---
title: "Vetores, retas e planos no espaço"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 31
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/31-vetores-retas-e-planos-no-espaco
---

# Capítulo 31 — Vetores, retas e planos no espaço

A geometria tridimensional torna-se calculável assim que dispomos de [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) e [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): as retas ganham representações paramétricas, os planos ganham [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesianas, e o [produto escalar](#def-g12-space-dot) mede ângulos e distâncias. Este capítulo constrói essa caixa de ferramentas e a usa para resolver os problemas clássicos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) e de distância.

## 31.1 Vetores no espaço

Os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) no espaço obedecem às mesmas regras que no plano: somam-se, multiplicam-se por escalares, e $\vect{AB} = \vect{CD}$ exatamente quando $ABDC$ é um paralelogramo. Em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(O; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$, todo [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(x, y, z)$.

**Definição 31.1 (Colinearidade, coplanaridade).**

Dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) são *[colineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-collinear)* se um é múltiplo do outro. Três [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u, \vec v, \vec w$ são *coplanares* se um deles pode ser escrito como combinação dos outros dois, digamos $\vec w = a\vec u + b\vec v$.

**Proposição 31.2.**

Se $\vec u, \vec v, \vec w$ não são [coplanares](#def-g12-space-collinear), todo [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) do espaço se decompõe de maneira única como $x\vec u + y\vec v + z\vec w$.

**Ideia da demonstração.** Pela ponta do [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) a decompor, trace a reta paralela a $\vec w$; ela encontra o plano de $\vec u, \vec v$ em um único ponto, que separa o [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) em uma componente nesse plano (de maneira única $x\vec u + y\vec v$, geometria plana) e uma componente na direção de $\vec w$. Unicidade: a diferença de duas decomposições exprimiria um dos [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) dos outros dois, contradizendo a não coplanaridade. ∎

## 31.2 Retas e planos

**Definição 31.3 (Representação paramétrica de uma reta).**

A reta que passa por $A(x_A, y_A, z_A)$ com [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) $\vec u (a, b, c) \neq \vec 0$ é o conjunto dos pontos

$$
M(x_A + ta,\; y_A + tb,\; z_A + tc), \qquad t \in \R .
$$

**Definição 31.4 (Plano).**

O plano que passa por $A$ e é dirigido por dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) não [colineares](#def-g12-space-collinear) $\vec u, \vec v$ é o conjunto dos pontos $M$ com $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$, $(s, t) \in \R^2$.

![À esquerda: a reta que passa por A com direção u, graduada pelo parâmetro t. À direita: o plano que passa por A dirigido por u e v; todo ponto M do plano é atingido como AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-fe0897e01060.svg)

![À esquerda: a reta que passa por A com direção u, graduada pelo parâmetro t. À direita: o plano que passa por A dirigido por u e v; todo ponto M do plano é atingido como AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-7463ec207c91.svg)

*À esquerda: a reta que passa por $A$ com direção $\vec u$, graduada pelo parâmetro $t$. À direita: o plano que passa por $A$ dirigido por $\vec u$ e $\vec v$; todo ponto $M$ do plano é atingido como $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$.*

**Proposição 31.5 (Posições relativas).**

Dois planos distintos ou são paralelos, ou se cortam segundo uma reta. Uma reta e um plano ou são paralelos (podendo a reta estar contida no plano), ou se cortam em um único ponto. Duas retas no espaço podem ser concorrentes, estritamente paralelas, coincidentes ou *reversas* (não [coplanares](#def-g12-space-collinear)).

**Esboço.** São afirmações de incidência; cada análise de casos se reduz, em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), a resolver um [sistema linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/7-equacoes-de-retas-e-sistemas-lineares#def-g10-lines-system) e contar suas soluções — veja o [Método 31.10](#met-g12-space-intersections). ∎

## 31.3 Produto escalar

**Definição 31.6 (Produto escalar).**

O *produto escalar* de $\vec u$ e $\vec v$ é

$$
\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2
- \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),
$$

em que $\norm{\vec u}$ é o comprimento de $\vec u$. Se os dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) são não nulos, $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$, sendo $\theta$ o ângulo entre eles; e, em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *[ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)*,

$$
\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .
$$

Dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) são *[ortogonais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal)* se seu produto escalar é $0$.

