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title: "Probabilidade condicional e independência"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 32
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia
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# Capítulo 32 — Probabilidade condicional e independência

A [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) quantifica a incerteza; a [probabilidade condicional](#def-g12-condprob-cond) quantifica como a informação a modifica. Saber que um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $B$ ocorreu remodela as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de todos os outros [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) — um mecanismo formalizado por Bayes e mal empregado diariamente em tribunais e jornais. Este capítulo estabelece as regras do condicionamento e o sentido exato da [independência](#def-g12-condprob-indep).

## 32.1 Espaços de probabilidade (lembrete)

Um experimento com um número finito de resultados é modelado por um *[espaço amostral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model)* $\Omega$ (o conjunto dos resultados) e uma [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\P$ que atribui a cada [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $A \subseteq \Omega$ um número $\P(A) \in \intcc{0}{1}$, aditivo sobre [uniões](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) disjuntas e com $\P(\Omega) = 1$. Lembre as regras básicas:

$$
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
\qquad
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B).
$$

Quando todos os resultados são igualmente prováveis, $\P(A) = \frac{\abs A}{\abs\Omega}$ — e calcular [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) se reduz às técnicas de contagem do [Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#ch-g12-comb).

## 32.2 Probabilidade condicional

**Definição 32.1 (Probabilidade condicional).**

Seja $B$ um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) com $\P(B) > 0$. A *probabilidade de $A$ dado $B$* é

$$
\pcond{B}{A} = \frac{\P(A \cap B)}{\P(B)} .
$$

A aplicação $A \mapsto \pcond BA$ é ela mesma uma [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) (valem todas as regras); ela representa o novo estado de conhecimento de quem soube que $B$ ocorreu.

**Proposição 32.2 (Regra do produto).**

Para [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) não nula:

$$
\P(A \cap B) = \P(B)\,\pcond{B}{A} = \P(A)\,\pcond{A}{B},
$$

e, mais geralmente, $\P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \P(A_1)\,\pcond{A_1}{A_2}\,
\pcond{A_1 \cap A_2}{A_3}$, e assim por diante.

**Demonstração.** Reorganize a definição; a fórmula em cadeia decorre da iteração. ∎

**Teorema 32.3 (Lei da probabilidade total).**

Sejam $B_1, \dots, B_n$ uma partição de $\Omega$ em [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) não nula. Para todo [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $A$:

$$
\P(A) = \sum_{i=1}^{n} \P(B_i)\,\pcond{B_i}{A}.
$$

**Demonstração.** Os conjuntos $A \cap B_i$ são dois a dois disjuntos e têm [união](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) $A$, de modo que $\P(A) = \sum_i \P(A \cap B_i) = \sum_i \P(B_i)\pcond{B_i}{A}$ pela regra do produto. ∎

**Método 32.4 (Árvores de probabilidade).**

Um [diagrama de árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) organiza as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) condicionais: cada ramo carrega a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) do [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) seguinte *dado* o caminho percorrido até ali.

- A [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de uma folha (um caminho completo) é o *produto* das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) ao longo de seus ramos (regra do produto).
- A [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) é a *soma* das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) das folhas que o realizam ( [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total).
- As [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) dos ramos que saem de um mesmo nó somam $1$ .

![Uma árvore de dois níveis: multiplique ao longo de um caminho, some sobre as folhas. Por exemplo, (A) é a soma das probabilidades da primeira e da terceira folhas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-condprob/fig-3105e44904d1.svg)

*Uma [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de dois níveis: multiplique ao longo de um caminho, some sobre as folhas. Por exemplo, $\P(A)$ é a soma das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) da primeira e da terceira folhas.*

**Teorema 32.5 (Fórmula de Bayes).**

Sejam $B_1, \dots, B_n$ uma partição de $\Omega$ como acima e $A$ um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) com $\P(A) > 0$. Então

$$
\pcond{A}{B_j} =
\frac{\P(B_j)\,\pcond{B_j}{A}}{\sum_{i=1}^{n} \P(B_i)\,\pcond{B_i}{A}} .
$$

