---
title: "Números complexos"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 28
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/28-numeros-complexos
---

# Capítulo 28 — Números complexos

A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ não tem solução real. Ampliar $\R$ com um único número novo $\iu$, cujo quadrado é $-1$, produz o corpo $\C$ dos [números complexos](#def-g12-complex-def), no qual *toda* [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) polinomial tem soluções — e cuja aritmética codifica a geometria do plano: translações, rotações e dilatações viram adições e multiplicações.

## 28.1 Forma algébrica

**Definição 28.1 (Números complexos).**

O conjunto dos *números complexos* é

$$
\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},
$$

em que $\iu$ é um símbolo sujeito à única regra $\iu^2 = -1$; a adição e a multiplicação são feitas como para polinômios reais em $\iu$, reduzindo $\iu^2$ a $-1$. Os reais $a$ e $b$ são a *parte real* $\Rea(z)$ e a *parte imaginária* $\Ima(z)$ de $z = a + \iu b$; essa expressão é a *forma algébrica* de $z$, e ela é única: $a + \iu b = a' + \iu b'$ se, e somente se, $a = a'$ e $b = b'$.

**Exemplo 28.2.**

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$.

**Definição 28.3 (Conjugado).**

O *conjugado* de $z = a + \iu b$ é $\conj{z} = a - \iu b$.

**Proposição 28.4 (Propriedades da conjugação).**

Para todos $z, w \in \C$:

$$
\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad
\conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad
\conj{\conj z} = z, \quad
z + \conj z = 2\Rea(z), \quad
z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),
$$

e $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ para $z = a + \iu b$. Além disso, $z \in \R$ se, e somente se, $z = \conj z$.

**Demonstração.** Todas são cálculos diretos a partir das [formas algébricas](#def-g12-complex-def); por exemplo, $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎

**Método 28.5 (Dividir números complexos).**

Para escrever um quociente na [forma algébrica](#def-g12-complex-def), multiplique numerador e denominador pelo [conjugado](#def-g12-complex-conjugate) do denominador:

$$
\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5}
= \frac25 - \frac15\iu .
$$

Todo [número complexo](#def-g12-complex-def) não nulo tem, portanto, um inverso: $\C$ é um *corpo*.

## 28.2 O plano complexo, módulo e argumento

**Definição 28.6 (Afixo, módulo).**

No plano com [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), o ponto $M(a, b)$ é a *[imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function)* de $z = a + \iu b$, e $z$ é o *afixo* de $M$. O *módulo* de $z$ é a distância de $M$ à origem:

$$
\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
$$

![O ponto M(a,b) de afixo z: o módulo z é o comprimento OM, e o conjugado z é o reflexo de z no eixo real.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg)

*O ponto $M(a,b)$ de [afixo](#def-g12-complex-modulus) $z$: o módulo $\abs z$ é o comprimento $OM$, e o [conjugado](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ é o reflexo de $z$ no eixo real.*

**Proposição 28.7 (Propriedades do módulo).**

Para $z, w \in \C$:

$$
\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad
\abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad
\abs{\conj z} = \abs z,
$$

$$
\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \quad
\text{(desigualdade triangular)}.
$$

Além disso, $\abs{z_B - z_A}$ é a distância entre os pontos de [afixos](#def-g12-complex-modulus) $z_A$ e $z_B$.

**Demonstração.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ dá a primeira; a segunda e a terceira são análogas. Para a desigualdade triangular:

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w)
\leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w}
= \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,
$$

usando $\Rea(u) \leq \abs u$. A afirmação sobre a distância é a fórmula de Pitágoras aplicada às [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $z_B - z_A$. ∎

**Definição 28.8 (Argumento, formas trigonométrica e exponencial).**

Seja $z \neq 0$. Um *argumento* de $z$, escrito $\Arg(z)$, é qualquer medida $\theta$ do ângulo do semieixo real positivo até a semirreta $OM$; ele é definido a menos de $2k\pi$. Escrevendo $r = \abs z$,

$$
z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta)
\qquad\text{(forma trigonométrica)}.
$$

Introduzindo a notação

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,
$$

isso vira a *forma exponencial* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$.

