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title: "Equações diferenciais"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/26-equacoes-diferenciais
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# Capítulo 26 — Equações diferenciais

Uma [equação diferencial](#def-g12-diffeq-ode) relaciona uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) com suas [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative). A física, a química, a biologia e a economia exprimem suas leis nessa forma: a taxa de resfriamento de um corpo, o decaimento de um núcleo radioativo, o crescimento de uma população são todos afirmações sobre $y'$. Este capítulo resolve por completo as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) lineares de primeira ordem com coeficientes constantes.

## 26.1 A equação $y' = ay$

**Definição 26.1 (Equação diferencial).**

Uma *equação diferencial* é uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cuja incógnita é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $y$ e que envolve $y$ e suas [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative). Uma *solução* em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [derivável](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) que satisfaz a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) em todo ponto de $I$.

**Teorema 26.2 (Soluções de y′=ayy' = ayy′=ay).**

Seja $a \in \R$. As soluções em $\R$ da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ são exatamente as funções

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

Para cada par $(x_0, y_0)$ existe uma única solução com $y(x_0) = y_0$.

**Demonstração.** Cada $y = C\eu^{ax}$ satisfaz $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. Reciprocamente, seja $y$ uma solução qualquer e ponha $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. Então

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

de modo que $z$ é constante, digamos $C$, e $y(x) = C\eu^{ax}$. A condição inicial $y(x_0) = y_0$ obriga $C = y_0 \eu^{-a x_0}$, de modo único. ∎

**Observação 26.3.**

A exponencial é, assim, *caracterizada* pela mais simples de todas as [equações diferenciais](#def-g12-diffeq-ode): crescimento proporcional ao tamanho. É por isso que ela aparece em toda parte na natureza.

![A equação y' = y prescreve um coeficiente angular em cada ponto do plano (segmentos cinzentos). As soluções C x — aqui C = 1 (azul), C = 0.3 (vermelho) e C = -0.5 (laranja) — são exatamente as curvas que seguem esse campo de inclinações.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ prescreve um [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) em cada ponto do plano (segmentos cinzentos). As soluções $C\eu^{x}$ — aqui $C = 1$ (azul), $C = 0.3$ (vermelho) e $C = -0.5$ (laranja) — são exatamente as curvas que seguem esse campo de inclinações.*

**Exemplo 26.4 (Decaimento radioativo).**

Uma quantidade radioativa satisfaz $N' = -\lambda N$ com $\lambda > 0$, logo $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$; veja o [Exemplo 23.9](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#ex-g12-exp-halflife) para a meia-vida.

## 26.2 A equação $y' = ay + b$

**Teorema 26.5 (Soluções de y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

Sejam $a \neq 0$ e $b \in \R$. As soluções em $\R$ de $y' = ay + b$ são exatamente as funções

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) constante $y_p = -\frac ba$ é a *solução de equilíbrio*. Para cada $(x_0, y_0)$ existe uma única solução com $y(x_0) = y_0$; se $a < 0$, toda solução tende ao equilíbrio $-\frac ba$ quando $x \to +\infty$.

**Demonstração.** A constante $y_p = -\frac{b}{a}$ satisfaz $y_p' = 0 = a y_p + b$. Agora $y$ é solução se, e somente se,

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

isto é, se e somente se $z = y - y_p$ resolve $z' = az$. Pelo [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous), $z = C\eu^{ax}$, donde a fórmula, a existência e a unicidade. Se $a < 0$, $\eu^{ax} \to 0$ quando $x \to +\infty$, de modo que $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**Método 26.6 (Resolver y′=ay+by' = ay + by′=ay+b com condição inicial).**

1. Encontre a solução de equilíbrio $y_p = -\frac{b}{a}$ (resolva $y' = 0$ ).
2. Escreva a solução geral $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
3. Determine $C$ pela condição inicial.
4. Confronte o comportamento a longo prazo com a intuição física (a solução [converge](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-limit) para o equilíbrio?).

A mesma estratégia — *solução particular mais solução geral da [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) homogênea* — estende-se a $y' = ay + f(x)$: veja a [Proposição 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**Exemplo 26.7 (Lei do resfriamento de Newton).**

Uma xícara de café a $80\,^\circ$C está numa sala a $20\,^\circ$C. A lei de Newton afirma que a temperatura $T$ satisfaz $T' = -k(T - 20)$ para algum $k > 0$, *isto é*, $T' = -kT + 20k$. O equilíbrio é $20$, e $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: o café esfria exponencialmente depressa até a temperatura ambiente.