**Demonstração.** $\pcond{A}{B_j} = \frac{\P(A \cap B_j)}{\P(A)}$; desenvolva o numerador pela regra do produto e o denominador pela [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total. ∎

**Exemplo 32.6 (Teste de triagem).**

Uma doença atinge $1\%$ de uma população. Um teste a detecta com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.99$ (sensibilidade) e dá um falso positivo com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.05$. Dado um teste positivo, a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de realmente ter a doença é

$$
\frac{0.01 \times 0.99}{0.01\times0.99 + 0.99\times0.05}
= \frac{0.0099}{0.0099 + 0.0495} = \frac{1}{6} \approx 0.17 .
$$

Apesar da precisão do teste, cinco em cada seis positivos são falsos — porque a doença é rara. Confundir $\pcond{A}{B}$ com $\pcond{B}{A}$ é a *falácia do promotor*.

![O teste de triagem como árvore (D: doente, T: teste positivo). As duas folhas positivas (em vermelho) têm peso total 0.0594, do qual os falsos positivos contribuem com cinco sextos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-condprob/fig-ec92493f0c14.svg)

*O teste de triagem como [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) ($D$: doente, $T$: teste positivo). As duas folhas positivas (em vermelho) têm peso total $0.0594$, do qual os falsos positivos contribuem com cinco sextos.*

## 32.3 Independência

**Definição 32.7 (Eventos independentes).**

Dois [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $A$ e $B$ são *independentes* se

$$
\P(A \cap B) = \P(A)\,\P(B) .
$$

Quando $\P(B) > 0$, isso equivale a $\pcond{B}{A} = \P(A)$: saber que $B$ ocorreu não altera a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de $A$.

**Proposição 32.8.**

Se $A$ e $B$ são [independentes](#def-g12-condprob-indep), também o são $A$ e $\bar B$ (e $\bar A$ e $\bar B$).

**Demonstração.** $\P(A \cap \bar B) = \P(A) - \P(A \cap B) = \P(A) - \P(A)\P(B)
= \P(A)\bigl(1 - \P(B)\bigr) = \P(A)\,\P(\bar B)$. ∎

**Observação 32.9.**

Não confunda *[independentes](#def-g12-condprob-indep)* ($\P(A\cap B) = \P(A)\P(B)$) com *[incompatíveis](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \varnothing$). Dois [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) [incompatíveis](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations) de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) não nula nunca são [independentes](#def-g12-condprob-indep): saber que um ocorreu garante que o outro não ocorreu.

**Definição 32.10 (Repetições independentes).**

Quando um experimento é repetido $n$ vezes de modo que o resultado de cada tentativa não influencie os demais, a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de uma [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) determinada de resultados é o produto das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) individuais. Esse é o modelo por trás da [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-rv) binomial ([Capítulo 33](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#ch-g12-randvar)).

## 32.4 Exercícios

**Exercício 32.1 ★.**

Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que seja um rei, sabendo que é uma figura (valete, dama ou rei). Os [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) “rei” e “copas” são [independentes](#def-g12-condprob-indep)?

**Solução de Exercício 32.1.**

Há $12$ figuras, das quais $4$ são reis: $\pcond{\text{figura}}{\text{rei}} = \frac{4}{12} = \frac13$.

[Independência](#def-g12-condprob-indep): $\P(\text{rei} \cap \text{copas}) = \frac{1}{52}$ (o rei de copas), e $\P(\text{rei})\,\P(\text{copas}) = \frac{4}{52}\times\frac{13}{52}
= \frac{1}{52}$. Iguais: os [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) são [independentes](#def-g12-condprob-indep).

**Exercício 32.2 ★.**

Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas em [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence), *sem* reposição.

1. Desenhe a [árvore](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#met-g10-proba-tree) de [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) .
2. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que as duas sejam vermelhas e a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que a segunda seja vermelha.