![Forma exponencial: z fica determinado por sua distância r à origem e pelo ângulo medido a partir do semieixo real positivo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg)

*[Forma exponencial](#def-g12-complex-argument): $z$ fica determinado por sua distância $r$ à origem e pelo ângulo $\theta$ medido a partir do semieixo real positivo.*

**Teorema 28.9.**

Para todos $\theta, \theta' \in \R$:

$$
\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')},
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .
$$

Por consequência, para $z = r\eu^{\iu\theta}$ e $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ não nulos:

$$
zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')},
\qquad
\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :
$$

*os [módulos](#def-g12-complex-modulus) se multiplicam, os [argumentos](#def-g12-complex-argument) se somam.*

**Demonstração.** A primeira identidade *é* o par de fórmulas de adição ([Proposição 24.3](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#prop-g12-trigo-addition)):

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta')
= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta')
+ \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').
$$

O restante segue por cálculo direto. ∎

**Corolário 28.10 (Fórmula de De Moivre).**

Para $\theta \in \R$ e $n \in \Z$: $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$.

**Demonstração.** Indução em $n \geq 0$ usando o [Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform); estenda a $n < 0$ tomando inversos. ∎

**Método 28.11 (Passar de uma forma a outra).**

Da algébrica para a exponencial: calcule $r = \abs z$ e depois encontre $\theta$ com $\cos\theta = \frac ar$ e $\sin\theta = \frac br$ (localize o quadrante correto antes de invocar um arco [cosseno](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#def-g12-trigo-cossin)). Da exponencial para a algébrica: expanda $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$. Use a [forma algébrica](#def-g12-complex-def) para somas e a exponencial para produtos, potências e quocientes.

**Exemplo 28.12.**

$z = 1 + \iu$: $\abs z = \sqrt2$ e $\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$, logo $\theta = \frac\pi4$ e $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. Assim, $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$.

## 28.3 Equações do segundo grau e raízes da unidade

**Teorema 28.13 (Equações do segundo grau com coeficientes reais).**

Sejam $a, b, c \in \R$, $a \neq 0$, e $\Delta = b^2 - 4ac$. A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ tem soluções em $\C$:

$$
\begin{aligned}
&\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{duas reais}); \qquad
\Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{dupla}); \\
&\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{duas conjugadas}).
\end{aligned}
$$

**Demonstração.** Complete o quadrado: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Se $\Delta < 0$, então $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$, e a diferença de quadrados se fatora como de costume. ∎

**Definição 28.14 (Raízes da unidade).**

Para $n \geq 1$, as *raízes $n$-ésimas da unidade* são as soluções de $z^n = 1$.

**Teorema 28.15.**

A [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ tem exatamente $n$ soluções:

$$
\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .
$$

Suas [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) são os vértices de um polígono regular de $n$ lados inscrito no círculo de raio $1$ e, para $n \geq 2$, sua soma é $0$.

**Demonstração.** Cada $\omega_k$ satisfaz $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$, e eles são dois a dois distintos, pois seus [argumentos](#def-g12-complex-argument) estão em $\intco{0}{2\pi}$. Reciprocamente, se $z^n = 1$, então $\abs z^n = 1$, logo $\abs z = 1$ (real positivo) e $z = \eu^{\iu\theta}$ com $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, *isto é*, $\theta = \frac{2k\pi}{n}$; reduzir $k$ módulo $n$ leva aos $\omega_k$. Os vértices estão igualmente espaçados pelo ângulo $\frac{2\pi}{n}$: um polígono regular de $n$ lados. Por fim, com $\omega = \omega_1$, $\omega \neq 1$ e a soma geométrica dá

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k
= \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere
$$

∎

![As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 1 ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg)

*As raízes quintas da unidade, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio $1$ ([Exercício 28.10](#exo-g12-complex-10)).*

**Exemplo 28.16.**

As raízes cúbicas da unidade são $1$, $j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ e $\conj j = j^2$, que satisfazem $1 + j + j^2 = 0$.

## 28.4 Números complexos e geometria plana

**Proposição 28.17 (Dicionário geométrico).**

Sejam $A, B, C, D$ pontos de [afixos](#def-g12-complex-modulus) $a, b, c, d$ ($a \neq b$, $c \neq d$).