**Proposição 31.7 (Propriedades).**

O [produto escalar](#def-g12-space-dot) é simétrico ($\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$), bilinear ($(a\vec u + b\vec v)\cdot \vec w = a\,\vec u\cdot\vec w +
b\,\vec v\cdot \vec w$), e $\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2 \geq 0$.

**Demonstração.** Em um [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), as três propriedades são imediatas na fórmula $xx' + yy' + zz'$, que por sua vez decorre da fórmula de definição e do cálculo pitagórico dos comprimentos: $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 + z^2$. ∎

**Definição 31.8 (Vetor normal).**

Um *vetor normal* de um plano $\mathcal P$ é um [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) não nulo [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) a todo [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) contido em $\mathcal P$ (basta que seja [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) a duas direções não [colineares](#def-g12-space-collinear) de $\mathcal P$).

![Um vetor normal n do plano P é ortogonal a toda direção de P. O ponto H, pé da perpendicular baixada de M_0, realiza a distância de M_0 ao plano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-c59e2488424e.svg)

*Um [vetor normal](#def-g12-space-normal) $\vec n$ do plano $\mathcal P$ é [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) a toda direção de $\mathcal P$. O ponto $H$, pé da perpendicular baixada de $M_0$, realiza a distância de $M_0$ ao plano.*

**Teorema 31.9 (Equação cartesiana de um plano).**

Em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), o plano que passa por $A$ com [vetor normal](#def-g12-space-normal) $\vec n(a, b, c)$ tem [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)

$$
a x + b y + c z + d = 0,
$$

em que $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$. Reciprocamente, toda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) desse tipo com $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ define um plano de [vetor normal](#def-g12-space-normal) $(a, b, c)$.

**Demonstração.** $M \in \mathcal P \iff \vect{AM} \perp \vec n \iff
a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, o que, desenvolvido, dá a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation). Reciprocamente, tome qualquer ponto $A$ que satisfaça a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation); o mesmo cálculo, ao contrário, mostra que o conjunto solução é $\{M : \vect{AM}\cdot\vec n = 0\}$, o plano que passa por $A$ e é normal a $\vec n$. ∎

**Método 31.10 (Interseções na prática).**

- *Reta $\cap$ plano* : substitua as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) paramétricas da reta na [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do plano; resolva em $t$ (uma solução: um ponto; $0 =$ não nulo: paralelismo; $0 = 0$ : reta contida).
- *Plano $\cap$ plano* : resolva o sistema das duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) , parametrizando por uma coordenada livre; a solução é uma reta (ou os planos são paralelos, quando os [vetores normais](#def-g12-space-normal) são [colineares](#def-g12-space-collinear) ).
- *Testes de ortogonalidade* : reta $\perp$ plano se, e somente se, sua direção é [colinear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-collinear) com a normal; dois planos são perpendiculares se, e somente se, suas normais são [ortogonais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) .

**Proposição 31.11 (Distância de um ponto a um plano).**

Em um [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), a distância de $M_0(x_0, y_0, z_0)$ ao plano $\mathcal P : ax + by + cz + d = 0$ é

$$
\operatorname{dist}(M_0, \mathcal P)
= \frac{\abs{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
$$

**Demonstração.** Seja $H$ a projeção [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) de $M_0$ sobre $\mathcal P$: o pé da perpendicular, de modo que $\vect{HM_0}$ é [colinear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-collinear) com a normal unitária $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$, e a distância é $\abs{\vect{HM_0}\cdot \frac{\vec n}{\norm{\vec n}}}$. Para qualquer $H \in \mathcal P$, $\vect{HM_0}\cdot\vec n = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_H + by_H + cz_H)
= ax_0 + by_0 + cz_0 + d$ (usando a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) em $H$), donde a fórmula, depois de dividir por $\norm{\vec n} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. ∎

**Exemplo 31.12.**

Distância da origem ao plano $x + 2y + 2z - 6 = 0$: $\frac{\abs{-6}}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2$.