**Solução de Exercício 32.2.**

*1.* Primeiro ramo: vermelha $\frac58$, azul $\frac38$; segundos ramos (sem reposição): depois de vermelha, vermelha $\frac47$ / azul $\frac37$; depois de azul, vermelha $\frac57$ / azul $\frac27$.

*2.* $\P(VV) = \frac58 \times \frac47 = \frac{5}{14}$. Pela [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total,

$$
\P(\text{segunda vermelha}) = \frac58\cdot\frac47 + \frac38\cdot\frac57
= \frac{20 + 15}{56} = \frac58 .
$$

(O mesmo valor da primeira retirada — por simetria, a segunda bola é uma bola da urna escolhida uniformemente ao acaso.)

**Exercício 32.3 ★.**

Dois dados honestos são lançados. Sejam $A$ = “a soma é $7$”, $B$ = “o primeiro dado mostra $3$”, $C$ = “a soma é $6$”. Determine se $A$ e $B$ são [independentes](#def-g12-condprob-indep) e, em seguida, se $B$ e $C$ o são.

**Solução de Exercício 32.3.**

$\P(A) = \frac{6}{36} = \frac16$ (seis pares somam $7$), $\P(B) = \frac16$, e $A \cap B = \{(3,4)\}$ tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{36} = \P(A)\P(B)$: $A$ e $B$ são [independentes](#def-g12-condprob-indep). (A soma $7$ é especial: qualquer que seja o primeiro dado, exatamente um valor do segundo a produz.)

$\P(C) = \frac{5}{36}$ e $B \cap C = \{(3,3)\}$: $\P(B \cap C) = \frac{1}{36} \neq \frac16 \times \frac{5}{36}
= \frac{5}{216}$. Não [independentes](#def-g12-condprob-indep).

**Exercício 32.4 ★★.**

Uma fábrica tem três máquinas que produzem, respectivamente, $50\%$, $30\%$ e $20\%$ da produção total, com taxas de defeito de $1\%$, $2\%$ e $4\%$.

1. Que proporção da produção é defeituosa?
2. Um item escolhido ao acaso é defeituoso. Qual é a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que venha da terceira máquina?

**Solução de Exercício 32.4.**

*1.* [Probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total com a partição por máquina:

$$
\P(D) = 0.5\times0.01 + 0.3\times0.02 + 0.2\times0.04
= 0.005 + 0.006 + 0.008 = 0.019 = 1.9\% .
$$

*2.* Bayes: $\pcond{D}{M_3} = \dfrac{0.008}{0.019} = \dfrac{8}{19} \approx 0.42$. A máquina que produz apenas um quinto da produção responde por mais de $40\%$ dos defeitos.

**Exercício 32.5 ★★.**

No [Exemplo 32.6](#ex-g12-condprob-test), para que prevalência $p$ da doença (em vez de $1\%$) um teste positivo significaria pelo menos $90\%$ de chance de doença? Resolva a inequação e comente.

**Solução de Exercício 32.5.**

A condição é

$$
\frac{0.99\,p}{0.99\,p + 0.05\,(1-p)} \geq 0.9 .
$$

O denominador é positivo, de modo que isso equivale a $0.99p \geq 0.891p + 0.045 - 0.045p$, *isto é*, $0.144\,p \geq 0.045$, *isto é*,

$$
p \geq \frac{0.045}{0.144} = 0.3125 .
$$

O teste sozinho alcança $90\%$ de certeza apenas se a doença já atinge mais de $31\%$ da população testada — e é por isso que a triagem em massa de doenças raras exige testes de confirmação.

**Exercício 32.6 ★★.**

Uma moeda viciada dá cara com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p \in \intoo{0}{1}$. Ela é lançada três vezes, sendo os lançamentos [independentes](#def-g12-condprob-indep).

1. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) do [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $E$ = “exatamente duas caras”.
2. Para que $p$ a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\P(E)$ é máxima?

**Solução de Exercício 32.6.**

*1.* Três [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) realizam $E$ (cara-cara-coroa, cara-coroa-cara, coroa-cara-cara), cada uma de [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$ por [independência](#def-g12-condprob-indep): $\P(E) = 3p^2(1 - p)$.

