$, o fator $x$ é $\frac12 (x^2)'$: $$ \int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}. $$ **Teorema 25.8 (Integração por partes).** Sejam $u, v$ deriváveis em $\intcc{a}{b}$ com [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) [contínuas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity). Então $$ \int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t . $$ **Demonstração.** A regra do produto dá $(uv)' = u'v + uv'$; integrar os dois lados em $\intcc{a}{b}$ e usar o teorema fundamental no lado esquerdo dá $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$. ∎ **Exemplo 25.9.** $\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$: tome $u' = \eu^t$, $v = t$, logo $u = \eu^t$, $v' = 1$: $$ \int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ ## 25.3 Aplicações **Definição 25.10 (Valor médio).** O *valor médio* de uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) $f$ em $\intcc{a}{b}$ ($a 0$. ∎ **Método 25.12 (Área entre duas curvas).** Se $f \geq g$ em $\intcc{a}{b}$, a área entre as duas curvas é $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$. Se as curvas se cruzam, divida o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) nos pontos de cruzamento e integre $\abs{f - g}$ pedaço a pedaço. ![A área entre a reta y = x + 1 (vermelha) e a parábola y = x2 - 1 (azul) é ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-d9b9464c2389.svg) *A área entre a reta $y = x + 1$ (vermelha) e a [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2 - 1$ (azul) é $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$.* ## 25.4 Exercícios **Exercício 25.1 ★.** Calcule $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} . $$ **Solução de Exercício 25.1.** $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}. $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 . $$ Com $u = 2t+1$, $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$: $$ \int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}. $$ **Exercício 25.2 ★.** Encontre a [primitiva](#def-g12-integ-primitive) $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ em $\R$ tal que $F(0) = 1$. **Solução de Exercício 25.2.** $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ tem [primitivas](#def-g12-integ-primitive) $\frac12\eu^{x^2} + c$. A condição $F(0) = 1$ dá $\frac12 + c = 1$, logo $$ F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}. $$ **Exercício 25.3 ★.** Calcule o [valor médio](#def-g12-integ-mean) de $f(t) = \sin t$ em $\intcc{0}{\pi}$ e interprete o resultado em um [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph). **Solução de Exercício 25.3.** $$ \mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 . $$ Graficamente, o retângulo de base $\intcc{0}{\pi}$ e altura $\frac{2}{\pi}$ tem a mesma área que o arco da curva do [seno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#def-g12-trigo-cossin). **Exercício 25.4 ★★.** Usando [integração por partes](#thm-g12-integ-ibp), calcule $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{e}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t . $$ **Solução de Exercício 25.4.** Tome $u' = 1$, $v = \ln t$, logo $u = t$, $v' = \frac1t$: $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ Tome $u' = \sin t$, $v = t$, logo $u = -\cos t$, $v' = 1$: $$ \int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi . $$ **Exercício 25.5 ★★.** Calcule a área da região entre a [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ e a reta $y = x + 2$. **Solução de Exercício 25.5.** As curvas se cruzam onde $x^2 = x + 2$, *isto é*, $x \in \{-1, 2\}$, e em $\intcc{-1}{2}$ a reta está acima da [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola). A área é $$ \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}. $$ **Exercício 25.6 ★★.** Seja $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$. 1. Calcule $I$ . 2. Para $n \in \N$ , seja $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Mostre que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ e que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ . 3. Deduza que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ . **Solução de Exercício 25.6.** *1.* $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$. *2.* $$ I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}. $$ Em $\intcc{0}{1}$, $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$, de modo que, por comparação, $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$. *3.* Da recorrência, por uma indução telescópica, $$ I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right), $$ *isto é*, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (lembre que $I_0 = \ln 2$). Como $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$, a soma harmônica alternada tende a $\ln 2$. **Exercício 25.7 ★★.** A velocidade de um trem (em m/s) durante os primeiros $100$ segundos após a partida é modelada por $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$. Calcule a distância percorrida nesses $100$ segundos e a velocidade [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) do trem no [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval). **Solução de Exercício 25.7.** Distância: $$ d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}. $$ Numericamente, $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Velocidade [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean): $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s. **Exercício 25.8 ★★★.** Para $n \geq 1$, seja $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$. 1. Interprete $S_n$ como uma área de retângulos que aproxima uma região sob a curva de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ em $\intcc{0}{1}$ . 2. Usando a monotonicidade de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$, mostre que $$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$$ e deduza $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$. **Solução de Exercício 25.8.** *1.* $S_n$ é a área total de $n$ retângulos de largura $\frac1n$ e alturas $f\left(\frac kn\right)$, $k = 1, \dots, n$, com $f(t) = \frac{1}{1+t}$: é a [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) por retângulos “pela extremidade direita” da área sob $f$ em $\intcc{0}{1}$. *2.