## 31.4 Exercícios

Em todos os exercícios, o [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) é [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system).

**Exercício 31.1 ★.**

Sejam $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 1)$ e $C(2, -1, 3)$. Os pontos $A$, $B$, $C$ estão alinhados? Dê uma representação paramétrica da reta $(AB)$.

**Solução de Exercício 31.1.**

$\vect{AB}(2, 1, -1)$ e $\vect{AC}(1, -1, 1)$ não são proporcionais ($\frac21 \neq \frac{1}{-1}$), logo os pontos não estão alinhados. Reta $(AB)$:

$$
(x, y, z) = (1 + 2t,\; t,\; 2 - t), \qquad t \in \R .
$$

**Exercício 31.2 ★.**

Determine uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana do plano que passa por $A(1, 1, 0)$ com [vetor normal](#def-g12-space-normal) $\vec n(2, -1, 3)$. O ponto $B(0, 2, 1)$ pertence a ele?

**Solução de Exercício 31.2.**

$2(x - 1) - (y - 1) + 3(z - 0) = 0$, *isto é*,

$$
2x - y + 3z - 1 = 0 .
$$

Para $B(0,2,1)$: $0 - 2 + 3 - 1 = 0$: sim, $B$ pertence ao plano.

**Exercício 31.3 ★.**

Calcule o ângulo em $A$ (ao grau mais próximo) do triângulo de vértices $A(0,0,0)$, $B(1, 1, 0)$ e $C(1, 0, 1)$.

**Solução de Exercício 31.3.**

$\vect{AB}(1,1,0)$, $\vect{AC}(1,0,1)$:

$$
\cos\widehat{A}
= \frac{\vect{AB}\cdot\vect{AC}}{\norm{\vect{AB}}\,\norm{\vect{AC}}}
= \frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac12,
$$

logo $\widehat A = 60^\circ$.

**Exercício 31.4 ★★.**

Considere a reta $\mathcal D$ que passa por $A(1, 2, 0)$ com direção $\vec u(1, -1, 2)$, e o plano $\mathcal P : 2x + y - z + 1 = 0$. Determine $\mathcal D \cap \mathcal P$.

**Solução de Exercício 31.4.**

Pontos de $\mathcal D$: $(1 + t,\, 2 - t,\, 2t)$. Substituindo na [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de $\mathcal P$:

$$
2(1+t) + (2 - t) - 2t + 1 = 5 - t = 0 \iff t = 5 .
$$

Ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) único: $(6, -3, 10)$.

**Exercício 31.5 ★★.**

Sejam $\mathcal P : x - y + 2z = 1$ e $\mathcal Q : 2x + y + z = 4$. Mostre que $\mathcal P$ e $\mathcal Q$ se cortam segundo uma reta e dê uma representação paramétrica dela.

**Solução de Exercício 31.5.**

Os [vetores normais](#def-g12-space-normal) $(1, -1, 2)$ e $(2, 1, 1)$ não são [colineares](#def-g12-space-collinear), de modo que os planos se cortam segundo uma reta. Somando as duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $3x + 3z = 5$, logo $x = \frac53 - z$; a primeira [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) dá então $y = x + 2z - 1 = \frac23 + z$. Com $z = t$:

$$
(x, y, z) = \left(\frac53 - t,\; \frac23 + t,\; t\right), \qquad t \in \R,
$$

uma reta de [vetor diretor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-direction) $(-1, 1, 1)$. (As duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) se verificam identicamente.)

**Exercício 31.6 ★★.**

Mostre que as retas

$$
\mathcal D_1 : (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; 3 - t), \qquad
\mathcal D_2 : (x, y, z) = (2 + s,\; 1 + s,\; 1 + 2s)
$$

são reversas (não [coplanares](#def-g12-space-collinear)).