1. A translação pelo [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) de [afixo](#def-g12-complex-modulus) $t$ é $z \mapsto z + t$ .
2. A rotação de centro $\omega$ ( [afixo](#def-g12-complex-modulus) ) e ângulo $\theta$ é $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
3. A homotetia de centro $\omega$ e razão $k \in \R^*$ é $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
4. $\dfrac{d - c}{b - a}$ tem módulo $\dfrac{CD}{AB}$ e [argumento](#def-g12-complex-argument) igual ao ângulo entre os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ e $\vect{CD}$ . Em particular, $AB \perp CD$ se, e somente se, $\frac{d-c}{b-a}$ é imaginário puro, e $A, B, C$ são [colineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-collinear) ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) se, e somente se, $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

**Demonstração.** (1) e (3) reenunciam as fórmulas em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). Para (2), a aplicação $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ multiplica [módulos](#def-g12-complex-modulus) por $1$ e soma $\theta$ aos [argumentos](#def-g12-complex-argument): é a rotação de ângulo $\theta$ em torno da origem; conjugar pela translação que leva $\omega$ a $0$ dá o centro geral. Para (4), os [módulos](#def-g12-complex-modulus) e os [argumentos](#def-g12-complex-argument) de quocientes se subtraem ([Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎

## 28.5 Exercícios

**Exercício 28.1 ★.**

Escreva na [forma algébrica](#def-g12-complex-def): $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$, $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$, $\iu^{2027}$.

**Solução de Exercício 28.1.**

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$.

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)}
= \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$.

$\iu^{2027}$: como $\iu^4 = 1$ e $2027 = 4 \times 506 + 3$, $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$.

**Exercício 28.2 ★.**

Resolva em $\C$: (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$; (b) $z^2 + z + 1 = 0$. Verifique em cada caso que as duas soluções são conjugadas e calcule seu produto.

**Solução de Exercício 28.2.**

*(a)* $\Delta = 16 - 52 = -36$: $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. Par [conjugado](#def-g12-complex-conjugate); produto $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(b)* $\Delta = 1 - 4 = -3$: $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (as raízes cúbicas da unidade $j$ e $\conj j$); produto $= \frac{1 + 3}{4} = 1$.

**Exercício 28.3 ★.**

Coloque na [forma exponencial](#def-g12-complex-argument): $z_1 = -1 + \iu$, $z_2 = \sqrt3 - \iu$, e calcule $\dfrac{z_1}{z_2}$ na [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) e depois na algébrica. Deduza o valor exato de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$.

**Solução de Exercício 28.3.**

$\abs{z_1} = \sqrt2$, [argumento](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (segundo quadrante): $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. $\abs{z_2} = 2$, [argumento](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$: $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. Logo

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}
= \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.
$$

Algebricamente,

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu}
= \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4}
= \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.
$$

Identificando as [partes reais](#def-g12-complex-def): $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$, logo

$$
\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.
$$

**Exercício 28.4 ★★.**

Descreva geometricamente o conjunto dos pontos $M$ de [afixo](#def-g12-complex-modulus) $z$ tais que: (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ é imaginário puro.

**Solução de Exercício 28.4.**

*(a)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ significa que $M$ é equidistante de $A(2, 0)$ e $B(0, -1)$: a *mediatriz* de $[AB]$.

*(b)* Distância $3$ do ponto $(1,1)$: o *círculo* de centro $1 + \iu$ e raio $3$.

*(c)* Pela [Proposição 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4), $\frac{z-1}{z+1}$ imaginário puro significa que os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) de $A(1,0)$ a $M$ e de $B(-1,0)$ a $M$ são [ortogonais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal): $M$ vê o segmento $[AB]$ sob ângulo reto. O conjunto é o *círculo de diâmetro $[AB]$* (o círculo de raio $1$) *menos os próprios pontos $A$ e $B$*.

**Exercício 28.5 ★★.**

Usando a fórmula de De Moivre e o teorema binomial, exprima $\cos 3\theta$ como polinômio em $\cos\theta$, e $\sin 3\theta$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de $\sin\theta$.

