---
title: "Funções"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes
---

# Capítulo 3 — Funções

Uma [função](#def-g10-functions-function) é uma máquina que recebe um número e devolve um número, sempre a mesma saída para a mesma entrada. As funções são os objetos centrais da análise que você construirá nos próximos anos (do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad) em diante); este capítulo monta o vocabulário — [domínio](#def-g10-functions-function), [imagem](#def-g10-functions-function), [gráfico](#def-g10-functions-graph), variação — e treina a habilidade essencial de ler informação em um [gráfico](#def-g10-functions-graph).

## 3.1 Vocabulário: imagens e pré-imagens

**Definição 3.1 (Função).**

Seja $D$ um conjunto de [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets). Uma *função* $f$ definida em $D$ associa a cada número $x \in D$ exatamente um [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets), escrito $f(x)$ e chamado de *imagem* de $x$. O conjunto $D$ é o *domínio* de $f$. Escrevemos

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

Se $f(x) = y$, então $x$ é uma *pré-imagem* de $y$.

**Observação 3.2.**

Cada $x$ do [domínio](#def-g10-functions-function) tem exatamente uma [imagem](#def-g10-functions-function), mas um número $y$ pode ter várias [pré-imagens](#def-g10-functions-function), ou nenhuma. Para $f(x) = x^2$: a [imagem](#def-g10-functions-function) de $3$ é $9$, e $9$ tem duas [pré-imagens](#def-g10-functions-function), $3$ e $-3$; o número $-4$ não tem [pré-imagem](#def-g10-functions-function).

**Exemplo 3.3 (Determinar um domínio).**

Quando uma [função](#def-g10-functions-function) é dada por uma fórmula, seu [domínio](#def-g10-functions-function) é o conjunto dos $x$ para os quais a fórmula faz sentido.

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ faz sentido para todo $x$ : o [domínio](#def-g10-functions-function) é $\R$ .
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ exige $x - 2 \neq 0$ : o [domínio](#def-g10-functions-function) é o conjunto de todos os reais exceto $2$ .
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : o [domínio](#def-g10-functions-function) é $\intco{3}{+\infty}$ .

**Exemplo 3.4 (Calcular imagens e pré-imagens).**

Seja $f(x) = x^2 - 4x + 3$, definida em $\R$.

*[Imagem](#def-g10-functions-function) de $5$:* substitua $x = 5$: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$.

*[Pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $3$:* resolva $f(x) = 3$:

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

logo as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $3$ são $0$ e $4$.

## 3.2 O gráfico de uma função

**Definição 3.5 (Gráfico).**

Em um sistema de coordenadas, o *gráfico* (ou *curva*) de $f$ é o conjunto de todos os pontos $(x, f(x))$ com $x$ no [domínio](#def-g10-functions-function). Em outras palavras, um ponto $(x, y)$ está no gráfico exatamente quando $y = f(x)$.

![Ler uma imagem no gráfico: parta de x = 3 no eixo horizontal, suba verticalmente até a curva e siga horizontalmente até o eixo vertical para ler f(3) = 1.25.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-3f0b88dc9f29.svg)

*Ler uma [imagem](#def-g10-functions-function) no [gráfico](#def-g10-functions-graph): parta de $x = 3$ no eixo horizontal, suba verticalmente até a curva e siga horizontalmente até o eixo vertical para ler $f(3) = 1.25$.*

**Método 3.6 (Ler um gráfico).**

No [gráfico](#def-g10-functions-graph) de $f$:

1. *[imagem](#def-g10-functions-function) de $a$* : siga verticalmente de $x = a$ no eixo horizontal até a curva e depois horizontalmente até o eixo vertical; o valor lido ali é $f(a)$ ;
2. *[pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $b$* : trace a reta horizontal $y = b$ ; as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) são as abscissas de todos os seus pontos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) com a curva;
3. *soluções de $f(x) = k$* : as mesmas que as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $k$ ;
4. *soluções de $f(x) \leq k$* : os $x$ para os quais a curva está sobre a reta $y = k$ ou abaixo dela.