*2.* $f(p) = 3p^2 - 3p^3$ tem $f'(p) = 6p - 9p^2 = 3p(2 - 3p)$, positiva e depois negativa em $\intoo{0}{1}$: [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) em $p = \frac23$, onde $\P(E) = 3\cdot\frac49\cdot\frac13 = \frac49$.

**Exercício 32.7 ★★★.**

*(Monty Hall.)* Um prêmio está escondido atrás de uma de três portas. Você escolhe uma porta; o apresentador, que sabe onde está o prêmio, abre uma das duas portas restantes, sempre revelando uma vazia (escolhendo ao acaso se as duas estiverem vazias), e oferece a você a troca pela outra porta fechada. Usando a fórmula de Bayes, calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de ganhar se você trocar e se não trocar.

**Solução de Exercício 32.7.**

Digamos que você escolheu a porta 1 e o apresentador abriu a porta 3 ([evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) $H_3$). Com $B_i$ = “prêmio atrás da porta $i$”, $\P(B_i) = \frac13$ e

$$
\pcond{B_1}{H_3} = \frac12, \qquad
\pcond{B_2}{H_3} = 1, \qquad
\pcond{B_3}{H_3} = 0
$$

(se o prêmio está atrás da sua porta, o apresentador escolhe ao acaso entre as portas 2 e 3; se está atrás da porta 2, ele é obrigado a abrir a 3). Bayes:

$$
\pcond{H_3}{B_1}
= \frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac13\cdot\frac12 + \frac13\cdot1 + 0}
= \frac{1/6}{1/2} = \frac13,
\qquad
\pcond{H_3}{B_2} = \frac{\frac13}{\frac12} = \frac23 .
$$

Ficar ganha com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac13$; trocar, com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac23$.

**Exercício 32.8 ★★★.**

Um canal de informação transmite bits. Cada bit é invertido pelo ruído com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\varepsilon = 0.1$, de maneira independente. Para proteger um bit, ele é enviado três vezes e decodificado por maioria.

1. Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de o bit decodificado estar errado.
2. A palavra recebida é $101$ . Qual é a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de o bit enviado ter sido $1$ ? (Suponha que $0$ e $1$ sejam enviados com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) iguais.)

**Solução de Exercício 32.8.**

*1.* A maioria erra quando ao menos duas das três cópias são invertidas:

$$
3\varepsilon^2(1-\varepsilon) + \varepsilon^3
= 3(0.01)(0.9) + 0.001 = 0.028,
$$

bem menor que $\varepsilon = 0.1$: a codificação por repetição funciona.

*2.* Se $1$ foi enviado (como $111$), receber $101$ exige exatamente uma inversão: [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\varepsilon(1-\varepsilon)^2 = 0.081$. Se $0$ foi enviado ($000$), são necessárias duas inversões: $\varepsilon^2(1-\varepsilon) = 0.009$. Bayes com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) a priori iguais:

$$
\pcond{101}{\,\text{enviado }1} = \frac{0.081}{0.081 + 0.009} = 0.9 .
$$

A decodificação por maioria ($101 \mapsto 1$) é de fato o palpite mais provável.

## 32.5 Problema: o médico, o juiz e o filtro de spam

**Problema 32.1.**

Problema de fim de semana — a fórmula de Bayes contra a falácia da taxa de base: por que um teste de $99\,\%$ pode significar $2\,\%$, por que uma coincidência de um em um milhão não condena ninguém, e como sua caixa de entrada pensa

Um teste que pega $99\,\%$ dos casos volta positivo — e a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) verdadeira de doença fica abaixo de $2\,\%$. Um perfil de DNA que coincide com uma pessoa em um milhão é encontrado — e o suspeito é provavelmente inocente. As duas afirmações estão corretas, as duas já foram julgadas errado por médicos e por tribunais, e as duas se resolvem com uma linha deste capítulo: a fórmula de Bayes ([Teorema 32.5](#thm-g12-condprob-bayes)). Este problema a treina em urnas, depois no consultório, no tribunal e na caixa de entrada.