* $f$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), de modo que, em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$, $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$; integrando e somando em $k$: $$ S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}. $$ (O termo do meio do enunciado, com $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$, é exatamente essa cota.) Logo $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ e $S_n \to \ln 2$. **Exercício 25.9 ★★★.** *([Integrais](#def-g12-integ-area) de Wallis.)* Para $n \in \N$, seja $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$. 1. Calcule $W_0$ e $W_1$ . 2. Escrevendo $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ e integrando por partes, mostre que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ . 3. Deduza $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ e mostre que $(W_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e positiva. **Solução de Exercício 25.9.** *1.* $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ e $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$. *2.* Integre por partes com $u' = \sin t$, $v = \sin^{n+1} t$, logo $u = -\cos t$, $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$: $$ W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t, $$ pois o colchete se anula nas duas extremidades. Logo $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$, *isto é*, $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$. *3.* $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$, $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$, $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$. Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, de modo que $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$, com desigualdade estrita no interior; integrando, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (de fato, $<$): $(W_n)$ é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) e positiva. ## 25.5 Problema: Arquimedes contra a máquina **Problema 25.1.** Problema de fim de semana — a área sob a parábola, calculada de três maneiras ao longo de vinte e dois séculos, e a identidade secreta do logaritmo como área Por volta de 240 a.C., Arquimedes calculou a área exata de um segmento parabólico — sem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), sem limites, sem álgebra. Dezenove séculos depois, os retângulos de Riemann refizeram a conta por puro cerco; e o teorema fundamental do cálculo ([Teorema 25.5](#thm-g12-integ-ftc)) hoje a faz em uma linha. Este problema disputa as três partidas e depois usa a mesma máquina para revelar o que o [logaritmo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) realmente é: uma área com uma simetria de escala. **Parte I — Fluência.** 1. Calcule $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ e $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ . 2. Identifique as formas $u'u$ ( [Método 25.7](#met-g12-integ-uprime) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ e $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ . 3. Por partes ( [Teorema 25.8](#thm-g12-integ-ibp) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ e $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ . 4. Calcule o [valor médio](#def-g12-integ-mean) ( [Definição 25.10](#def-g12-integ-mean) ) de $\sin$ em $\intcc{0}{\pi}$ — e note que ele *não* é $\frac12$ . 5. Calcule a área entre a reta $y = x$ e a [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ ( [Método 25.12](#met-g12-integ-areabetween) ). **Parte II — A [parábola](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-parabola), de três maneiras.** 6. A montagem de Riemann para a área sob $y = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ : escreva a soma inferior $L_n$ e a soma superior $U_n$ sobre $n$ retângulos iguais (como no [Exercício 25.8](#exo-g12-integ-8) ). 7. Demonstre por indução (a máquina do [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#pb-g12-seq-1)) a fórmula da soma dos quadrados $$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$ 8. Deduza formas fechadas para $U_n$ e $L_n$ , calcule seu limite comum e conclua: a área é $\frac13$ . 9. Agora a máquina: calcule $\int_0^1 x^2\,\dd x$ pelo teorema fundamental, em uma linha. Compare os esforços. 10. Arquimedes enunciou de outro modo: *um segmento parabólico vale $\frac43$ do triângulo nele inscrito* . Para o segmento recortado de $y = x^2$ pela corda que liga $(-1, 1)$ a $(1, 1)$ : calcule a área do segmento por uma [integral](#def-g12-integ-area) , a área do triângulo inscrito (com vértice no ponto $(0, 0)$ ) e verifique a razão do mestre. 11. O método do próprio Arquimedes: preencha o segmento com o triângulo grande $T$ , depois com dois triângulos que somam $\frac T4$ , depois com quatro que somam $\frac{T}{16}$ , e assim por diante. Some a série geométrica e recupere $\frac43 T$ — a barra de chocolate mordida sem fim, do volume do ensino fundamental, comida por um geômetra grego. 12. Uma frase para cada: exaustão (Arquimedes), cerco (Riemann), antiderivação (Newton e Leibniz) — do que cada uma precisa e o que cada uma dá? **Parte III — O [logaritmo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) é uma área.** Para $x > 0$, ponha $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$. 13. Dê $A(1)$ e $A'(x)$ ( [Teorema 25.5](#thm-g12-integ-ftc) ) e conclua que $A$ é exatamente o [logaritmo natural](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) da [Definição 23.5](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) . 14. O milagre da escala: fixe $a > 0$ e estude $g(x) = A(ax) - A(x)$. Calcule $g'$ (regra da cadeia), deduza que $g$ é constante, avalie a constante — e conclua a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) funcional $$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$$ demonstrada por puro cálculo: a área de $1$ até $ab$ divide-se em cópias reescaladas. 15. Deduza da questão 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ e $\ln\frac1a = -\ln a$ . 16. O [Exercício 25.8](#exo-g12-integ-8) lê $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ como retângulos sob $\frac{1}{1 + t}$ : calcule essa soma para $n = 10$ (três casas decimais) e compare com $\ln 2$ . Que somas de sabor harmônico, divergentes termo a termo, convergem aqui para uma área? **Parte IV — Acumulação.** 17. Um carro acelera com velocidade $v(t) = 3t^2$ m/s para $t \in \intcc{0}{10}$ . Calcule a distância percorrida, a velocidade [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) e o instante em que a velocidade instantânea iguala a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) . 