![Resolver f(x) = k graficamente: as soluções x_1 e x_2 são as abscissas dos pontos de interseção da curva com a reta horizontal y = k. Aqui f(x) ≤ k vale em (x_1, x_2), onde a curva está abaixo da reta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*Resolver $f(x) = k$ graficamente: as soluções $x_1$ e $x_2$ são as abscissas dos pontos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) da curva com a reta horizontal $y = k$. Aqui $f(x) \leq k$ vale em $\intcc{x_1}{x_2}$, onde a curva está abaixo da reta.*

**Exemplo 3.7.**

O ponto $A(2, 5)$ está no [gráfico](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 + 1$? Calcule $f(2) = 4 + 1 = 5$: sim, pois $f(2)$ é igual à ordenada de $A$. O ponto $B(3, 8)$ não está no [gráfico](#def-g10-functions-graph), porque $f(3) = 10 \neq 8$.

## 3.3 Variação de uma função

**Definição 3.8 (Crescente, decrescente).**

Seja $f$ definida em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$.

- $f$ é *crescente* em $I$ quando, para todos $u, v \in I$ , $u < v$ implica $f(u) \leq f(v)$ : as saídas crescem junto com as entradas, e o [gráfico](#def-g10-functions-graph) sobe da esquerda para a direita.
- $f$ é *decrescente* em $I$ quando $u < v$ implica $f(u) \geq f(v)$ : o [gráfico](#def-g10-functions-graph) desce da esquerda para a direita.

Com desigualdades estritas $f(u) < f(v)$ (resp. $>$) dizemos *estritamente* crescente (resp. decrescente).

**Definição 3.9 (Quadro de variação).**

Um *quadro de variação* resume em quais [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $f$ cresce e decresce, com as setas $\nearrow$ e $\searrow$, e registra os valores de $f$ nos pontos de virada.

**Exemplo 3.10.**

Considere a [função](#def-g10-functions-function) cujo [gráfico](#def-g10-functions-graph) está abaixo, em $\intcc{-2}{4}$.

![Uma função definida em (-2, 4), crescente e depois decrescente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*Uma [função](#def-g10-functions-function) definida em $\intcc{-2}{4}$, [crescente](#def-g10-functions-variations) e depois [decrescente](#def-g10-functions-variations).*

Lendo o [gráfico](#def-g10-functions-graph): $f$ cresce de $f(-2) = -1.5$ até seu [máximo](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$ e depois decresce até $f(4) = -1.5$. Seu [quadro de variação](#def-g10-functions-table) é

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**Exemplo 3.11 (Demonstrar uma variação).**

Mostre que $f(x) = 3x + 1$ é estritamente [crescente](#def-g10-functions-variations) em $\R$. Tome quaisquer $u < v$ e compare as [imagens](#def-g10-functions-function):

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

pois $v - u > 0$. Logo $f(u) < f(v)$: a [função](#def-g10-functions-function) é estritamente [crescente](#def-g10-functions-variations). O mesmo cálculo com coeficiente angular negativo, por exemplo $g(x) = -2x + 5$, dá $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$: estritamente [decrescente](#def-g10-functions-variations).

## 3.4 Extremos

**Definição 3.12 (Máximo, mínimo).**

Seja $f$ definida em $D$ e seja $a \in D$. O valor $f(a)$ é o *máximo* de $f$ em $D$ quando $f(x) \leq f(a)$ para todo $x \in D$; é o *mínimo* quando $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in D$. No [gráfico](#def-g10-functions-graph), são o ponto mais alto e o ponto mais baixo da curva.

**Exemplo 3.13.**

Mostre que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ tem [mínimo](#def-g10-functions-extrema) $2$ em $\R$, atingido em $x = 1$. Para todo $x$, o quadrado $(x-1)^2$ é $\geq 0$, logo $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$; e $f(1) = 0 + 2 = 2$, de modo que o valor $2$ é de fato atingido. Os dois fatos juntos provam que $2$ é o [mínimo](#def-g10-functions-extrema).