**Parte I — Fluência.**

1. Uma moeda honesta escolhe a urna I ( $2$ vermelhas, $1$ azul) ou a urna II ( $1$ vermelha, $3$ azuis), e então uma bola é retirada. Calcule $\P(\text{vermelha})$ pela lei da [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total ( [Teorema 32.3](#thm-g12-condprob-total) ).
2. A bola é vermelha: calcule $\P(\text{urna I} \mid  \text{vermelha})$ .
3. Um lançamento de dado: os [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) “par” e “ $\leq 4$ ” são [independentes](#def-g12-condprob-indep) ( [Definição 32.7](#def-g12-condprob-indep) )? E “par” e “ $\leq 3$ ”?
4. Dois detectores de fumaça [independentes](#def-g12-condprob-indep) disparam, cada um, com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.9$ em um incêndio. Usando a [Proposição 32.8](#prop-g12-condprob-indepcompl) , calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que ao menos um dispare.
5. Duas cartas sem reposição: calcule $\P(\text{dois reis})$ com a regra do produto ( [Proposição 32.2](#prop-g12-condprob-product) ).

**Parte II — O médico.** Uma doença atinge $1$ pessoa em $1\,000$. O teste detecta $99\,\%$ dos doentes (sensibilidade), mas também dispara em $5\,\%$ dos saudáveis (falsos positivos).

6. [Frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) naturais: imagine $100\,000$ pessoas. Quantas estão doentes, quantas saudáveis? Quantos positivos cada grupo produz, e quantos positivos ao todo?
7. A partir das contagens, calcule $\P(\text{doente} \mid \text{positivo})$ . Absorva o choque.
8. Recalcule com a fórmula de Bayes e confira a concordância.
9. Em pesquisas, a maioria dos médicos responde “uns $99\,\%$ ”. Nomeie as duas [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) condicionais que estão sendo confundidas e explique por que a minúscula taxa de base determina a resposta correta.
10. Um segundo teste, independente, também volta positivo. Atualize: tomando $1.9\,\%$ como nova [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) a priori, calcule $\P(\text{doente} \mid \text{dois positivos})$ . O que o *acúmulo* de evidências está fazendo?
11. Calcule $\P(\text{doente} \mid \text{positivo})$ se o mesmo teste for usado apenas em um grupo de risco com prevalência de $5\,\%$ . Deduza a moral de saúde pública sobre a triagem em massa de condições raras.

**Parte III — O juiz.**

12. Um perfil de DNA da cena do crime coincide com uma pessoa em um milhão. O suspeito, encontrado por uma busca em um banco de dados dos $10$ milhões de habitantes da cidade, coincide. Número esperado de coincidências inocentes na cidade? Dada apenas a coincidência, quanto vale, aproximadamente, $\P(\text{inocente} \mid \text{coincidência})$ ?
13. Nomeie a falácia — que [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) o promotor citou e qual delas o tribunal precisava? — e seu paralelo exato com a questão 9.
14. A armadilha da [independência](#def-g12-condprob-indep) : duas tragédias raras em uma mesma família já foram elevadas ao quadrado até “uma em $73$ milhões” por serem tratadas como [independentes](#def-g12-condprob-indep) , condenando uma mãe inocente (o caso Sally Clark). Se os [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) compartilham fatores de risco familiares, de modo que o segundo, dado o primeiro, seja $5$ vezes mais provável que a taxa de base, recalcule a ordem de grandeza — e enuncie a lição sobre multiplicar [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) .
15. A defesa também pode trapacear: “dez inocentes coincidem, logo a coincidência não prova nada” ignora todo o resto. O que a fórmula de Bayes faz com *várias* peças de evidência, e que frase única todo jurado deveria saber?