**Solução de Exercício 31.6.**

As direções $\vec u_1(1, 2, -1)$ e $\vec u_2(1, 1, 2)$ não são [colineares](#def-g12-space-collinear), logo as retas não são paralelas. Para que se cortassem, seria preciso

$$
1 + t = 2 + s, \qquad 2t = 1 + s, \qquad 3 - t = 1 + 2s .
$$

As duas primeiras dão $t = 1 + s$ e $2(1+s) = 1 + s$, logo $s = -1$, $t = 0$; mas então a terceira diz $3 = -1$, absurdo. Sem ponto comum e não paralelas: as retas são reversas.

**Exercício 31.7 ★★.**

Seja $\mathcal P : 2x - y + 2z - 3 = 0$.

1. Calcule a distância de $M_0(3, 1, 1)$ a $\mathcal P$ .
2. Determine as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) da projeção [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) $H$ de $M_0$ sobre $\mathcal P$ e confira a distância $M_0H$ .

**Solução de Exercício 31.7.**

*1.* $\operatorname{dist} = \dfrac{\abs{2\cdot3 - 1 + 2\cdot1 - 3}}
{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$.

*2.* $H = M_0 + t\,\vec n$ com $\vec n(2, -1, 2)$, escolhendo $t$ de modo que $H \in \mathcal P$:

$$
2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) - 3 = 4 + 9t = 0 \iff t = -\frac49 .
$$

Logo $H\left(\frac{19}{9}, \frac{13}{9}, \frac19\right)$, e

$$
M_0H = \norm{t\,\vec n} = \frac49 \times 3 = \frac43,
$$

de acordo com a fórmula da distância.

**Exercício 31.8 ★★★.**

O cubo $ABCDEFGH$ tem aresta $1$; escolha [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de modo que $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$ (com $C = B + D$, $F = B + E$, $G = B + D + E$, $H = D + E$ como [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) a partir de $A$).

1. Mostre que a diagonal $(AG)$ é [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) ao plano $(BDE)$ .
2. Calcule a distância de $A$ ao plano $(BDE)$ e o ponto em que $(AG)$ o atravessa.

**Solução de Exercício 31.8.**

[Coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $G(1,1,1)$, e o plano $(BDE)$ passa por $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$.

*1.* O plano $(BDE)$ tem [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = 1$ (satisfeita pelos três pontos, que não estão alinhados), de modo que $\vec n(1,1,1)$ é normal a ele. Como $\vect{AG} = (1,1,1) = \vec n$, a diagonal $(AG)$ é [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) ao plano $(BDE)$.

*2.* Distância de $A(0,0,0)$: $\frac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$. A reta $(AG)$ é $(t, t, t)$; ela encontra o plano quando $3t = 1$: no ponto $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$, o baricentro do triângulo $BDE$.

**Exercício 31.9 ★★★.**

*(Volume de um tetraedro.)* Sejam $A(1,1,1)$, $B(2,1,0)$, $C(0,2,1)$ e $D(2,2,2)$.

1. Verifique que $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AD}$ não são [coplanares](#def-g12-space-collinear) (os pontos formam um tetraedro de verdade).
2. Encontre um [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $\vec n$ [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) a $\vect{BC}$ e a $\vect{BD}$ , e deduza uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cartesiana do plano $(BCD)$ .
3. Calcule a distância de $A$ ao plano $(BCD)$ e a área do triângulo $BCD$ , usando a fórmula $\text{Área} = \frac12\sqrt{\norm{\vec u}^2\norm{\vec v}^2 -  (\vec u \cdot \vec v)^2}$ para o triângulo gerado por $\vec u, \vec v$ .
4. Deduza o volume do tetraedro ( $V = \frac13 \times \text{área da base} \times \text{altura}$ ).

**Solução de Exercício 31.9.**

*1.* $\vect{AB}(1, 0, -1)$, $\vect{AC}(-1, 1, 0)$, $\vect{AD}(1, 1, 1)$. Se $\vect{AD} = a\vect{AB} + b\vect{AC}$, as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) dão $a - b = 1$, $b = 1$, $-a = 1$: as duas primeiras forçam $a = 2$, contradizendo $a = -1$. Não [coplanares](#def-g12-space-collinear).