**Solução de Exercício 28.5.**

De Moivre: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. Expandindo pelo teorema binomial com $c = \cos\theta$ e $s = \sin\theta$:

$$
(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3
= (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).
$$

Identificando as partes e usando $s^2 = 1 - c^2$ e $c^2 = 1 - s^2$:

$$
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta,
\qquad
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .
$$

**Exercício 28.6 ★★.**

*(Linearização.)* Usando $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$, linearize $\cos^3\theta$ (escreva-o como combinação de $\cos k\theta$) e deduza $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$.

**Solução de Exercício 28.6.**

$$
\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

Logo

$$
\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta
= \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}
= \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.
$$

(Coerente com $W_3 = \frac23$ no [Exercício 25.9](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#exo-g12-integ-9), já que $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ pela simetria $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.)

**Exercício 28.7 ★★.**

Sejam $A$ e $B$ de [afixos](#def-g12-complex-modulus) $a = 1 + \iu$ e $b = 3 + 2\iu$. Determine os dois pontos $C$ que tornam o triângulo $ABC$ equilátero, como [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $B$ pelas rotações de centro $A$ e ângulos $\pm\frac{\pi}{3}$.

**Solução de Exercício 28.7.**

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ com $b - a = 2 + \iu$ e $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$:

$$
\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu)
= \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),
$$

de modo que $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$ e, analogamente, com o ângulo $-\frac\pi3$: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$.

**Exercício 28.8 ★★★.**

Resolva $z^4 = -4$ em $\C$ e marque as soluções no plano. Fatore $z^4 + 4$ em dois polinômios do segundo grau com coeficientes reais.

**Solução de Exercício 28.8.**

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$, de modo que as soluções de $z^4 = -4$ são

$$
z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)},
\quad k = 0, 1, 2, 3,
$$

*isto é*, $1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$: os vértices de um quadrado de raio circunscrito $\sqrt 2$. Agrupando raízes conjugadas,

$$
z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr)
\bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr)
= (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).
$$

**Exercício 28.9 ★★★.**

Para $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ e $n \in \N$, calcule

$$
S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta
$$

somando a [progressão geométrica](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-arith-geom) $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ e tomando [partes reais](#def-g12-complex-def). (Resposta: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2}$.)

**Solução de Exercício 28.9.**

Com $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$:

$$
\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}
= \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}}
\cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}}
= \eu^{\iu n\theta/2}\,
\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
$$

usando $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (a *fatoração pelo arco metade*). Tomando [partes reais](#def-g12-complex-def):

$$
S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\cos\frac{n\theta}{2}.
$$

**Exercício 28.10 ★★★.**

Seja $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Justifique que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Sejam $u = \omega + \omega^4$ e $v = \omega^2 + \omega^3$ . Mostre que $u + v = -1$ e $uv = -1$ , e deduza que $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
3. Conclua que $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

**Solução de Exercício 28.10.**

*1.* $\omega$ é uma [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) quinta da unidade diferente de $1$, de modo que a soma das cinco raízes se anula ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)), o que se lê $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.

*2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ pelo item 1. Para o produto, usando $\omega^5 = 1$:

$$
uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)
= \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7
= \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .
$$

Assim, $u$ e $v$ são as raízes de $X^2 + X - 1 = 0$: $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. Ora, $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (pois $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), logo $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

*3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

## 28.6 Problema: O pentágono no espelho da unidade

**Problema 28.1.**

Problema de fim de semana — as raízes quintas da unidade calculam $\cos 72^\circ$ exatamente, a razão áurea assina o resultado, e a multiplicação revela-se uma rotação

Euclides sabia construir o pentágono regular, mas a razão *pela qual* ele cede à régua e ao compasso — enquanto o humilde ângulo de $20^\circ$ não cede — ficou escondida por dois mil anos. Ela se esconde neste capítulo: as cinco raízes quintas da unidade ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) somam zero, e essa única linha de álgebra espreme $\cos 72^\circ$ de uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do segundo grau — só raízes quadradas, logo construtível, e assinada, é claro, pela razão áurea. Em torno dessa joia: fluência, o atalho de De Moivre para a trigonometria e a multiplicação desmascarada como geometria.