![A curva de f(x) = (x-1)2 + 2 nunca desce abaixo da reta tracejada y = 2 e a toca em x = 1: o mínimo de f é 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*A curva de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ nunca desce abaixo da reta tracejada $y = 2$ e a toca em $x = 1$: o [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $f$ é $2$.*

## 3.5 Exercícios

**Exercício 3.1 ★.**

Seja $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calcule as [imagens](#def-g10-functions-function) de $0$, $2$, $-1$ e $\frac12$.

**Solução de Exercício 3.1.**

$f(0) = 1$; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$.

**Exercício 3.2 ★.**

Dê o [domínio](#def-g10-functions-function) de cada [função](#def-g10-functions-function):

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**Solução de Exercício 3.2.**

$f$: sem restrição, [domínio](#def-g10-functions-function) $\R$.

$g$: exige $x + 4 \neq 0$, [domínio](#def-g10-functions-function) todos os reais exceto $-4$.

$h$: exige $2x - 6 \geq 0$, isto é, $x \geq 3$: [domínio](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$.

$k$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ nunca se anula, [domínio](#def-g10-functions-function) $\R$.

**Exercício 3.3 ★.**

Seja $f(x) = x^2 - 2x$. Encontre todas as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $0$, de $3$ e de $-1$.

**Solução de Exercício 3.3.**

*[Pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $0$:* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, logo $0$ e $2$.

*[Pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $3$:* $x^2 - 2x = 3$, isto é, $x^2 - 2x - 3 = 0$, isto é, $(x-3)(x+1) = 0$ (confira expandindo), logo $3$ e $-1$.

*[Pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $-1$:* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, logo a única [pré-imagem](#def-g10-functions-function) $1$.

**Exercício 3.4 ★.**

O ponto $A(-1, 4)$ pertence ao [gráfico](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 - 2x + 1$? E o ponto $B(2, 1)$? Justifique com um cálculo.

**Solução de Exercício 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$: sim, $A(-1, 4)$ está no [gráfico](#def-g10-functions-graph). $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$: sim, $B(2, 1)$ também está no [gráfico](#def-g10-functions-graph).

**Exercício 3.5 ★.**

Uma [função](#def-g10-functions-function) $g$ definida em $\intcc{-3}{5}$ tem o [quadro de variação](#def-g10-functions-table)

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. Quais são o [máximo](#def-g10-functions-extrema) e o [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $g$ em $\intcc{-3}{5}$ ?
2. Compare $g(-1)$ e $g(-0.5)$ sem conhecer seus valores.
3. Quantas soluções, no máximo, a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ tem em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) do quadro?

**Solução de Exercício 3.5.**

*1.* O maior valor do quadro é $4 = g(3)$ ([máximo](#def-g10-functions-extrema)); o menor é $-2 = g(0)$ ([mínimo](#def-g10-functions-extrema)).

*2.* Em $\intcc{-3}{0}$ a [função](#def-g10-functions-function) decresce, e $-1 < -0.5$, logo $g(-1) \geq g(-0.5)$.

*3.* Em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de monotonicidade, $g$ assume cada valor no máximo uma vez, de modo que $g(x) = 0$ tem no máximo uma solução por [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval): no máximo $3$ soluções ao todo. (Aqui $0$ está entre $-2$ e $1$, entre $-2$ e $4$, e entre $0$ e $4$, de modo que há exatamente três.)

**Exercício 3.6 ★★.**

Seja $f(x) = -2x + 7$. Mostre, comparando $f(u)$ e $f(v)$ para $u < v$, que $f$ é estritamente [decrescente](#def-g10-functions-variations) em $\R$.

**Solução de Exercício 3.6.**

Sejam $u < v$. Então

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

pois $v - u > 0$. Logo $f(v) < f(u)$: $f$ é estritamente [decrescente](#def-g10-functions-variations) em $\R$.

**Exercício 3.7 ★★.**

Mostre que a [função](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ tem um [mínimo](#def-g10-functions-extrema) em $\R$ e dê seu valor e onde ele é atingido. (Sugestão: escreva $f(x) = (x + 3)^2 + c$ para a constante $c$ adequada.)