![Qualquer que seja sua temperatura inicial, todas as soluções de T' = -k(T - 20) convergem exponencialmente para o equilíbrio T = 20.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-b86d2220d391.svg)

*Qualquer que seja sua temperatura inicial, todas as soluções de $T' = -k(T - 20)$ convergem exponencialmente para o equilíbrio $T = 20$.*

## 26.3 A equação $y' = ay + f(x)$

**Proposição 26.8 (Estrutura do conjunto de soluções).**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ e seja $y_p$ uma solução particular de

$$
y' = ay + f(x)
$$

em $I$. Então as soluções em $I$ são exatamente as funções $y = C\eu^{ax} + y_p$, $C \in \R$.

**Demonstração.** Como no [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine): $y$ é solução se, e somente se, $z = y - y_p$ satisfaz $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$, se e somente se $z = C\eu^{ax}$. ∎

**Método 26.9 (Adivinhar uma solução particular).**

Procure uma solução particular *da mesma forma* que $f$:

- $f$ polinomial de grau $n$ : tente um polinômio de grau $n$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ com $k \neq a$ : tente $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (caso ressonante): tente $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substitua na [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) e identifique os coeficientes.

**Exemplo 26.10.**

Resolva $y' = 2y + 4x$. Tente $y_p = \alpha x + \beta$: $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ para todo $x$ obriga $2\alpha + 4 = 0$ e $\alpha = 2\beta$, logo $\alpha = -2$ e $\beta = -1$. Solução geral: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 Exercícios

**Exercício 26.1 ★.**

Resolva em $\R$: (a) $y' = 3y$ com $y(0) = 2$; (b) $2y' + y = 0$ com $y(0) = -1$; (c) $y' = -y + 5$ com $y(0) = 0$.

**Solução de Exercício 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$; $y(0) = 2$ dá $y = 2\eu^{3x}$.

*(b)* $y' = -\frac12 y$, logo $y = C\eu^{-x/2}$; $y(0) = -1$ dá $y = -\eu^{-x/2}$.

*(c)* Equilíbrio $y_p = 5$; $y = C\eu^{-x} + 5$; $y(0) = 0$ dá $C = -5$: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**Exercício 26.2 ★.**

Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho, dobrando a cada $3$ horas. Escreva a [equação diferencial](#def-g12-diffeq-ode) satisfeita pela população $N(t)$ e determine a constante de proporcionalidade.

**Solução de Exercício 26.2.**

$N' = kN$, logo $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. Dobrar em $3$ horas significa $\eu^{3k} = 2$, *isto é*,

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.
$$

**Exercício 26.3 ★.**

Verifique que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ é solução de $y' = y + \eu^x$ e dê todas as soluções em $\R$.

**Solução de Exercício 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: $y_p$ é uma solução particular (este é o caso ressonante do [Método 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). Pela [Proposição 26.8](#prop-g12-diffeq-general), as soluções são $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$, $C \in \R$.

**Exercício 26.4 ★★.**

Resolva $y' = -2y + \eu^{x}$ com $y(0) = 1$. (Sugestão: procure uma solução particular da forma $\beta\,\eu^{x}$.)

**Solução de Exercício 26.4.**

Tente $y_p = \beta\eu^x$: $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ dá $3\beta = 1$, logo $y_p = \frac13\eu^x$. Solução geral $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$; a condição $y(0) = 1$ dá $C = \frac23$:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**Exercício 26.5 ★★.**

O carbono-14 decai com meia-vida de $5730$ anos. Uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) arqueológica contém $60\%$ do carbono-14 de um organismo vivo. Estime sua idade.

**Solução de Exercício 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ com $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([Exemplo 23.9](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#ex-g12-exp-halflife)). Resolvemos $\eu^{-\lambda t} = 0.6$:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ anos}.
$$

**Exercício 26.6 ★★.**

Um tanque contém $100$ L de água pura. Uma salmoura com $0.2$ kg de sal por litro entra a $5$ L/min, e a mistura (mantida uniforme) sai à mesma vazão. Seja $m(t)$ a massa de sal no tanque no instante $t$ (em minutos).

1. Justifique que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. Resolva e determine o limite de $m(t)$ quando $t \to +\infty$ . Interprete.