**Parte I — Fluência.**

1. Calcule $(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [Método 28.5](#met-g12-complex-division) ) e $\abs{3 + 4\iu}$ .
2. Coloque na [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ .
3. Calcule $(1 + \iu)^8$ usando a [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) .
4. Resolva $z^2 = \iu$ e depois $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [Teorema 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ).
5. Dicionário geométrico ( [Proposição 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ): descreva a aplicação $z \mapsto \iu z$ e o conjunto $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ .

**Parte II — Cinco raízes, um pentágono.** Seja $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ e considere $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.

6. Verifique que essas são exatamente as soluções de $z^5 = 1$ e descreva a figura que elas desenham no plano.
7. Demonstre que a soma delas é zero. ( [Progressão geométrica](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-arith-geom) — ou multiplique a soma por $1 - \omega$ .)
8. Tome [partes reais](#def-g12-complex-def) e deduza $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$
9. Ponha $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ e use a fórmula do arco duplo para $\cos\frac{4\pi}{5}$ a fim de converter a questão 8 em uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do segundo grau em $c$; resolva-a e conclua que $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$
10. Verifique numericamente e deixe a razão áurea assinar o trabalho: mostre que $c = \frac{1}{2\varphi}$ , com $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1) ) — e enuncie o famoso eco geométrico: num pentágono regular, a diagonal vale $\varphi$ vezes o lado.

**Parte III — Os atalhos de De Moivre.**

11. O veredicto da construção: $\cos 72^\circ$ só precisa de raízes quadradas (questão 9), de modo que o pentágono é construtível com régua e compasso; já $\cos 20^\circ$ satisfaz uma cúbica indomável ( [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) ), de modo que o ângulo de $60^\circ$ não pode ser trissectado. Enuncie o critério que emerge (raízes quadradas são construtíveis, raízes cúbicas não), cuja teoria completa — Gauss, aos 19 anos, e o polígono de 17 lados — mora nos volumes de graduação.
12. Resolva $z^4 = -4$ pela [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) e recupere a fatoração do [Exercício 28.8](#exo-g12-complex-8) , $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ , emparelhando raízes conjugadas.
13. Expanda $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ com o teorema binomial e De Moivre, e rededuza $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ em três linhas — compare com o caminho das fórmulas de adição do [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/24-funcoes-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) .
14. Confronte com o [Exercício 28.9](#exo-g12-complex-9) : para $\theta = \frac{2\pi}{5}$ e $n = 4$ , quanto vale a soma $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ , e por que isso é coerente com a questão 8?
15. Calcule as três raízes cúbicas de $8\iu$ na [forma algébrica](#def-g12-complex-def) .

**Parte IV — A multiplicação é geometria.**

16. Descreva por completo a aplicação $z \mapsto (1 + \iu)z$ : de que ângulo ela gira, por que fator ela dilata e o que faz com o quadrado unitário?
17. Demonstre $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ com [conjugados](#def-g12-complex-conjugate) ( [Proposição 28.7](#prop-g12-complex-modulus) ), depois calcule $(1+\iu)^n$ para $n = 1, 2, 3, 4$ e descreva a espiral que as potências traçam.
18. O número $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : mostre que $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ e verifique no triângulo $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ o critério clássico: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ vale para (uma orientação de) um triângulo equilátero $abc$ .
19. O teorema fundamental da álgebra (admitido: d’Alembert e Gauss): todo polinômio se fatora completamente sobre $\C$ . Deduza o corolário do mundo real — todo polinômio real se fatora em pedaços reais de graus $1$ e $2$ — e aponte a questão 12 como exemplo.
20. Final — o retrato de $\C$ , uma frase para cada: os números viram pontos; a multiplicação vira rotação-com-dilatação; as [raízes da unidade](#def-g12-complex-rootsofunity) viram polígonos regulares; De Moivre transforma potências em identidades trigonométricas; e o fecho algébrico garante que nenhuma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) jamais precisará de um mundo maior. Coda: que dois números célebres se encontraram na questão 10?

**Solução de Problema 28.1.**

**1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 =
7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} =
\frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$.

**2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$.

**3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8
\eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$.

**4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$: $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. E $\Delta = 4 - 20 = -16$: $z = 1 \pm 2\iu$.

**5.** $z \mapsto \iu z$: rotação de um quarto de volta em torno da origem. $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$: o círculo de centro $1 + \iu$ e raio $2$.