*2.* $\vect{BC}(-2, 1, 1)$, $\vect{BD}(0, 1, 2)$. Resolvendo $\vec n \cdot \vect{BC} = \vec n \cdot \vect{BD} = 0$: de $b + 2c = 0$, vem $b = -2c$; então $-2a - 2c + c = 0$ dá $c = -2a$. Com $a = 1$: $\vec n(1, 4, -2)$. Plano por $B(2,1,0)$:

$$
x + 4y - 2z - 6 = 0 .
$$

*3.* Distância de $A(1,1,1)$: $\dfrac{\abs{1 + 4 - 2 - 6}}{\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}}$. Área de $BCD$: $\norm{\vect{BC}}^2 = 6$, $\norm{\vect{BD}}^2 = 5$, $\vect{BC}\cdot\vect{BD} = 3$, logo

$$
\text{Área} = \frac12\sqrt{6 \times 5 - 9} = \frac{\sqrt{21}}{2}.
$$

*4.*

$$
V = \frac13 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{21}}
= \frac12 .
$$

## 31.5 Problema: fatiando o cubo

**Problema 31.1.**

Problema de fim de semana — um plano corta um cubo em um hexágono perfeito, um tetraedro regular se esconde nos cantos, e o ângulo da diagonal dá forma a todo diamante

Fatie um cubo e você espera quadrados e retângulos — e, no entanto, um corte famoso produz um *hexágono regular*, e quatro cortes espertos nos cantos deixam para trás um *tetraedro regular*. As duas surpresas, e o ângulo de $109.5^\circ$ que os átomos de carbono reverenciam, caem diante da caixa de ferramentas deste capítulo: retas paramétricas, [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de planos e o [produto escalar](#def-g12-space-dot) ([Teorema 31.9](#thm-g12-space-planeeq), [Proposição 31.11](#prop-g12-space-distance)). Use por toda parte o cubo do [Exercício 31.8](#exo-g12-space-8): aresta $1$, $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $C(1,1,0)$, $F(1,0,1)$, $H(0,1,1)$, $G(1,1,1)$.

**Parte I — Fluência.**

1. Escreva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do plano que passa por $B(1,0,0)$ com [vetor normal](#def-g12-space-normal) $(1,1,1)$ , uma representação paramétrica da reta que passa por $A$ dirigida por $(1,1,1)$ , e o ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) dos dois.
2. Calcule a distância de $A$ a esse plano ( [Proposição 31.11](#prop-g12-space-distance) ).
3. Os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) $(1,-1,0)$ e $(1,1,-2)$ são [ortogonais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) ?
4. Posição dos planos $x + y + z = 1$ e $2x + 2y + 2z = 5$ ? E da reta que passa por $A$ dirigida por $(1,1,0)$ em relação ao primeiro plano?
5. Liste os [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) das seis arestas $[BC], [CD], [DH], [HE], [EF], [FB]$ do cubo e verifique que todos os seis satisfazem a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = \frac32$ .

**Parte II — A seção hexagonal.** Seja $P$ o plano $x + y + z = \frac32$.

6. Mostre que $P$ é perpendicular à grande diagonal $(AG)$ e passa pelo centro do cubo.
7. Calcule as distâncias entre [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) consecutivos da questão 5 ao longo da seção: o que você encontra?
8. Calcule o ângulo do polígono da seção em um dos vértices (dois vetores-aresta consecutivos e um [produto escalar](#def-g12-space-dot) ). Conclua: a seção é um *hexágono regular* .
9. Calcule o perímetro e a área do hexágono, e compare a área com a de uma face do cubo. (Para o registro: a maior seção plana do cubo unitário é o retângulo diagonal $1 \times \sqrt2$ , de área $\sqrt2$ — o hexágono regular fica com a prata.)
10. Onde a diagonal $(AG)$ atravessa $P$ ? Verifique que o ponto de travessia é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AG]$ .
11. Deslize o corte: descreva as seções $x + y + z = c$ à medida que $c$ cresce de $0$ a $3$ — calcule a seção para $c = \frac12$ (qual polígono, de que tamanho?) e narre a metamorfose que passa pelo seu hexágono em $c = \frac32$ .
12. Por que nenhum plano pode cortar um cubo segundo um polígono de *sete* lados? (Onde tem de estar cada lado da seção?)