**Solução de Exercício 26.6.**

*1.* O sal entra a $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. A saída leva concentração $\frac{m}{100}$ kg/L a $5$ L/min, *isto é*, $\frac{m}{20}$ kg/min. Logo $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* Equilíbrio $m_p = 20$; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, e $m(0) = 0$ dá $C = -20$:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

A longo prazo, a concentração do tanque iguala a da salmoura que entra: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**Exercício 26.7 ★★.**

Uma paraquedista de $80$ kg cai sujeita à gravidade ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) e a uma resistência do ar proporcional à velocidade, de modo que sua velocidade satisfaz $v' = g - \frac{k}{m}v$ com $k = 16$ kg/s.

1. Resolva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) com $v(0) = 0$ .
2. Calcule a *velocidade terminal* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ e o tempo necessário para atingir $95\%$ dela.

**Solução de Exercício 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ com $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. Equilíbrio $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, e $v(0) = 0$ dá

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* Velocidade terminal $49$ m/s ($\approx 176$ km/h). Queremos $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$, *isto é*, $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**Exercício 26.8 ★★★.**

*([Equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) logística.)* Uma população $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (como fração da população máxima) satisfaz

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. Seja $z = \dfrac{1}{y}$ . Mostre que $z$ satisfaz a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) linear $z' = -z + 1$ .
2. Resolva em $z$ e depois em $y$ , com $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. Mostre que $y(t) \to 1$ quando $t \to +\infty$ e esboce a forma da curva solução.

**Solução de Exercício 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ dá $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y}
= -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* Equilíbrio $z_p = 1$, logo $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. De $y(0) = \frac{1}{10}$ vem $z(0) = 10$, logo $C = 9$ e

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* Quando $t \to +\infty$, $9\eu^{-t} \to 0$ e $y(t) \to 1$. A curva é a clássica curva logística em S (*sigmoide*): crescimento lento no início ($y$ pequeno, $y' \approx y$), crescimento [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) quando $y = \frac12$ (onde $y' = y(1-y)$ é [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema)) e depois saturação rumo à capacidade de suporte $1$.

**Exercício 26.9 ★★★.**

Seja $y$ uma solução de $y' = ay + b$ e seja $u_n = y(n)$ para $n \in \N$. Mostre que $(u_n)$ satisfaz uma recorrência aritmético-geométrica $u_{n+1} = q u_n + r$ e exprima $q$ e $r$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de $a$ e $b$. A que corresponde a condição $\abs{q} < 1$ para a [equação diferencial](#def-g12-diffeq-ode)?

**Solução de Exercício 26.9.**

Pelo [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine), $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. Logo

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

com $q = \eu^{a}$ e $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. A condição $\abs q < 1$ significa $\eu^a < 1$, *isto é*, $a < 0$: exatamente a condição sob a qual as soluções da [equação diferencial](#def-g12-diffeq-ode) convergem para o equilíbrio $-\frac ba$ — e, de fato, o [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) da recorrência é $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 Problema: O relógio dentro das coisas

**Problema 26.1.**

Problema de fim de semana — o carbono-14 data as cavernas, a lei do resfriamento de Newton cronometra um crime, e uma equaçãozinha veste quatro trajes

Uma [equação diferencial](#def-g12-diffeq-ode) é uma lei de mudança; resolvê-la transforma a lei em um *relógio*. A mesma equaçãozinha $y' = ay + b$ ([Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) faz tique-taque dentro de carvão pré-histórico, de café esfriando, de gotas de chuva caindo e de soros hospitalares — e ler esses relógios é o ofício deste problema: ele data as pinturas de Lascaux, fixa uma hora da morte e audita as próprias hipóteses, como faz um bom cientista.

**Parte I — Fluência.**

1. Resolva $y' = 3y$ , $y(0) = 2$ ; e depois $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ ( [Método 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. Rededuza o truque de unicidade por trás do [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) : se $y' = ay$ , calcule a [derivada](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-derivative) de $y(t)\,\eu^{-at}$ e conclua que *toda* solução é $C\eu^{at}$ .
3. Para $y' = -2y + 6$ : encontre a solução de equilíbrio e descreva o destino de todas as demais soluções quando $t \to +\infty$ . (Os [pontos fixos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) das recorrências do [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso#pb-g11-seq-1) , agora [contínuos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) .)
4. Para a lei de decaimento $y' = -\frac{y}{\tau}$ : mostre que a meia-vida é $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
5. Esboce (ou descreva) a família de soluções de $y' = -2y + 6$ : o que fazem as soluções que começam acima de $3$ ? E abaixo de $3$ ? E em $3$ ?