**Solução de Exercício 3.7.**

Complete o quadrado: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, de modo que

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

Para todo $x$, $(x+3)^2 \geq 0$, logo $f(x) \geq 2$; e $f(-3) = 0 + 2 = 2$. O [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $f$ é $2$, atingido em $x = -3$.

**Exercício 3.8 ★★.**

Um jardim retangular tem perímetro $40$ m. Seja $x$ a sua largura, em metros.

1. Exprima o comprimento e, em seguida, a área $A(x)$ em [função](#def-g10-functions-function) de $x$ . Para quais $x$ isso faz sentido?
2. Calcule $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ e $A(16)$ . O que você conjectura sobre a forma de maior área?

**Solução de Exercício 3.8.**

*1.* Comprimento $+$ largura $= 20$, logo o comprimento é $20 - x$ e

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

As duas dimensões têm de ser positivas: $0 < x < 20$.

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$. Os valores sobem até $x = 10$ e depois caem simetricamente: a área parece ser máxima para $x = 10$, isto é, para um jardim *quadrado*. (O [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/10-funcoes-e-equacoes-do-segundo-grau#ch-g11-quad) demonstra essa conjectura.)

**Exercício 3.9 ★★.**

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, definida em $\R$.

1. Mostre que $0 < f(x) \leq 1$ para todo real $x$ .
2. $f$ tem [máximo](#def-g10-functions-extrema) em $\R$ ? E [mínimo](#def-g10-functions-extrema) ? Justifique.

**Solução de Exercício 3.9.**

*1.* Para todo $x$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, logo $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ é positivo; e, como $x^2 + 1 \geq 1$, inverter os dois lados (ambos positivos) dá $f(x) \leq 1$.

*2.* [Máximo](#def-g10-functions-extrema): $f(0) = 1$ e $f(x) \leq 1$ para todo $x$, logo $1$ é o [máximo](#def-g10-functions-extrema), atingido em $0$. [Mínimo](#def-g10-functions-extrema): $f(x) > 0$ sempre, mas nenhum valor de $x$ atinge $0$ (um quociente de números não nulos é não nulo), e $f$ assume valores tão próximos de $0$ quanto se queira para $x$ grande; portanto $f$ não tem [mínimo](#def-g10-functions-extrema).

**Exercício 3.10 ★★★.**

Seja $f(x) = x^2$ em $\R$.

1. Sejam $0 \leq u < v$ . Fatore $f(v) - f(u)$ e deduza que $f$ é estritamente [crescente](#def-g10-functions-variations) em $\intco{0}{+\infty}$ .
2. Adapte o argumento para mostrar que $f$ é estritamente [decrescente](#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ .

**Solução de Exercício 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Se $0 \leq u < v$, então $v - u > 0$ e $v + u > 0$ (soma de um número não negativo com um positivo), logo $f(v) - f(u) > 0$: $f$ é estritamente [crescente](#def-g10-functions-variations) em $\intco{0}{+\infty}$.

*2.* Se $u < v \leq 0$, então $v - u > 0$ ainda, mas agora $v + u < 0$ (soma de um número não positivo com um negativo), logo $f(v) - f(u) < 0$: $f$ é estritamente [decrescente](#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$.

## 3.6 Problema: Máquinas alimentadas com a própria saída

**Problema 3.1.**

Problema de fim de semana — pontos fixos, iteração e três máquinas famosas: a de Heron, a que eleva ao quadrado e a granizo, ainda sem solução

Uma [função](#def-g10-functions-function) é uma máquina: entra um número, sai um número. As experiências mais interessantes alimentam a máquina com a *própria saída*, repetidamente — e então duas perguntas dominam: o processo se acomoda em algum lugar (um *[ponto fixo](#pb-g10-functions-1)*)? E como a variação da máquina o conduz até lá? Uma das máquinas deste problema poli raízes quadradas há dois mil anos; outra guarda o mais famoso problema em aberto que a matemática elementar tem a oferecer.