**Parte III — O tetraedro escondido.**

13. Calcule o volume do tetraedro de canto $ABDE$ (base, altura e a fórmula do um terço que o volume do ensino fundamental admitiu — o [Exercício 31.9](#exo-g12-space-9) calcula volumes assim em geral).
14. Os quatro vértices $B$ , $D$ , $E$ , $G$ : calcule as seis distâncias duas a duas e conclua que $BDEG$ é um tetraedro *regular* . Depois obtenha seu volume subtraindo do cubo os tetraedros de canto.
15. Calcule a distância do centro do cubo ao plano $(BDE)$ .
16. O ângulo do diamante: calcule o ângulo entre as diagonais $\vect{AG}$ e $\vect{BH}$ do cubo. Seu suplemento, cerca de $109.5^\circ$ , é o ângulo entre as ligações no diamante e no metano — por que quatro pares de elétrons em torno de um átomo de carbono escolhem os cantos do tetraedro da questão 14?

**Parte IV — Genuinamente tridimensional.**

17. Encontre onde a reta que passa por $B(1,0,0)$ dirigida por $(0,1,1)$ atravessa o plano $P$ do hexágono.
18. Mostre que as retas $(AB)$ e $(EG)$ não se encontram nem são paralelas: retas *reversas* , o fenômeno que não pode ocorrer em um plano.
19. Calcule a projeção [ortogonal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal) de $B$ sobre $P$ (caminhe de $B$ ao longo da normal até o plano) e verifique que seu ponto satisfaz a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de $P$ .
20. Finale — o kit do agrimensor do espaço: retas paramétricas para atravessar, [vetores normais](#def-g12-space-normal) para ângulos e distâncias, [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de planos para seções; e o cubo como o pátio de recreio em que produziram um hexágono, um tetraedro regular, o ângulo do diamante e um par de retas reversas. Uma frase para cada.

**Solução de Problema 31.1.**

**1.** Plano: $x + y + z = 1$. Reta: $(t, t, t)$. [Interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): $3t = 1$: $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$.

**2.** $\dfrac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} =
\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$.

**3.** $1 - 1 + 0 = 0$: [ortogonais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-orthogonal).

**4.** Mesma normal $(1,1,1)$, mas $\frac52 \neq 1$: planos estritamente paralelos. Quanto à reta: a direção $(1,1,0) \cdot (1,1,1) = 2 \neq 0$: não é paralela ao plano, de modo que o atravessa em um único ponto.

**5.** [Pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(1, \frac12, 0\right)$, $\left(\frac12, 1, 0\right)$, $\left(0, 1, \frac12\right)$, $\left(0, \frac12, 1\right)$, $\left(\frac12, 0, 1\right)$, $\left(1, 0, \frac12\right)$: cada um tem soma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\frac32$.

**6.** A normal de $P$ é $(1,1,1)$, a direção de $(AG)$: perpendicular. O centro $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$ tem soma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\frac32$: está em $P$.

**7.** [Pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) consecutivos diferem por [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/15-vetores-e-retas-no-plano#def-g11-vect-vector) como $\left(-\frac12, \frac12, 0\right)$: comprimento $\frac{\sqrt2}{2}$ a cada vez — seis lados iguais.

**8.** Em $\left(\frac12, 1, 0\right)$: vetores-aresta $\left(\frac12, -\frac12, 0\right)$ e $\left(-\frac12, 0, \frac12\right)$: [produto escalar](#def-g12-space-dot) $-\frac14$, [normas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#def-g11-scal-dot) $\frac{\sqrt2}{2}$: $\cos = -\frac12$: ângulo $120^\circ$. Lados iguais, ângulos iguais de $120^\circ$: um hexágono regular.