**Parte II — Carbono-14.** O tecido vivo mantém uma proporção constante de carbono-14 radioativo; na morte a entrada cessa e o estoque decai: $N' = -\lambda N$, com meia-vida de $5\,730$ anos.

6. Calcule $\lambda$ (por ano).
7. Um osso retém $20\,\%$ da proporção do vivo: qual é a idade dele?
8. Carvão das cavernas pintadas de Lascaux retém cerca de $15\,\%$ : date as pinturas.
9. O homem do gelo, Ötzi, encontrado em uma geleira alpina, media cerca de $53\,\%$ : date-o (os arqueólogos falam em cerca de $5\,300$ anos — como foi o seu resultado?).
10. Por que o carbono-14 não pode datar dinossauros? Calcule a fração restante após dez meias-vidas, enuncie a fração após $65$ milhões de anos como potência de $2$ e conclua.
11. Barras de erro: se os $53\,\%$ de Ötzi só são conhecidos com precisão de $\pm 1\,\%$ , calcule a faixa de idade. Que precisão de laboratório compra que precisão de datação?

**Parte III — O resfriamento de Newton e um crime.** Um corpo à temperatura $T$ em um ambiente à temperatura constante $T_a$ esfria segundo $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. Resolva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) (substitua $z = T - T_a$): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. Um café servido a $90\,^\circ$ C em uma sala a $20\,^\circ$ C marca $70\,^\circ$ C após $5$ minutos. Determine $k$ e, em seguida, o tempo de espera até os $55\,^\circ$ C em que se pode beber.
14. A questão do leite: para tomar o café mais quente possível daqui a dez minutos, o leite frio deve ser acrescentado agora ou no último momento? Responda com a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) (o que acrescentar leite faz com a diferença $T - T_a$ , e como essa diferença comanda a perda?).
15. Perícia: um corpo é encontrado à meia-noite a $30\,^\circ$ C em uma sala a $20\,^\circ$ C; uma hora depois ele marca $28\,^\circ$ C. Supondo $37\,^\circ$ C no momento da morte, recupere $k$ com as duas medições e calcule a hora da morte.
16. Audite o relógio do perito: cite três violações reais das hipóteses do modelo e o sentido em que cada uma enviesaria a hora da morte estimada.

**Parte IV — Quatro trajes e uma curva em S.**

17. A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) logística do [Exercício 26.8](#exo-g12-diffeq-8) , $y' = y(1 - y)$ com $y(0) = 0.1$ : usando a substituição do exercício, deduza $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ e encontre o instante do [ponto de inflexão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ — a data do epidemiologista do [Problema 22.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/22-derivadas-e-convexidade#pb-g12-deriv-1) , agora calculável.
18. Uma gota de chuva obedece a $v' = 10 - \frac v2$ (gravidade menos arrasto), com $v(0) = 0$ . Encontre a velocidade terminal, resolva em $v(t)$ e calcule quando a gota atinge $95\,\%$ da velocidade terminal.
19. Um soro hospitalar libera um medicamento a taxa constante enquanto o organismo o elimina proporcionalmente: $c' = 4 - 0.5c$ , com $c(0) = 0$ . Encontre a concentração de regime e o tempo para alcançar metade dela. Enuncie em uma frase o paralelo com as recorrências de empréstimo do [Exercício 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. Final — uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) , quatro trajes: decaimento, resfriamento, queda, dosagem, todos $y' = ay + b$ com sinais e nomes diferentes. Recite o ciclo de modelagem que este problema percorreu quatro vezes (lei $\to$ [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\to$ solução $\to$ calibração $\to$ previsão $\to$ auditoria) e nomeie o fenômeno que exige $y''$ — e que problema já o encontrou.

**Solução de Problema 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. Para a segunda: equilíbrio $3$, logo $y = 3 + C\eu^{-2t}$ com $y(0) = 0$: $C = -3$: $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} -
ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$: o produto é uma constante $C$, logo $y = C\eu^{at}$ — nenhuma solução escapa.