**6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$, e os cinco pontos $\eu^{2\iu k\pi/5}$ são distintos: as cinco soluções de $z^5 = 1$. Eles ficam no círculo de raio $1$ em ângulos iguais de $72^\circ$: um pentágono regular com um vértice em $1$.

**7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ satisfaz $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$, e $\omega \neq 1$: $S = 0$. (O ponto de equilíbrio do pentágono é o seu centro.)

**8.** $\omega^4 = \overline\omega$ e $\omega^3 = \overline{\omega^2}$: emparelhando [conjugados](#def-g12-complex-conjugate), a [parte real](#def-g12-complex-def) da soma lê-se $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$.

**9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$, logo $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$, isto é, $4c^2 + 2c - 1 = 0$: $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (a [raiz](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#def-g11-quad-discriminant) positiva, já que $72^\circ$ é agudo): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

**10.** Numericamente, $c \approx 0.30902$: bate com a calculadora. E $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} =
\frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (racionalizando): $c = \frac{1}{2\varphi}$. O pentágono é áureo de ponta a ponta: sua diagonal corta o lado na razão $\varphi$ — a autossemelhança sem fim do pentagrama.

**11.** Raízes quadradas são construtíveis com compasso (a máquina do semicírculo da [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) geométrica, no volume do ensino fundamental), de modo que um número construído a partir dos racionais só com raízes quadradas — como $\cos 72^\circ$ — é construtível; raízes cúbicas não são, e $\cos 20^\circ$ precisa de uma: o pentágono cede, a trissecção resiste. O critério de Gauss decide todo polígono regular — seu polígono de 17 lados, aos dezenove anos, fê-lo escolher a matemática.

**12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$: as raízes quartas têm módulo $\sqrt2$ e [argumentos](#def-g12-complex-argument) $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$: os quatro números $\pm 1 \pm \iu$. Emparelhando [conjugados](#def-g12-complex-conjugate): $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ e $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$: a fatoração do [Exercício 28.8](#exo-g12-complex-8).

**13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta +
3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta -
\iu\sin^3\theta$; por De Moivre isso é igual a $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. [Partes reais](#def-g12-complex-def): $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)
= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — e as [partes imaginárias](#def-g12-complex-def) entregam $\sin 3\theta$ de brinde.

**14.** Trata-se da [parte real](#def-g12-complex-def) de $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$: a soma vale $0$ — exatamente a questão 8, vista pelo núcleo do [Exercício 28.9](#exo-g12-complex-9).

**15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$: raízes $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$; $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$.

**16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$: a aplicação gira o plano em $45^\circ$ e o dilata por $\sqrt2$. O quadrado unitário vira um quadrado inclinado de lado $\sqrt2$ — área dobrada, girado um oitavo de volta.

**17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} =
z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} =
\abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$: extraia raízes quadradas. Potências de $1 + \iu$: $1 + \iu$, $2\iu$, $-2 + 2\iu$, $-4$: cada uma um giro de $45^\circ$ a mais e $\sqrt2$ vezes mais longa — uma espiral para fora, com módulos $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$

**18.** $\mathrm{j}$ é uma raiz cúbica da unidade diferente de $1$, de modo que (o [argumento](#def-g12-complex-argument) da questão 7 com $n = 3$) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. Critério no triângulo padrão: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 +
\mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 =
1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 +
\mathrm{j} = 0$: satisfeito, como exige o triângulo equilátero $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$.

**19.** Sobre $\C$, um polinômio real se decompõe em fatores lineares; suas raízes não reais vêm em pares [conjugados](#def-g12-complex-conjugate) (conjugue a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)), e cada par se multiplica formando um trinômio real $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$: daí a fatoração real em pedaços de graus $1$ e $2$ — a questão 12 a executou em $z^4 + 4$.

**20.** Pontos; rotação com dilatação; polígonos regulares; identidades trigonométricas por expansão; e um mundo fechado em que toda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de grau $n$ tem suas $n$ raízes. Coda: na questão 10, o pentágono de $\pi$ apertou a mão da razão áurea — os dois convidados mais famosos de Euclides, enfim apresentados por uma soma de cinco setas igual a zero.