**Parte I — A máquina de Heron.** Considere a [função](#def-g10-functions-function)

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. Dê o [domínio](#def-g10-functions-function) de $f$ e calcule $f(1)$ , $f(2)$ e $f\!\left(\frac32\right)$ como frações exatas.
2. Encontre todas as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $\frac32$ : resolva $f(x) = \frac32$ (elimine o denominador e use os métodos do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1) ).
3. Um *ponto fixo* de $f$ é um número que a máquina não altera: $f(x) = x$ . Encontre os dois [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) de $f$ . Que velho conhecido guarda o positivo?
4. Partindo de $x = 1$ , alimente a máquina com sua própria saída três vezes e registre os resultados exatos. Que sequência do problema de fim de semana sobre irracionalidade, no volume do ensino fundamental, você reconstruiu — e o que era a “receita de Heron”, na linguagem das funções?
5. Numa mesma figura, esboce o [gráfico](#def-g10-functions-graph) de $f$ (para $x > 0$ ) e a reta diagonal $y = x$ . Onde estão os [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) nessa figura? (Compare com o problema de fim de semana sobre os dois termômetros, no volume do ensino fundamental: a temperatura que se lê igual nas duas escalas era a mesma ideia.)

**Parte II — Por que a máquina não erra.**

6. Para $0 < u < v$, mostre, reduzindo ao mesmo denominador, que $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ e deduza a variação de $f$ em $\intoo{0}{+\infty}$: [decrescente](#def-g10-functions-variations) até um ponto e [crescente](#def-g10-functions-variations) depois — qual ponto? (Mesma técnica do [Exercício 3.10](#exo-g10-functions-10).)
7. Deduza que em $\intoo{0}{+\infty}$ a [função](#def-g10-functions-function) $f$ tem um [mínimo](#def-g10-functions-extrema) , que vale exatamente $\sqrt2$ , atingido em $\sqrt2$ . O que isso diz sobre *toda* saída da máquina (com entradas positivas)?
8. Mostre que, se $x > \sqrt2$ , então $\sqrt2 < f(x) < x$ : um palpite grande demais é sempre melhorado, nunca ultrapassado. (Para $f(x) < x$ , compare $\frac2x$ com $x$ .)
9. Reúna as questões 6–8 no [quadro de variação](#def-g10-functions-table) de $f$ em $\intoo{0}{+\infty}$ ( [Definição 3.9](#def-g10-functions-table) ), [mínimo](#def-g10-functions-extrema) incluído.
10. Uma segunda máquina: $g(x) = x^2$ . Seus [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) são $0$ e $1$ (verifique). Itere $g$ quatro vezes a partir de $x = 0.9$ e depois quatro vezes a partir de $x = 1.1$ (calculadora, três casas decimais). Um dos [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) atrai, o outro repele: qual é qual?

**Parte III — A máquina granizo.** Nos [números inteiros](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) positivos, defina: $h(n) = \frac n2$ se $n$ é par e $h(n) = 3n + 1$ se $n$ é ímpar. Os números saltam sob $h$ como pedras de granizo dentro de uma nuvem de tempestade.

11. Calcule o voo completo de $7$ sob $h$ , até chegar a $1$ . Quantos passos ele leva e a que altura chega?
12. Comece o voo de $27$ e calcule dez passos. (Seu voo completo dura $111$ passos e tem pico em $9\,232$ — partindo de $27$ .) Que lição $7$ e $27$ ensinam sobre regras simples?
13. Explique por que todo voo que atinge uma potência de $2$ despenca direto até $1$ e o que acontece em $1$ (calcule $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). A [função](#def-g10-functions-function) $h$ tem algum [ponto fixo](#pb-g10-functions-1) entre os inteiros positivos? O que o fim de todo voo observado forma em vez disso?
14. A *conjectura de Collatz* afirma que todo número inicial acaba chegando a $1$ . Os computadores já a verificaram muito além de $10^{20}$ ; nenhum ser humano a demonstrou. Que dois tipos de descoberta a *refutariam* ? E por que a verificação em massa ainda assim não encerra o caso (o problema de fim de semana sobre o oráculo dos palitos, no volume do ensino fundamental, já tocou esse sino)?
15. “A matemática ainda não está madura para tais questões”, disse Paul Erdős a respeito desta conjectura. Em uma frase: o que separa a máquina granizo da de Heron, em que as questões 6–8 resolveram tudo?