**9.** Perímetro $6 \times \frac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2
\approx 4.24$. Área $6 \times \frac{\sqrt3}{4} \times
\frac12 = \frac{3\sqrt3}{4} \approx 1.30$: maior que uma face (área $1$) — uma fatia maior que qualquer lado da caixa; só o retângulo diagonal ($\sqrt2 \approx 1.41$) a supera.

**10.** $(t,t,t)$ encontra $P$ em $t = \frac12$: o centro — que é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AG]$ ($A$ em $t = 0$, $G$ em $t = 1$).

**11.** Para $c = \frac12$: o plano corta as três arestas do canto de $A$, em $\left(\frac12,0,0\right)$, $\left(0,\frac12,0\right)$, $\left(0,0,\frac12\right)$: um triângulo equilátero de lado $\frac{\sqrt2}{2}$. À medida que $c$ cresce, o triângulo cresce, seus cantos vão sendo truncados até virar um hexágono (regular exatamente em $c = \frac32$), e depois a figura encolhe simetricamente até um triângulo no canto de $G$: a metamorfose da lapidação.

**12.** Cada lado da seção é a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) do plano de corte com uma *face* do cubo, e um plano encontra uma face (um polígono plano) em no máximo um segmento: no máximo $6$ lados. Sete é impossível; de três a seis, todos ocorrem (as questões 8 e 11 mostram dois casos).

**13.** Base $ABD$: triângulo retângulo de área $\frac12$; altura $AE = 1$: volume $\frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16$.

**14.** Cada par entre $B, D, E, G$ difere em exatamente duas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) por $1$: as seis distâncias valem $\sqrt2$ — regular. O cubo se decompõe em $BDEG$ mais quatro tetraedros de canto congruentes a $ABDE$: volume $1 - 4 \times \frac16 = \frac13$.

**15.** Plano $(BDE)$: $x + y + z = 1$; centro $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$: distância $\frac{\abs{\frac32 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{2\sqrt3} =
\frac{\sqrt3}{6}$.

**16.** $\vect{AG} = (1,1,1)$, $\vect{BH} = (-1,1,1)$: $\cos\theta = \frac{-1 + 1 + 1}{3} =
\frac13$: $\theta \approx 70.5^\circ$, suplemento $\approx 109.5^\circ$. Quatro pares de elétrons se repelem e se afastam o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) possível em torno do carbono: o ótimo são os cantos do tetraedro regular, cujas direções do centro aos vértices se encontram exatamente nesse ângulo — o diamante é a questão 14 cristalizada.

**17.** $(1, t, t)$ em $P$: $1 + 2t = \frac32$: $t = \frac14$: o ponto $\left(1, \frac14, \frac14\right)$.

**18.** $(AB)$: pontos $(t, 0, 0)$; $(EG)$: pontos $(s, s, 1)$. Encontrarem-se exigiria $0 = 1$ na terceira coordenada: nunca. Serem paralelas exigiria $(1,0,0)$ e $(1,1,0)$ [colineares](#def-g12-space-collinear): não. Nem se encontram nem são paralelas: reversas — dois corredores em andares diferentes.

**19.** $B + t(1,1,1) = (1 + t, t, t)$ em $P$: $1 + 3t = \frac32$: $t = \frac16$: projeção $\left(\frac76, \frac16, \frac16\right)$, cuja soma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) é $\frac32$: está em $P$, como se pedia.

**20.** As retas paramétricas atravessam (questões 1, 10, 17); os [vetores normais](#def-g12-space-normal) medem ângulos e distâncias (questões 2, 8, 15, 16); as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de planos recortam seções (a metamorfose do triângulo ao hexágono). E o pátio de recreio retribuiu a visita: um hexágono regular numa caixa de quadrados, um tetraedro regular nos cantos, o ângulo do diamante e duas retas que se ignoram — geometria que só o espaço oferece.