18. Uma barra de $4$ metros tem densidade linear $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calcule sua massa total e seu centro de massa $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — o ponto de equilíbrio do triângulo de papelão do volume do ensino fundamental, finalmente calculado com pesos que variam. 19. As [integrais](#def-g12-integ-area) de Wallis ( [Exercício 25.9](#exo-g12-integ-9) ): calcule $W_0$ , $W_1$ e $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ usando a linearização do [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) . (Sua escada infinita sobe, nos volumes de graduação, até uma fórmula de produto para $\pi$ e até a normalização da curva em sino.) 20. Final — as três faces da integração: uma *área* por definição, uma *acumulação* no mundo (distância, massa), uma *antiderivada* pelo teorema fundamental; e sua história em três nomes. Encerre com a pérola do capítulo: que botão corriqueiro da calculadora é, em segredo, a área sob $\frac1t$ — e que identidade essa área demonstrou? **Solução de Problema 25.1.** **1.** $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$. **2.** $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$. **3.** $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. E $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$. **4.** $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$: a altura [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) do arco do [seno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#def-g12-trigo-cossin) é $\frac2\pi$, sensivelmente mais que a metade — o arco é gordo perto do topo. **5.** $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$. **6.** $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ e $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$: retângulos de largura $\frac1n$ com alturas lidas na extremidade esquerda (abaixo da curva) ou direita (acima). **7.** Verdadeiro para $n = 1$ ($1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$). Se vale para $n$, então, somando $(n+1)^2$: $$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, $$ a fórmula em $n + 1$: hereditariedade, pronto. **8.** $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$, e $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$: espremida entre suas escadas, a área vale exatamente $\frac13$. **9.** $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: uma linha. O teorema fundamental converte um cerco infinito em uma única avaliação de antiderivada — é por isso que ele se chama fundamental. **10.** Segmento: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$. Triângulo de base a corda (comprimento $2$, na altura $1$) e vértice $(0,0)$: área $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$. Razão: $\frac43$ — exatamente o teorema de Arquimedes, verificado pela máquina que lhe faltava. **11.** $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (série geométrica de razão $\frac14$): com $T = 1$, de novo a área $\frac43$ do segmento. Arquimedes somou a série por um argumento puramente geométrico — as mordidas de um quarto, do tipo barra de chocolate, dois milênios antes de os limites terem nome. **12.** A exaustão precisa de uma autossemelhança geométrica engenhosa e dá áreas exatas caso a caso; Riemann precisa apenas de monotonicidade e dá uma definição universal ao preço de calcular somas; o teorema fundamental precisa de todo o edifício das [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) e o retribui tornando as áreas contas de uma linha. **13.** $A(1) = 0$ e $A'(x) = \frac1x$ (teorema fundamental): $A$ é a [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $\frac1x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ que se anula em $1$ — que é precisamente o [logaritmo natural](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln). **14.** $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$: $g$ é constante; em $x = 1$: $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$. Logo $A(ax) = A(a) + A(x)$ para todo $x$ e, com $x = b$: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. A área da [hipérbole](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-reference) não se importa com a escala horizontal: esticar $t$ por $a$ achata $\frac1t$ por $a$, e a área sobrevive — somar [logaritmos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) é uma simetria de escala. **15.** Iterando: $\ln(a^n) = n\ln a$ (indução em $n$). E $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$: $\ln\frac1a = -\ln a$. **16.** $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$, contra $\ln 2 \approx 0.693$: dez retângulos sob $\frac{1}{1+t}$, já bem próximos. A série harmônica diverge, mas suas *fatias* de $n$ até $2n$ acomodam-se em $\ln 2$: divergência a passo de tartaruga, medida por uma área. **17.** Distância: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Velocidade [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean): $100$ m/s. Instante com $v = 100$: $3t^2 = 100$: $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s. **18.** Massa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momento: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$. Centro de massa: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — empurrado para além do meio pela extremidade direita, mais pesada, como a intuição exige. **19.** $W_0 = \frac\pi2$; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$; e $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$. **20.** Área: a definição, espremida por escadas. Acumulação: distâncias a partir de velocidades, massas a partir de densidades — a [integral](#def-g12-integ-area) como total corrente. Antiderivada: o teorema fundamental, o atalho de Newton e Leibniz através da paciência de Arquimedes. A pérola: o botão $\ln$ é a área sob $\frac1t$, e a simetria de escala dessa área *é* a identidade $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. 1. Que uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) nula em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) seja constante segue do [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#thm-g12-deriv-variations) : ela é ao mesmo tempo [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic) e [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) . [↩](#fnref-1)