**Parte IV — O manual do usuário de máquinas.**

16. [Domínios](#def-g10-functions-function) como [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) (a linguagem do [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#pb-g10-numbers-1) ): dê os [domínios](#def-g10-functions-function) de $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
17. De volta ao $f$ de Heron: encontre as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) exatas de $3$ (resolva $f(x) = 3$ completando o quadrado).
18. Uma pedra é lançada para cima: sua altura é $H(t) = 20t - 5t^2$ metros após $t$ segundos. Em que [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de tempo a fórmula faz sentido físico? Complete o quadrado para achar a altura máxima e o instante em que ocorre ( [Definição 3.12](#def-g10-functions-extrema) ) e dê o [quadro de variação](#def-g10-functions-table) .
19. Durante quanto tempo a pedra fica a pelo menos $15$ m de altura? (Resolva $H(t) \geq 15$ com um [quadro de sinais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-signtable) , [Método 2.17](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#met-g10-algebra-signtable) .)
20. Final: este problema pôs quatro máquinas em movimento — a de Heron, a que eleva ao quadrado, a granizo e a altura da pedra. Em duas ou três frases, diga o que toda [função](#def-g10-functions-function) tem (um [domínio](#def-g10-functions-function) , uma regra, um [gráfico](#def-g10-functions-graph) ) e as duas grandes perguntas que este problema fez a cada uma delas (onde a iteração se acomoda? como a [função](#def-g10-functions-function) varia?) — perguntas que os próximos capítulos retomam uma a uma.

**Solução de Problema 3.1.**

**1.** [Domínio](#def-g10-functions-function): $x \neq 0$ (divisão por $x$). $f(1) =
\frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 +
\frac43\right) = \frac{17}{12}$.

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ dá $x^2 + 2 = 3x$, isto é, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: as [pré-imagens](#def-g10-functions-function) de $\frac32$ são $1$ e $2$ — como a questão 1 já anunciava.

**3.** $f(x) = x$ dá $x + \frac2x = 2x$, logo $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) $\sqrt2$ e $-\sqrt2$. O positivo é a diagonal do quadrado de lado $1$, irracional pelo problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental.

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to
\frac{577}{408}$: as [aproximações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) de $\sqrt2$ de Heron. Sua receita “tire a média entre o palpite e $2/$palpite” é exatamente *iterar a [função](#def-g10-functions-function) $f$* — e o número que o processo persegue é o [ponto fixo](#pb-g10-functions-1) de $f$.

**5.** Os [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) são os cruzamentos do [gráfico](#def-g10-functions-graph) com a diagonal $y = x$: realimentar a máquina com suas saídas faz o ponto caminhar pelo [gráfico](#def-g10-functions-graph) rumo a esse cruzamento. No problema de fim de semana sobre os dois termômetros, do volume do ensino fundamental, a leitura $-40^\circ$ era essa mesma ideia de cruzar a diagonal, para a [função](#def-g10-functions-function) de conversão.

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u
= \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Para $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, o parêntese é negativo, $f(v) < f(u)$: [decrescente](#def-g10-functions-variations). Para $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: [crescente](#def-g10-functions-variations). Ponto de virada: $\sqrt2$.

**7.** [Decrescente](#def-g10-functions-variations) antes de $\sqrt2$ e [crescente](#def-g10-functions-variations) depois: $f$ atinge seu [mínimo](#def-g10-functions-extrema) em $\sqrt2$, valendo $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right)
= \sqrt2$. Consequência: toda saída da máquina (com entrada positiva) é pelo menos $\sqrt2$ — depois de uma volta da manivela, os palpites vivem em $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

**8.** Se $x > \sqrt2$, então $x^2 > 2$, logo $\frac2x < x$, e a média $f(x)$ entre $x$ e $\frac2x$ é menor que $x$; e $f(x) \geq \sqrt2$ pela questão 7, com igualdade só em $x = \sqrt2$. Logo $\sqrt2 < f(x) < x$: cada iteração melhora estritamente sem ultrapassar — a sequência da questão 4 desliza até pousar em $\sqrt2$.