**3.** Equilíbrio: $y \equiv 3$. Toda outra solução é $3 + C\eu^{-2t}$ com $C \neq 0$: a exponencial morre e a solução desliza até $3$ — um [ponto fixo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) estável, o gêmeo [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) dos [pontos fixos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#pb-g10-functions-1) das recorrências do [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/13-sequencias-um-primeiro-curso#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ cai à metade quando $\eu^{-t/\tau} = \frac12$: $t = \tau\ln 2$.

**5.** Todas as soluções são translações verticais do decaimento rumo a $3$: as que começam acima caem até $3$, as que começam abaixo sobem até $3$, e a solução constante $3$ fica parada — um funil em torno do equilíbrio.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times
10^{-4}$ por ano.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$: $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ anos.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ anos: os touros de Lascaux são do fim da era glacial.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ anos: dentro de uma vida humana do valor dos arqueólogos — o relógio funciona.

**10.** Dez meias-vidas deixam $2^{-10} \approx 0.1\,\%$: no limite da medição. Após $65$ milhões de anos a fração é $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$: nenhum átomo do estoque original resta em qualquer fóssil — os dinossauros são datados por relógios mais lentos (potássio-argônio e parentes).

**11.** $52\,\%$ dá $\approx 5\,405$ anos e $54\,\%$ dá $\approx 5\,095$: o $\pm 1\,\%$ da química vira cerca de $\pm 155$ anos de história — precisão no laboratório é precisão na etiqueta do museu.

**12.** $z = T - T_a$ satisfaz $z' = -kz$: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$, e $T = T_a + z$.

**13.** A diferença inicial é $T_0 - T_a = 70$; após cinco minutos ela é $70 - 20 = 50$, logo $50 = 70\eu^{-5k}$: $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ por minuto. Para beber: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$: $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minutos.

**14.** A taxa de perda é proporcional à diferença $T - T_a$: café fervendo sangra calor mais depressa. Acrescentar o leite *agora* corta a diferença imediatamente, de modo que se perde menos calor ao longo dos dez minutos; deixar para o fim permite que o café esfrie a toda velocidade antes. Para a xícara mais quente: leite primeiro. (Anfitriões impacientes têm a termodinâmica ao contrário.)

**15.** Diferenças em relação ao ambiente: à meia-noite $10$, uma hora depois $8$: $\eu^{-k} = 0.8$: $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ por hora. Na morte a diferença era $17$; ela decaiu até $10$ à meia-noite: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ horas. Hora da morte: por volta das $21{:}40$.

**16.** Uma sala aquecida ou com corrente de ar ($T_a$ não constante) entorta o relógio para qualquer lado; roupas ou a massa corporal mudam $k$ (as tabelas do perito corrigem isso) — um $k$ errado reescala todo o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval); e um corpo movido de outro lugar reinicia $T_a$ no meio do decaimento, forjando uma morte mais cedo ou mais tarde. A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é honesta; o risco está nas hipóteses.

**17.** $z = \frac1y$ obedece a $z' = 1 - z$: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (de $z(0) = 10$), logo $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. Inflexão em $y = \frac12$: $9\eu^{-t} = 1$: $t = \ln 9 \approx 2.2$ — a data de virada da epidemia, direto da fórmula.

**18.** Velocidade terminal: $v' = 0$ em $v = 20$ m/s. Solução: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. Então $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$: $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — as gotas de chuva alcançam sua velocidade de cruzeiro em segundos, e é por isso que a chuva não mata.

**19.** Regime permanente: $c = 8$. Metade disso: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$: $\eu^{-t/2} = \frac12$: $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ hora. O soro é o gêmeo [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) do empréstimo: entrada constante, saída proporcional — o [Exercício 26.9](#exo-g12-diffeq-9) torna o dicionário exato.

**20.** Decaimento ($a < 0$, $b = 0$), resfriamento ($y = T - T_a$), queda ($a < 0$, $b > 0$: [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) do equilíbrio por baixo), dosagem (a mesma coisa, numa veia): uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), quatro mundos. O ciclo: enunciar a lei da mudança; escrever a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation); resolver ([Método 26.6](#met-g12-diffeq-solve)); calibrar as constantes com medições; prever; e então auditar as hipóteses (questão 16). A oscilação exige $y'' = -\omega^2 y$ — encontrada, resolvida e posta a balançar no [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#pb-g12-trigo-1).