**Parte IV — O filtro de spam.**

16. Seu correio é $40\,\%$ spam. A palavra “sorteio” aparece em $15\,\%$ dos spams e em $0.5\,\%$ das mensagens honestas. Uma mensagem a contém: calcule $\P(\text{spam} \mid \text{sorteio})$ .
17. Repetição corretora de erros ( [Exercício 32.8](#exo-g12-condprob-8) continuado): com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de inversão $\varepsilon = 0.1$ , a decodificação por maioria de *cinco* cópias falha com que [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) ? Compare com o código de três cópias.
18. Um bit atravessa $4$ repetidores ruidosos [independentes](#def-g12-condprob-indep) , cada um invertendo-o com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.1$ : ele chega correto exatamente quando o número de inversões é par. Calcule essa [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de duas maneiras: somando os termos binomiais e pela elegante fórmula $\frac{1 + (1 - 2\varepsilon)^4}{2}$ .
19. Os filtros de spam de verdade multiplicam as evidências de muitas palavras como se fossem [independentes](#def-g12-condprob-indep) (Bayes “ingênuo”). Por que essa hipótese é falsa para palavras como “ganhe” e “sorteio” — e por que o filtro funciona bem mesmo assim? (Uma ou duas frases.)
20. Finale — Bayes como a aritmética da crença: a priori $\times$ verossimilhança, renormalize, a posteriori. Reconte os três veredictos (consultório, tribunal, caixa de entrada) em uma frase cada, e depois liste as três armadilhas que este problema expôs: taxas de base esquecidas, [independência](#def-g12-condprob-indep) falsa e evidências lidas uma de cada vez.

**Solução de Problema 32.1.**

**1.** $\P(\text{vermelha}) = \frac12 \cdot \frac23 +
\frac12 \cdot \frac14 = \frac13 + \frac18 = \frac{11}{24}$.

**2.** $\P(\text{I} \mid \text{vermelha}) =
\dfrac{\frac12 \cdot \frac23}{\frac{11}{24}} =
\dfrac{1/3}{11/24} = \dfrac{8}{11}$.

**3.** $\P(\text{par} \cap \leq 4) = \P(\{2, 4\}) =
\frac13$ e $\P(\text{par})\P(\leq 4) = \frac12 \cdot
\frac23 = \frac13$: [independentes](#def-g12-condprob-indep) (inesperadamente!). Para $\leq 3$: $\P(\{2\}) = \frac16$ contra $\frac12 \cdot \frac12 = \frac14$: dependentes.

**4.** Os [complementares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-operations) de [eventos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) [independentes](#def-g12-condprob-indep) são eles mesmos [independentes](#def-g12-condprob-indep), logo

$$
\P(\text{nenhum}) = 0.1 \times 0.1 = 0.01,
\qquad
\P(\text{ao menos um}) = 0.99 .
$$

**5.** $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} =
\frac{1}{221}$.

**6.** Doentes: $100$; saudáveis: $99\,900$. Positivos: $99$ verdadeiros ($99\,\%$ de $100$) e $4\,995$ falsos ($5\,\%$ de $99\,900$): $5\,094$ positivos ao todo.

**7.** $\P(\text{doente} \mid +) = \frac{99}{5\,094}
\approx 1.9\,\%$: entre as pessoas que o teste aponta, menos de uma em cinquenta está de fato doente.

**8.** $\dfrac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 +
0.999 \times 0.05} = \dfrac{0.00099}{0.05094} \approx 0.019$: as contagens e a fórmula concordam.

**9.** Confundem-se: $\P(+ \mid \text{doente}) =
99\,\%$ (a qualidade anunciada do teste) com $\P(\text{doente} \mid +)$ (a pergunta real do paciente). Com uma taxa de base de $\frac{1}{1000}$, os doentes são tão raros que mesmo um vazamento de $5\,\%$ da enorme maioria saudável afoga os positivos verdadeiros na proporção de cinquenta para um.

**10.** $\dfrac{0.019 \times 0.99}{0.019 \times 0.99 +
0.981 \times 0.05} \approx 28\,\%$. Cada positivo independente multiplica as chances pelo mesmo fator: as evidências se acumulam, e um terceiro positivo passaria de $90\,\%$ — e é por isso que existem os testes confirmatórios.