**9.** Em $\intoo{0}{+\infty}$: [decrescente](#def-g10-functions-variations) desde $+\infty$ (perto de $0$) até o [mínimo](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ em $x = \sqrt2$, e depois [crescente](#def-g10-functions-variations) sem limite.

**10.** $g(x) = x$ dá $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: [pontos fixos](#pb-g10-functions-1) $0$ e $1$. A partir de $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — deslizando para $0$. A partir de $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — fugindo para o infinito. O [ponto fixo](#pb-g10-functions-1) $0$ atrai, o $1$ repele: um fio de diferença na partida, destinos opostos.

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to
13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: dezesseis passos, com pico em $52$.

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to
47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — ainda subindo depois de dez passos, a caminho de um pico de $9\,232$ e de um voo de $111$ passos. Lição: uma regra de duas linhas pode produzir um comportamento que ninguém prevê à primeira vista — números vizinhos ($26$, $27$, $28$) têm voos radicalmente diferentes.

**13.** Uma potência de $2$ desce dividindo-se por dois ao longo de toda a escada: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to
1$. Lá embaixo, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: o voo entra no ciclo $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Um [ponto fixo](#pb-g10-functions-1) exigiria $\frac n2 = n$ (só $n = 0$) ou $3n + 1 = n$ (negativo): nenhum entre os inteiros positivos — os voos observados terminam não em um [ponto fixo](#pb-g10-functions-1), mas naquele pequeno *ciclo*.

**14.** Um contraexemplo seria ou um voo que cresce para sempre (sem nunca voltar a $1$) ou um segundo ciclo disjunto de $4 \to 2 \to 1$. A verificação até $10^{20}$ deixa uma infinidade de números por testar — exatamente a lição das regiões do círculo no problema de fim de semana sobre o oráculo dos palitos, no volume do ensino fundamental: concordar em um número finito de casos nada prova sobre todos eles.

**15.** Na máquina de Heron havia *estrutura* — uma diferença fatorada (questão 6) revelando a variação, um [mínimo](#def-g10-functions-extrema), um cerco — ao passo que a regra da granizo, que alterna com a paridade, não oferece alça alguma: ninguém encontrou a estrutura que a domestique.

**16.** $\sqrt{x - 3}$: exige $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: exige $x \neq \pm 3$: $\R$ privado de $-3$ e $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: exige $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

**17.** $f(x) = 3$ dá $x + \frac2x = 6$, logo $x^2 - 6x + 2 = 0$, isto é, $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ ou $x = 3 + \sqrt7$ (ambos positivos: duas [pré-imagens](#def-g10-functions-function) exatas).

**18.** Faz sentido físico enquanto a pedra está no ar: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ para $t \in \intcc{0}{4}$. Completando o quadrado: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: altura máxima $20$ m em $t = 2$ s. Variação: [crescente](#def-g10-functions-variations) em $\intcc{0}{2}$, de $0$ a $20$; [decrescente](#def-g10-functions-variations) em $\intcc{2}{4}$, de volta a $0$.

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dois segundos inteiros acima de $15$ m.

**20.** Cada máquina tem um [domínio](#def-g10-functions-function) (onde a regra é permitida), uma regra (a fórmula ou o desvio pela paridade) e um [gráfico](#def-g10-functions-graph) ou quadro que a exibe por inteiro. A cada uma fizemos as duas grandes perguntas: *aonde leva a repetição* ([pontos fixos](#pb-g10-functions-1), ciclos, atração — resolvido para Heron, em aberto para a granizo) e *como a saída se move com a entrada* (variação, extremos — o cume da pedra, o [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de Heron). Os próximos capítulos aguçam as duas: as funções de referência a seguir e, mais adiante, as derivadas para medir a variação e os limites para certificar onde as iterações pousam.