**11.** $\dfrac{0.05 \times 0.99}{0.05 \times 0.99 +
0.95 \times 0.05} \approx 51\,\%$: em um grupo de risco, o mesmo teste é informativo. Moral: faça a triagem onde a taxa de base é substancial; rastrear em massa uma condição rara fabrica alarmes falsos aos milhares.

**12.** Número esperado de coincidências inocentes: $10^7 \times 10^{-6} = 10$. Entre as cerca de $11$ pessoas compatíveis ($10$ inocentes, $1$ culpado — se o autor está na cidade), o suspeito encontrado *apenas pela coincidência* é inocente com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cerca de $\frac{10}{11} \approx 91\,\%$.

**13.** O promotor citou $\P(\text{coincidência} \mid \text{inocente}) = 10^{-6}$; o tribunal precisava de $\P(\text{inocente} \mid \text{coincidência})$ — a confusão da questão 9 sob juramento. (E, no caso real que popularizou esses erros, um segundo equívoco agravou tudo: veja a questão 14.)

**14.** Quadrado ingênuo: $\left(\frac{1}{8500}\right)^2
\approx \frac{1}{72 \text{ milhões}}$. Com a segunda tragédia cinco vezes mais provável dada a primeira: $\frac{1}{8500} \times \frac{5}{8500} \approx
\frac{1}{14.5 \text{ milhões}}$ — cinco vezes maior, e ainda ignorando que a hipótese *alternativa* também tem de ser pesada por Bayes. Lição: multiplicar [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) exige [independência](#def-g12-condprob-indep), e causas comuns (genética, ambiente) a destroem.

**15.** Bayes multiplica as razões de verossimilhança de *todas* as evidências em uma única [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) a posteriori: a coincidência, o álibi, as fibras, cada uma deslocando as chances. A frase do jurado: *pergunte quão provável é a evidência sob as duas hipóteses e nunca tome uma condicional pela sua inversa*.

**16.** $\dfrac{0.4 \times 0.15}{0.4 \times 0.15 +
0.6 \times 0.005} = \dfrac{0.060}{0.063} \approx 95\,\%$ de spam: uma única palavra quase decide a questão.

**17.** Cinco cópias falham quando $3$, $4$ ou $5$ se invertem: $\binom53 \varepsilon^3(1-\varepsilon)^2 + \binom54
\varepsilon^4 (1 - \varepsilon) + \varepsilon^5 \approx
0.0086$ — contra $0.028$ para três cópias: a repetição compra confiabilidade ao preço de banda.

**18.** Número par de inversões: $\binom40 0.9^4 + \binom42 0.9^2 0.1^2 + \binom44 0.1^4
= 0.6561 + 0.0486 + 0.0001 = 0.7048$; e $\frac{1 + 0.8^4}{2} = \frac{1 + 0.4096}{2} = 0.7048$: a fórmula esperta acompanha o viés $(1 - 2\varepsilon)$ ao longo de cada repetidor.

**19.** As palavras de spam andam em bando — uma mensagem com “sorteio” muito provavelmente contém “ganhe”, de modo que a evidência conjunta é mais fraca do que o produto pretende. O filtro ainda funciona porque o exagero costuma empurrar na *direção certa*: classificar exige o lado correto dos $50\,\%$, não a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) a posteriori correta.

**20.** Consultório: uma condição rara transforma um teste forte em um veredicto fraco — atualize a partir da taxa de base e depois acumule. Tribunal: uma coincidência rara em uma cidade grande indicia a cidade, não o homem — verossimilhanças não são veredictos. Caixa de entrada: muitos indícios fracos, multiplicados, separam a correspondência — mesmo ingenuamente. As três armadilhas: esquecer a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) a priori e ser enganado; fingir [independência](#def-g12-condprob-indep) e ser muito enganado; ler as evidências aos pedaços e nunca saber o que se sabe.